八年级二次根式复习讲义(非常全面)知识讲解
人教版初中数学八年级下册《二次根式复习课》PPT课件
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3．二次根式的运算
a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)；
a＝ b
a b (a≥0，
b>0)．
二次根式加减时，可以先将二次根式化成 最简二次根式 ，
再将
被开方数相同 的二次根式进行合并．
分母 开得尽方
课标（RJ）
考易点混攻辨略析: a2 与 a2的区别：(1)表示的意义不同. a2 表示非负实数 a 的
二次根式复习课
知识归类
┃知识归纳┃
1．二次根式的概念
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式；
注意： a (a≥0)是非负数，即 a≥0.(双重非负性) [易错点] (1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有 意义； (2) 9是二次根式，虽然 9＝3，但 3 不是二次根式．因此二次 根式指的是某种式子的“外在形态”．
算术平方根的平方； a2表示实数 a 的平方的算术平方根．(2)运算 的顺序不同. a2 是先求非负实数 a 的算术平方根，然后再进行平 方运算；而 a2则是先求实数 a 的平方，再求 a2 的算术平方根．(3) 取值范围不同．在 a2 中，a 只能取非负实数，即 a≥0；而在 a2中， a 可以取一切实数．
课标（RJ）
考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一 二次根式的概念
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2．二次根式的性质
( a)2＝ a
(a≥0)
a a>0， ； a2＝a＝ 0 a＝0，
-a a<0.
化简二次根式时注意: ab＝ a· b (a≥0，b≥0)
ab＝
a b
(a≥0，b>0)
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┃ ►考点考攻点略二 二次根式性质的运用
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
湘教版八年级数学上册《二次根式 》知识全解
《二次根式》知识全解课标要求1.理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由.2.了解最简二次根式的概念.3.理解二次根式的性质：()0≥a a 是非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a .知识结构内容解析1.二次根式的定义：一般地，我们把形如()0≥a a 的式子叫做二次根式.这里特别要注意的是：对于判断一个代数式是否为二次根式并不需要深究，而应侧重于二次根式有意义的条件——被开方数为非负数．2．二次根式的性质：()0≥a a 是非负数；()()02≥=a a a ；()02≥=a a a . 注意：二次根式的性质不一定非要直接从算术平方根的意义得到，也可以先由特殊到一般归纳出结论，再通过算术平方根的意义来分析证明.重点难点本节的重点是：明确二次根式()0≥a a 具有双重非负性，会确定被开方数中字母的取值范围；会利用二次根式的性质做相关计算．教学重点的解决方法：循序渐进，逐步深入，从学生已有的开方知识点出发，引导学生理解被开方数中字母的取值范围；根据从特殊到一般的数学思想，引导学生从一些特殊的举例中自主总结归纳出二次根式的一般性质．本节的难点是：二次根式的取值范围．教学难点的解决方法：通过合作探究的方式，进行小组讨论学习，容易深入问题本质，掌握透彻．教法导引教学活动的本质是一种合作、一种交流．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程．为了为后续学习打下坚实的基础（例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题），在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯．学法建议学生已学习了平方根、算术平方根以及勾股定理等相关知识，具备了学习二次根式的基础．在教授新课的过程中，注重从特殊到一般数学思考问题方法，发展学生的抽象思维和概括能力，从而得到二次根式的概念，进而深入得出二次根式有意义的条件及性质．新课程标准指出：学生是学习的主体．要让学生成为真正的主人，需要在数学教学的过程中，让老师引导学生自主思考、合作探究、共同总结，从而体现学生学习的主体地位．本节课主要采用自主学习、合作探究、引领提升的方式，启发式、讲练结合的方法展开教学．先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念；再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简的学习．通过对本节课的学习，使学生们的发散性思维得以启发,学生们的观察、分析、发现问题的能力得以锻炼，学生的辩证唯物主义观点得以培养．。
二次根式章节分类总复习 八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第02讲 《二次根式》章节分类总复习考点一 二次根式有意义的条件 知识点睛：1. 二次根式的定义：非负数a 的算术平方根a 叫做二次根式 ☆：二次根式的判断不需要化简，直接根据定义判断即可， 易错类型：因为24=，误认为4不是二次根式2. 二次根式有意义的条件a 中a 叫做被开方数，其中二次根式有意义的条件就是a ≥0；☆1：当二次根式和分式结合时，要注意分式的分母≠0 ☆2：a 的双重非负性⎩⎨⎧≥≥0.0.本身②被开方数①a a ；故有：a 前无“-”，a 本身值不可能是负的 类题训练1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：，，，（x ＞0），，，﹣，，（x ≥0，y ≥0）．【分析】一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式．结合所给式子即可作出判断． 【解答】解：符合二次根式的定义；是三次根式；是分式，不是二次根式； （x ＞0）符合二次根式的定义； 是二次根式； 是四次根式； ﹣符合二次根式的定义； 是分式，不是二次根式；（x ≥0，y ≥0）符合二次根式的定义．2．（2021春•下城区期末）已知二次根式，当x ＝1时，此二次根式的值为（ ） A ．2 B ．±2 C ．4D ．±4【分析】将x的值代入二次根式，然后利用二次根式的性质化简求解．【解答】解：当x＝1时，原式＝，故选：A．3．（2021春•阳谷县期末）已知是整数，则正整数n的最小值是【分析】因为是整数，且＝2，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．【解答】解：∵＝2，且是整数，∴2是整数，即6n是完全平方数；∴n的最小正整数值为6．故答案为：6．4．（2021秋•普陀区期中）若是二次根式，那么x的取值范围是．【分析】二次根式要求被开方数是非负数，即10﹣5x≥0，从而解得x的取值范围．【解答】解：∵是二次根式，∴10﹣5x≥0，∴x≤2．故答案为：x≤2．5．（2021春•余杭区期中）当x＝时，的值最小．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：当x＝3时，此时2x﹣6＝0，的最小值为0，故答案为：36．已知二次根式．（1）求x的取值范围；（2）求当x＝﹣2时，二次根式的值；（3）若二次根式的值为零，求x的值．【分析】（1）根据二次根式的定义得出3﹣x≥0，解之可得答案；（2）将x＝﹣2代入计算可得；（3）当被开方数为0时，二次根式的值即为0，据此列出关于x的方程求解可得．【解答】解：（1）根据题意，得：3﹣x≥0，解得x≤6；（2）当x＝﹣2时，＝＝＝2；（3）∵二次根式的值为零，∴3﹣x＝0，解得x＝6．7.已知x、y为实数，且满足，求5x+|2y﹣1|﹣的值．【分析】先根据二次根式的性质列出不等式组，求出x的取值，再把x的值代入所求代数式即可解答．【解答】解：则；＝＝2．考点二二次根式相关概念知识点睛：1.最简二次根式：满足以下2个条件的二次根式成为最简二次根式①被开方数的因数是整数，因式是整式；②不含开的尽方的因数或因式☆：判断最简二次根式，被开方数的字母部分次数最高为1次，且不含分母二次根式的运算，最后结果都要求必须化为最简二次根式2.同类二次根式：所含被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式类题训练1．（2021秋•桐柏县期中）下列二次根式中的最简二次根式是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：A、原式＝3，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、是最简二次根式，故C符合题意．D、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．2．把下列根式化成最简二次根式．（1）5（2）6（3）（a＞0）（4）（n＜0）【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）5＝5×2＝10；（2）6＝6×＝6×＝；（3）（a＞0）＝5a；（4）（n＜0）＝×＝﹣．3．（2021春•岳麓区校级期末）下列式子能与合并的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝＝4，能与合并，符合题意；B 、＝2，不能与合并，不符合题意；C 、＝，不能与合并，不符合题意；D 、＝，不能与合并，不符合题意；故选：A ． 4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则a ＝ ．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴3a ﹣8＝17﹣2a ， 解得，a ＝5， 故答案为：5．考点三 二次根式的运算知识点睛：二次根式乘法公式：()）（③②）（①0b ,0··)0()0(022≥≥=⎩⎨⎧≤-≥==≥=a b a b a a a a a a a a a a 二次根式除法公式：()()()()ba b a c b a b a b a c ba ca aa ab b ab b a b a b a ba ba --=-+-=+=≥==≥=)0(1)0,0()0,0(＞＞变形公式：＞④类题训练1．（2021秋•拱墅区期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质即可求出答案． 【解答】解：A 、原式＝0.3，故A 不符合题意．公式①、②、③常用于以下两种题型：（1）化简求值（2）无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1）利用近似值比较大小（2）把系数移到根号内比较（3）分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。
八年级二次根式复习讲义(非常全面)
二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） ABCD2______个【例2】有意义，则x 的取值范围是 ．举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三： 1、2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a1取值最小，并求出这个最小值。
已知ab 是12a b ++的值。
若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 3.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【典型例题】【例4】若()2240a c -+-=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
专题01 二次根式及其运算知识讲义-八年级数学辅导讲义(人教版)
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x -1=0或2x -1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（11+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x -8＜0， 原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a -2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a -5，∴5a -5≥0，即a≥1，-1，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3 【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD -AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知m 是正整数，ab且2a2+ 1823ab + 2b2=2019 ．求m．（31 =【答案】（1）12；（2）2；（3）9.【解析】解：（1）原式12019+2222 =+++2019++==（2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a2+ 1823ab + 2b2= 2019∴2（a2+b2）+1823=2019∴a2+b2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
八年级二次根式复习讲义非常全面
二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1- 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） AD2______个【例2】有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三： 1、2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a1取值最小，并求出这个最小值。
已知ab 是12a b ++的值。
若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
初中数学二次根式知识点总结PPT
面积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的面积时，如正 方形、矩形、三角形等，可能会涉及 到二次根式的计算。
体积公式中的二次根式
在求解一些几何图形的体积时，如长 方体、正方体、圆柱体等，也可能会 涉及到二次根式的计算。
Part
05
拓展：复数和虚数单位i的引 入
复数的定义和基本运算规则
易错难点剖析及应对策略
易错点一
忽视二次根式中被开方数的取值 范围。应对策略：在解题时，要 时刻注意被开方数的取值范围，
确保其非负。
易错点二
混淆二次根式的性质。应对策略： 正确理解并区分二次根式的性质， 如$sqrt{a^2}$和$(sqrt{a})^2$的 区别。
易错点三
运算顺序出错。应对策略：遵循先 乘除后加减的运算顺序，同时注意 括号的使用。
运算规则与注意事项
加减运算
先将二次根式化为最简形 式，再合并同类二次根式 。
乘除运算
根据二次根式的乘法法则 和除法法则进行计算。
注意事项
在运算过程中，要保证被 开方数是非负数，同时要 注意运算顺序和符号问题 。
Part
02
二次根式的化简与求值
化简方法与技巧
STEP 01
因式分解法
STEP 02
二次根式的性质
$sqrt{a^2} = |a|$，即正数的平方根是其本身，负数的平方根是其相反数，0的平方根是 0。
二次根式的运算法则
包括加法、减法、乘法和除法。其中，乘法法则为$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{ab}$（ $a geq 0, b geq 0$），除法法则为$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0, b > 0$）。
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二次根式详解【知识回顾】1. 二次根式：式子..a ( a > 0)叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母；⑶分母中不含根式。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：a ( a > 0)0 ( a =0)；a ( a v 0)5. 二次根式的运算：(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ？变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律, 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.{Vab =4a •b (a >0 b >0)；?乘法对加法的分配律以及1、概念与性质例 1 下列各式 1） 5,2）兀，3） . X 2—2,4）忆5）.. （ 3）2,6） .R,7） a 2其中是二次根式的是 _________ 序号）. 例2、求下列二次根式中字母的取值范围x 51（1） 3 x ； （ 2）(2009 龙岩)已知数 a , b ，若(a b)2 =b — a ,贝V ()2、二次根式的化简与计算例1.将』｛「根号外的a 移到根号内，得（）A.: I ； B.—叮」；C. — ,；■； D. j >例2.把（a — b ） •• — a —b 化成最简二次根式斤 I-(3^2 - M)(辺 4 2间例3、计算：■'1【典型例题】2a 1 ,v(x-2)2A .y v1 8x 4、已知：8x 1x y2的值。
初二数学二次根式知识点归纳
初二数学二次根式知识点归纳一、二次根式的概念二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
根号下的数字a称为被开方数，√a称为二次根式的基数。
二、二次根式的化简化简二次根式是指将二次根式写成最简形式的过程。
化简的基本原则是将被开方数a的因数分解，并利用数的乘法法则和开方的运算性质进行合理的变形。
1. 同底合并当两个二次根式的基数相同时，可以将它们合并为一个二次根式，并进行化简。
2. 分解因数当被开方数a是一个完全平方数时，可以将其分解因数，再进行化简。
例如，√16可以分解为√(4×4)，再利用根号的运算性质进行合并得到4。
3. 有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，为了方便计算和比较，需要对分母进行有理化处理。
有理化分母的基本原则是将分母中的二次根式去掉，即将其乘以一个合适的形式为√a的因式。
三、二次根式的运算二次根式可以进行加减、乘除等运算。
在进行二次根式的运算时，需要注意以下几点：1. 加减运算当二次根式的基数和被开方数相同时，可以直接进行加减运算，并保持根号下的数字不变。
2. 乘除运算二次根式的乘法和除法运算可以通过化简和合并同类项的方式进行。
在乘法运算中，可以将二次根式的被开方数相乘，并将基数相乘；在除法运算中，可以将二次根式的被开方数相除，并将基数相除。
四、二次根式的应用二次根式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是二次根式常见的应用场景：1. 长方形的对角线当已知长方形的长和宽时，可以利用勾股定理和二次根式的概念求出长方形的对角线长度。
2. 面积和体积在计算面积和体积时，常常会遇到含有二次根式的公式，如三角形的面积公式、球的体积公式等。
3. 几何图形的边长和面积比较通过比较含有二次根式的几何图形的边长和面积，可以判断它们的大小关系。
五、二次根式的性质二次根式有一些重要的性质，掌握这些性质有助于更好地理解和应用二次根式。
1. 非负性二次根式的基数必须是非负实数，即根号下的数字不能为负数。
二次根式复习专题讲义(补课用)详解
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.a ≥0）是一个非负数。
③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。
（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算 （1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习： 一、选择题1中，与是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习： 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算 （1））（3-） （2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习： 一、选择题1．）．AC2（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。
人教版八年级二次根式知识点总结课件
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
人教版八年级二次根式 全章知识点总结课件
一.二次式的概念及有关性质
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
问题引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫
做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
总结
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相 除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的 倒数”进行约分、化简．
1 计算:
(1) 72 ； 6
(2) 48 ； 2 3
(3) 1 1 1； 26
(4)
4
a
1
3
b
a
b
1
(a＞1，b＞0).
导引： (1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)(4)要
典例解析
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有 意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
典例解析
【变式题1】 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
有意义？
（1） 1 ； x 1
第01课 二次根式八年级数学下册同步精品讲义(人教版)
第01课 二次根式课程标准1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：0(0)a a ≥≥，2()(0)a a a =≥，2(0)a a a =≥，并利用它们进行计算和化简．知识点01 二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．要点诠释：正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1） 二次根式的概念是从形式上界定的， “ ”，“”的根指数为 ，即“2”，我们一般 ，写作“”。
如25可以写作 。
（2） 二次根式中的被开方数既可以是一个 ，也可以是一个含有字母的 。
（3） 式子 a 表示 的 ，因此a ≥0， a ≥0。
其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。
（4） 在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了 这一隐含条件。
（5） 形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是 的关系。
要注意当b 是分数时 ，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 23 2 。
2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，s t，2x ，0(0)a a ≥≥这些式子，用基本的运目标导航知识精讲算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把和表示数的连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.列代数式的常用方法：（1）：根据问题的语言叙述直接写出代数式。
（2）：根据公式列出代数式。
（3）：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。
知识点02 二次根式的性质注意：2()a与2a的区别与联系：2()a2a区别表示的意义不同表示表示取值范围不同a a读法不同读作“”或“”读作“”或“”被开方数不同被开方数是被开方数是运算顺序不同先后先后运算结果，运算依据不同（ a ）2 =a，依据平方与开平方得到依据算术平方根的定义得到作用不同（ a ）2 = a（a≥0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式a2=｜a｜，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内联系①含有两种相同的运算，都要进行平方与开方②结果都是；③a时，（ a ）2=a2考法01 二次根式的判断【典例1】在式子2x（x＞0），2，33，21x+，3x-（x＞0）中，二次根式有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【即学即练】下列各式中，不是二次根式的是（）A．21B．3π-C．222a+D．12考法02 二次根式有意义的条件【典例2】若二次根式2x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．2x>B．2x≥C．2x≤D．2x<【典例3】式子22xx+-中x的取值范围是（）能力拓展A．x＞2B．x≥﹣2C．x≠2D．x≥﹣2且x≠2【典例4】x的取值范围是（）A．x＞﹣3且x≠0B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≠﹣3【典例5】如果5y，那么xy的值是______．考法03 二次根式非负性的逆用【典例6】12a=-，则a的取值范围是（）A．12a<B．12a≤C．12a>D．12a≥【即学即练】1x-，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1【典例7】把）A B．C D．考法04 利用二次根式的非负性化简求值【典例8】计算：2______．【即学即练】=______．【典例9】（y﹣3）2＝0_____．【即学即练】若x＜23x-＝_______________．【即学即练】＝_______________．考法05 ｜a｜并结合数轴化简求值【典例10】如图，a，b，c||b c+______________【即学即练】如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣的结果是_____．【即学即练】如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a244a a +-+=_____．【即学即练】已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：222||()()a a c c a b -++--.考法06 利用2a =｜a ｜与三角形三边关系的综合应用【典例11】已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简()2a b c ++－()2b c a +-＋()2c b a --.【即学即练】设a ，b ，c 为△ABC 的三边，化简：()()()()2222a b c a b c b a c c b a +++--+--+-- .考法07 逆用2()a = a （a ≥0）在实数范围内分解因式【典例12】在实数范围内分解因式： （1）22x -； （2）253x -．【即学即练】分解因式（在实数范围内）：33a a -．题组A 基础过关练1．在式子23(0),2,1(2),2(0),3,1,2xx y y x x x x y >+=-->++中，二次根式有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个分层提分2x 的取值范围是（ ） A ．x≤3 B ．x ＜3C ．x≥3D ．x ＞33A ．﹣3B ．3C ．﹣9D ．94．已知3y ，则2xy 的值为（ ） A ．15-B ．15C ．152-D ．1525．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|a b +的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a -b621a =-，那么（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥7．已知－2＜m ＜3|m ＋2|的结果是( ) A ．5B ．1C ．2m －1D ．2m －58．在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ， c 为斜边，a. b 为直角边，2c a b --的结果为( ) A ．3a b c +- B ．33a b c --+ C ．33a b c +- D ．2a9．化简2+）A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1题组B 能力提升练12得（ ）．A ．2B ．44x -+C ．－2D ．44x -2．已知△ABC 的三边之长分别为a 、1、3，则化简|9-2a| ） A ．12-4aB ．4a -12C ．12D ．-123．把(2-x) 2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ）AB C ． D ．4．已知1＜x ＜5-5|=____．54－m ，则m 的取值范围是____________．6．把(2-x ____________． 7．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，化简：-+---=a b c a b c ________．81的最小值是______．9．当1时，代数式x 2+2x+2的值是__________． 10．在实数范围内因式分解：348a a -=________． 11．观察下列各式：11111122⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：____．题组C 培优拔尖练1．若实数a 、b 、c b c a c ++-．2．阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3 3．阅读下列解题过程：2=，求a 的取值． 解：原式=24a a -+-，当a<2时，原式＝(2-a)+(4-a)=6-2a=2，解得a ＝2(舍去)； 当2≤a ＜4时,原式＝(a -2)+(4-a)=2=2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝(a -2)+(a -4)=2a －6＝2，解得a=4； 所以，a 的取值范围是2≤a≤4．上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：(1)当3≤a≤7_________；(2)5的a 的取值范围__________；(3)6，求a 的取值．4．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋＝（12，善于思考的小明进行了以下探索：设a ＋＝（m ＋2（其中a ，b ，m ，n 均为正整数），则有a ＋m 2＋2n 2＋，△a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把a ＋ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋m ＋2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空： ＋2 ＝（ ＋ ）2；（答案不唯一）（3）若a ＋m ＋2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值。
第07讲 二次根式(解析版)-八年级数学
第07讲二次根式1.了解二次根式的概念2.理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围。
3.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简知识点1：二次根式1.二次根式的概念一般地，我们把形如)0a a ≥（的式子的式子叫做二次根式，”“称为称为二次根号．如321.0,3，都是二次根式。
知识点2：二次根式有无意义的条件知识点3：二次根式的性质1.)0a a ≥（的性质2.)0a a 2≥（）（的性质3.a2的性质a ）（（1）正用：（2）逆用：若a ≥0，则数范围内分解因式考点一：根据二次根式概念判断二次根式例1．（2023春•津南区期中）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（x＞0）；⑧；⑨．A．7个B．6个C．5个D．4个【答案】B【解答】解：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦（x ＞0）；⑧；⑨中，只有③；⑥；⑨不符合二次根式的定义，故是二次根式的有6个．故选：B．【变式1-1】（2023春•雄县月考）若为二次根式，则a的值可以是（）A．2B．﹣0.1C．﹣2D．﹣5【答案】A【解答】解：∵是二次根式，∴a≥0，∴a的值可以是2．故选：A．【变式1-2】（2023春•金安区校级月考）下列式子中是二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、中，当a＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、中，当x＜1时，不是二次根式，故此选项不符合题意；C、，（x+1）2≥0恒成立，因此该式是二次根式，故此选项符合题意；D、中，被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．【变式1-3】（2023春•青秀区校级月考）下列各式是二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、a2+1≥1，则是二次根式，故此选项符合题意；B、无意义，故此选项不符合题意；C、当a＜0时，无意义，故此选项不符合题意；D、属于三次根式，故此选项不符合题意；故选：A．考点二：根据二次根式的定义求字母的值例2.（2023春•崇左月考）已知是正整数，则自然数n的最小值为（）A．0B．2C．3D．12【答案】C【解答】解：∵是正整数，n是整数，∴n的最小值是3．故选：C．【变式2-1】（2023春•西青区期中）已知是整数，非负整数n的最小值是（）A．4B．3C．2D．0【答案】D【解答】解：∵，且是整数，∴是整数，即2n是完全平方数，∴2n≥0，∴n的最小非负整数值为0，故选：D．【变式2-2】（2020春•江岸区校级期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为（）A．0B．1C．2D．8【答案】C【解答】解：∵＝2且是整数∴2n是完全平方数∴正整数n的最小值是2故选：C．【变式2-3】（2023春•天门校级月考）是一个正整数，则n的最小正整数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：由是一个正整数，得12﹣n＝9，n＝3，故选：C．考点三：根据二次根式有意义条件求范围例3.（2023•贵港二模）若在实数范围内有意义，则x的值有可能是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得：x≥3，故选：D．【变式3-1】（2023•宁波模拟）使有意义的x的取值，在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：使有意义，则x+1≥0，解得：x≥﹣1，在数轴上表示为：．故选：A．【变式3-2】（2023•长春模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣2B．x≥﹣2C．x≤2D．x≥2【答案】C【解答】解：式子在实数范围内有意义，则2﹣x≥0，解得：x≤2．故选：C．【变式3-3】（2023春•淮北月考）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A．0≤x＜1B．0≤x≤1C．x≥0且x≠1D．x＞1【答案】A【解答】解：根据题意得：，解得：0≤x＜1．故选：A．考点四：根据二次根式有意义求值例4.（2023春•东宝区月考）若，则（x+y）2023等于（）A．1B．5C．﹣5D．﹣1【答案】D【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x＝2．∴＝0+0﹣3＝﹣3．∴（x+y）2023＝（2﹣3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．故选：D．【变式4-1】（2022春•高青县期末）若，则（x+y）2022等于（）A．1B．5C．﹣5D．﹣1【答案】A【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，4﹣2x≥0．∴x≥2，x≤2．∴x＝2．∴＝0+0﹣3＝﹣3．∴（x+y）2022＝（2﹣3）2022＝（﹣1）2022＝1．故选：A．【变式4-2】（2023春•慈溪市期中）若x，y为实数，且++2y＝4，则x+y的值为（）A．2B．3C．5D．不确定【答案】B【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，2y＝4y＝2．x+y＝1+2＝3．故选：B．【变式4-3】（2023春•潮南区期中）已知x、y为实数，且y＝+1，则x+y的值是（）A．2022B．2023C．2024D．2025【答案】C【解答】解：∵x﹣2023≥0，2023﹣x≥0，∴x﹣2023＝0，∴x＝2023，∴y＝1，∴x+y＝2023+1＝2024，故选：C．考点五：利用二次根式的性质化简（数字型）例5.（2023春•乐清市期中）下列等式正确的是（）A．B．＝±4C．＝﹣5D．＝1【答案】A【解答】解：A．＝，故此选项正确，符合题意；B．＝4，故此选项错误，不符合题意；C．＝，故此选项错误，不符合题意；D．＝，故此选项错误，不符合题意．故选：A．【变式5-1】（2023春•东莞市校级期中）下列式子正确的是（）A．＝0.6B．＝﹣13C．＝﹣D．＝±7【答案】C【解答】解：A．∵0.62＝0.36，∴A选项不符合题意；B.＝＝13，不符合题意；C．负数的立方根是负数，符合题意；D.＝7，不符合题意．故选：C．【变式5-2】（2023春•汉阳区期中）化简：＝（）A．B．﹣2C．4D．2【答案】D【解答】解：．故选：D．【变式5-3】（2023春•澄迈县月考）把4根号外的因式移进根号内，结果等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】D【解答】解：原式＝×＝，故选：D．考点六：根据二次根式性质化简（字母及复合型）例6.（2023春•普兰店区期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣a+b B．a﹣b C．﹣b D．b【答案】A【解答】解：由数轴可得：a﹣b＜0，故原式＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b．故选：A．【变式6-1】（2022秋•开福区期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（）A．0B．﹣2C．﹣2a D．2b【答案】B【解答】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝﹣2．故选：B．【变式6-2】（2022秋•安岳县期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6【答案】A【解答】解：根据实数a在数轴上的位置得知：2＜a＜4，即：a﹣2＞0，a﹣4＜0，故原式＝a﹣2+4﹣a＝2．故选：A．考点七：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式例7.（2023春•云浮校级期中）若1＜x＜3，则|x﹣3|+的值为（）A．2x﹣4B．﹣2C．2D．4﹣2x 【答案】C【解答】解：∵1＜x＜3，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，原式＝|x﹣3|+|x﹣1|＝﹣（x﹣3）+（x﹣1）＝﹣x+3+x﹣1＝2．故选：C．【变式7-1】（2023春•武穴市月考）已知1＜a＜3，那么化简代数式﹣的结果是（）A．5﹣2a B．2a﹣5C．﹣3D．3【答案】B【解答】解：∵1＜a＜3，∴a﹣1＞0，a﹣3＜0，∴﹣＝|a﹣1|﹣|a﹣4|＝a﹣1+a﹣4＝2a﹣5，故选：B．【变式7-2】（2023春•东湖区校级期中）已知﹣1＜x＜3，化简：＝4．【答案】4．【解答】解：∵1＜x＜3，∴x﹣3＜0、x+1＞0，则原式＝|x﹣3|+|x+1|＝3﹣x+x+1＝4，故答案为：4．考点八：含隐含条件的参数范围化简二次根式例8.（2023春•花山区校级期中）化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵有意义，∴a﹣1＞0，∴1﹣a＜0，∴＝﹣（a﹣1）＝﹣＝﹣．故选：B．【变式8-1】（2023春•黄陂区校级月考）把根号外的因式移入根号内，结果为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由已知可得：，∴x﹣1＜0，即1﹣x＞0，∴．故选：B．【变式8-2】（2023春•德城区校级月考）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（）A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10【答案】A【解答】解：∵三角形的三边长分别为2，5，n，∴5﹣2＜n＜5+2，∴3＜n＜7，∴+|8﹣n|＝|3﹣n|+|8﹣n|＝n﹣3+8﹣n＝5，故选：A．考点九：复杂的复合二次根式化简例9.（2022春•宜秀区校级月考）已知|2020﹣a|+＝a，则4a﹣40402的值为（）A．8084B．6063C．4042D．2021【答案】A【解答】解：由题意得，a﹣2021≥0，解得，a≥2021，原式变形为：a﹣2020+＝a，则＝2020，∴a﹣2021＝20202，∴4a＝4×20202+8084，∴4a﹣40402＝40402+8084﹣40402＝8084，故选：A．1．（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【答案】B【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．2．（2023•番禺区一模）下列计算正确的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝2D．＝±2【答案】A【解答】解：A．正确；符合题意．B.＝2；不符合题意．C.＝﹣2；不符合题意．D.＝2；不符合题意．故选：A．3．（2021•益阳）将化为最简二次根式，其结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：＝＝，故选：D．4．（2023•潮南区模拟）实数a，b在数轴上对应点的位置如图，则化简的结果为（）A．2a﹣b B．2a+b C．b D．﹣2a+b【答案】C【解答】解：由图可得：a＜0，b＞0，|a|＜|b|，∴+|a+b|＝|a|+（a+b）＝﹣a+a+b＝b．故选：C．1．（2023春•巴南区期中）下列式子一定是二次根式是（）A．B．πC．D．【答案】D【解答】解：A、该代数式无意义，不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；D、是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．2．（2023春•荆州月考）若是整数，则正整数a的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：；由是整数，得a最小值为6，故选：C．3．（2022春•裕安区校级期中）若x，y为实数，且y＝2++，则|x+y|的值是（）A．5B．3C．2D．1【答案】A【解答】解：∵，∴，∴x＝3，∴|x+y|＝|3+2|＝5，故选：A．4．（2023•萧山区模拟）下列各式中，正确的是（）A．＝﹣4B．＝﹣2C．＝3D．＝±4【答案】C【解答】解：A.＝|﹣4|＝4，因此选项A不符合题意；B．由于负数没有平方根，因此无意义，因此选项B不符合题意；C.，即9的算术平方根，9的算术平方根是3，所以＝3，因此选项C符合题意；D.，即16的算术平方根，16的算术平方根是4，所以＝4，因此选项D不符合题意；故选：C．5．（2023春•涡阳县期中）化简的结果是（）A．3﹣πB．﹣3﹣πC．π﹣3D．π+3【答案】C【解答】解：原式＝|3﹣π|＝π﹣3，故选：C．6．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故选：A．7．（2023春•大冶市期中）实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|a ﹣b|+得（）A．0B．2a C．2b D．﹣2b【解答】解：根据数轴得a＜0，b＞0，a﹣b＜0，原式＝|a|﹣|a﹣b|+|b|＝﹣a+a﹣b+b＝0，故选：A．8．（2022秋•大名县期末）化简二次根式的结果为（）A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【答案】A【解答】解：∵﹣8a3≥0，∴a≤0∴＝2|a|＝﹣2a故选：A．9．（2023春•泰山区校级期中）把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，所以，＝﹣＝﹣．故选：D．10．（2023春•上杭县期中）已知是整数，则正整数n的最小值是．【答案】6．【解答】解：24＝22×6，∵是整数，∴正整数n的最小值是6．故答案为：6．11．（2022秋•青浦区校级期末）化简：＝．【答案】4x．【解答】解：原式＝4x．故答案为：4x．12．（2022秋•芙蓉区校级期末）如果＝2﹣a，那么a的取值范围是．【答案】a≤2．【解答】解：∵＝2﹣a，∴2﹣a≥0，解得：a≤2．故答案为：a≤2．。
八年级二次根式 教师讲义带答案
第五章二次根式知识网络知识点一：二次根式的概念形如的式子叫做二次根式;注：在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式;知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可;2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义;知识点三：二次根式的非负性表示a的算术平方根,也就是说,是一个非负数,即0;注：因为二次根式表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数的算术平方根是非负数,即0,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似;这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0；若,则a=0,b=0;知识点四：二次根式的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数;注：二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论;上面的公式也可以反过来应用：若,则,如：,.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值;注：1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即；若a是负数,则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义；3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简;知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中,而中a可以是正实数,0,负实数;但与都是非负数,即,;因而它的运算的结果是有差别的,,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而.知识点七：二次根式的运算1．二次根式的乘除运算1运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.2注意知道每一步运算的算理；3乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算1对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括号,应先算括号里面的；2二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.1加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难点分散,易于理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达到化简的目的,但最后结果一定要化简.例如进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行乘法运算,43+=+=+通过约分达到化简目的；2多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221+-=-=,利用了平方差公式.所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 4．分母有理化把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：2a a +-互为有理化因式；一般地a a +--互为有理化因式；一般地+-式.专题总结及应用一、知识性专题专题1 二次根式的最值问题专题解读涉及二次根式的最值问题,应根据题目的具体情况来决定应采用的方法,不能一概而论,但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.例1 当x 取何值时,3的值最小最小值是多少分析 00,因为3是常数,3的最小值为3.0，33≥,∴当9x +1=0,即19x =-时,3有最小值,最小值为3.解题策略解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性,0a ≥0. 专题2 二次根式的化简及混合运算专题解读对于二次根式的化简问题,可根据定义,也可以利用||a =这一性质,但应用性质时,要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例2 下列计算正确的是 分析 根据具体选项,应先进行化简,再计算. A 选项中,==B 选若可化为=,C 选项逆用平方差公式可求得2（=4-5=-1,而D 得22=.故选A.例3 计算2006200721)21)的结果是 分析 本题可逆用公式ab m=a m b m及平方差公式,将原式化为2006[(21)(21)]21)2 1.=故选D.例4 书知2228442142x x y x x x y y x x++=--+，求的值. 分析 本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x 的值,但要注意所得x 的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质,得2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠解题策略 本题中所求字母x 的取值必须使原代数式有意义. 例5 223541294-202522a a a a a -++-（≤≤）.解题策略 本题应根据条件直接进行化简,2(0)||-(0).a a a a a a ⎧==⎨⎩≥，＜例6 已知实数,a ,b ,c 在数轴上的位置如图21-8所示,化简222||()().a a c c a b -+-解：由a ,b ,c 在数轴上的位置可知：解题策略 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时,要充分挖掘题目中的隐含条件,再进行化简.规律·方法 对于无约束条件的化简问题需要分类讨论,用这种方法解题分为以下步骤：首先,求出绝对值为零时未知数的值,这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次,以这些零点为分点,把数轴划分为若干部分,即把实数集划分为若干个集合,在每个集合中分别进行化简,简称“零点分区间法”.例8 已知3,12,.a ba b ab ba b a+=-=求的值 图21-8分析 这是一道二次根式化简题,在化为最简二次根式的过程中,要注意a ,b 的符号,本题中没明确告诉,a ,b 的符号,但可从a +b =-3,ab =12中分析得到.解：∵a +b =-3,ab =12,∴a ＜0,b ＜0.解题策略 本题最容易出现的错误就是不考虑a ,b 的符号,把所求的式子化简,直接代入.专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9 的运算结果应在 A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间D. 9到10之间分析 本题应计算出所给算式的结果,原式4==+,由于即2 2.5849+，所以＜. 故选C.例10 已知m 是,n ,求m nm n-+的值. 解：∵9＜13＜16,即3 43,即m =3,3，即，∴m n m n -===+ 二、规律方法专题专题4 配方法专题解读 把被开方数配方,a |化简.例11 化简规律·方法一般地,对于a±型的根式,可采用观察法进行配方,即找出x,yx＞y＞0,使得xy=b,x+y=a,则2a±=,于是==,.例12 若a,b为实数,且b15,值.分析本题中根据b15可以求出a,b,对.解：由二次根式的性质得3503350..5305aa aa-⎧∴-=∴=⎨-⎩≥，≥，当3215.55a b====，时，原式解题策略对于形如22b a b aa b a b++-+或形式的代数式都要变为2()a bab+或2()a bab-的形式,当它们作为被开方式进行化简时,要注意.a b a b ab+-和以及的符号专题5 换元法专题解读通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题.例13计算解：令x两边同时平方得：∴x2=33专题6 代入法专题解读通过代入求代数式的值.例14 已知22==a b ab2400,5760,.专题7 约分法专题解读通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简.例15 化简例16 化简).≠x y三、思想方法专题专题8 类比思想专题解读类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一些属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念,得到同类二次根式的概念,即把二次根式化简成最简二次根式后,若被开方数相同,则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式.例17 计算.解：1原式2原式=3+2.解题策略对于二次根式的加减法,应先将各式化为最简二次根式,再类比合并同类项的方法去合同类二次根式.专题9 转化思想专题解读当问题比较复杂难于解决时,一般应采取转化思想,化繁为简,化难为易,本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时,常转化为不等式或分式等知识加以解决.例18 函数y 24x -中,自变量x 的取值范围是 .分析 本题比较容易,主要考查函数自变量的取值范围的求法,24x -是二次根式,所以被开方数2x -4≥0,所以x ≥2.故填x ≥2.例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序,若输入x 3,则输出的数值为 .图21-9分析 本题比较容易,根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题,易知图中所表示的代数式为21x -,3-1=2.故填2.专题10 分类讨论思想专题解读 当遇到某些数学问题存在多种情况时,应进行分类讨论.本意在运用公式2||a a =进行化简时,若字母的取值范围不确定,应进行分类讨论.例20 若化简2|1|816x x x ---+25x -,则x 的取值范围是 A. x 为任意实数 B. 1≤x ≤4 C. x ≥1 D. x ≤4分析 由题意可知|1||4|25x x x ---=-,由此可知|1|1x x -=-,且|4|4x x -=-,由绝对值的意义可知10x -≥,且40x -≥,所以14x x ≤≤，即的取值范围是14x ≤≤.故选B.解题策略 2a |a |形式的式子的化简都应分类讨论.例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm,5cm 和3cm 的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面爬到和顶点A 相对的顶点B 处吃食物,那么它要爬行的最短路径的长是多少分析 这是一个求最短路径的问题,一个长方体有六个面,蚂蚁有三种不同的爬行方法,计算时要分类讨论各种方法,进而确定最佳方案.解：沿前、右两个面爬,=cm. 沿前、上两个面爬,=cm. 沿左、上两个面爬,=cm.所以它要爬行的最短路径长为规律·方法 沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去,共有三个爬行路线,每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长.二次根式单元测试题一判断题：每小题1分,共5分1．ab 2)2(-＝－2ab ．………………… 2．3－2的倒数是3＋2． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．… 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．… 5．x 8,31,29x +都不是最简二次根式． 二填空题：每小题2分,共20分 6．当x __________时,式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时,|x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2x －1＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：7－522000·－7－522001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0,则x －12＋y ＋32＝____________．15．x ,y 分别为8－11的整数部分和小数部分,则2xy －y 2＝____________． 三选择题：每小题3分,共15分16．已知233x x +＝－x 3+x ,则………………A x ≤0B x ≤－3C x ≥－3D －3≤x ≤017．若x ＜y ＜0,则222y xy x +-＋222y xy x ++＝……………………… A2x B2y C －2x D －2y18．若0＜x ＜1,则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于……………………… A x2 B －x2 C －2x D2x19．化简aa 3-(a ＜0)得……………………………………………………………… A a - B －a C －a - D a20．当a ＜0,b ＜0时,－a ＋2ab －b 可变形为……………………………………… A 2)(b a + B －2)(b a - C 2)(b a -+- D 2)(b a ---四计算题：每小题6分,共24分 21．235+-235--；22．1145-－7114-－732+；23．a 2m n －m ab mn ＋m n n m ÷a 2b 2mn ； 24．a ＋ba abb +-÷b ab a +＋a ab b -－ab b a +a ≠b ．五求值：每小题7分,共14分25．已知x ＝2323-+,y ＝2323+-,求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 26.当x ＝1－2时,求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、 解答题：每小题8分,共16分 27.计算25＋1211+＋321+＋431+＋…＋100991+． 28. 若x ,y 为实数,且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值． 一判断题：每小题1分,共5分 1、提示2)2(-＝|－2|＝2．答案×． 2、提示231-＝4323-+＝－3＋2．答案×．3、提示2)1(-x ＝|x －1|,2)1(-x ＝x －1x ≥1．两式相等,必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．答案×． 4、提示31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．答案√．5、29x +是最简二次根式．答案×． 二填空题：每小题2分,共20分6、提示x 何时有意义x ≥0．分式何时有意义分母不等于零．答案x ≥0且x ≠9．7、答案－2a a ．点评注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、提示a －12-a ________＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．答案a ＋12-a ． 9、提示x 2－2x ＋1＝ 2,x －1．当1＜x ＜4时,x －4,x －1是正数还是负数 x －4是负数,x －1是正数．答案3．10、提示把方程整理成ax ＝b 的形式后,a 、b 分别是多少12-,12+．答案x ＝3＋22．11、提示22d c ＝|cd |＝－cd ．答案ab ＋cd ．点评∵ ab ＝2)(ab ab ＞0,∴ ab －c 2d 2＝cd ab +cd ab -．12、提示27＝28,43＝48．答案＜．点评先比较28,48的大小,再比较281,481的大小,最后比较－281与－481的大小． 13、提示－7－522001＝－7－522000·_________－7－52．7－52·－7－52＝1．答案－7－52．点评注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、答案40．点评1+x ≥0,3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时,x ＋1＝0,y －3＝0． 15、提示∵ 3＜11＜4,∴ _______＜8－11＜__________．4,5．由于8－11介于4与5之间,则其整数部分x ＝小数部分y ＝x ＝4,y ＝4－11答案5．点评求二次根式的整数部分和小数部分时,先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后,其整数部分和小数部分就不难确定了． 三选择题：每小题3分,共15分 16、答案D ．点评本题考查积的算术平方根性质成立的条件,A 、C 不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、提示∵ x ＜y ＜0,∴ x －y ＜0,x ＋y ＜0． ∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ． 222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．答案C ．点评本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、提示x －x 12＋4＝x ＋x 12,x ＋x 12－4＝x －x 12．又∵ 0＜x ＜1, ∴ x ＋x 1＞0,x －x1＜0．答案D ．点评本题考查完全平方公式和二次根式的性质．A 不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时,x －x1＜0．19、提示3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．答案C ． 20、提示∵ a ＜0,b ＜0,∴ －a ＞0,－b ＞0．并且－a ＝2)(a -,－b ＝2)(b -,ab ＝))((b a --． 答案C ．点评本题考查逆向运用公式2)(a ＝aa ≥0和完全平方公式．注意A 、B 不正确是因为a ＜0,b ＜0时,a 、b 都没有意义． 四计算题：每小题6分,共24分21、提示将35-看成一个整体,先用平方差公式,再用完全平方公式． 解原式＝35-2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、提示先分别分母有理化,再合并同类二次根式． 解原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、提示先将除法转化为乘法,再用乘法分配律展开,最后合并同类二次根式． 解原式＝a 2m n －m ab mn ＋m n n m ·221b a n m＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅ ＝21b－ab 1＋221ba ＝2221b a ab a +-．24、提示本题应先将两个括号内的分式分别通分,然后分解因式并约分． 解原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +． 点评本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐． 五求值：每小题7分,共14分25、提示先将已知条件化简,再将分式化简最后将已知条件代入求值． 解∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26, y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26． ∴ x ＋y ＝10,x －y ＝46,xy ＝52－262＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 点评本题将x 、y 化简后,根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、提示注意：x 2＋a 2＝222)(a x +, ∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +22a x +－x ,x 2－x 22a x +＝－x 22a x +－x ．解原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x-++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时,原式＝211-＝－1－2．点评本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差,那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1． 六、解答题：每小题8分,共16分27、提示先将每个部分分母有理化后,再计算．解原式＝25＋11212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--＝25＋112-＋23-＋34-＋…＋99100- ＝25＋11100- ＝925＋1．点评本题第二个括号内有99个不同分母,不可能通分．这里采用的是先分母有理化,将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差,然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、提示要使y 有意义,必须满足什么条件].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ,y 的值吗].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 解要使y 有意义,必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时,y ＝21．又∵ xy y x ++2－xy y x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x -＝|xy yx+|－|xy y x-|∵ x ＝41,y ＝21,∴y x ＜x y ． ∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41,y ＝21时,原式＝22141＝2．点评解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y的值．。
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八年级二次根式复习讲义(非常全面)二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是 ．举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三： 1、11x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
已知a 5b 是5的小数部分，求12a b ++的值。
若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿. 4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
（公式)0()(2≥=a a a 的运用）【例5】化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4 举一反三：1在实数范围内分解因式: 23x -= ；4244m m -+=429__________,2__________x x -=-+=2化简：13（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用）【例6】已知2x <,A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1、根式( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92、已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3、若23a p p）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a5、2得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ． 7、已知0a<【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b │ 的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a 举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．【例8】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（）（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x≤1举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ） Ａ．4a ≥Ｂ．2a ≤Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）A. a=0B. a=1C. a=0或a=1D. a ≤1 举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x 【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ） A. -aB. --aC. -aD. a2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x xb＝ ；a a --11)1(＝ 。
0 ob a知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】【例11】在根式1) 222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。
举一反三：1、)b a (17,54,b 40,212,30,a 45222+中的最简二次根式是 。
2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ） A ．7B ．3C ．12D ．23、下列根式不是最简二次根式的是( )21a + 21x + C.24b0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)b a 23 (2)23ab(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 85、把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 (3)x y x 2【例12】下列根式中能与3是合并的是( )A.8B. 27C.25D. 21举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）A 、318和133和22a b ab 和11a a +-和2、在二次根式：①12；② 32；③ 32；④27中，能与3合并的二次根式是 。
3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________.知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：a a a =a a 与ab a b ++与b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a b 与a b -a b a b 与a x b y a x b y 与 3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】【例13】 把下列各式分母有理化（148 （24337（311212 （4）13550【例14】把下列各式分母有理化（1328xx y（2a b -（3）38x （4）2525a b b a【例15】把下列各式分母有理化：（1221- （25353+-（3333223-举一反三： 1、已知323x =+，323y =-，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+2、把下列各式分母有理化：（1）()a b a b a b -≠+ （2）2222a a a a +--++- （3）2222b a b b a b-+++小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①与； ②与；③与； ④与．知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a b =ab（a ≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
a b=a b （a ≥0，b>0） 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例16】化简(1)916⨯ (2)1681⨯ (3) 1525⋅ (4)229x y (0,0≥≥y x ) (5) 12×632⨯【例17】计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【例18】化简：36422649b a)0,0(≥>b a 2964x y )0,0(>≥y x 25169xy )0,0(>≥y x【例19】计算：123312811416÷（4648【例20】22xxx x =--x 的取值范围是（ ）A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。