向量平行的坐标表示(最新课件ppt)
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高中数学 2.4.3 向量平行的坐标表示课件(新版)北师大版必修4
已知向量a （2，1），b （x，-1），m a 2b， u 2a - b，且m / /u，那么x 2
第十五页，共16页。
归纳(guīnàΒιβλιοθήκη 小结向量平行(共线)等价条件(tiáojiàn)的两种形式:
（1）a / /b(b 0) a λb （2）a / /b（a （x 1，y 1），b （x 2，y 2），b 0）
新课引 入
问题: 如果向a量 b ， 共线b（0其中 ≠a ）b
，那么 ， 满足什么关系？
a b
第五页，共16页。
(tànjiū
)点1 平面向量共线的坐标(zuòbiāo)表示
a b 结论(jiélùn): 设 =(x1，y1),
中 ≠ 0 ）,当且仅当
x1y2 - x2y1 0
b=(x2，y2),（其
x1y2 x2y1 0
第十六页，共16页。
(xiàngliàng)基本定理可得，有
且只有一对实数x、y，使得
y
a=xi+yj。我们把有序数对（x， y）叫做向量(xiàngliàng)a的坐
yj
a
标，记作a=（x，y）
xi j
Oi
x
第三页，共16页。
(fùxí)回 顾
平面(píngmiàn)向量共线定理：
a//
b
b
0
a
b
第四页，共16页。
∵ka－b与a+3b平行(píngxíng)
3（k - 2）（- -1）7 0 k - 1 这两个向量是反向的
3
第十三页，共16页。
课堂练习
判断(pànduàn)正误：
已知向量a （3，4），b （cosα，sin α）， 且a / /b，那么tan α 4
第十五页，共16页。
归纳(guīnàΒιβλιοθήκη 小结向量平行(共线)等价条件(tiáojiàn)的两种形式:
（1）a / /b(b 0) a λb （2）a / /b（a （x 1，y 1），b （x 2，y 2），b 0）
新课引 入
问题: 如果向a量 b ， 共线b（0其中 ≠a ）b
，那么 ， 满足什么关系？
a b
第五页，共16页。
(tànjiū
)点1 平面向量共线的坐标(zuòbiāo)表示
a b 结论(jiélùn): 设 =(x1，y1),
中 ≠ 0 ）,当且仅当
x1y2 - x2y1 0
b=(x2，y2),（其
x1y2 x2y1 0
第十六页，共16页。
(xiàngliàng)基本定理可得，有
且只有一对实数x、y，使得
y
a=xi+yj。我们把有序数对（x， y）叫做向量(xiàngliàng)a的坐
yj
a
标，记作a=（x，y）
xi j
Oi
x
第三页，共16页。
(fùxí)回 顾
平面(píngmiàn)向量共线定理：
a//
b
b
0
a
b
第四页，共16页。
∵ka－b与a+3b平行(píngxíng)
3（k - 2）（- -1）7 0 k - 1 这两个向量是反向的
3
第十三页，共16页。
课堂练习
判断(pànduàn)正误：
已知向量a （3，4），b （cosα，sin α）， 且a / /b，那么tan α 4
向量平行的坐标表示【新教材】苏教版高中数学必修第二册课件
[证明] 设点 E，F 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
小 结
·
探 新
依题意有，A→C＝(2，2)，B→C＝(－2，3)，A→B＝(4，－1)．
提 素
知
养
合 作
∵A→E＝13A→C，∴(x1＋1，y1)＝13(2，2)，
探
课 时
究
释 疑
∴点 E 的坐标为－13，23，
分 层 作 业
难
返 首 页
·
新
素
知 以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性．
养
合 作
2．本例也可以直接套用定比分点公式求解．
课
探
时
究
提醒：注意方程思想的应用．
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
32
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
课堂
小结
提素
养
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
33
·
情
课
景
堂
导 学
1．本节课的重点是平面向量共线的坐标表示．
·
情
课
景 导
第9章 平面向量
堂 小
学
结
·
探
提
新 知
9.3 向量基本定理及坐标表示
素 养
合 作
9.3.3 向量平行的坐标表示
课
探
时
究
分
高一数学必修课件向量平行的坐标表示
坐标表示法优势
坐标表示法使得向量的运算更加直观和简便，可以通过简单的代数运算实现向量的 加、减、数乘和点积等运算。
坐标表示法便于将向量与解析几何中的点、直线等概念联系起来，从而建立起一套 完整的解析几何体系。
坐标表示法为向量的进一步应用，如向量的投影、向量的夹角等提供了方便的计算 工具。
03
平行向量坐标运算技巧
特殊情况
当 $k > 0$ 时，两向量同向；当 $k < 0$ 时，两向量反向。
拓展延伸内容
三维空间中的向量平行
在三维空间中，对于向量 $vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，若 $vec{a} parallel vec{b}$，则同样存在实数 $k$ 使得 $a_1 = kb_1, a_2 = kb_2, a_3 = kb_3$。
解题思路和方法，有助于提高解题速度和准确性。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
向量平行定义
若两向量方向相同或相反，则称 这两向量平行。
坐标表示
对于向量 $vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $vec{b} = (b_1, b_2)$，若 $vec{a} parallel vec{b}$，则存在 实数 $k$ 使得 $a_1 = kb_1, a_2 = kb_2$。
对于起点在原点的向量，其坐标 即为终点坐标减去起点坐标。
向量运算规则
01
02
03
向量的加法运算
两个向量相加，等于将它 们的对应坐标相加得到一 个新的向量。
向量的数乘运算
一个向量与一个实数相乘 ，等于将该向量的每个坐 标乘以这个实数得到一个 新的向量。
《向量的坐标表示》PPT课件
为OR
x,
y, 那么.
x
y
x2 x1 y2 y1
9
1、用i和 j分别表示向量a,b,c, d，
并求它们的坐 标。
a
(2,3)
b (2,3)
c (2,3) d (2,3)
y
5
b
2
0
A2
B
a
A
A1
2 4x
d
c
2、已知点P3， 2，Q5，4，设a PQ,
b
QP,
写出a和b的 坐标。
a (2,6) b (2,6)
10
3、已知平面A、B、C三点的坐标分别为
（2，1）、（-3，2）、（-1，3），
⑴ 写出向量 , A的C 坐BC标;
⑵ 如果四边形 是A平BC行D四边形,求D点 的坐标；
y
C1,3 B 3,2
O
D
A2,1
x
11
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功 能的一种设计方式。
18
四、定比分点
定义 : 如果点P是在直线P1P2上除P2点外
的某一点,实数使得P1P PP2成立,则
点P称为分P1P2为定比的分点.
（1）当λ>0时，称P为P1P2的 内 分 ； 点
（2）当λ<0时，称P为P1P2的 外分. 点
已 知PP1
2 3
P1 P2
,
P2 P
PP1 , 求的 值 。
19
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
【高中数学课件】平面向量平行的坐标表示及运算ppt课件
练习P76 1，2，3 作业P77 6，8
【高中数学课件】平面向量平 行的坐标表示及运算ppt课件
有向线段 P1 P2的定比分点坐标公式与定比分值公式。
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
注意：
=xx1 或=yy1
x2 x
y2 y
(1)
在运用公式时， 分要 清注 起意 点坐标、 标终 和点 分坐 点
坐标，在每个等 及式 到中 四涉 个不同的 们量 分， 别它 是
2、向量 a 与 b 的坐标有什么内在联 系?
3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如 何用坐标表示出来？
a//（ ba0） 存 在 唯 使 一 b得 的 a
若 a （ x 1 ， y 1 ） b （ x 2 ， y 2 ， ） , a /b /x 1 y 2 x 2 y Leabharlann 0请同学们阅读P75证明过程
例题讲解：
例1：已知 a (1,0),b(2,1),当实数 k为何值时 向 量ka b与a3b平 行?并 确 定 此 时 它 们 是 向还是反向。
例题讲解：
例2： 已 知 点 O，A，B，C的 坐 标 分 别 为 （0，0） ， （ 3，4） ， （-1，2)， （1，1） 是 否 存 在 常数t使得OAtOB OC成立？并解释你 所得结论的几何意义
三个坐标和 ， 定只 比要知道其中 三的 个任 量意 便可以
求出第四个量。
① 的符号由点P在线段P1P2上，还是在P1P2或 P2P②1的|延|长||P P 线1PP 2上||,决即定|。|分 起点 点到 到终 分点 点的 的的 的 有 有长 长 向 向度 度 线 线段 段
探索：
1、向量 a (2,1)与 b (-6,3) 是否平行？为什么?
【高中数学课件】平面向量平 行的坐标表示及运算ppt课件
有向线段 P1 P2的定比分点坐标公式与定比分值公式。
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
注意：
=xx1 或=yy1
x2 x
y2 y
(1)
在运用公式时， 分要 清注 起意 点坐标、 标终 和点 分坐 点
坐标，在每个等 及式 到中 四涉 个不同的 们量 分， 别它 是
2、向量 a 与 b 的坐标有什么内在联 系?
3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如 何用坐标表示出来？
a//（ ba0） 存 在 唯 使 一 b得 的 a
若 a （ x 1 ， y 1 ） b （ x 2 ， y 2 ， ） , a /b /x 1 y 2 x 2 y Leabharlann 0请同学们阅读P75证明过程
例题讲解：
例1：已知 a (1,0),b(2,1),当实数 k为何值时 向 量ka b与a3b平 行?并 确 定 此 时 它 们 是 向还是反向。
例题讲解：
例2： 已 知 点 O，A，B，C的 坐 标 分 别 为 （0，0） ， （ 3，4） ， （-1，2)， （1，1） 是 否 存 在 常数t使得OAtOB OC成立？并解释你 所得结论的几何意义
三个坐标和 ， 定只 比要知道其中 三的 个任 量意 便可以
求出第四个量。
① 的符号由点P在线段P1P2上，还是在P1P2或 P2P②1的|延|长||P P 线1PP 2上||,决即定|。|分 起点 点到 到终 分点 点的 的的 的 有 有长 长 向 向度 度 线 线段 段
探索：
1、向量 a (2,1)与 b (-6,3) 是否平行？为什么?
人教B版高中数学必修第二册 6.2.3.2向量平行的坐标表示【课件】
8．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则 实数a的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 由题意，得6(x2－2x)＝6a有解，即x2－2x－a＝0有解，∴∆ ＝4－4(－a)×1＝4＋4a≥0，故a≥－1.
三、解答题 9．已知向量A→B＝(4，3)，A→D＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)． (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求 y 与 λ 的值．
D．(－4，8)
解析 ∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或 (－4，8)．故选AD.
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋ b)∥c，则m＝________．
答案 －1
解析 a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2 －(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.
解
(2)由已知得P→B＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， B→D＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 又P→B＝λB→D，∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)， 即11＝ －－ y＝7－λ，4λ，∴yλ＝＝－37. 71，
解
10．已知 a＝(2，1)，b＝(3，－4)，当 λ 为何值时，λa－b 与 a＋
＝－2M→M2，得xy－ －15＝ ＝－ －22((23－ －xy))， ，解得xy＝ ＝31， ，故点 M 的坐标为(3，1)．
4．[多选]已知向量O→A＝(1，－3)，O→B＝(－2，1)，O→C＝(t＋3，t
－8)，若点 A，B，C 能构成三角形，则实数 t 可以为( )
A．－2
向量平行的坐标表示课件.ppt
b (2,坐标满足:18 (4) (2)
一般地,
设向量 a (x1, y1),b (x2, y2 )(a 0)
如果 a ∥ b那么 x1y2 x2 y1 0
反过来,如果
那么 a ∥ b.
x1 y2 x2 y1 0
巩固练习：P75 1
(1r)若ar (x1, y1),b (x2, y2),则 a r b (x1 x2, y1 y2),
a b (x1 x2, y1 y2), a (x1, y1) ( R)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
AB (x2 x1, y2 y1)
引:判断向量 a (1,4与) b (是2,8)否平行?
例1 已知 a (1,0),b (,2当,1)实数 k
为何值时,向量 k a b与 a 3b
平行?并确定此时它们是同向还是反 向.
例2 已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0), (3,4),(-1,2),(1,1),是否存在常数t,使
OA tOB O成C 立?解释你所得
结论的几何意义.
巩固练习：P75 2，3
课堂小结
平行向量的坐标表示
设向量 a (x1, y1),b (x2, y2 )(a 0)
a ∥ b
x1 y2 x2 y1 0
中小学精编教育课件
向量平行的坐标表示
复习：（1）平面向量的坐标表示；
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作
为基底 任一向量a ，用这组基底可表示为
有且只有一对实数x、y，使得 a =xi + yj．
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x ,y)
（2）平面向量的坐标运算。
r
r
rr
一般地,
设向量 a (x1, y1),b (x2, y2 )(a 0)
如果 a ∥ b那么 x1y2 x2 y1 0
反过来,如果
那么 a ∥ b.
x1 y2 x2 y1 0
巩固练习：P75 1
(1r)若ar (x1, y1),b (x2, y2),则 a r b (x1 x2, y1 y2),
a b (x1 x2, y1 y2), a (x1, y1) ( R)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
AB (x2 x1, y2 y1)
引:判断向量 a (1,4与) b (是2,8)否平行?
例1 已知 a (1,0),b (,2当,1)实数 k
为何值时,向量 k a b与 a 3b
平行?并确定此时它们是同向还是反 向.
例2 已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0), (3,4),(-1,2),(1,1),是否存在常数t,使
OA tOB O成C 立?解释你所得
结论的几何意义.
巩固练习：P75 2，3
课堂小结
平行向量的坐标表示
设向量 a (x1, y1),b (x2, y2 )(a 0)
a ∥ b
x1 y2 x2 y1 0
中小学精编教育课件
向量平行的坐标表示
复习：（1）平面向量的坐标表示；
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作
为基底 任一向量a ，用这组基底可表示为
有且只有一对实数x、y，使得 a =xi + yj．
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x ,y)
（2）平面向量的坐标运算。
r
r
rr
最新第1部分 第2章 2.3 2.3.2 第二课时 向量平行的坐标表示课件ppt.ppt
[思路点拨] 根据向量共线的条件，解关于 m 的方程即可．
[精解详析] 法一：∵A、B、C 三点共线，即 AB、BC 共线， ∴存在实数 λ 使得 AB＝λBC ， 即 i－2j＝λ(i＋mj)． ∴λλ＝m＝1，－2. ∴m＝－2， 即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
法二：依题意知 i＝(1,0)，j＝(0,1)，则 AB ＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， BC ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)， 而 AB， BC 共线， ∴1×m＋2＝0. 故当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
[一点通] 判定用坐标表示的两向量a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)是否平行，即判断x1y2－x2y1＝0是否成立，若成立， 则平行；否则，不平行．
1．已知a＝(－1,3)，c＝(x，－1)，且a∥c，则x＝________.
解析：∵a∥c，∴(－1)×(－1)－3x＝0.
即 3x＝1，∴x＝13. 答案：13 2．已知平面向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋ kc)∥(b－2a)，求实数k. 解：∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，b－2a＝(－7，－2)， (a＋kc)∥(b－2a)， ∴－2×(3＋4k)－(－7)(2＋k)＝0，∴k＝8.
3．已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)， 并且 AE ＝13 AC ，BF ＝13BC ，求证： EF ∥ AB. 证明：设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有 AC ＝(2,2)， BC ＝(－2,3)， AB＝(4，－1)． 因为 AE ＝13 AC ，所以 AE ＝(23，23)． 因为 BF ＝13 BC ，所以 图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC和OB交点P的坐标．
[精解详析] 法一：∵A、B、C 三点共线，即 AB、BC 共线， ∴存在实数 λ 使得 AB＝λBC ， 即 i－2j＝λ(i＋mj)． ∴λλ＝m＝1，－2. ∴m＝－2， 即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
法二：依题意知 i＝(1,0)，j＝(0,1)，则 AB ＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， BC ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)， 而 AB， BC 共线， ∴1×m＋2＝0. 故当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
[一点通] 判定用坐标表示的两向量a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)是否平行，即判断x1y2－x2y1＝0是否成立，若成立， 则平行；否则，不平行．
1．已知a＝(－1,3)，c＝(x，－1)，且a∥c，则x＝________.
解析：∵a∥c，∴(－1)×(－1)－3x＝0.
即 3x＝1，∴x＝13. 答案：13 2．已知平面向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋ kc)∥(b－2a)，求实数k. 解：∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，b－2a＝(－7，－2)， (a＋kc)∥(b－2a)， ∴－2×(3＋4k)－(－7)(2＋k)＝0，∴k＝8.
3．已知 A，B，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)， 并且 AE ＝13 AC ，BF ＝13BC ，求证： EF ∥ AB. 证明：设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有 AC ＝(2,2)， BC ＝(－2,3)， AB＝(4，－1)． 因为 AE ＝13 AC ，所以 AE ＝(23，23)． 因为 BF ＝13 BC ，所以 图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC和OB交点P的坐标．
向量平行的坐标表示-课件
解： (2) 6 3 (4) 0a与b共线
(3)a (5,3),b (8,5)
解： 55 83 0 a与b不共线
已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)． 判断A→B与C→D是否共线？
解 A→B＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． C→D＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？
解:依题意,得
巩固练习 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)， 当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？
解：由已知得，ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得 k＝－31.
∵ (－2)×(－6)－3×4＝0， ∴ A→B与C→D共线．
类型二: 三点共线问题 【例】 已知O→A＝(3,4)，O→B＝(7,12)，O→C＝(9,16)，
求证：A，B，C 三点共线．
证明： ∵A→BA→＝C＝O→BO→－C－O→AO→＝A＝(4，(6，8)，12)，
412 68 0
则A→B，A→C共线 , 即 A，B，C 三点共线.
( r
x1
,
yr1
),
b
r
(
x2
,
y2
)
a Pb b a x1y2 x2 y1 0
作业： 课本练习题
谢谢
分析：先设出点 P 的坐标，然后利用共线条件求解．
解：设 P(x，y)，则O→P＝(x，y)， 且O→B＝(4,4)，又O→P与O→B共线，所以 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，A→P与A→C共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
空间向量运算的坐标表示空间向量平行线和垂直的条件课件
－3b＝( )
A．(6，3，－7) B．(－2，－1，－1) C．(2，1，－5) D．(14，7，－11)
2．若 a＝(2，3，－1) ，b＝(2，0，3) ，c＝(0，2，2) ，则 a·(b＋c) 的
值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7
D．36
3．若向量 a，b 的坐标满足 a＋b＝(－2，－1，2) ，a－b＝(4，－3，－2) ，
所以（ （－ －xx， ，1－－yy，，2－ －zz） ）＝ ＝mn（ （－ －11， ，01， ，20） ）， ，
x＝－1， 解得y＝1， 即 D(－1，1，2).
z＝2，
(2)依题意，得A→B ＝(－1，1，0)，A→C ＝(－1，0，2)，B→C ＝(0，－1，2).假设
存在实数α，β，使得A→C ＝αA→B ＋βB→C 成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，
空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时 空间向量运算的坐标表示、空 间向量平行(共线)和垂直的条件
必备知识·自主学习
1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝_(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)_， ②a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)_， ③λa＝_(_λ__a_1_，__λ__a_2，__λ__a_3_)_， ④a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_．
关键能力·合作学习 类型一 用坐标表示空间向量(直观想象)
【典例】(1)已知点 A 在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中 a＝i＋j，b＝j ＋k，c＝k＋i，则点 A 在基{i，j，k}下的坐标是( ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) (2)在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F，G 分别为棱 DD′，D′C ′，BC 的中点，以{A→B ，A→D ， AA' }为基，求向量A→E ，A→G ，A→F 的坐标．
A．(6，3，－7) B．(－2，－1，－1) C．(2，1，－5) D．(14，7，－11)
2．若 a＝(2，3，－1) ，b＝(2，0，3) ，c＝(0，2，2) ，则 a·(b＋c) 的
值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7
D．36
3．若向量 a，b 的坐标满足 a＋b＝(－2，－1，2) ，a－b＝(4，－3，－2) ，
所以（ （－ －xx， ，1－－yy，，2－ －zz） ）＝ ＝mn（ （－ －11， ，01， ，20） ）， ，
x＝－1， 解得y＝1， 即 D(－1，1，2).
z＝2，
(2)依题意，得A→B ＝(－1，1，0)，A→C ＝(－1，0，2)，B→C ＝(0，－1，2).假设
存在实数α，β，使得A→C ＝αA→B ＋βB→C 成立，则有(－1，0，2)＝α(－1，1，
空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时 空间向量运算的坐标表示、空 间向量平行(共线)和垂直的条件
必备知识·自主学习
1.空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， ①a＋b＝_(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)_， ②a－b＝_(_a_1_－__b_1，__a_2_－__b_2_，__a_3－__b_3_)_， ③λa＝_(_λ__a_1_，__λ__a_2，__λ__a_3_)_， ④a·b＝_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_．
关键能力·合作学习 类型一 用坐标表示空间向量(直观想象)
【典例】(1)已知点 A 在基{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中 a＝i＋j，b＝j ＋k，c＝k＋i，则点 A 在基{i，j，k}下的坐标是( ) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) (2)在棱长为 1 的正方体 ABCDA′B′C′D′中，E，F，G 分别为棱 DD′，D′C ′，BC 的中点，以{A→B ，A→D ， AA' }为基，求向量A→E ，A→G ，A→F 的坐标．
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• 已知 A(2,3), B(3,-3), C(-1,21) • 证明 : A, B, C 三点共线. 证明： ∵A→B＝(1，-6)， A→C＝(-3，18)，
118(3)(6) 0
则A→B，A→C共线 , 即 A，B，C 三点共线.
类型三 根据向量共线求参数
例 设向量O→A＝(k,12)，O→B＝(4,5)，O→C＝(10，k)，
向量平行 的坐标表示
1．平面向量的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝ (x1＋x2，y1＋y2) ，即两个向量和的坐标等 于这两个向量相应坐标的和． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a－b＝ (x1－x2，y1－y2) ，即两个向量差的坐标 等于这两个向量相应坐标的差． (3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝ (λx，λy) ，即实数与 向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应 坐标．
2．共线向量定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一 个实数λ，使 b＝λa ，则向量b与非零 向量a 共线 ． (2)性质定理：若向量b与非零向量a 共线 ， 则存在一个实数λ，使得 b＝λa.
a b • 1、设 (1,2) (2,5)
• 则 a b (3,7) a b (1,3)
当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？
解:依题意,得
巩固练习 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)， 当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？
解：由已知得，ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得 k＝－31.
则存在实数λ使a λb，由平面向量基本定理可知
x1i y1 j λ x2 i y2 j λx2 i λy2 j
于是x1 λx2①, y1 λy2②
①
y2
②
x
，得
2
x1y2 x2y1 0.
若y1 0且y2 （0 即向量b不与坐标轴平行），则上式可变形为
x1 x2 . y1 y2
解： (2) 6 3 (4) 0a与b共线
(3)a (5,3),b (8,5)
解： 55 83 0 a与b不共线
已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)． 判断A→B与C→D是否共线？
解 A→B＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． C→D＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
定理：若两个向量（与坐标轴 不平行）平行，则它们相应的 坐标成比例. 定理：若两个向量相对应的坐 标成比例，则它们平行.
• 类型一： 判断向量是否共线
a b x1y2－x2y1＝0
与 共线
a b • （1） (3,2), (12,8)
解： 38 12 2 0a与b共线
(2)a (2,4),b (3,6)
2、已知 A(-5,-1) , B(3,-2) , 则
AB (8,1)
• 判断下列向量是否共线 根据b＝λa
a b • (1) (1,2), (3,6)
b 3aa与b共线
a b • (2) (1,2), (2,3)
b a a与b不共线
探究:向量平行（共线）的坐标表示
设a, b是非零向量，且a （x1, y1）, b x2, y2 .若a∥b，
( r
x1
,
yr1
),
b
r
(
x2
,
y2
)
a Pb b a x1y2 x2 y1 0
作业： 课本练习题
谢谢
已知向量 a (1, m),b (m,2)
若 a // b , 则实数 m 等于( C )
A． 2
B. 2
C. 2 或 2
D.0
已知向量 a＝(1,2)，b＝(λ，1)，
若(a＋2b)∥(2a－2b),则 λ 的值等于( A )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
A.2
B.3
C．1
D．2
利用向量共线确定点的坐标
【例 3】 如图，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)， 求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标．
∵ (－2)×(－6)－3×4＝0， ∴ A→B与C→D共线．
类型二: 三点共线问题 【例】 已知O→A＝(3,4)，O→B＝(7,12)，O→C＝(9,16)，
求证：A，B，C 三点共线．
证明： ∵A→BA→＝C＝O→BO→－C－O→AO→＝A＝(4，(6，8)，12)，
412 68 0
则A→B，A→C共线 , 即 A，B，C 三点共线.
分析：先设出点 P 的坐标，然后利用共线条件求解．
解：设 P(x，y)，则O→P＝(x，y)， 且O→B＝(4,4)，又O→P与O→B共线，所以 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，A→P与A→C共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解之得 x＝y＝3.
小结：
r
r
a r