离散数学第8章 图论
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v1 v2 A v3 v4 v5 0 1 1 0 0
v1 v2 v3 v4 v5 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
例1 下图的邻接矩阵是：
图的邻接矩阵特点： （1）邻接矩阵A是对角线全为0的对称0-1矩阵； （2）任何对角线全为0的对称0-1矩阵必是某个图的邻接矩阵； （3） 邻接矩阵依赖图中结点的次序. 图的哪些性质可以直接从其邻接矩阵中看出来？
因为
vV2
deg( v) deg (v)和2m均为偶数，所以 v V
1
也必为偶数。由于当 vV1 时， deg(v) 均为奇数， 因此#V1必为偶数。
五、图的同构
定义8-5
设G和G是分别具有结点集V和V的两个
图，若存在一个双射h：VV，使得当且仅当{ vi，vj}
是 G 的边时， {h(vi) ，h(vj)} 是 G的边，则称图 G 与 G同
（1）H是连通的；
（2）对G的任意子图H，若HH，且H H G，则H
不是连通的。
则称H是G的分图。
注: （2）的言外之意是：H是G的最大连通子图。
例
解
（b）显然不是G的分图，因为（b）不连通； （c）也不是G的分图； （d）是G的分图；
（e）是G的分图。
1．割点：如果在图G中删去结点v（及与其相关联的所 有边后），图G的分图数增加，则称结点v是G的割点。 2．割边：如果在图G中删去边{ vi，vj}后，图G的分 图数增加，则称边{ vi，vj}是G的割边。 例10 下图中v4 ，v6均是割点；
2 1 2 A A A 1 0 0
2 3 3 A 3 0 0 3 2 3 0 0 3 3 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
定理8-2
1 2 1 0 0
1 1 2 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
图G为d次正则图。 例如： G是3次正则图
G
握手定理 设图G具有结点集{v1，v2，…，vn}和m条
边，则G中所有结点的度之和
deg( v ) 2m 。
i i 1
n
例如
5
右图中所有结点的度之和
i
deg( v ) 2 3 4 3 2 14 2 7
i 1
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接
矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
存在连接v i 和v j的路 否则
显然，当且仅当图G的连接矩阵的所有元素全为1时， 图G是连通的。
图G的连接矩阵的求法： 方法一：对图G的邻接矩阵A进行幂次运算（通常矩阵乘法） 其操作步骤如下： 1．由 A 计算 A2，A3，…，An ； 2．计算 Bn=A+A2+…+An； 3 ．将矩阵 Bn 中非零元素改为 1 ，所得到的矩阵即为连接 矩阵C。 此法缺点：计算复杂
（8条边）
3．下图所给出的两个图是否同构？
（G与G不同构）
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
一、图的邻接矩阵
定义8-8 设图G=（V，E），其中V={v1，v2，…，vn}，n
阶方阵A=（aij），称为G的邻接矩阵，其中第i行j列的元素
1 若{v i , v j } E a ij 0 否则
（1）结点vi的度数：邻接矩阵A的第i行中1的个数；
（2）正则图：每行中1的个数相同； （3）完全图：除对角线的元素为0外，其余的元素均为1；
（4）从vi到v j长为 1 的路的数目。
设G是具有结点集{v1，v2，…，vn}和邻接矩阵 A的图，则矩阵 Al （l=1，2， …）的第i 行 j列的元素 aij(l) 表示 图G中连接结点vi到vj长度为 l 的路的数目。 例2 由矩阵的乘法运算，图的邻接矩阵A的各次幂如下：
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
边{v4，v5}和{ v4，v6}均是割边。 结论：在图G中，边{vi，vj} 为割边当且仅当边{vi，vj} 不 在G的任何环中出现。
九、短程和距离
1．短程：在图G中，结点vi和vj若由一条或更多条 路相连接，则其中必有长度最短的路，称它为从vi到vj 的短程。 例
d (v1 , v5 ) 2 d (v1 , v2 ) 1 d (v1 , v6 ) 3
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
刚好是边数7的两倍。
推论 任何图G中，度为奇数的结点个数为偶数。
证明
设图G中，奇数度结点集为V1，偶数度结点 集为V2，边数为m，
则
于是
vV
deg( v) deg( v) deg( v) 2m
vV1 vV2 vV1
deg(v) 2m deg(v)
vV2
例1
设 V ={v1，v2，v3，v4，v5},
E = {v1 , v2 }, {v1 , v3 }, {v2 , v3 }, {v 2 , v 4 }, {v3 , v4 },{v 3 , v 5 }, {v 4 , v 5 } 则 G=（V，E）是一个图。
2. 图的表示方法
(1) 图解表示法
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
V4
2、多重图：没有自环的伪图称为多重图。 3、边的重数：连接于同一对结点间的边的数目称为边的重数。 4、简单图：没有自环且没有重数大于1的边的图，称为简单图。
四、结点的度和正来自百度文库图
图G中关联结点vi 的边的总数称为结点vi的度，用 deg(vi ) 表示。
定义8-4：若图G的所有结点都具有相同的度数d，则称
ij
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
8.7
8.8 8.9
二部图
平面图 有向图
8.1
基本概念
一、图的定义及其表示
1. 图的定义 一个图 G 是一个有序二元组（V，E），其中：
（1） V={v1，v2，…，vn}是一个有限非空的集合，V中 的元素称为G的结点（或顶点），V称为图G的结点集，记 作 V（G）； （2）E是V中不同元素的非有序对偶的集合，E中的元素称 为G的边（或弧），E称为图G的边集，记作E（G）。
第 8 章
图论
在第 2 章讨论关系时，曾引进过图的一些概念。在那 里，图只是作为表达集合上二元关系的一种工具。在这一 章介绍图的基本概念、基本性质以及几种在实际应用中有
重要意义的特殊图。鉴于学时有限，只介绍最基本的内容。
主要内容如下 8.1 基本概念 8.6 有向树
8.2 图的矩阵表示
8.4 欧拉图和哈密尔顿图 8.5 树
定义8-2 例3
K1
K2
K3
K4
K5
定义8-3
图G的补图是由G的所有结点和为了使G
成为完全图所需添加的那些边组成的图，用 G 表示。
例4
下图中（b）所表示的图是（a）图的补图。
注意：在 Kn 中，边的数目为：n(n-1)/2
三、关于图的基本术语
1、 伪图：设图G＝（V，E），V是一个有限非空集合，E是V中 任意元素的非有序对偶的多重集，则称G是一个伪图。 多重集：元素可重复出现，且不要求E中元素{v i, v j}满足v i ≠ v j ,这 样若vi ∈V，则有可能{v i, v i} ∈E，称这样的边为自环。例： V1 V3 V3 V4 V2 V1 V2
在图G中，若存在一条路连接vi和vj，则称结点vi与vj是
连接的.
例
八、连通图和分图 定义8-7 在图G中，若任意两个结点都是连接的，则
称G是连通图，否则，称G为非连通图。仅有一个孤立结
点的图定义它为连通图。
例 上例给出的图是连通图，下图给出的是非连通图。
定义 设H是图G的子图，若H满足以下两个条件：
2．距离：结点vi和vj间的短程的长度称为vi和vj 间的距离，用d（vi，vj）表示。
对于G中任意两个相连接的结点vi，vj（vivj），其短程是一 条长度不大于n–1的真路。
定理8-1 设G是具有结点集V={ v1，v2，…，vn}的图，则
证明 设为任一连接vi到vj的路，且= viu1 u2…ur…uk…ul–1vj，
例2
下图(a).(b)分别给出了例1中图G的图解表示。
(2) 矩阵表示法：8.2节
二. 有关概念
1．（n，m）图: （n，0）图； （1，0）图；
2．两结点是邻接的； 零图 3．边和结点是关联的； 4．孤立点； 5．两条边是邻接的； 6．孤立边； 在图G中，如果任意两个不同的结点都是邻 接的，则称图G是完全图。n个结点的完全图记作 Kn 平凡图
然而在任一长度为 l 的真路viu1 u2…ul–1 vj中，所出现的 结点是各不相同的，这意味着l +1≤n，即l ≤n–1。 由定理8-1可知，在具有n个结点的图G中，任一环的长 度不大于n 。
练习 8-1
1．设图G=（V，E）有5个结点，若要使G成为连通图， G至少应有几条边？ （4条边）
2．设图G=（V，E），#V=8，若G有3个度为3的结点， 2个度为2的结点，3个度为1的结点，问G有多少条边？
构。 两个图同构的必要条件是： （1）它们有相同的结点数和相同的边数； （2）对应结点的度数相同。 例4 判断下面的两个图是否同构？
V6 U6
V1
V2
V3
V4
V5
U1
U2
U3
U4
U5
六、子图
利用子集的概念可定义图G的子图。
定义8-6 设有图G1=（V1，E1）和图G2=（V2，E2）
（1） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图， 记作G2 G1；。 （2） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的真子图； （3） 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图.
例3
存在连接v i 和v j的路 否则
下图的连接矩阵如下：
v1 1 v2 1 C v 3 1 v 4 0 v5 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
二、图的连接矩阵
定义 8-9
设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
6 5 4 A 5 0 0
5 6 5 0 0
5 5 6 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
10 11 11 11 10 11 5 A 11 11 10 0 0 0 0 0 0
v1 v2 v3 v4 v5 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
例1 下图的邻接矩阵是：
图的邻接矩阵特点： （1）邻接矩阵A是对角线全为0的对称0-1矩阵； （2）任何对角线全为0的对称0-1矩阵必是某个图的邻接矩阵； （3） 邻接矩阵依赖图中结点的次序. 图的哪些性质可以直接从其邻接矩阵中看出来？
因为
vV2
deg( v) deg (v)和2m均为偶数，所以 v V
1
也必为偶数。由于当 vV1 时， deg(v) 均为奇数， 因此#V1必为偶数。
五、图的同构
定义8-5
设G和G是分别具有结点集V和V的两个
图，若存在一个双射h：VV，使得当且仅当{ vi，vj}
是 G 的边时， {h(vi) ，h(vj)} 是 G的边，则称图 G 与 G同
（1）H是连通的；
（2）对G的任意子图H，若HH，且H H G，则H
不是连通的。
则称H是G的分图。
注: （2）的言外之意是：H是G的最大连通子图。
例
解
（b）显然不是G的分图，因为（b）不连通； （c）也不是G的分图； （d）是G的分图；
（e）是G的分图。
1．割点：如果在图G中删去结点v（及与其相关联的所 有边后），图G的分图数增加，则称结点v是G的割点。 2．割边：如果在图G中删去边{ vi，vj}后，图G的分 图数增加，则称边{ vi，vj}是G的割边。 例10 下图中v4 ，v6均是割点；
2 1 2 A A A 1 0 0
2 3 3 A 3 0 0 3 2 3 0 0 3 3 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
定理8-2
1 2 1 0 0
1 1 2 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
图G为d次正则图。 例如： G是3次正则图
G
握手定理 设图G具有结点集{v1，v2，…，vn}和m条
边，则G中所有结点的度之和
deg( v ) 2m 。
i i 1
n
例如
5
右图中所有结点的度之和
i
deg( v ) 2 3 4 3 2 14 2 7
i 1
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接
矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
存在连接v i 和v j的路 否则
显然，当且仅当图G的连接矩阵的所有元素全为1时， 图G是连通的。
图G的连接矩阵的求法： 方法一：对图G的邻接矩阵A进行幂次运算（通常矩阵乘法） 其操作步骤如下： 1．由 A 计算 A2，A3，…，An ； 2．计算 Bn=A+A2+…+An； 3 ．将矩阵 Bn 中非零元素改为 1 ，所得到的矩阵即为连接 矩阵C。 此法缺点：计算复杂
（8条边）
3．下图所给出的两个图是否同构？
（G与G不同构）
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
一、图的邻接矩阵
定义8-8 设图G=（V，E），其中V={v1，v2，…，vn}，n
阶方阵A=（aij），称为G的邻接矩阵，其中第i行j列的元素
1 若{v i , v j } E a ij 0 否则
（1）结点vi的度数：邻接矩阵A的第i行中1的个数；
（2）正则图：每行中1的个数相同； （3）完全图：除对角线的元素为0外，其余的元素均为1；
（4）从vi到v j长为 1 的路的数目。
设G是具有结点集{v1，v2，…，vn}和邻接矩阵 A的图，则矩阵 Al （l=1，2， …）的第i 行 j列的元素 aij(l) 表示 图G中连接结点vi到vj长度为 l 的路的数目。 例2 由矩阵的乘法运算，图的邻接矩阵A的各次幂如下：
非真 生成
真 生成
真 非生成
非真 非生成
真 非生成
七、路与回路 定义:图G中l条边的序列{v0，v1}{v1，v2}…{vl–1，vl}称为连
接v0到vl的一条长为 l 的路。它常简单地用结点的序列 v0v1v2…vl–1vl来表示。其中v0和vl分别称为这条路的起点和终点。 开路：若v0vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为开路； 回路：若v0=vl，则称路v0v1v2…vl–1vl为回路； 真路：若开路v0v1v2…vl–1vl中，所有结点互不相同（此时所有 边也互不相同），则称该路为真路； 环：在回路v0v1v2…vl–1v0中，若v0，v1，v2，…，vl–1 各不相同 （此时所有边也互不相同），则称该回路为环。
边{v4，v5}和{ v4，v6}均是割边。 结论：在图G中，边{vi，vj} 为割边当且仅当边{vi，vj} 不 在G的任何环中出现。
九、短程和距离
1．短程：在图G中，结点vi和vj若由一条或更多条 路相连接，则其中必有长度最短的路，称它为从vi到vj 的短程。 例
d (v1 , v5 ) 2 d (v1 , v2 ) 1 d (v1 , v6 ) 3
利用邻接矩阵，我们可以 （1）判断G中任意两个结点是否相连接；
方法是：对 l=1，2，…，n–1，依次检查Al的（i，j）
项元素
(l （ ) ij）是否为0，若都为0，那么结点v 与v 不 a ij i j
相连接，否则vi与vj有路相连接。 （2）计算结点vi与vj之间的距离。
(1) ( 2) ( n 1) 中至少有一个不为0， 若 aij , aij , , aij 则可断定vi与vj相连接，使 a (l ) 0 的最小的 l 即
刚好是边数7的两倍。
推论 任何图G中，度为奇数的结点个数为偶数。
证明
设图G中，奇数度结点集为V1，偶数度结点 集为V2，边数为m，
则
于是
vV
deg( v) deg( v) deg( v) 2m
vV1 vV2 vV1
deg(v) 2m deg(v)
vV2
例1
设 V ={v1，v2，v3，v4，v5},
E = {v1 , v2 }, {v1 , v3 }, {v2 , v3 }, {v 2 , v 4 }, {v3 , v4 },{v 3 , v 5 }, {v 4 , v 5 } 则 G=（V，E）是一个图。
2. 图的表示方法
(1) 图解表示法
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从 中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj 。 若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条 更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj， 并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
V4
2、多重图：没有自环的伪图称为多重图。 3、边的重数：连接于同一对结点间的边的数目称为边的重数。 4、简单图：没有自环且没有重数大于1的边的图，称为简单图。
四、结点的度和正来自百度文库图
图G中关联结点vi 的边的总数称为结点vi的度，用 deg(vi ) 表示。
定义8-4：若图G的所有结点都具有相同的度数d，则称
ij
为d（vi，vj）。
8.2
图的矩阵表示
一、图的邻接矩阵 二、图的连接矩阵
三、图的关联矩阵
二、图的连接矩阵 定义 8-9 设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
v2 ， … ， vn } ， n 阶方阵 C= （ cij ），称为图 G 的连接 矩阵，其中第i行j列的元素
1 c ij 0
8.7
8.8 8.9
二部图
平面图 有向图
8.1
基本概念
一、图的定义及其表示
1. 图的定义 一个图 G 是一个有序二元组（V，E），其中：
（1） V={v1，v2，…，vn}是一个有限非空的集合，V中 的元素称为G的结点（或顶点），V称为图G的结点集，记 作 V（G）； （2）E是V中不同元素的非有序对偶的集合，E中的元素称 为G的边（或弧），E称为图G的边集，记作E（G）。
第 8 章
图论
在第 2 章讨论关系时，曾引进过图的一些概念。在那 里，图只是作为表达集合上二元关系的一种工具。在这一 章介绍图的基本概念、基本性质以及几种在实际应用中有
重要意义的特殊图。鉴于学时有限，只介绍最基本的内容。
主要内容如下 8.1 基本概念 8.6 有向树
8.2 图的矩阵表示
8.4 欧拉图和哈密尔顿图 8.5 树
定义8-2 例3
K1
K2
K3
K4
K5
定义8-3
图G的补图是由G的所有结点和为了使G
成为完全图所需添加的那些边组成的图，用 G 表示。
例4
下图中（b）所表示的图是（a）图的补图。
注意：在 Kn 中，边的数目为：n(n-1)/2
三、关于图的基本术语
1、 伪图：设图G＝（V，E），V是一个有限非空集合，E是V中 任意元素的非有序对偶的多重集，则称G是一个伪图。 多重集：元素可重复出现，且不要求E中元素{v i, v j}满足v i ≠ v j ,这 样若vi ∈V，则有可能{v i, v i} ∈E，称这样的边为自环。例： V1 V3 V3 V4 V2 V1 V2
在图G中，若存在一条路连接vi和vj，则称结点vi与vj是
连接的.
例
八、连通图和分图 定义8-7 在图G中，若任意两个结点都是连接的，则
称G是连通图，否则，称G为非连通图。仅有一个孤立结
点的图定义它为连通图。
例 上例给出的图是连通图，下图给出的是非连通图。
定义 设H是图G的子图，若H满足以下两个条件：
2．距离：结点vi和vj间的短程的长度称为vi和vj 间的距离，用d（vi，vj）表示。
对于G中任意两个相连接的结点vi，vj（vivj），其短程是一 条长度不大于n–1的真路。
定理8-1 设G是具有结点集V={ v1，v2，…，vn}的图，则
证明 设为任一连接vi到vj的路，且= viu1 u2…ur…uk…ul–1vj，
例2
下图(a).(b)分别给出了例1中图G的图解表示。
(2) 矩阵表示法：8.2节
二. 有关概念
1．（n，m）图: （n，0）图； （1，0）图；
2．两结点是邻接的； 零图 3．边和结点是关联的； 4．孤立点； 5．两条边是邻接的； 6．孤立边； 在图G中，如果任意两个不同的结点都是邻 接的，则称图G是完全图。n个结点的完全图记作 Kn 平凡图
然而在任一长度为 l 的真路viu1 u2…ul–1 vj中，所出现的 结点是各不相同的，这意味着l +1≤n，即l ≤n–1。 由定理8-1可知，在具有n个结点的图G中，任一环的长 度不大于n 。
练习 8-1
1．设图G=（V，E）有5个结点，若要使G成为连通图， G至少应有几条边？ （4条边）
2．设图G=（V，E），#V=8，若G有3个度为3的结点， 2个度为2的结点，3个度为1的结点，问G有多少条边？
构。 两个图同构的必要条件是： （1）它们有相同的结点数和相同的边数； （2）对应结点的度数相同。 例4 判断下面的两个图是否同构？
V6 U6
V1
V2
V3
V4
V5
U1
U2
U3
U4
U5
六、子图
利用子集的概念可定义图G的子图。
定义8-6 设有图G1=（V1，E1）和图G2=（V2，E2）
（1） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的子图， 记作G2 G1；。 （2） 若V2 V1，E2 E1，则称G2是G1的真子图； （3） 若V2 = V1，E2 E1，则称G2是G1的生成子图.
例3
存在连接v i 和v j的路 否则
下图的连接矩阵如下：
v1 1 v2 1 C v 3 1 v 4 0 v5 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
二、图的连接矩阵
定义 8-9
设图 G= （ V ， E ），其中 V={v1 ，
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
6 5 4 A 5 0 0
5 6 5 0 0
5 5 6 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
10 11 11 11 10 11 5 A 11 11 10 0 0 0 0 0 0