高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)

1.对数列概念的理解
(1) 数列是按一定 “ 顺序 ” 排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “ 数 ” 有关，而且 还与这些 “数 ” 的排列顺序有关， 这有别于集合中元素的无序性． 因此， 若组成两个数列的
数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2) 数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区 别．
n
之间的关系、 规律，可使用添项、 通分、分割等办法， 转化为一些常见数列的通项公式来求． 对 于正负符号变化，可用 (－ 1)n 或 (－ 1)n＋1 来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到 一般”的思想
以题试法 写出下面数列的一个通项公式．
(1)3,5,7,9 ， , ；
2． 数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集 {1,2,3 ， , ，n}) 的特殊函数，数列的
通项公式也就是相应的函数解析式，即
f(n)＝ an(n∈ N*) ．
3.考点 （一）由数列的前几项求数列的通项公式
[例 1] (2012 ·天津南开中学月考 )下列公式可作为数列 { an} ： 1,2,1,2,1,2， , 的通项公式
－1，偶数项为 2＋ 1，
所以
an＝( － 1)n·2＋
－1 n
n
，也可写为
1，偶数项为 3，即奇数项为 2
－ 1， n为正奇数， n
an＝ 3n， n为正偶数 .
（二）由 an 与 Sn 的关系求通项 an 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用 a1＝ S1 求出 a1； (2)用 n－ 1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－ Sn－1(n≥ 2)便可求出当 n≥ 2
递增数列 递减数列
常数列
an＋1> an an＋1< an an＋1＝ an
其中 n∈N *
(3)数列的通项公式： 如果数列 { an} 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示， 这个数列的通项公式．
那么这个公式叫做
2． 数列的递推公式 如果已知数列 { an} 的首项 (或前几项 )，且任一项 an 与它的前一项 an－1( n≥ 2)( 或前几项 ) 间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
高中数学必修 5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）
一．数列的概念与简单表示法
知识能否忆起
1． 数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数．
(2)数列的分类： 分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列 无穷数列
项数有限 项数无限
项与项间的 大小关系
1 ＝( a5
)
5 A. 6
B.6 5
1 C.30
D ．30
解析： 选 D
当
n≥ 2
时，
an＝
Sn－
Sn
－
1＝
n n＋
1
－
n
－ n
wk.baidu.com
1 ＝
n
1 n＋ 1
，则
a5＝
5
1 ×
＝ 6
1 30
.
（三）数列的性质 [例 3] 已知数列 { an} 的通项公式为 an＝ n2－ 21n＋ 20.
(1)n 为何值时， an 有最小值？并求出最小值；
(2)12，
34，
78，
1156，
31 32
，,
；
(3)3,33,333,3 333 ， , ； (4)－ 1， 32，－ 13， 34，－ 15， 36，， .
解： (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝ 2n＋ 1.
(2)每一项的分子比分母少
1，而分母组成数列
1,
2
2,
22
3,
2
4，
,
2n－ 1 ，所以 an＝ 2n .
{ an} 从第 21 项开始为正数，所以该数列的前 由题悟法
的是 ( )
A ． an＝ 1
C．an＝ 2－
nπ sin 2
－1 n＋1
B ． an＝
2
D ．an＝
－1
n －1＋ 3 2
nπ [自主解答 ] 由 an＝ 2－ sin 2 可得 a1＝ 1， a2＝2，
a3＝ 1， a4＝ 2， , .
[答案 ] C 由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与
当 n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－1＝ (3n＋ 1)－ (3n －1＋ 1)＝ 2×3n －1. 当 n＝1 时， 2×31 －1＝ 2≠a1，
4，
n＝ 1，
故 an＝ 2× 3n－1， n≥ 2.
以题试法
(2012
·聊城模拟
)已知数列
{ an} 的前
n 项和为
Sn，且
Sn＝
n n＋
，则 1
(2)n 为何值时，该数列的前 n 项和最小？
[自主解答 ]
(1) 因为
an＝ n2－ 21n＋ 20＝
21 n－ 2
2－ 3461，可知对称轴方程为
n＝ 221＝ 10.5.
又因 n∈ N* ，故 n＝10 或 n＝11 时， an 有最小值，其最小值为 112－21× 11＋ 20＝－ 90. (2)设数列的前 n 项和最小，则有 an≤ 0，由 n2－21n＋ 20≤0，解得 1≤ n≤ 20，故数列
时 an 的表达式；
(3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥ 2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把
数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分
n＝1 与 n≥2 两段来写．
[例 2] 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn，根据下列条件分别求它们的通项 an. (1)Sn ＝2n2＋ 3n； (2)Sn＝ 3n＋ 1. [自主解答 ] (1) 由题可知，当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 2× 12＋ 3× 1＝ 5， 当 n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－1＝ (2n2＋ 3n)－ [2( n－ 1)2＋ 3(n－ 1)] ＝ 4n＋1. 当 n＝1 时， 4×1＋ 1＝ 5＝ a1，故 an＝ 4n＋ 1. (2)当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 3＋ 1＝ 4，
(3)将数列各项改写为
9， 99， 999， 9999，,
33 3
3
，分母都是
3，而分子分别是
1,103－ 1,104－ 1，, .
10－1,102－
所以
a
n＝
1 3
(10n－
1)
．
(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为
(－ 1)n；各项绝对值的分母组成数列
1,2,3,4， , ；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为