高考数学 热点难点突破技巧 第07讲 导数中的双变量存在性和任意性问题

第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理

【知识要点】

在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题

“存在．．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立”．称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．小.，即max min )()(x g x f <.（见下图1）

“存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即在区间),(b a 内至少有．．．一个值．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．大，即min max )()(x g x f >.（见下图2）

2、双任意性问题

“任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 任意一个值．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．

一个函数值都要小，即max min ()()f x g x <.

“任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内任意一．．．

个值．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要大,即min max ()()f x g x >. 3、存在任意性问题

“存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的存在任意性问题. 存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．

一个函数值都要小，即min min )()(x g x f <. （见下图3）

“存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．

一个函数值都要大，即max max )()(x g x f >.（见下图4）

【方法讲评】 题型一 双存在性问题

使用情景

不等式中的两个自变量属性都是存在性的.

解题理论

存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，

即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一．个函数值．．．．

小，即max min )()(x g x f <. “存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”

，即在区间

【例1】已知函数()()3

4ln 0a f x x ax a x

+=-+≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）当1a ≥时，设()242x g x e x a =-+，若存在1x ，2122x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，，使()()12f x g x >，求

实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，271828e =L ）

当01a <<时，0∆>，1240x x a +=

>，1230a x x a

+⋅=>

10x =>,20x =

>

当()10x x ∈，时，()0h x <，()f x 单调递减， 当()12x x x ∈，时，()0h x >，()f x 单调递增， 当()2x x ∈+∞，时，()0h x <，()f x 单调递减，

所以当0a =时，()f x 的减区间为304⎛⎤ ⎥⎝⎦，，增区间34⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

，.

当1a ≥时，()f x 的减区间为()0+∞，.

当01a <<时，()f x 的减区间为0⎛ ⎝，⎫⎪+∞⎪⎭

增区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在122⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的最大值为

134ln 2622f a ⎛⎫

=-++ ⎪⎝⎭

，

()24x g x e =-，令()0g x =，得ln 2x =. 1ln 22x ⎡⎫

∈⎪⎢⎣⎭

，时，()0g x <，()g x 单调递减， (]ln 22x ∈，，()0g x >，()g x 单调递增，

所以()g x 在122⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的最小值为()ln 244ln 22g a =-+，

由题意可知3

4ln 2644ln 222

a a -++>-+，解得4a <, 所以14a ≤<.

【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反. 【反馈检测1】设函数2

()()()x

f x x ax b e x R =++∈，

（1）若1=x 是函数)(x f 的一个极值点，试求出b 关于a 的关系式（用a 表示b ）,并确定

)(x f 的单调区间；

（2）在（1）的条件下，设0>a ，函数4

2

)14()(++=x e

a x g ，若存在]4,0[,21∈ξξ使得

1|)()(|21<-ξξg f 成立，求a 的取值范围.