近世代数

第一章：基本概念

重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。

第二章：群

重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。难点：置换群、变换群、陪集。

第三章：正规子群和群的同态与同构

重点：正规子群、商群、同态基本定理

难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。

第四章：环与域

重点：环、域、理想

难点：环的同态、同构，极大理想、商域。

第五章：唯一分解整环

重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。

难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。

近世代数练习题（A）

一、填空题（每题3分，共30分）：

1、设

是集合

到

的满射，则

.

2、设群

中元素

的阶为

，如果

，那么

与

存在整除关系为.

3、写出三次对称群

的子群

的一切左陪集，，.

4、设

是一个

阶交换群，

是

的一个

（

）阶元，则商群

的阶等于.

5、设

=

是循环群，则

与整数加群同构的充要条件是.

6、若环

的元素(对加法)有最大阶

, 则称

为环

的.

7、若环

满足左消去律，那么

必定(有或没有)左零因子.

8、若

是一个有单位元的交换环，

是

的一个理想，那么

是一个域当且仅当

是环

的.

9、若域

，则称

是一个素域.

10、设

是域

的一个扩域,

. 如果存在

上非零多项式

使

, 则称

为

上的一个.

二、选择题（每题4分，共20分）：

1、指出下列哪些运算是代数运算（）.

A.在整数集

上，

B.在有理数集

上，

C.在正实数集

上，

D.在集合

上，

2、设

是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）.

A.

的单位元的象是

的单位元 B.

的元素

的逆元的象是

的象的逆元

C.

的子群的象是

的子群 D.

的正规子群的象是

的正规子群

3、下列正确的命题是（）.

A主理想整环必是欧氏环 B. 欧氏环一定是唯一分解整环

C.唯一分解整环必是主理想整环

D.唯一分解整环必是欧氏环

4、若

是域

的有限扩域，

是

的有限扩域，那么（）

A.

B.

C.

D.

5、下列不是循环环

的单位（可逆元）的是（）.

A.

B.5

C. 7

D. 2

三、证明题（每题10分,共50分）：

1、设

为实数且

，并规定

证明：

对此运算作成一个群.

2、证明: 9在有单位元的整环

中不能惟一分解.

3、设

是偶数环. 证明:

1)

;

2)

是否成立? 为什么?

是由哪个偶数生成的主理想?

4、设

是群

到群

的一个同态满射,又

,

,证明:

.

5、设6阶群G不是循环群，证明：G

.

（A）参考答案

一、填空题（每题3分，共30分）:

1、

2、

3、

或

,

或

,

或

4、

5、

或

6、特征(或特征数)

7、没有

8、一个极大理想 9、不含真子域 10、代数元

二、选择题（每题4分，共20分）:

1、D

2、 D

3、B

4、D

5、D

三、证明题（每题5分,共50分）:

1、证明:显然

是非空集合

上的代数运算.

, 则有

即

,

对此运算满足结合律.

又

, 即

是

的左单位元; 又

, 有

且

, 即

是

在

中的左逆元. 因此,

对此运算作成一个群.

2、证明: 首先易知,

中的单位是

.

其次, 若

, 则

必是环

的不可约元.

事实上, 若

是

的任一因子, 则有

, 使

, 故

或

.但

不可能, 故只有

或

.

当

时,

是可逆元; 当

时,

与

相伴. 因此,

只有平凡因子, 即

是不可约元.

故,

是

的不可约元.但

, 而且

又不与

中的任一个相伴,即9不能惟一分解.

3、证明:1)

, 则

, 于是

.

再任取

, 由

知,

. 故

.