椭圆基础训练题及答案
高三椭圆练习题及答案
高三椭圆练习题及答案1. 技术背景在二维几何中，椭圆是一种重要的图形，具有许多应用。
高三学生需要掌握椭圆的基本概念、性质和相关的计算方法。
为了帮助高三学生巩固椭圆的知识，以下是一些椭圆练习题及答案。
2. 填空题(1) 如果椭圆E的长半轴和短半轴分别为a和b，则椭圆的离心率为________。
(2) 椭圆的焦点和直径的关系是________。
(3) 椭圆的离心率小于1，原点(0,0)在椭圆的________。
(4) 椭圆的离心率等于1，原点(0,0)在椭圆的________。
(5) 椭圆的离心率大于1，原点(0,0)在椭圆的________。
答案：(1) 椭圆的离心率为c/a；(2) 椭圆的焦点和直径的关系是焦点到椭圆周上任意一点的距离之和等于该点到椭圆的两个直径的距离之和；(3) 原点(0,0)在椭圆的右焦点所在的象限；(4) 原点(0,0)在椭圆的焦点所在的象限；(5) 原点(0,0)在椭圆的左焦点所在的象限。
3. 选择题(1) 下列各图中，哪个是椭圆？A. B. C. D. 答案：C. (2) 椭圆的离心率等于1，这个椭圆的形状是________。
A. 长圆B. 倍圆C. 圆D. 短圆答案：C. 圆4. 计算题已知椭圆的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求椭圆的方程。
答案：椭圆的焦距为2ae = 6，离心距为2c = 2/3 * 2a，解得a = 9，所以椭圆的方程为(x^2)/81 + (y^2)/36 = 1。
5. 应用题小明要设计一个椭圆形的游泳池，他希望池子的长半轴为8米，短半轴为6米。
假设池子的边界是一个完整的椭圆，求池子的周长和面积。
答案：椭圆的周长为2π * √((a^2 + b^2)/2) = 2π * √((8^2 + 6^2)/2) ≈ 39.97米。
(完整版)椭圆基础练习题
(完整版)椭圆基础练习题1. 问题描述请解决以下椭圆基础练题：1. 椭圆的标准方程是什么？请给出椭圆标准方程的一般形式和参数的含义。
2. 如何确定椭圆的焦点和直径？请解释每个参数的意义。
3. 已知椭圆的半长轴和半短轴的长度分别为a和b，求椭圆的离心率。
4. 已知一椭圆的焦点F1位于原点，离心率为e，焦点F2位于(0, c)，求椭圆的标准方程。
5. 若一椭圆的长轴与x轴夹角为θ，离心率为e，求椭圆的标准方程。
2. 解答1. 椭圆的标准方程是$x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
2. 椭圆的焦点和直径可以通过半长轴和半短轴的长度来确定。
焦点F1和F2位于椭圆的长轴上，与长轴的中点O等距离。
焦点和直径的参数含义如下：- 焦点F1和F2：焦点是椭圆的两个特殊点，其与椭圆上的每个点到焦点的距离之和等于2a，即2倍的半长轴的长度。
- 直径：椭圆的直径是通过椭圆的中心点O，并且两端点与椭圆上的点相切。
直径的长度等于2倍的短轴的长度。
3. 椭圆的离心率e可以通过半长轴和半短轴的长度计算。
离心率的计算公式为e = √(a^2 - b^2) / a。
4. 已知椭圆的焦点F1位于原点，离心率为e，焦点F2位于(0,c)。
根据定义，焦距为c = ae。
代入焦点和离心率的信息，可以得到椭圆的标准方程为$x^2/a^2 + y^2/(a^2(1-e^2)) = 1$。
5. 若一椭圆的长轴与x轴夹角为θ，离心率为e。
由于椭圆是一个轴对称图形，所以可以将长轴对齐于x轴。
根据该信息，可以得到椭圆的标准方程为$[(x*cosθ + y*sinθ)^2 / a^2] + [(x*sinθ -y*cosθ)^2 / b^2] = 1$。
以上是关于椭圆的基础练习题的解答。
希望可以帮助到您！。
椭圆基础题(含答案)
4．设 P 是椭圆 2 +
3
A．2√2
= 1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（
B．2√3
5．椭圆:
2
+
4
2
2
C．2√5
B．−2
2
100
+
D．4√2
= 1的左、右焦点分别为1 , 2 ，点在椭圆上，已知|1 | = 3，则|2 | =（
A．−1
6．如果椭圆
）
2
）
D．不能确定
3．已知△ 的周长为 20，且顶点(0, −4), (0,4)，则顶点的轨迹方程是（
2
2
2
2
2
2
2
）
2
A．36 + 20 = 1( ≠ 0) B．20 + 36 = 1( ≠ 0) C． 6 + 20 = 1( ≠ 0) D．20 + 36 = 1
2
√6
A． 3
B．−
2
2
= 1有且只有一个交点，则的值是(
√6
3
C．±
2
33．直线 y＝k（x﹣2）+1 与椭圆
16
A．相离
+
2
9
2
A．相交
2
4
= 1的位置关系是（
2
A． + 3 − 4 = 0
36．已知椭圆:
2
4
+
2
2
D．无法判断
）
C．相离
D．不确定
= 1交于点 A、B,线段的中点为(1,1),则直线 l 的方程为(
(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8, = √3.
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)
椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （其中2a>F1F2）的点的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
当椭圆焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。
当椭圆焦点在y轴上时，标准方程为x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）。
椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b。
椭圆有x轴和y轴两条对称轴，对称中心为坐标原点O(0,0)。
椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b。
椭圆的顶点坐标为(±a,0)，(0,±b)。
椭圆的焦点坐标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a（其中0<e<1）。
a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆。
对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F，PF_max=a+c，PF_min=a-c。
当点P在短轴端点位置时，∠F1PF2取最大值（余弦定理）。
椭圆方程常用三角换元为x=acosθ，y=bsinθ。
弦长公式为：设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)（k≠0）。
判断点P(x,y)是否在椭圆内，当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为c/a，短轴长为4√2，则它的长轴长为2a=6.1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部，点$A(a,1)$，则$a$的取值范围是$-2<a<2$。
2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$，焦点为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。
椭圆基础练习题(包含答案)
椭圆基础练习题一、选择题2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20 3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是()A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a ) 4．中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝15．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A ．(－233，233)B ．(233，＋∞)∪(－∞，－233)C ．(43，＋∞)D ．(－∞，－43)6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝1 7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55 C.12D ．5－2 8．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <329．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0) 10．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线 二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． 13．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.14．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．椭圆基础练习题答案2．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．20[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝5或m ＝3，故选C.3．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( ) A ．(±a －b ，0) B ．(±b －a ，0) C ．(0，±a －b ) D ．(0，±b －a ) [答案] D [解析]ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a )．4．中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是( )A.x 281＋y 245＝1 B ．x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1 D ．x 281＋y 236＝1[答案] C[解析] 由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C.5．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A ．95B ．3C ．977D ．94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．且b ＝3>7＝c . ∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点， ∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为( c )A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 216＝1 C.x 220＋y 25＝1 D ．x 25＋y 220＝17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B ．55C.12 D ．5－2[答案] B[解析] ∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c ，又由|AF 1|、|F 1F 2|、|F 1B |成等比数列得(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2，所以离心率e ＝55. [答案] C[解析] 由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.8．已知方程x 2|m |－1＋y22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( )A ．m <2B ．1<m <2C ．m <－1或1<m <2D ．m <－1或1<m <32[答案] D[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.9．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B ．y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D ．x 225＋y 29＝1(y ≠0)[答案] D[解析] ∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.10．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ， 又∵F 1、P 、Q 三点共线， ∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a . 即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．二、填空题11．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1， ∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.13．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.14．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．[答案] x ＋2y －4＝0[解析] 设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.。
(完整版)椭圆基础训练题及答案
椭圆基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A ．—16〈m 〈25B ．—16〈m 〈29 C ．29〈m<25 D ．m>292 ．已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．73 ．椭圆2241x y +=的焦距是（ ）A B ．1C D ．24 ．对于椭圆22525922=+y x ，下列说法正确的是（ ）A ．焦点坐标是()40±，B ．长轴长是5C ．准线方程是425±=yD ．离心率是54 5 ．椭圆2212x y +=的焦距是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46 ．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．),0(+∞B ．)2,0(C ．),1(+∞D ．)1,0(7 ．若椭圆221169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离是 （ ）A ．5B ．1C ．15D ．88 ．设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 （ ) A ．4B ．5C ．8D ．109 ．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，AB 是过F 2的弦，则△ABF 1 的周长等于 ( ） A ．100 B ．50C ．20D ．1010．椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是( ）A ．x=±1B ．x=±21 C ．y=±1 D ．y=±21 11．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个点的距离为3，则P 点到另一个焦点距离为 （ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于学科网( ）A ．12B ．22C ．2D ．32学科网 13．椭圆2216x y m +=的焦距为2，则m 的取值是 ( )A ．7B ．5C ．5或7D ．1014．椭圆161522=+y x 的两条准线方程是 （ )A ．2175-=y ,2175=y B ．2175-=x ，2175=x C ．y=－5,y=5 D ．x=－5,x=5 15．椭圆2214x y +=的长轴长为 （ )A ．16B ．2C ．8D ．416．若椭圆x a 22＋y b22=1的两焦点F 1、F 2三等分它两准线间的距离，则此椭圆的离心率为 ( ）A ．3B ．33C ．63D ．以上均不对17．若椭圆x y b222161+=过点()-23，，则其焦距为 （ ）A ．23B ．25C ．43D ．4518．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,21它的长轴等于圆0152:22=--+x y x C 的半径,则椭圆的标准方程为 （ ）A ．13422=+y xB ．1121622=+y xC ．1422=+y x D ．141622=+y x 19．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21。
(完整)椭圆的定义与方程基础练习(含答案),推荐文档
椭圆的定义与标准方程一．选择题（共19 小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P 到F1，F2 距离之和为10，则P 点的轨迹方程是（）A B．．C． D．或2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0 及圆x2+y2﹣6x﹣91=0 都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A 椭圆B．双曲线C．抛物线 D 圆．．3.椭圆上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（）A 4 B．5 C．6 D 10．．4.已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P 到A、B 两点距离之和为常数2，则动点P 的轨迹是（）A 椭圆B．双曲线C．抛物线 D 线段．．5.椭圆上一动点P 到两焦点距离之和为（）不确定A 10 B．8 C．6 D．．6.已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（）A B．C． D．．7.已知F1、F2 是椭圆=1 的两焦点，经点F2 的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A 16 B．11 C．8 D 3．．8.设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y 轴上的椭圆（）A 5 个B．10 个C．20 个 D．．25 个9.方程=10，化简的结果是（）A B．C． D．．10.平面内有一长度为2 的线段AB 和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A [1，4] B．[2，6] C．[3，5] D．．[3，6]11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P 的轨迹是（）A 椭圆B．线段．C．椭圆或线段或不存在 D．不存在12.已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A．（x≠0）B．（x≠0）C．（x≠0）D．（x≠0）13.已知P 是椭圆上的一点，则P 到一条准线的距离与P 到相应焦点的距离之比为（）A B．C． D．．14.平面内有两定点A、B 及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A．B 为焦点的椭圆”，那么（）A 甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件．C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件15.如果方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）A 3＜m＜4 B．C． D ．．16.“mn＞0”是“mx2+ny2=mn 为椭圆”的（A 必要不充分．C．充要）条件．B．充分不必要D 既不充分又不必要．17.已知动点P（x、y）满足10 =|3x+4y+2|，则动点P 的轨迹是（）A 椭圆B．双曲线．C．抛物线 D 无法确定．18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A 6 B．4 C．2 D．．与x，y 取值有关19.在椭圆中，F1，F2 分别是其左右焦点，若|PF1|=2|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A ．B.C． D．二．填空题（共7 小题）20.方程+=1 表示椭圆，则k 的取值范围是．21．已知A （﹣1，0），B（1，0），点C（x，y）满足：，则|AC|+|BC|= ．22.设P 是椭圆上的点．若F1、F2 是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2= ．23.若k∈Z，则椭圆的离心率是．24．P 为椭圆=1 上一点，M、N 分别是圆（x+3）2+y2=4 和（x﹣3）2+y2=1 上的点，则|PM|+|PN|的取值范围是．25．在椭圆+ =1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是．26.已知⊙Q：（x﹣1）2+y2=16，动⊙M 过定点P（﹣1，0）且与⊙Q 相切，则M 点的轨迹方程是：．三．解答题（共4 小题）27.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足，且当x＞1 时f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断f（x）的单调性（3）若f（3）=﹣1，解不等式f（|x|）＜228.已知对任意x．y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣t（t 为常数）并且当x＞0 时，f（x）＜t（1）求证：f（x）是R 上的减函数；（2）若f（4）=﹣t﹣4，解关于m 的不等式f（m2﹣m）+2＞0．29.已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R 均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=﹣3．（1）试证明：函数y=f（x）是R 上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．30.已知函数是奇函数．（1）求 a 的值；（2）求证f（x）是R 上的增函数；（3）求证xf（x）≥0 恒成立．参考答案与试题解析一．选择题（共19 小题）1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P 到F1，F2 距离之和为10，则P 点的轨迹方程是（）A B．．C. D．或考点：椭圆的定义。
(完整版)椭圆基础训练题(含答案提示),推荐文档
提示：4c=d1＋d2=2a,
∴e=
1 2
试卷
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题目：16. 曲线 x 2 ＋ y2 =1 与曲线 x 2 ＋ y2 =1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。
25 9
25－ k 9 k
（A）有相等的长、短轴
a2
题目：12. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率 e= 2 ，长轴长为 6，那么椭圆的方程是（ ）。
3
（A） x 2 + y2 =1
36 20
（C） x 2 + y2 =1
95
（B） x 2 + y2 =1 或 x 2 + y2 =1
36 20
20 36
（D） x 2 + y2 =1 或 x 2 + y2 =1
95
59
答案：D
题目：13. 椭圆 25x2＋16y2=1 的焦点坐标是（ ）。
（A）(±3, 0) （B）(± 1 , 0) （C）(± 3 , 0) （D）(0, ± 3 )
3
20
20
答案：D
题目：14. 椭圆 4x2＋y2=4 的准线方程是（ ）。
（A）y= 4 3 x （B）x= 4 3 y （C）y= 4 3
16 9
16 9
题目：19. 已知椭圆的准线为 x=4，对应的焦点坐标为(2, 0)，离心率为 1 , 那么这个椭圆的方
2
程为（ ）。
（A） x 2 ＋ y2 =1
84
（B）3x2＋4y2－8x=0
（C）3x2－y2－28x＋60=0
（D）2x2＋2y2－7x＋4=0
高二椭圆基础练习题及答案
高二椭圆基础练习题及答案练习题1：已知椭圆E的长轴长为6，短轴长为4。
若椭圆E的焦点F到点P 的距离等于点P到长轴的距离与点A到长轴的距离之和，且点A在椭圆E的右半部分上。
求椭圆E的方程。
解答：设椭圆E的焦点坐标为F(a,0)，其中a为焦点到原点的距离。
设点P(x,y)。
根据题意，有：PF = PA + PA'根据椭圆的定义，有：PF = √[(x-a)^2 + y^2]PA = √[(x-a)^2 + (y-4)^2]PA' = √[(x+a)^2 + (y+4)^2]将上述式子代入PF = PA + PA'，整理得：√[(x-a)^2 + y^2] = √[(x-a)^2 + (y-4)^2] + √[(x+a)^2 + (y+4)^2]对上式两边进行平方运算，得：(x-a)^2 + y^2 = [(x-a)^2 + (y-4)^2] + 2√[(x-a)^2 + (y-4)^2]√[(x+a)^2 + (y+4)^2] + (x+a)^2 + (y+4)^2对上式进行整理，得：0 = -8x^2 + 8a^2 - 32a - 64由于长轴长为6，短轴长为4，求平方可得：36 = 4a^2解得a = ±3/2将a = ±3/2 代入上式，得到两个椭圆E的方程：E1：-8x^2 + 18 - 48 = 0，即4x^2 = 15E2：-8x^2 + 18 + 48 = 0，即4x^2 = 33练习题2：已知椭圆E的焦点坐标为F(0,2)，G(0,-2)，长轴长为8。
设直线y = mx + 3与椭圆E相切于点P，求m的值。
解答：设点P(x,y)，则点P在直线y = mx + 3上，故有：y = mx + 3又由于点P位于椭圆E上，满足椭圆的方程，即有：x^2/16 + y^2/4 = 1将y = mx + 3代入上式，得到关于x的二次方程：x^2/16 + (mx + 3)^2/4 = 1化简得：(4+m^2)x^2 + 24mx + 144 - 64 = 0上述方程为判别式为0的二次方程，故有：(24m)^2 - 4(4+m^2)(144 - 64) = 0进行整理得到最终的方程：208m^2 - 256 = 0解得m = ±8/√13练习题3：已知椭圆O的焦点坐标为F1(-4,0)，F2(4,0)，离心率为2/3。
椭圆基础训练题(含答案)
椭圆基础训练题1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2＝1答案：B2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）（A ）21（B ）22（C ）23（D ）33答案：B3．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是23，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）21或1答案：B4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e =32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（ ）。
（A ） 36x 2+20y 2=1 （B ）36x 2+20y 2=1或20x 2+36y 2=1（C ） 9x 2+5y 2=1 （D ）9x 2+5y 2=1或5x 2+9y 2=1答案：D5. 椭圆25x 2＋16y 2=1的焦点坐标是（ ）。
（A ）(±3, 0) （B ）(±31, 0) （C ）(±203, 0) （D ）(0, ±203) 答案：D6. 椭圆22ax ＋22b y =1 (a >b >0)上任意一点到两个焦点的距离分别为d 1,d 2,焦距为2c ，若d 1, 2c , d 2,成等差数列则椭圆的离心率为（ ）。
（A ）12 （B ）22 （C ）32（D ）34答案：A提示：4c =d 1＋d 2=2a , ∴e =217. P (x , y )是椭圆16x 2＋9y 2=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。
（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2=1答案：C提示：设M (x , y )为轨迹上一点，则P (x , 2y )，代入到16x 2＋9y 2=1得方程16x 2＋9y 42=18. 椭圆4x 2＋16y 2=1的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，焦点坐标是 。
椭圆复习题pdf含答案
椭圆复习题pdf含答案1. 椭圆的标准方程是什么？答案：椭圆的标准方程为 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]，其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。
2. 椭圆的离心率如何计算？答案：椭圆的离心率e可以通过公式 \[e = \sqrt{1 -\frac{b^2}{a^2}}\] 计算，其中a是长半轴，b是短半轴。
3. 椭圆的焦点位置如何确定？答案：椭圆的焦点位于长轴上，其坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中c可以通过公式 \[c = \sqrt{a^2 - b^2}\] 计算。
4. 椭圆的准线方程是什么？答案：椭圆的准线方程为 \(x = \pm \frac{a^2}{c}\)，其中a是长半轴，c是焦点到中心的距离。
5. 椭圆的面积如何计算？答案：椭圆的面积可以通过公式 \[A = \pi ab\] 计算，其中a是长半轴，b是短半轴。
6. 椭圆的周长如何估算？答案：椭圆的周长可以通过近似公式 \[P \approx \pi \left[3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right]\] 估算，其中a是长半轴，b 是短半轴。
7. 椭圆的几何性质包括哪些？答案：椭圆的几何性质包括：对称性（关于长轴和短轴对称），离心率（描述椭圆扁平程度），焦点（椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数），以及准线（椭圆上任意一点到准线的距离与到焦点的距离之比等于离心率）。
8. 椭圆与双曲线有何不同？答案：椭圆与双曲线的主要区别在于离心率。
椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。
此外，椭圆是封闭曲线，双曲线是开放曲线。
9. 椭圆在实际应用中有哪些？答案：椭圆在实际应用中非常广泛，例如在物理学中描述行星轨道，在工程学中用于设计椭圆齿轮，在建筑学中用于设计椭圆屋顶等。
10. 椭圆的参数方程是什么？答案：椭圆的参数方程为 \[x = a \cos t\] 和 \[y = b \sin t\]，其中t是参数，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
椭圆练习题及答案
椭圆练习题及答案
椭圆练习题及答案
椭圆是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域都有着重要的应用。
为了帮助大家更好地理解和掌握椭圆的相关知识，我们准备了一些椭圆的练习题及答案，希望能够帮助大家更好地学习和理解椭圆。
1. 椭圆的定义是什么？
答：椭圆是一个平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
2. 椭圆的离心率是多少？
答：椭圆的离心率e满足0<e<1。
3. 椭圆的焦点在坐标系中的位置是怎样的？
答：椭圆的焦点位于椭圆的长轴上。
4. 椭圆的长轴和短轴之间有什么关系？
答：椭圆的长轴是短轴的两倍。
5. 椭圆的面积公式是什么？
答：椭圆的面积为πab，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
通过以上的练习题及答案，我们可以更好地理解和掌握椭圆的相关知识。
希望大家能够通过不断地练习和思考，更好地理解和应用椭圆的知识，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
椭圆基础训练题及答案
椭圆根底练习题姓名分数_____________一、选择题2 21.方程二—+二—=1表示焦点在y轴上的椭圆,那么m的取值范围是〔〕25 -m 16+ m9 9 9A. -16<m<25B. -16<m< —C. — <m<25D. m> —2 2 22.己知椭圆二+二=1上的一点F到椭圆一个焦点的距离为3,那么F到另一焦点距离为〔〕A. 2B. 3C. 5D. 73 .椭圆x2+4y2=l的焦距是( )A.生B. 12C. y/3D. 24 .对于椭圆9x2 + 25y2 = 225 , ,以下说法正确的选项是( )A.焦点坐标是〔0,±4〕B. 25 长轴长是5C.准线方程是y = ± —4 D.离心率是一4 55.椭圆—+/= 1的焦距是〔〕2A. 1B. 2C. 3D. 46.如果方程x2 + ky2 = 2表示焦点在y轴的椭圆,那么实数k的取值范围是〔〕A. 〔0,+oo〕B. 〔0,2〕C. 〔1,+QO〕D. 〔0,1〕7.假设椭圆芝+匕=1上一点P到它的右焦点是3,那么点P到左焦点的距离是〔〕16 9A. 5B. 1C. 15D. 88.设p是椭圆= 的点.假设尤,旦是椭圆的两个焦点,那么冏| + |P句等于〔〕A. 4B. 5C. 8D. 109.己知Fi、F?是椭圆—+ —= 1的两个焦点,AB是过F?的弦,那么ZXABFi的周长等于〔〕25 9A. 100B. 50C. 20D. 10椭圆4x-+2y-=l的准线方程是1A. x=±lB. x=± —2 C. y=±li1D. y=± —2)11.己知椭圆—+ ^- = 1±一点P 到椭圆一个点的距离为3,那么P 点到另一个焦点距离为〔〕25 162214.椭圆二+二=1的两条准线方程是15 6己知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为上,它的长轴等于圆C:x 2+ /-2x-15 = 0的半径, 2 标准方程为1B.-32°.假设椭圆m+p 】过点以灼,那么其焦距为12. A. 2B. 3C. 5D.己知椭圆的长轴长是短轴长的倍,那么椭圆的离心率等于 C. >/2D.13.椭圆土 +七=1的焦距为2,那么m 的取值是 m 6A. 7B. 5C. 5 或 7D. 1015. 16. 17.A. y = - -V21,y = — V21 77C.疔一5,广5椭圆—= 1的长轴长为4B. 2U +III =ibmA. 16假设椭圆B. D.C.x = - —V21 ,x = — V217 7x=—5,x=5D.已三等分它两准线间的距离, eg],那么其焦距为c.网D. D.那么此椭圆的离心率为〔以上均不对18.那么椭圆的X- y-.A.——+ -— = 1 4 3 x- y-.B. — + —= 1 16 12X 2 , C. —+y-=l4 D. 16 19. 假设椭圆两准线间的距离是焦距的4倍, 那么该椭圆的离心率为1 A.—2D.A.B.A. 2V5B. 2V3C. 4V5D. 4V321.假设焦点在X 轴上的椭圆—+^- = 1的离心率为上,那么血= ()2 m2椭圆的两个焦点和中央将两准线间的距离四等分,那么一焦点与短轴两端点连线的夹 角等于椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点,那么椭圆的长轴长是短轴长的2227.椭圆—+ ^- = 1的焦点坐标为 (9)28. 从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是120.,那么这个椭圆的离心率e=1 B.- 229.椭圆二+二=1上的一点M 到一条准线的距离与M 到相应焦点的距离之比为( )9 16A.:明(C 理(D)A544 V7*> ,30. 如果椭圆土+匕=1上一点户到它的右焦点是3,那么点户到左焦点的距离为()16 9A. 5B. 1C. 15D. 8二、填空题31. 中央在原点,焦点在坐标轴上,长轴是短轴的3倍,且过点P(3,0)的椭圆方程为.223 A.B.—222.椭圆(1—泪一"】)£= 1的长轴长是2 J1 - m - 2』一mA.--------- B. ----------------C.8 3D.2 3()c 2y[ni r>in 1-m 23.24. 71 7t B. —C.—3 22 2 \ 假设焦点在X 轴上的椭圆—+ —= 1的离心率为-,那么〃Z 等于 D.2 —n 3A. >/3 3B.- 2 8C.— 3D. 25.26. B. 2倍C. 倍D. 离心率e =—,3一条准线为户3的椭圆的标准方程是 A.马级=1 5 20 B.互+£=1 20 5 C. ,y •>三+匕=1 5 4D. 16A. (0, 5)和(0, —5)B. (5, 0)和(一5, 0) C, (0, yfl )和(0, —V?)D. (yfl , 0)和(一V? , 0)1 D.-3A.32.椭圆—+ ^- = 1±一点P到左焦点F的距离为6,那么P点到左准线的距离为___________25 162 233.设椭圆二+二_ = 1的两个焦点分别为Fi和F2,短轴的一个端点为B,那么△BF】F2的周长是—.5 434.椭圆—+ /=1的离心率是.435.椭圆9/ + 16),2 = 144的离心率为.36.椭圆的中央在原点,一个顶点为(2,0)且短轴长等于焦距那么椭圆的方程为.2 237.椭圆&+畚=1上一点B到右焦点距离等于7.4,那么B点坐标是.•) •>38.假设椭圆己—+匕=1上一点P到焦点f；的距离等于6,那么点P到另一个焦点F,的距离是100 36 -39.己知两个定点尤(-4,0),氏(4,0),且|彻；|+|协；|=10,那么点M的轨迹方程是40 .己知两个定点乌(—4,0),氏(4,0),且|协;| + L| =6,那么点M 的轨迹方程是三、解做题41.己知椭圆方程为三+乏=1,16 12(1)写出椭圆的顶点坐标和焦点坐标.(2)假设等轴双曲线C与该椭圆有相同焦点,求双曲线标准方程.2 242.己知P点在椭圆二+ ' = 1上,且P到椭圆左,右两焦点的距离之比为1:4,求P到两准线的距离.文档收集于互联网,己重新整理排版.word版本可编辑.欢送下载支持.参考答案一、选择题1. C2. D3. C4. D5. B6. D7. A8. D9. C10. C11. D12. B13. C14. D15. D16. B17. C18. A19. A20. D21. B22. B23. C24. B25. B26. A27. D28. A29. D30. A二、填空题31.—+)广=1或一+ —= 19 9 8132.10：12 1233.(—4, —) (—4, -------- )5 534.14(椭圆定义)35.不存在三、解做题36.⑴顶点(± 4,0),(0,±2^3),焦点(±2,0)文档收集于互联网,己重新整理排版.word版本可编辑.欢送下我支持.X'~237.P到两准线的距离为10/3和40/3.。
椭圆基础题10道-含答案
故选；A
4．设椭圆
C：x2
y2 b2
10 b
1 的左焦点为
F，下顶点为
B，点
P
在
C
上，则
PFห้องสมุดไป่ตู้
PB
的最大值为（ ）
A．1
B．b
C．3
D．3b
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】设该椭圆的右焦点为 Q ，
因为点 P 在 C 上，所以 PF PQ 2a 2 PF 2 PQ ，
5
B． 3 3
C．
1 2
D． 6 3
试卷第 1页，共 3页
4．设椭圆
C：x2
y2 b2
10 b
1 的左焦点为
F，下顶点为
B，点
P
在
C
上，则
PF
PB
的最大值为（ ）
A．1
B．b
C．3
D．3b
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，长轴长是短轴长的 2 倍，则该
椭圆的标准方程为（ ）
准方程为（ ） A． x2 y2 1
9
B． x2 y2 1 3
C． x2 y2 1 9
D． 4x2 4 y2 1 9
3．已知
A
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1a
b
0 的上顶点，若过 A 的直线 l 与圆 x2
y2
c2 相切，
且 l 的倾斜角为120 ，则椭圆的离心率是（ ）
A． 5
A． 6,
B． 2,6
C． , 2
D． 2,6
9．已知圆 (x 2)2 y2 36 的圆心为 M，设 A 是圆上任意一点， N (2, 0) ，线段 AN 的垂
椭圆基础练习题及其完整答案
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍 10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形． 20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+yx 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
高中椭圆练习题(有答案,必会基础题!)
椭圆的标准方程为
（2）由题意，椭圆的焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为
由焦点坐标可得 , 6
所以 = =9-5=4，所以椭圆的标准方程为
(3)设椭圆的方程为 （ ），因为椭圆过
解得 所以椭圆的标准方程为：
16.解：设 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，由题意可知
① 因为点 在椭圆 上，所以有
一、选择题：
1.下列方程表示椭圆的是（）
A. B. C. D.
2.动点P到两个定点 （- 4，0）. （4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）
A.椭圆B.线段 C.直线 D.不能确定
3.已知椭圆的标准方程 ，则椭圆的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
4.椭圆 的关系是
A．有相同的长.短轴B．有相同的离心率C．有相同的准线D．有相同的焦点
8.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的 倍，则椭圆的焦距是（）
A. B. C. D.
9.关于曲线的对称性的论述正确的是（）
A.方程 的曲线关于点对称
D.方程 的曲线关于原点对称
第11题
10.方程 （a＞b＞0,k＞0且k≠1)与方程 （a＞b＞0)表示的椭圆（）.
15.（30分）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为（0，-3），（0,3），椭圆的短轴长为8；
（2）两个焦点的坐标分别为（- ,0），（ ,0），并且椭圆经过点
（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点
16.（12分）已知点M在椭圆 上，M 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为 ，并且M为线段 的中点，求 点的轨迹方程
5.已知椭圆 上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）
椭圆基础大题练(包含答案)
椭圆基础大题练1.已知椭圆x 2+8y 2=8，直线l:x −y +a =0．(1)当a 为何值时，l 与椭圆相切;(2)若a =6，在椭圆x 2+8y 2=8上求一点P ，使它到直线l 的距离最短，并求出最短距离．2．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．3.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．4.如图所示，椭圆C 的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求椭圆C 的离心率和标准方程;(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．答案1解 (1)由已知联立方程组{x 2+8y 2=8,x −y +a =0,得9y 2−2ay +a 2−8=0， Δ=4a 2−36(a 2−8)=0，解得a =−3或a =3． 此时椭圆与直线l 相切．(2)由(1)知与l 平行的两切线方程为 x −y −3=0或x −y +3=0， 显然x −y +3=0距l 最近，d =22=3√22， 切点P(−83,13).2．[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144，∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433. 3.[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． 4.【答案】解(1)由对称关系可知|AB 1|=|AB 2|，∵△AB 1B 2是面积为4的直角三角形， ∴|AB 1|=|AB 2|=2√2， ∴|OB 1|=|OA|=2， ∴A(0,2)，F 2(4,0)，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 则c =√a 2−b 2=4，b =2，∴a =2√5． ∴椭圆的标准方程为x 220+y 24=1，离心率e =c a=2√55．(2)由(1)知，B 1(−2,0)，B 2(2,0)， 设直线PQ 的方程为x =my −2， 代入椭圆方程，消元可得 (m 2+5)y 2−4my −16=0， ①设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， ∴y 1+y 2=4mm 2+5，y 1y 2=−16m 2+5，∴x 1x 2=(my 1−2)(my 2−2) =m 2y 1y 2−2m(y 1+y 2)+4=−20m 2+20m 2+5，x 1+x 2=my 1+my 2−4=m(y 1+y 2)−4=−20m 2+5．∵B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)， B 2Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)， ∴B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 2Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2 =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5．∵PB 2⊥QB 2， ∴B 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−16m 2−64m 2+5=0，得m =±2，直线PQ 的方程为x +2y +2=0或x −2y +2=0．【解析】略。
椭圆练习及参考答案
椭圆练习及参考答案一、单选题(共 50 分)1.椭圆x 29+y28=1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则ΔMF1N的周长为（）A.8B.10C.16D.22【详解】因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N,所以PF2为△F1MN的中位线,所以MF1+MN=2PF1+2PF2=2(PF1+PF2)=2×2a=12,F1N=2F1F2=4c=4√9−8=4,所以ΔMF1N的周长为12+4=16.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2.已知定圆C1:(x+5)2+y2=1，C2:(x−5)2+y2=225，动圆C满足与C1外切且与C2内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A.x 264+y239=1 B.x239+y264=1 C.x2256+y2241=1 D.x2241+y2256=1【详解】解：设动圆圆心C的坐标为(x,y)，半径为r，则|CC1|=r+1,|CC2|=15−r，∴|CC1|+|CC2|=r+1+15−r=16>|C1C2|=10，由椭圆的定义知，点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，则2a=16,a=8,c=5，b2=82−52=39，椭圆的方程为：x264+y239=1【点睛】考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，中档题．3.设F1、F2是椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则E的离心率为（）A.12B.23C.34D.45试题分析：如下图所示，ΔF2PF1是底角为30∘的等腰三角形，则有|F1F2|=|PF2|,∠PF1F2=∠F2PF1=30∘所以∠PF2A=60∘,∠F2PA=30∘，所以|PF2|=2|AF2|=2(32a−c)=3a−2c又因为|F1F2|=2c，所以，2c=3a−2c，所以e=ca =34所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4.椭圆x 29+y26=1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则ΔPF1F2的面积为（）A.2√3B.3√2C.√32D.√23【详解】解：∵椭圆x29+y26=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|＝4，∴F1（−√3，0），F2（√3，0），|PF2|＝6﹣4＝2，|F1F2|＝2√3，则△PF1F2是直角三角形，∴△PF1F2的面积为S=12×2×2√3=2√3．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．5.已知椭圆x 24+y2=1的焦点分别是F1，F2，点M在该椭圆上，如果F1M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F2M⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么点M到y轴的距离是()A.√2B.2√63C.3√22D.1【详解】设M（x，y），则椭圆x24+y2=1…①，∵椭圆x24+y2=1的焦点分别是F1，F2，∴F1（−√3，0），F2（√3，0）∵F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −√3，y)，F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +√3，y)， F 1M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅F 2M ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴x 2+y 2=3…②由①②得x 2=83，x =±2√63， ∴点M 到y 轴的距离为2√63，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的方程及向量运算，属于中档题． 7.已知直线l 与椭圆x 216+y 22=1交于A,B 两点，AB 中点是M (−2,1)，则直线l 的斜率为（ ）A.-4B.-14C.14D.4【详解】设交点坐标A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则{x 1216+y 122=1x 2216+y 222=1，两式相减得，(x 1+x 2)(x 1−x 2)16+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0 ，故y 1−y2x 1−x 2=−2(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=−2×(−2×2)16×(1×2)=14 ，故选C【点睛】本题考查了直线与椭圆的相交弦问题，一般涉及弦的中点和直线斜率问题时，可采用“点差法”，建立中点坐标与斜率的关系求解.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，直线y =b2与椭圆交于B,C 两点，且∠BFC =90°，则该椭圆的离心率为( )A.√63B.2√33C.12D.√22【详解】将y =b2代入椭圆方程得：B (−√32a,b2)，C (√32a,b2)又椭圆焦点F (c,0) ∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c +√32a,−b 2)，CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(c −√32a,−b 2) ∵∠BFC =90∘∴BF ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2−34a 2+b 24=c 2−34a 2+a 2−c 24=34c 2−12a 2=0∴e 2=c 2a 2=23 ∴e =√63，故选A 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于a,c 的齐次方程，从而根据e =ca 求得离心率.9.设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |+|PF 1|的最大值为（） A.13B.15C.16D.25【详解】如图所示，由椭圆x 225+y 216=1，可得a =5,b =4,c =√a 2−b 2=3，所以F 1(−3,0),F 2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10，所以|PM |+|PF 1|=|PM |+2a −|PF 2|=10+(|PM |−|PF 2|)≤10+|MF 2|=10+√32+42=15,则|PM |+|PF 1|的最大值15．故选B ． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及标准方程的应用，以及三角形三边大小关系的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P 为椭圆C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F （3，0）为椭圆C 的右焦点，则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ •PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A.(−16,−10)B.(−10,−394)C.(−16,−394]D.(−∞,−394]【详解】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F(3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16=−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 ，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 【点睛】本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题． 二、填空题(共 25 分) 11.已知椭圆x 24+y 23=1的左、右焦点为F 1，F 2，则椭圆的离心率为_____，过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，则|F 1A |＝_____． 【详解】椭圆x 24+y 23=1，可得a ＝2，b =√3，则c ＝1，所以椭圆的离心率为：e =c a =12．过F 2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A ，所以|AF 2|=b 2a=32，由椭圆的定义可知：|F 1A |＝2a ﹣|AF 2|＝4−32=52．故答案为12；52．【点睛】本题考查椭圆的离心率和椭圆的定义，解题时由椭圆标准方程确定出a,b 再计算出c ，可求离心率，而求椭圆上的点到焦点的距离时，可以与椭圆定义联系起来．12.如果椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是______． 【详解】由椭圆x 2144+y 236=1，可得a =12，由椭圆的定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a =24，因为椭圆x 2144+y 236=1上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是：24-10=14．故答案为14．【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．属于基础题. 13.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3,0)，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________． 【详解】解：已知{a =2b,c =2√3a 2−b 2=c 2∴{b 2=4a 2=162a =8则该椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．故答案为椭圆的长轴长为8；其标准方程是x 216+y 24=1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．14.已知P 是椭圆x 210+y 2=1上的一点，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2=2π3时，则ΔPF 1F 2的面积为_____．【详解】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则m +n =2a =2√10在ΔPF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 22=m 2+n 2−2mncos∠F 1PF 2即：36=(m +n )2−2mn −2mncos2π3=40−mn ，解得：mn =4∴S ΔPF 1F 2=12mnsin 2π3=√3 【点睛】本题考查焦点三角形面积的求解，关键是能够利用余弦定理构造出关于焦半径之积的方程，属于常考题型.15.已知P 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上异于点A(−a,0)，B(a,0)的一点，E 的离心率为√32，则直线AP 与BP 的斜率之积为__________．【解析】设P (x 0,y 0)，有x 02a 2+y 02b 2=1，且c a =√32，得b a =12，k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a=y 02x 02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14．点睛：本题考查椭圆的几何性质．由离心率，得到a,b,c 的比例关系．本题中由题意可知，题目由点P 的位置决定，所以设P (x 0,y 0)，得到斜率关系k AP k BP =y 0x 0+a ⋅y 0x0−a=y 02x02−a 2=y 02(1−y 02b 2)a 2−a 2=−14，为定值．三、解答题(共 34 分)16.已知点A(0,−2)，椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点P(0，√3)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值.【详解】解：（1）由离心率e=ca =√22，则a=√2c，直线AF的斜率k=0−(−2)c−0=2，则c＝1，a=√2，b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆E的方程为x 22+y2=1；（2）设直线l：y＝kx﹣√3，设M（x1，y1），N（x2，y2），则{y=kx−√3x22+y2=1，整理得：（1+2k2）x2﹣4√3kx+4＝0，△＝（﹣4√3k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即k2＞1，∴x1+x2=4√3k1+2k2，x1x2=41+2k2，∴|MN|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=4√(1+k2)(k2−1)1+2k2=8√27，即17k4−32k2−57=0,解得：k2=3或−1917（舍去）∴k＝±√3，【点睛】考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．17.设O为坐标原点，动点M在椭圆E:x 24+y22=1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)求点P的轨迹方程；(2)设A(1,0)，在x轴上是否存在一定点B，使|BP|=2|AP|总成立？若存在，求出B点坐标；若不存在，说明理由.【详解】（1）设P(x,y)，M(x1,y1)，则N(x1,0)∵M 在椭圆E 上 ∴x 124+y 122=1…①由NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√2NM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 知：{x =x 1y =√2y 1 ，即：{x 1=x y 1=√22y ，代入①得：x 2+y 2=4即点P 的轨迹方程为：x 2+y 2=4…② （2）假设存在点B (m,0)满足条件，设P (x,y )由|BP |=2|AP |得：√(x −m )2+y 2=2√(x −1)2+y 2 即：3x 2+3y 2+(2m −8)x =m 2−4此方程与(1)中②表示同一方程，故：{2m −8=0m 2−4=12，解得：m =4∴存在点B (4,0)满足条件【点睛】本题考查椭圆的综合应用问题，涉及到动点轨迹的求解、定点问题的求解等知识；求解定点问题的关键是能够通过假设存在的方式，利用已知中的等量关系建立起关于变量的方程，通过求解方程确定变量的取值，从而得到定点是否存在.18.已知点M (2√33,√33)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且点M 到C 的左、右焦点的距离之和为2√2.（1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点O ，M ）上，求OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.【详解】（1）由条件知43a 2+13b 2=1，2a =2√2，所以a =√2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.（2）设点A 、B 的坐标为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则AB 中点(x 1+x 22,y 1+y 22)在线段OM 上，且k OM =12，∴x 1+x 2=2(y 1+y 2)，又x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，两式相减得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0，易知x 1−x 2≠0，y 1+y 2≠0，所以y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x22(y 1+y 2)=−1，即k AB =−1. 设AB 方程为y =−x +m ，代入x 22+y 2=1并整理得3x 2−4mx +2m 2−2=0.由Δ=8(3−m 2)>0解得m 2<3，又由x 1+x 22=2m 3∈√3)，∴0<m <√3.由韦达定理得x 1+x 2=4m 3，x 1x 2=2(m 2−1)3，故OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(−x 1+m )(−x 2+m ) =2x 1x 2−m (x 1+x 2)+m 2=4(m 2−1)3−4m 23+m 2 =m 2−43.而0<m <√3，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是(−43,53). 【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知Q 为圆x 2+y 2=1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(0,−35)的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【详解】（1）设Q(x 0,y 0)，P (x,y)，则x 02+y 02=1，由BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ，可得{x 0=x2y 0=−y，代入x 02+y 02=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1； （2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为H(0,m)， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −35，联立{y =kx −35x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2−245kx −6425=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=24k5(1+4k 2)，x 1x 2=−6425(1+4k 2)，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)−65=−65(1+4k 2)，y 1y 2=(kx 1−35)(kx 2−35)=k 2x 1x 2−35k(x 1+x 2)+925=9−100k 225(1+4k 2)， 因为HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1−m)，HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2−m)，所以HM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅HN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2=100(m 2−1)k 2+25m 2+30m−5525(1+4k 2)=0，对任意的k 恒成立，所以{100(m 2−1)=025m 2+30m −55=0 ，解得m =1，即定点为H(0,1)， 当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点(0,1)， 故以MN 为直径的圆过定点(0,1).【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线bx −y +√2a =0经过椭圆C 的左焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线bx −y +4=0与y 轴交于点P ，A 、B 是椭圆C 上的两个动点，且它们在y 轴的两侧，∠APB的平分线在y 轴上，|PA |≠|PB ||，则直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】（1）在直线方程bx −y +√2a =0中令y =0，则x =−√2ab ，故c =√2ab ，又c a=√22，故b =2，所以a =4，所以椭圆标准方程为：x 28+y 24=1.（2）因为A 、B 在在y 轴的两侧，故AB 的斜率必存在， 设AB 的方程为y =kx +b ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 因为P 在y 轴上且P 在直线2x −y +4=0，故P (0,4). 因为∠APB 的平分线在y 轴上，所以y 1−4x 1+y 2−4x 2=0，而y 1=kx 1+b,y 2=kx 2+b ，代入整理得到：2kx 1x 2+(b −4)(x 1+x 2)=0. 由{y =kx +b x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，所以x1+x2=−4kb1+2k2,x1x2=2b2−81+2k2，所以2k×2b 2−81+2k2+(b−4)(−4kb1+2k2)=0，化简得到k(b−1)=0，所以对任意的k，总有b=1，故直线AB过定点(0,1).【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有x1x2,x1+x2或y1y2,y1+y2，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.21.已知椭圆的离心率为√32，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得{a=2ca=√32，解得{a=2c=√3，………2分所以b2=a2−c2=4−3=1，故所求椭圆C的方程为．…………..4分（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l的方程代入，并整理，得．（*）………………………………….6分则，．………………………………………8分因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，即．又,于是，…………….10分解得k =±√112，………………………………..11分经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当k =±√112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．………………12分考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程22.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标. 【详解】（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意{2a =42c =2 ，即{a =2c =1，∴b =√a 2−c 2=√3， ∴椭圆E 的方程是x 24+y 23=1.（2）由（1）可知D (−2,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立{y =kx +m x 24+y 23=1 ，得(3+4k 2)x 2+8mkx +4(m 2−3)=0，Δ=(8mk)2−4(3+4k 2)(4m 2−12)=16(12k 2−3m 2+9)>0，即3+4k 2−m 2>0，∴x 1+x 2=−8mk 3+4k 2，x 1x 2=4(m 2−3)3+4k 2，又y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2 =3m 2−12k 23+4k 2，∵|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|DA ⃑⃑⃑⃑⃑ −DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |，∴DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，即DA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0， 即(x 1+2,y 1)⋅(x 2+2,y 2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0， ∴4m 2−123+4k 2+2×−8mk 3+4k 2+4+3m 2−12k 23+4k 2=0，∴7m 2−16mk +4k 2=0， 解得m 1=2k ，m 2=27k ，且均满足即3+4k 2−m 2>0，当m 1=2k 时，l 的方程为y =kx +2k =k (x +2)，直线恒过(−2,0)，与已知矛盾；当m 2=27k ，l 的方程为y =kx +27k =k (x +27)，直线恒过(−27,0).【点睛】考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆相交问题、椭圆中直线过定点问题．对直线与椭圆相交问题，一般设交点为A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由直线方程与椭圆方程联立消元用韦达定理得x 1+x 2,x 1x 2，再把这个结论代入题中另一条件可得参数k,m 的关系，求得定点．23.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 为椭圆上一动点，当ΔMF 1F 2的面积最大时，其内切圆半径为b 3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得线段RS ,当l ⊥x 轴时，|RS |=3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，P,Q 是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线AP,AQ 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=−14，试问直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得12⋅2c ⋅b =12(2a +2c)⋅b 3，得c a =12① 将x =c 代入x 2a 2+y 2b 2=1，结合a 2=b 2+c 2②，得y =±b 2a ，所以2b 2a =3③，由①②③得a =2,b =√3故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1（2）设点P,Q 的坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.①当直线PQ 的斜率不存在时，由题意得P （1，32），Q （1，−32）或P （1，−32），Q （1，32）， 直线PQ 的方程为x =1②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立得{x24+y23=1y=kx+m，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2−12=0，由Δ=64k2m2−4(4k2+3)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)>0，得4k2+3>m2x1+x2=−8km4k2+3,x1x2=4m2−124k2+3.(1)）由k1k2=y1y2(x1+2)(x2+2)=−14,可得4y1y2+(x1+2)(x2+2)=0，得4(kx1+m)(kx2+m)+(x1+2)(x2+2)=0，整理得(4k2+1)x1x2+(4km+2)(x1+x2)+4m2+4=0,(2)由（1）和（2）得m2−km−2k2=0，解得m=2k或m=−k当m=2k时，直线PQ的方程为y=kx+2k，过定点(−2,0)，不合题意；当m=−k时，直线PQ的方程为y=kx−k，过定点(1,0)，综上直线PQ过定点，定点坐标为(1,0).【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题以及直线过定点问题，属于综合题．。
椭圆基础练习题及其完整答案
解析几何——椭圆精炼专题一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 1．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5． 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A ． 22 B ． 2 C ． 2 D ． 16．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为31，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ．112814422=+y x 或114412822=+y x B ． 14622=+y x C ．1323622=+y x 或1363222=+y x D ． 16422=+y x 或14622=+y x 7． 已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-k y k x 有（ ） A ． 相同的短轴 B ． 相同的焦点 C ． 相同的离心率 D ． 相同的长轴8．椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．89．椭圆131222=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．4倍B ．5倍C ．7倍D ．3倍 10．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ． 014449=-+y x11．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．1012．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）13．椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m = ． 14．设P 是椭圆2214x y +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，则12PF PF 的最大值为 ；最小值为 ．15．直线y =x －21被椭圆x 2+4y 2=4截得的弦长为 ．16．已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 17．已知三角形ABC 的两顶点为(2,0),(2,0)B C -，它的周长为10,求顶点A 轨迹方程． 18．椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 19．点P 到定点F （2，0）的距离和它到定直线x =8的距离的比为1：2，求点P 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形． 20．中心在原点，一焦点为F 1（0，52）的椭圆被直线y =3x －2截得的弦的中点横坐标是21，求此椭圆的方程．21.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 22．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．椭圆练习题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A CDDABD13、3或316 14、 4 ， 1 15、5382 16、121425422=+y x 17、3)(x 15922±≠=+y x 18、解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为： ；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为： ；19．解：设P （x ，y ），根据题意，|PF|=(x-2)2-y 2,d=|x-8|,因为|PF|d =12 ,所以 (x-2)2-y 2 |x-8| = 12.化简，得3x 2+4y 2=48,整理，得x 216 +y 212=1,所以，点P 的轨迹是椭圆。
高中椭圆试题及答案
高中椭圆试题及答案一、选择题1. 椭圆的标准方程是（）A. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)B. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \)C. \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)D. \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \)2. 椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和是（）A. 长轴长度B. 短轴长度C. 焦距D. 半焦距3. 椭圆的离心率范围是（）A. \( 0 < e < 1 \)B. \( 0 \leq e < 1 \)C. \( e > 1 \)D. \( e \leq 1 \)二、填空题4. 已知椭圆的长轴为10，短轴为6，则其离心率为______。
5. 椭圆 \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \) 的焦点坐标为______。
三、解答题6. 已知椭圆 \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \)，求椭圆的长轴、短轴和焦距。
7. 椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 经过点（3，2），若 \( a > b \)，求椭圆的方程。
四、证明题8. 证明：椭圆 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
答案：一、选择题1. A2. A3. B二、填空题4. \( \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} \)5. \( (\pm\sqrt{25-9}, 0) \) 或 \( (0, \pm\sqrt{9-25}) \)三、解答题6. 长轴：8，短轴：6，焦距：\( 2\sqrt{7} \)7. \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1 \)四、证明题8. 证明：设椭圆上任意一点为 \( P(x, y) \)，焦点为 \( F_1(-c, 0) \) 和 \( F_2(c, 0) \)，则 \( PF_1 + PF_2 = \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \)。
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椭圆基础训练题
姓名____________分数______________
一、选择题
1 ．方程m y x ++16m -252
2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）
A ．-16<m<25
B ．-16<m<29
C ．29<m<25
D ．m>29
2 ．已知椭圆116252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（
） A ．2B ．3C ．5D ．7
3 ．椭圆2241x y +=的焦距是（ ）
A B ．1C ．2
4 ．对于椭圆22525922=+y x ，下列说法正确的是 （ ）
A ．焦点坐标是()40±，
B ．长轴长是5
C ．准线方程是425
±=y D ．离心率是54
5 ．椭圆2
212x y +=的焦距是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6 ．如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）
A ．),0(+∞
B ．)2,0(
C ．),1(+∞
D ．)1,0(
7 ．若椭圆2
2
1169x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离是（ ）
A ．5
B ．1
C ．15
D ．8
8 ．设p 是椭圆22
12516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 （
） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 9 ．已知F 1、F 2是椭圆 19252
2=+y x 的两个焦点，AB 是过F 2的弦，则△ABF 1 的周长等于（
） A ．100B ．50C ．20D ．10
10．椭圆4x 2+2y 2=1的准线方程是（ ）
A ．x=±1
B ．x=±21
C ．y=±1
D ．y=±21
11．已知椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆一个点的距离为3，则P 点到另一个焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 12．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于
12B ．22C ．2D ．32 13．椭圆22
16
x y m +=的焦距为2，则m 的取值是（ ） A ．7B ．5C ．5或7D ．10
14．椭圆16
152
2=+y x 的两条准线方程是（ ） A ．2175-=y ,2175=y B ．2175-=x ,217
5=x C ．y=－5,y=5D ．x=－5,x=5
15．椭圆2
214
x y +=的长轴长为（ ） A ．16B ．2C ．8D ．4 16．若椭圆x a 22＋y b
22=1的两焦点F 1、F 2三等分它两准线间的距离，则此椭圆的离心率为（ ） A ．3B ．33C ．63
D ．以上均不对 17．若椭圆x y b 22
2161+=过点()-23，，则其焦距为 （ ） A ．23B ．25C ．43D ．45
18．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,2
1它的长轴等于圆0152:22=--+x y x C 的半径，则椭圆的标准方程为（ ）
A ．13422=+y x
B ．1121622=+y x
C ．1422=+y x
D ．14
162
2=+y x 19．若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．21.
B ．31.
C ．33.
D ．4
1. 20．若椭圆1162
2
2=+b y x 过点(-2,3),则其焦距为（ ）
A ．25
B ．23
C ．45
D ．43
21．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为2
1，则m= （ ） A ．3B ．23C ．38D ．3
2 22．椭圆(1－m )x 2－my 2=1的长轴长是（ ）
A ．m m --112
B ．m m --2
C ．m m 2
D ．m
m --11 23．椭圆的两个焦点和中心将两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹
角等于（ ）
A ．4π
B ．3π
C ．2
πD ．π32 24．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12
, 则m 等于（ ）
A ．32C ．83D ．23
25．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的（ ） A ．3倍B ．2倍C ．2倍D ．
32倍 26．离心率3
5=e ，一条准线为x=3的椭圆的标准方程是（ ） A ．22
91520x y +=B ．1520922=+y x C ．14522=+y x D ．15
422=+y x 27．椭圆19
162
2=+y x 的焦点坐标为（ ） A ．（0，5）和（0，—5）B ．（5，0）和（—5，0）
C ．（0，7）和（0，—7）
D ．（7，0）和（—7，0） 28．从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= （ ）
A ．23
B ．21
C ．33
D ．3
1 29．椭圆16
y 9x 2
2+=1上的一点M 到一条准线的距离与M 到相应焦点的距离之比为（ ） A ．7
4)D (47
)C (45
)B (54
30．如果椭圆22
1169
x y +=上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离为（ ） A ．5B ．1C ．15D ．8
二、填空题
31．中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的3倍，且过点)0,3(P 的椭圆方程为_____．
32．椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到左焦点F 的距离为6，则P 点到左准线的距离为 33．设椭圆14
52
2=+y x 的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的一个端点为B ，则△BF 1F 2的周长是____。
34．椭圆2
2 1 4
x y +=的离心率是_______ . 35．椭圆1441692
2=+y x 的离心率为_________．
36．椭圆的中心在原点，一个顶点为(2,0)且短轴长等于焦距则椭圆的方程为。
37．椭圆116
252
2=+y x 上一点B 到右焦点距离等于7.4，则B 点坐标是_________． 38．若椭圆22
110036
x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6,则点P 到另一个焦点2F 的距离是_____________________
39．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,且12MF MF +=10,则点M 的轨迹方程是______________________
40．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,且
12MF MF +=6, 则点M 的轨迹方程是_____________________________.
三、解答题
41．已知椭圆方程为112
1622=+y x , (1)写出椭圆的顶点坐标和焦点坐标｡
(2)若等轴双曲线C 与该椭圆有相同焦点,求双曲线标准方程｡
42．已知P 点在椭圆116
252
2=+y x 上,且P 到椭圆左,右两焦点的距离之比为1:4,求P 到两准线的距离.
参考答案
一、选择题
1.C
2.D
3.C
4.D
5.B
6.D
7.A
8.D
9.C
10.C
11.D
12.B
13.C
14.D
15.D
16.B
17.C
18.A
19.A
20.D
21.B
22.B
23.C
24.B
25.B
26.A
27.D
28.A
29.D
30.A
二、填空题 31.192
2
=+y x 或18192
2=+y x
32.10； 33.252+
35.47
36.或1242
2=+y x 1842
2
=+y x
37.（－4，512
）（－4，512
-）
38.14(椭圆定义) 39.2
2
1259x y +=
40.不存在
三、解答题
41.(1)顶点()()32,0,0,4±±,焦点()0,2± (2) 1222
2=-y x
42.P 到两准线的距离为10/3和40/3。