平面曲线的曲率

A
s
·
B B'
o
A'
· s

s s 相同.
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§4. 平面曲线的曲率
将
K s
y
B
s

称为曲线段 AB 的平均曲率，它 刻画了一段曲线的平均弯曲程度. 对于半径为R的圆， 任意弧段 AB = s = R ， 有
§4. 平面曲线的曲率
MN MN，用MN代替MN，再令x 0，得
ds 2 dy 2 ( ) 1 ( ) , dx dx
从而即得 弧长微分的公式
ds 1 y dx,
2
或
ds dx dy , ds dx dy .
2 2 2 2 2
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§4. 平面曲线的曲率
关于 ds 的具体表示式：
y f ( x)(a x b)，f ( x)在[a, b]连续，则 ⑴ 弧的方程为
ds 1 f 2 ( x)dx.
⑵ 弧的方程为x (t )，y (t )， t ， (t )与 (t )
切线：y = 0 ,
1 2 ( x0 0) ( y0 0) min , 4
2
法线： x = 0 .
1 1 而圆心( x0 , y0 )在法线上, 故 x0 0, y0 (舍y0 ). 2 2 于是, y x2在(0,0)点处的曲率圆方程： 1 2 1 2 x (y ) . 2 4
d K lim . s 0 s ds
其中 s 为点A及其邻点B之间弧长, 为AB上切线 方向变化的角度. 曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度.
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§4. 平面曲线的曲率 二、弧长的微分 ds y
M ( x, y)
M
s
如图，设曲线的弧长 s 由点 A 起算. 任取 MN = s ，有
曲率半径，记作
1 . K
·
A
o
曲率中心
几何意义： 如图，在A点作曲线的法线，并在曲线凹的一侧的法线上取
A
一点O，使得 OA= (曲线在A点的曲率半径). 以O为圆心，
为半径作一个圆，称之为曲线在A点的曲率圆.
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§4. 平面曲线的曲率 曲率圆与曲线在A点具有以下关系: ⑴ 有共同的切线，即圆与曲线在点 A 相切；
K
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y (1 y2 )
3 2
.
§4. 平面曲线的曲率
参数方程 x (t ), y (t ),
K

( 2 )
3 2 2
,
(t ) , (t )
⑵ 有相同的曲率；
⑶ 圆和曲线在点 A 具有相同的一阶和二阶导数. 表明：讨论 y = f (x) 在某点 x 的性质时，若此性质仅 与 x , y , y , y 有关，则只要讨论曲线在 x 点的曲率圆 的性质，即可知这曲线在 x 点附近的性质.
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§4. 平面曲线的曲率
2 y x 例1. 求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径.
解： y 2 x, y 2.
2 3/ 2 ( 1 4 x ) 2 1 K , . 2 3/ 2 (1 4 x ) K 2
在点(0,0), K max 2, min
1 . 2
O2
y
随着曲线 y x
§4. 平面曲线的曲率 三、曲率的计算
先计算 d , 考虑曲线 y f ( x) 在 M 点的切线, 有
t an y,
两边求微分，得
i.e. arctany.
dy y d dx. 2 2 1 y 1 y
d 把dHale Waihona Puke Baidu和d 代入 K 中得曲率的计算公式： ds
在[ , ]连续，且不全为 0，则
ds 2 (t ) 2 (t )dt.
⑶ 弧的方程为 ( )(极坐标方程)( ), ( )
在[ , ]连续, 则
ds 2 ( ) 2 ( )d .
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A
A R O

o

x
1 K . s R R
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B
§4. 平面曲线的曲率
对于直线, 其切线方向不变, 即 0 , 有
K 0, s
故“直线不曲” .
同一条曲线的不同点处, 曲线弯曲的程度可能不同.
Def : 曲线在 A 点的曲率为
极坐标方程 ( ),
K
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2 2 2
( 2 )
3 2 2
, ( ( )).
§4. 平面曲线的曲率 四、曲率半径与曲率圆
1 1 , R . 对半径为 R 的圆, R K Def : 曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的 K
N ( x x, y y)

x
y
MN x2 y 2 , 由此
2
2
A o x
x x
x
2 MN y 1 . x x 当 x 充分小时，在一些假定之下( 如曲线有连续导数 )，
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2
y x2
O1
O
自原点逐渐上升 (| x | 增大),
A
K 逐渐减小， 逐渐增大 .
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x
§4. 平面曲线的曲率
求 y x 2 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.
设曲率圆圆心 ( x0 , y0 ), 则
2
又在(0,0)处, y 0, y 2, 故
§4. 平面曲线的曲率
一、曲率的定义
对于不同的曲线, 其弯曲程度一般不同. 例如：
A
1
A'
B
2
A
s
B
A'
s
B'
B
AB AB s. 1 2 .
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§4. 平面曲线的曲率
结论： 曲线的弯曲程度与其 切线方向变化的夹角 的大小及其弧长 s 有关.