线性代数的应用论文

论文:线性代数的应用与心得体会

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完成时间：2014 年10 月

20 日

目录

【摘要】 (2)

【关键词】 (2)

一、线性代数被广泛运用的原因 (2)

二、线性代数在实际中的应用 (2)

1.用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶

行列式求平行六面面体 (2)

2.希尔密码 (2)

3.在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实

现 (3)

4、在城市人们出行的应用——交通流的分析4

5、马尔可夫链 (5)

6、在人口迁移的应用人口迁徙模型 (5)

三、心得与体会 (7)

【摘要】我们对线性代数的了解大概是，线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，还有其主要知识：矩阵、方程组和向量；我们也应该了解其在众多的科学技术领域和实际生活中的

应用都十分广泛。下面就是看一些具体实例应用，和一些心得体会。

【关键词】线性代数；实际生活；应用实例；心得体会；

。

一、线性代数被广泛运用的原因

为什么线性代数得到广泛运用，也就是说，为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事，而并非解非线性方程组是经常的事呢？

原因之一，大自然的许多现象恰好是线性变化的，研究的是单个变量之间的关系。例如我们高中学过的物理学科中，物理可以分为机械运动、电运动、还有量子力学的运动。而比较重要的机械运动的基本方程是牛顿第二定律，即物体的加速度同它所受到的力成正比，其实这又恰恰

符合基本的线性微分方程。再如电运动的基本方程是麦克思韦方程组，这个方程组表明电场强

度与磁场的变化率成正比，而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比，因此麦克思韦方程组

也正好是线性方程组。

原因之二，之后随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而且由于计算机的发展，

线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因这方面的成为了解决这些问题的有力工具

而被广泛应用。

原因之三，在数学中线性代数与几何和代数有着不可分割的联系。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念变为抽象出来的公理化方法，对于强化人们的数学训练，增强科学性是非常有用的。

二、线性代数在实际中的应用

1.用二阶行列式求平行四边形面积，用三阶行列式求平行六面面体

2.希尔密码

希尔密码( Hill Password )是运用基本矩阵论原理的替换密码，由Lester S. Hill 在1929 年发明。每个字母当作26 进制数字：A=0, B=1, C=2... 一串字母当成n 维向量，跟一个

n×n 的矩阵相乘，再将得出的结果模26 。注意用作加密的矩阵(即密匙)在\mathbb_^n 必须是可逆的，否则就不可能译码。只有矩阵的行列式和26 互质，才是可逆的。

例题、

设明文为HPFRPAHTNECL, 密钥矩阵为：

3. 在人们平常日常生活的应用——减肥配方的实现

大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律， 为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白 质、脂肪和碳水化合物， 下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养 （它

们的质量以适当的单位计量）。

设三种食物每 100 克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中还给出了 80 年代美国流行的剑桥大学医学院的简捷营养处方。 现在的问题是： 如果用这三种食物作为每

营养

每 100g 食物所含营养 (g)

减肥所要求的 每

日营养量

脱脂牛奶

大豆面粉

乳清

蛋白质 36 51 13 33 碳水化合物

52 34 74 45 脂肪

0 7 1.1 3

设脱脂牛奶的用量为 x 1个单位（ 100g ），大豆面粉的用量为 x 2 个单位（ 100g ），乳清 的用量为 x 3 个单位（ 100g ），表中的三个营养成分列向量为：

36 51 13 a 1 52 , a 2

34 , a 1 74

7

1.1

则它们的组合所具有的营养为

36 51 13

x 1a 1 x 2a 2 x 3a 3 x 1 52 x 2 34 x 3 74 0 7 1.1

使这个合成的营养与剑桥配方的要求相等，就可以得到以下的矩阵方程：

Ax b

36 52

用 MA TLAB 解这个问题非常方便，列出程序 ag763 如下：

A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b

程序执行的结果为：

0.2772 x 0.3919

0.2332

即脱脂牛奶的用量为 27.7g ，大豆面粉的用量为 39.2g ，乳清的用量为 23.3g ，就能保证所需 的综合营养量。

4、在城市人们出行的应用——交通流的分析

某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点 A,B,C,D 的十字路口如图 6.5.2 所示。 在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量 (每小时的车流数) 标于图上。 现要求 计算每两个节点之间路段上的交通流量

x 1,x 2,x 3,x 4。

解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：

节点 A: x 1+450 ＝x 2+610 节点 B: x 2+520 ＝x 3+480 节点 C: x 3+390 ＝x 4+600

节点 D: x 4+640 ＝x 2+310 将这组方程进行整理，写成矩阵形式：

x 1 x 2 = 160

x 2

x 3 = - 40 x 3 - x 4 = 210

x 1

x 4= -330

注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量 x 1,x 2,x 3,x 4的系 数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程， 其结果为：

x 1=x 4+330, x 2=x 4+170, x 3=x 4+210 0＝0

由于最后一行变为全零， 这个精简行阶梯形式只有三行有效， 也就是说四个方程中有 个是相依的， 实际上只有三个有效方程。 方程数比未知数的数目少， 即没有给出足够的信息 来

U0=rref([A,b]), 可以得出其精简行阶梯形式

11

1

1

160

- 40

[A,b]

1

1 210

1

1 -330

用消元法求其行阶梯形式， 或者直接调

用

1 0 0 -1 330

为 U0=

0 1 0 -1 170

0 0 1 -1 210

0 0 0 0 0

图 3 单 行线交通

其系数增广矩阵为：