向量平行的坐标表示(最新课件ppt)

向量平行 的坐标表示
1．平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，即两个向量和的坐标等 于这两个向量相应坐标的和． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，即两个向量差的坐标 等于这两个向量相应坐标的差． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ (λx，λy) ，即实数与 向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应 坐标．
2．共线向量定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一 个实数λ，使 b＝λa ，则向量b与非零 向量a 共线 ． (2)性质定理：若向量b与非零向量a 共线 ， 则存在一个实数λ，使得 b＝λa.
a b • 1、设 (1,2) (2,5)
• 则 a b (3,7) a b (1,3)
已知向量 a (1, m),b (m,2)
若 a // b , 则实数 m 等于( C )
A． 2
B. 2
C. 2 或 2
D.0
已知向量 a＝(1,2)，b＝(λ，1)，
Байду номын сангаас
若(a＋2b)∥(2a－2b),则 λ 的值等于( A )
1
1
A.2
B.3
C．1
D．2
利用向量共线确定点的坐标
【例 3】 如图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)， 求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．
定理：若两个向量（与坐标轴 不平行）平行，则它们相应的 坐标成比例. 定理：若两个向量相对应的坐 标成比例，则它们平行.
• 类型一： 判断向量是否共线
a b x1y2－x2y1＝0
与 共线
a b • （1） (3,2), (12,8)
解： 38 12 2 0a与b共线
(2)a (2,4),b (3,6)
• 已知 A(2,3), B(3,-3), C(-1,21) • 证明 : A, B, C 三点共线. 证明： ∵A→B＝(1，-6)， A→C＝(-3，18)，
118(3)(6) 0
则A→B，A→C共线 , 即 A，B，C 三点共线.
类型三 根据向量共线求参数
例 设向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10，k)，
解： (2) 6 3 (4) 0a与b共线
(3)a (5,3),b (8,5)
解： 55 83 0 a与b不共线
已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)． 判断A→B与C→D是否共线？
解 A→B＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． C→D＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
( r
x1
,
yr1
),
b
r
(
x2
,
y2
)
a Pb b a x1y2 x2 y1 0
作业： 课本练习题
谢谢
2、已知 A(-5,-1) , B(3,-2) , 则
AB (8,1)
• 判断下列向量是否共线 根据b＝λa
a b • (1) (1,2), (3,6)
b 3aa与b共线
a b • (2) (1,2), (2,3)
b a a与b不共线
探究:向量平行（共线）的坐标表示
设a, b是非零向量，且a （x1, y1）, b x2, y2 .若a∥b，
当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？
解:依题意,得
巩固练习 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)， 当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？
解：由已知得，ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得 k＝－31.
∵ (－2)×(－6)－3×4＝0， ∴ A→B与C→D共线．
类型二: 三点共线问题 【例】 已知O→A＝(3,4)，O→B＝(7,12)，O→C＝(9,16)，
求证：A，B，C 三点共线．
证明： ∵A→BA→＝C＝O→BO→－C－O→AO→＝A＝(4，(6，8)，12)，
412 68 0
则A→B，A→C共线 , 即 A，B，C 三点共线.
则存在实数λ使a λb，由平面向量基本定理可知
x1i y1 j λ x2 i y2 j λx2 i λy2 j
于是x1 λx2①, y1 λy2②
①
y2
②
x
，得
2
x1y2 x2y1 0.
若y1 0且y2 （0 即向量b不与坐标轴平行），则上式可变形为
x1 x2 . y1 y2
分析：先设出点 P 的坐标，然后利用共线条件求解．
解：设 P(x，y)，则O→P＝(x，y)， 且O→B＝(4,4)，又O→P与O→B共线，所以 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，A→P与A→C共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解之得 x＝y＝3.
小结：
r
r
a r