经典谱估计算法研究与实现

毕业设计（论文）

论文题目：经典谱估计算法研究与实现

教学中心：电子科技大学网络教育学院苏州学习中心指导老师：职称：

学生姓名：学号：

专业：通信工程

毕业设计（论文）任务书

题目：经典谱估计算法研究与实现

任务与要求：

探讨我国经典谱估计算法运用和影响下所面临的机遇与挑战以及经典谱估计算法研究与实现,结合所知识,理论联系实际,

写出毕业论文。

时间：2014年 1 月25日至 2014年 4 月 14日共 12 周教学中心：电子科技大学网络教育学院苏州学习中心

学生姓名：学号：

专业：通信工程

指导单位或教研室：电子科技大学网络教育学院苏州学习中心

指导教师：职称：

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注:此表同学生毕业设计(论文)一起存档

1 随机信号的经典谱估计方法

估计功率谱密度的平滑周期图是一种计算简单的经典方法。它的主要特点是

与任何模型参数无关，是一类非参数化方法[4]。它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。在一般情况下，周期图的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。本章主要介绍了周期图法、相关法谱估计（BT ）、巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法和Welch 法这四种方法。

2.1 周期图法

周期图法又称直接法。它是从随机信号x(n)中截取N 长的一段，把它视为能量有限x(n)真实功率谱)(jw x e S 的估计)(jw x e S 的抽样.

周期图这一概念早在1899年就提出了，但由于点数Ｎ一般比较大，该方法的计算量过大而在当时无法使用。只是1965年FFT 出现后，此法才变成谱估计的一个常用方法。周期图法[5]包含了下列两条假设：

1．认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段)(n x N 来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。

2．由于对)(n x N 采用DFT ，就默认)(n x N 在时域是周期的，以及)(k x N 在频域是周期的。这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段)(n x N 的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。与相关法相比，相关法在求相关函数)(m R x 时将)(n x N 以外是数据全都看成零，因此相关法认为除)(n x N 外x(n)是全零序列，这种处理方法显然与周期图法不一样。

但是，当相关法被引入基于FFT 的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。通过比较我们发现：如果相关法中M=N ，不加延迟窗，那么就和补充（N-1）个零的周期图法一样了。简单地可以这样说：周期图法是M=N 时相关法的特例。因此相关法和周期图法可结合使用。

2.2 相关法谱估计（BT ）法

这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。它是1958年由Blackman 和Tukey 提出。这种方法的具体步骤是：

第一步：从无限长随机序列x(n)中截取长度N 的有限长序列列)(n x N 第二步：由N 长序列)(n x N 求（2M-1）点的自相关函数)(m R x ∧

序列。即

)()(1

)(10

m n x n x

N

m R N n N N

x +=

∑-=∧

(2-1)

这里，m=-(M-1)…,-1,0,1…,M-1，M N ，)(m R x 是双边序列，但是由自相关函数的偶对称性式，只要求出m=0,。。。,M-1的傅里叶变换，另一半也就知道了。

第三步：由相关函数的傅式变换求功率谱。即

jwm M M m X

jw

x e m R

e S ----=∧∧

∑=

)()(1)

1(

(2-2)

以上过程中经历了两次截断，一次是将x(n)截成N 长，称为加数据窗，一次是将x(n)截成（2M-1）长，称为加延迟窗。因此所得的功率谱仅是近似值，也叫谱估计，式中的)(jw x e S 代表估值。一般取M<

当FFT 问世后，情况有所变化。因为截断后的)(n x N 可视作能量信号，由相关卷积定理可得

)(m R x ∧

)]()([1

m x m x N

N N -*=

(2-3)

这就将相关化为线性卷积，而线性卷积又可以用快速卷积来实现。我们可对上式两边取（2N-1）点DFT ，则有

2

121212)(1)()([1)(K X N

K x k x N m R N N N x ---∧

=*=

(2-4)

于是将时域卷积变为频域乘积，用快速相关求)(m R x ∧

的完整方案如下： 1.

对N 长)(n x N 的补充（N-1）个零，成为（2N-1）长的。

2.

求（2N-1）点的FFT ，得∑-=----=2

20

121

212)()(N N mk N N N W n x

K X 。

3.

求

2

12)(1K X N

N -。由DFT 性质，)(12n x N -是纯实的，)(12k x N -满足共轭偶对称，而2

12)(1K X N

N -一定是实偶的，且以（2N-1）为周期。

4. 求（2N-1）点的IFFT ：

mk N N N k N x W K X N N m R -----=-∧

∑-=121

)1(2

12)(1121)(

(2-5)

这里

2

12)(1K X N

N -是实偶的，m=-(N-1)...0...N-1。本来IFFT 求和范围是0至2N-2，由于2

12)(1K X N

N -的实偶性与周期性，求和范围改为-（N-1）至（N-1）

不影响计算结果。同理可将m 的范围改为-（N-1）至（N-1）。

上述的快速相关中，补充零的目的是为了能用圆周卷积代替线性卷积，以便进一步采用快速卷积算法。快速相关输出是-（N-1）至（N-1）的2N-1点，加)(m W M 窗后截取的是-（M-1）至（M-1）的频段，最后作（2M-1）点FFT ，得)(k S x ∧

。