通过齿轮公法线长度计算齿厚和齿侧隙
齿轮公法线偏差计算
偏差和齿轮的公法线长度有关，也就是说，同一精度级别的齿轮，由于它的齿数不同，公法线长度是不一样的，同理它的公法线长度的偏差范围也不是一样的。
公法线平均长度上偏差Ews=Ess*scosа-2e*sinа,Ess =-4fpt fpt齿距极限偏差（查表）公法线平均长度下偏差Ews=Esi*cosа+2e*sinа,Esi=-16 fpt公法线平均长度公差：Tw=Ts*cosа-4esinа,Ts=12 fpt1、式中2e为齿轮一转内最大的几何偏心量，为ΔFr2e=ΔFr=KFr,根据国标取K=0.72,式中Fr齿圈径向跳动公差有精度等级（查表）和分度圆直径决定2、式中α为压力角，标准渐开线圆柱齿轮α=20°3、式中Ess和Esi为齿轮齿厚上偏差和下偏差，通常齿轮副，两齿轮的Ess相同，Ess=fa*tagа+(jn min+J)/2cosа=-4Fpt①式中fa为齿轮副中心距极限偏差，②式中jn min为齿轮副公法线方向极限侧隙，叫作法向极限侧隙，jn min=jn1+jn2jn1=a(α1Δt1+α2Δt2)*2sinа(单位mm)a---齿轮副中心距α1，α2---线膨胀系数（45#钢齿：11.5*10^-6,铸铁箱体：10.5*10^-6）Δt---工作温升（相对于20℃）脚注1为齿轮，脚注2为壳体jn2=K*mn （单位um)mn---法向模数系数K---5~10（油池润滑）10（V<10m/s)齿轮线速度(喷油润滑）20（10<V<25)30(25<v<60)30~50(V>60)Esi=Ess+TsTs=(Fr^2+br^2)^1/2*2tagαFr---齿圈径向跳动（查表）br---切齿径向进刀公差（查表）4、小结要得到公法线长度上下偏差必须根据应用环境来确定精度等级，有三组公差精度分别为：运动精度、平稳性精度、接触精度，示例一、7-6-6GM、示例二、7FL第一个示例表示运动精度7，平稳性精度和接触精度6，G和M代表齿厚上下偏差分别为-6fpt和-20fpt(买本书或下载齿轮手册上面有标准），fpt查表得，它属平稳性精度参数，第二个示例表示三组公差精度都为7，其他同上，只是齿厚公差带偏上一点了，F=-4fpt,L=-16fpt。
齿轮副的精度指标和侧隙指标
公法线长度上偏差Ebns= Esns cos20°= - 0.067mm
公法线长度 下偏差Ebni= Esni cos20°= - 0.121mm
11.3齿轮副的精度指标和侧隙指标
齿轮传动是通过齿轮副实现的，其误差 直接影响齿轮的使用要求。对齿轮副的检验, 是按设计中心距安装后进行的一种综合检验, 从满足齿轮使用要求出发，规定的齿轮副检 验参数有中心距极限偏差和轴线的平行度偏 差,接触斑点，侧隙等。
2020/3/8
11.3.1齿轮副的精度 1.中心距极限偏差fa:
2020/3/8
2020/3/8
2020/3/8
2.最小侧隙和齿厚偏差的确定： Jbnmin=2/3(0.06+0.0005ai+0.03mn) Esns =-Jbnmin/2cosαn Esni = Esns-Tsn (Tsn =√Fr²+br²2tan αn 3.检验项目的选用： （1）齿轮精度等级和用途； （2）检验的目的； （3）齿轮的切齿工艺； （4）齿轮的生产批量； （5）齿轮的尺寸大小和结构形式； （6）现有的测试设备。 4.齿轮坯及箱体精度的确定：
果两个轴承的跨距相同，则用小齿轮轴和大齿轮轴
的一个轴承确定。垂直平面上的平行度偏差f 是
在与轴线公共平面相垂直的平面上测量的。
f 和 f的最大推荐值为：
式2020中/3/8 ，L为轴承跨距，b为齿宽。
2020/3/8
（3）接触斑点
接触斑点是指装配好的齿轮副，在轻微的制动
下，运转后齿面上分布的接触擦亮痕迹。
渐开线圆柱齿轮公法线长度及其上下偏差的确定
aaaaaa
0
cccccc dddddd
500 630 800 100 5
77.5
gggggg
3 4 4
55 7 62 00
8 1 1
0
hhhhhh iiiiii
5
jjjjjj kkkkkk
llllll
0
mmmmmm nnnnnn
0
oooooo pppppp
qqqqqq
0
0
70
15
(2)齿轮副齿厚下偏差Esni的计算
ii
jj
kk
ll
mm
nn
oo
pp
rr
ss
tt
-
vv
ww
xx
yy
zz
aaa
bbb
ccc
ddd
eee
fff
(2)超出上表的适用范围时，可采用分别计算补偿温度变形所需的最小极限侧隙jnmin1和 保证正常润滑所需的最小极限侧隙jnmin2（见表2）方法。
jn min = jn min 1 + jn min 2 ……………………………………………（10） jn min 1 = a (α1 ⋅ ∆t1 − α 2 ⋅ ∆t 2 ) ⋅ 2 sin α n ……………………………（11）
18 30 50 80 12
kkkk
mmmm
26 31 37
oooo
pppp
rrrr
ssss
tttt
uuuu
5
aaaaa bbbbb
23 27 31
ccccc
xxxx
yyyy
zzzz
43.5
hhhhh
ddddd
齿厚计算
#NUM! #NUM!
M值：
95.007
量棒直径dp：
3.996
有效渐开线终止圆直径
84.3
#NUM!
有效渐开线起始圆直径
92.5
建议：k= #NUM!
（四）：圆柱齿轮任意圆弧齿厚计算
法向模数mm
2.5 分圆端面弧齿厚Ss
齿数Z
75 分圆直径d
法向压力角αn
20 基圆直径db
分圆螺旋角β
0 任意圆端面压力角
Wn #NUM!
mt= 1.125043
Zk #NUM!
Xn 46.45145464
Kn #NUM!
= #NUM!
#NUM! #NUM!
#NUM!
分圆法向弧齿厚Sn
4.964 任意圆端面弧齿厚
外齿取1，内齿取-1
1 任意圆法向弧齿厚
任意圆直径
187.5 法向变位系数Xn Nhomakorabea端面压力角αs
20
4.964 187.5 176.1924 0.349066 4.964 4.964 0.569832
***注意：本计算法 中弧齿厚和变位系 数均为有材质部分
αfs= 1 端面模数 ms1 9 分圆直径 D1
渐开
（一）：已知公法线长度求M值和法向弧齿厚
齿轮参数：
计算结果：
齿数Z：
41 M值：
########
量棒直径dp（已
法向模数mn：
2.35 知）：
3.996
法向压力角αn(度）：
19 法向弧齿厚Sfn：
4.22223
分圆螺旋角βf(度）：
26 量棒接触圆直径dy ########
外齿轮取1，内齿轮取-
圆柱齿轮传动几何尺寸计算公式1
mz cos f
d f 1 153 .75 d f 2 256 .25
De1 163 .75 De2 266 .25 Di1 141 .25 Di2 243 .75
De
Di
De d f 2m fn
Di d f 2m( f n Cn )
ro
t
jn
ro
பைடு நூலகம்
一、直齿圆柱齿轮传动几何尺寸计数公式
名称 代号 公式 例 模数
m Z
m
tf
df z
m5
z1 30 z 2 50
齿数
z
cos
df
m
r0 rf
分度圆 压力角
f
df
De
f
f 20
d f 150
分度圆 直径 齿顶圆 直径 齿根圆 直径 基圆半 径 基节 周节
d f mz
fs
分 度 圆 螺旋角 分 度 圆 直径 齿 顶 圆 直径 齿 根 圆 直径 基 圆 半 径 法 向 基 节 端 面 基 节 法 向 周 节 端 面 周 节 齿顶高
f
df
cos f
zmn df
f 1 f 2 12 4049
d
f
d
f
mz cos
f1 f 2
153 .75 256 .25
d
De
De d f 2m（f n n )
Di d f 2m( f n n Cn )
De1 166 .75 De2 263 .25
Di
Di1 144 .25 Di2 240 .75
ro
齿轮公法线长度偏差的测量
WK WK+1 1 2 3 4
WK+1-WK= 5
Pb = 6
测量 结果
公法线长度变动量Δ Fw=
公法线平均长度偏差Δ Ewm= W －W ＝ (mm)
四、注意事项：
1．按公称公法线长度W，选择测量范围合适的公法线千分尺，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ并应注意校准其示值零位。 2．测量公法线长度时应注意千分尺两个碟形量砧的位置（或 指示 规两个量的位量）。见图：（a）图所示两个量砧与 齿 面在分度圆附近相切，位置正确；（b）图所示两个量砧与齿
面分别在齿顶和齿根处相切，不好；（c）图所示两个量砧与
表读取示值，并记入表中。 （4）所有测量值中的最大值Wmax与最小值Wmin之差为公法线
长度变动量Fw；
（5）所有读数的平均值与公法线公称长度之差为公法线平均 长度偏差EW m。 F W 和EW m应分别在公法线长度变动公差F W 和公法线平均 长度上偏差EWms 与下偏差E Wmi 范围内零件才为合格。
测量公法线平均长度偏差时， 需先计算被测齿轮公法线长度
的公称值W， 沿齿圈一周每次跨过一定齿数进行测量，所 得读数的平均值与公称值之差即为WmE∆ 值。
根据被测齿轮的模数、齿数和标准压力角等参数计算跨 齿数和 公称公法线长度W，计算公式：
+2
m、z、α——齿轮的模数、齿数、标准压力角； invα——渐开线函数，inv20度为0.014904;
内，所有实际公法线长度的平均值W平均与公法线长度公称值 W之差，即： △Ewm ＝W平均- W 它反映齿厚减薄量。 其测量目的是为了保证齿侧间隙。
公法线千分尺测量公法线原理图
公法线千分尺量仪说明和测量原理
3. 齿轮公法线长度通常使用公法线干分尺或公法线指
齿轮副侧隙计算方法
润滑方式 油池润滑
喷油润滑
齿 轮 线 速 度%&&+:"
1#"% "%#1#(* (*#1#.%
1$.%
/-8%#& #*""%$0-
"%0(%0’%0#’%"*%$0-
注’0- 为法向模数
#($/-9是考虑齿轮传 动 的 温 度 变 化! 这 时 由 于 齿 轮 和箱体的材料不同!温度不同以及材料的线膨胀系数不 同!而使原侧隙/-8发 生 减 小 #或 增 大$! 所 以! 除 前 述 /-8外! 还需加上/-9的补偿" 所以
;%!$"&&! "理论值# 最 大 法 向 侧 隙/-&8F;/E&8F<=+!;%!.$6<=+(%1&&
;%!.%&&! "理论值# 若考虑加工及安装产生的基节$轴向$轴线平行度 和中心距偏差%则有! 最小法向侧隙/-&,-;%!$":%38% (+,-!-:4
;%!’$" "&&# 最大法向侧隙/-&8F;%!.%7%38% (+,-!-74
%!%"#
3B
% ! 基节极限偏差 3C9
?%!%(%
3C9
&!齿向公差 :’ 接触斑点 按齿高不小于
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按齿长不小于 /%D
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公法线尺寸测量
测量公法线长度是渐开线圆柱齿轮控制齿厚的常用方法齿轮实际使用中有哪些4个性能要求1）传递运动的准确性（2）运转的平稳性（3）载荷分布的均匀性（4）传动侧隙直齿圆柱齿轮公法线长度计算公式如下：W=cos(a)*m*[pi*(k-0.5)+z*inv(a)]+2*x*m*sin(a)inv(a)是渐开线函数，k是跨齿数。
由于变位后模数、齿数、压力角均不变，而跨齿数K值也因总齿数已确定，剩下的能影响W值的只有变位系数。
由此可知变位系数与公法线长度是有确关系的，它们之间是可以相互转换的。
如果你有一个已知变位系数的齿轮，那么便可用上述公式计算出公法线长度进行测量。
相反如果已知公法线长度就能计算出变位系数。
其它更多参数的计算可以参考《机械设计手册》。
本人正在开发这方面换算的软件，公法线长度、变位系数和跨棒距之间可以互相换算。
需要的话可以联系我，为你定制一个。
1、选择测帽：测量时被测物体与测帽间的接触面必须最小，即近于点或线接触。
因此在测量平面时，须使用球面测帽，测量柱面时宜采用刀刃形或平面测帽，对球形物体则应采用平面测帽。
2、工作台的选择与校正：工作台分平面工作台和槽面工作台，其选择原则与测帽的要求相同。
对于可调整工作台，为保证测杆与工作台面垂直，测量前必须进行校正。
先选择一与被测工件尺寸相同的量块大致放在工作台的中央，光学计管换上最大直径的平面测帽，使测帽平面的1/4与量块接触。
调整仪器至目镜中看到分划板刻度为止。
然后旋动工作台调节螺丝，使其前后移动，并从目镜中观看分划板示值的变化，若在测帽平面的四个位置的读数变化小于1／5格分度值，则表示工作台的校正已完成。
3、调整反射镜，并缓慢地拨动测帽提升杠杆，从目镜中能看到标尺影象，若此影象不清楚可调整目镜视度环。
4、松开横臂紧固螺钉，调整手柄，使光管上升至最高位置后固紧螺钉。
5、按被测零件的基本尺寸组合所需量块尺寸。
一般是从所需尺寸的未位数开始选择，将选好的量块用汽油棉花擦去表面防锈油，并用绒布擦净．用少许压力将两量块工作面相互研合。
直齿圆柱齿轮变位系数、公法线长度、齿厚、最小法向侧隙的计算
外啮合直齿圆柱齿轮变位系数、公法线长度、齿厚、最小法向侧隙的计算1，直齿圆柱齿轮变位系数计算：Case1：a，此处例子仅计算用齿条型刀具加工时的情况（插齿刀加工见相关手册公式）：小结：由此可知本例选取的齿数在不变位的情况也不会产生根切现象。
b，根据下图选择大小齿轮的变位系数和x∑。
本例在P6-P7区间取值。
即齿根及齿面承载能力较高区，进行选择。
因大小齿轮的齿数和为18+19=37。
所以本例选择的变位系数和x∑=0.8。
本例我们的两个齿轮在工作时属于减速运动，所以按减速运动的变位系数分配线图，进行2个齿轮的变位系数的选择。
先按(z1+z1)/2=18.5，作为横坐标，做一条垂线（图中蓝色的线），再按x∑/2=0.4，作为纵坐标，做一条水平线（图中橙色的线），接着沿着L线的趋势，穿过上面2条线的交点做一条射线（图中红色的线）最后按大小齿轮的齿数做相应的垂线（图中紫色的线），即得到需要的各自变位系数。
最后我们选择的变位系数即为：小齿轮x1=0.42，大齿轮x2=0.38。
【基本保障其和与之前x ∑一致，即可】。
c，验算变位后的齿顶厚度：注：一般要求齿顶厚Sa≥0.25m；对于表面淬火的齿轮要求Sa≥0.4m下表中的da的计算见后面的计算表格中的计算公式（因为当齿轮变位后，齿顶圆的计算和未变位齿轮的计算稍有差别-涉及到变位系数和中心距变位系数。
）。
分度圆直径db mm 73.8 77.9齿轮的齿顶圆直径da mm 83.027 86.799齿轮的齿顶压力角αa °27.27 26.17中间值invα0.0215 0.0215中间值invαa 0.0587 0.0347齿顶厚Sα 5.77 7.47判断值0.25m 1.025 1.025判断值0.4m 1.64 1.64小结：计算发现变位后的齿轮齿顶厚满足设计需求。
根据上面确定的变位系数，计算齿轮的中心距变位系数和节圆直径、齿根圆直径、齿顶圆直径。
齿轮公法线长度的测量
实验三 齿轮公法线长度的测量（一） 实验目的（1）掌握测量齿轮公法线长度的方法。
（2）熟悉公法线平均长度偏差和公法线长度变动的计算方法，并理解两者的含义和区别。
（二） 实验内容（1）用公法线千分尺测量齿轮的公法线长度。
（2）根据测得值计算公法线平均长度偏差和公法线长度变动。
（三） 计量器具说明公法线长度可用公法线千分尺、公法线指示卡规和万能测齿仪等测量。
公法线千分尺应用最多。
如图3-1所示，它与普通外径千分尺相似，只是改用了一对直径为30mm 的盘形平面测头，其读数方法与普通千分尺相同。
图3-1 公法线长度测量（四） 测量原理公法线长度变动ΔF W 是指在齿轮一周范围内，实际公法线长度最大值与最小值之差。
公法线平均长度偏差ΔF W 是指在齿轮一周范围内，公法线实际长度的平均值与公称值之差。
测量时，要求测头的测量平面在齿轮分度圆附近与左、右齿廓相切，因此跨齿数k 不是任取得。
当齿形角α=20°，齿数为z 时，取5.09+=z k 的整数（四舍五入）。
对于直齿圆柱齿轮，公法线长度的公称值W 可按下式计算：ααπαsin 2])5.0([cos xm zinv k m W ++−=式中：m ————被测齿轮模数；α————齿形角；z—————齿数；k—————跨齿数；x—————变位系数。
当α=20°，变位系数x = 0时，]014.0)12(476.1[z k m W +−=W 和k 值也可从表3-1中查出。
表3-1 直齿圆柱齿轮公法线长度的公称值（α=20°，m=1，x=0）（五）测量步骤（1）根据被测齿轮的α，m，z值，按上述公式计算或查表3-1确定被测齿轮的跨齿数k和公法线公称长度。
（2）用标准校对棒或量块校对所用千分尺的零位。
（3）用左手捏住公法线千分尺，将两测头伸入齿槽，夹住齿侧测量公法线长度，齿轮不动，左右摆动千分尺，同时用右手旋动千分尺套筒，使两测头合拢，直到手感到测头夹紧齿侧后，从千分尺的标尺上读数，此数即为公法线长度。
齿轮侧隙及齿厚偏差自动计算表
Ess
-66.0 μm
Esi
-176.0 μm
Ess*cosα n0.72Fr*sin αn
计算结果： Esi*cosα n+0.72Fr*s inαn 计算结果：
-75.80997 μm -151.5956 μm
Ewms/(sin αMt*cosβ b) 计算结果 Ewms/(sin αMt*cosβ b)*cos(π /2z)
★齿厚及 公法线偏 差计算
最小法向极 限侧隙
jbnmin
jnmin=1000* a(α1*Δ
t1-α2*Δ
t2)*2*sin
αn+δ
*mn*1000
齿轮法向模数mn
齿轮法向压力角αn
中心距a 齿轮材料的线膨胀系数 α1 箱体材料的线膨胀系数 α2 齿轮温升Δt1(相对20 度) 箱体温升Δt2(相对20 度)
＞60
喷油润滑 0.01
0.02
0.03 0.03～0.05
油池润滑
0.005～0.01
表10-5 第I公差组精度等级 br
5
6
7
8
9
IT8 1.26IT8 IT9 1.26IT9 IT10
齿厚公差
齿圈径向跳动公差
径向切深公差
齿厚下偏差
齿距极限偏差Fpt 齿厚上偏差/Fpt 齿厚下偏差/Fpt
Ts=2*tanα n*(Fr^2+br ^2)^0.5 Fr
-180.9787
偶数齿
本表不属 于国家标 准,仅供 注:1 参考.
2 αMt1= 25 3 螺旋角β 8.1094
见标准齿轮 参数计算
4
βb= 0.132949
机械制造与自动化专业《影响齿轮副侧隙的偏差》
知识点五：影响齿轮副侧隙的偏差
• 2〕公法线长度偏差 • 公法线长度偏差是指齿轮一圈内，实际公法线长度Wa与公称公法线长度W之差。
公法线长度上偏差代号为Ebns，下偏差代号为Ebni。
Pb
Sb
Pb
图6-49 直齿圆柱齿轮公法线长度
• 知识点五： • 影响齿轮副侧隙的差知识点五：影响齿轮副侧隙的偏差
为了保证齿轮副的齿侧间隙，就必须控制轮齿的齿厚，齿轮轮齿的减薄量可由齿 厚偏差和公法线长度偏差来控制。
1〕齿厚偏差 齿厚偏差是指在分度圆柱上，齿厚的实际值与公称值之差〔对于斜齿轮齿厚是指
法向齿厚〕，如图9所示。齿厚上偏差代号为Esns，下偏差代号为Esni。
齿轮侧隙及齿厚偏差自动计算表
★齿厚及公法线偏差计算齿轮编号:编制:打印日期：最小法向极限侧隙j bnmin j nmin =1000*a(α1*Δt1-α2*Δt2)*2*sin αn+δ*m n *1000齿轮法向模数mn 3齿轮法向压力角αn 20 中心距a 110mm 齿轮材料的线膨胀系数α1 1.15E-05钢为11.5*10-6箱体材料的线膨胀系数α2 1.05E-05铸铁为10.5*10-6齿轮温升Δt1(相对20度)25箱体温升Δt2(相对20度)10润滑状况系数δ0.01查表10-4计算结果：43.7μm 侧隙减小量j bnJn=(F pb 1^2+F pb 2^2+2.104*F β^2)^0.5小齿轮基节极限偏差f pb118μm 大齿轮基节极限偏差f pb220μm 齿向公差F β21μm 计算结果：40.6μm 齿厚上偏差Ess=-((j nmin +J n )/(2cos αn)+fa*tan αn)中心距极限偏差f a 31.5计算结果：-56.4μm 齿厚公差Ts=2*tan αn*(Fr^2+br^2)^0.5齿圈径向跳动公差Fr 56径向切深公差br 145根据分度圆直径从表10-5查取计算计算结果：113.1μm 齿厚下偏差Esi=Ess-Ts 齿距极限偏差Fpt22.0μm 齿厚上偏差/Fpt-2.6-3按齿厚极限偏差表取整齿厚下偏差/Fpt-7.7-8按齿厚极限偏差表取整计算结果：-169.5μm 齿厚上偏差取值:Ess -66.0μm 注:1本表不属于国家标准,仅供参考.齿厚下偏差取值:Esi -176.0μm 2αMt1=25见标准齿轮参数计算3螺旋角β=8.1094公法线平均长度上偏差EwmsEss*cos αn-0.72Fr*sin αn 4βb=0.132949计算结果：-75.80997μm 5齿数z=20大,小齿轮分别计算公法线平均长度下偏差Ewmi Esi*cos αn+0.72Fr*sinαn 计算结果：-151.5956μm 2016/12/20大齿轮表10-4≤10＞10～25＞25～60＞60喷油润滑0.010.020.030.03～0.05油池润滑圆周速度v(m/s)润滑方式0.005～0.01表10-5第I 公差组精度等级56789br IT8 1.26IT8IT9 1.26IT9IT10。
渐开线圆柱齿轮齿厚测量方法及其计算公式
渐开线直齿圆柱齿轮齿厚测量方法及其计公算式本文意欲回答读者在查阅设计手册时无从知晓而常常提出来的关于几个基本含义的问题：什么是公法线？什么是量柱距？什么是固定弦和分度圆弦？它们的计算公式是怎样推出来的等等。
渐开线圆柱齿轮常用的齿厚测量方法有公法线长度、量柱（或球）距、分度圆弦齿厚、固定弦齿厚四种方法。
后两种方法是测量单个齿，一般用于大型齿轮。
对于精度要求不太高的齿轮也常用分度圆弦测量法。
公法线长度测量在外齿轮上用得最多，内齿轮也可用；大齿轮测量因受量具限制很少用。
量柱距测量主要用于内齿轮和小模数齿轮。
1. 公法线长度测量（1）公法线及其长度计算式对于渐开线齿廓，根据渐开线的性质，其上任意点的法线总是和基圆相切，因此用两个平行的卡爪卡住几个齿时（见图1），两个卡爪接触点A 、B 的连线必定与基圆相切于某一点C ，这条AB 连线就叫公法线，一般用W k 表示；下标k 表示卡住的齿数。
图1中，根据渐开线的性质，A C ＝A C ')；B C ＝B C '⌒；A B ＝A B ''⌒。
A B 是（k-1）个基圆齿距p b和一个基圆齿厚S b 之和，即：(1)(1)cos k b b b W k p S k m S πα=-+=-+……（1-1） 式中，k –跨测齿数；α–压力角（°）； m –模数，mm ；分度圆和基圆上的齿厚具有如下关系：22b bs sinv invo r r α+=+ 由上等式可得：(2tan )22b b b r ms xm r inv r παα=++ 图1 公法线长度的测量计算 =1cos 2sin cos 2m xm zm inv παααα++…………（1-2） 将（1-2）式代入（1-1）式，经整理后可得公法线长度计算式为：cos [(0.5)2tan ]k W m zinv k x ααπα=+-+…………（1-3）式中，z –齿轮的齿数； inv α–渐开线函数；x –变位系数；若模数m=1,（1-3）式变为：cos [(0.5)2tan ]k W zinv k x ααπα=+-+cos [(0.5)2sin zinv k x ααπα=+-]+K k W W **=+∆…………（1-4）（1-4）式中第二行的前一项cos (0.5)k W k ααπ*=+-［zinv ］就是m=1的标准齿轮的公法线长度。
齿轮公法线偏差计算
偏差和齿轮的公法线长度有关，也就是说，同一精度级别的齿轮，由于它的齿数不同，公法线长度是不一样的，同理它的公法线长度的偏差范围也不是一样的。
公法线平均长度上偏差Ews=Ess*scosа-2e*sinа, Ess =-4fpt fpt齿距极限偏差（查表）公法线平均长度下偏差Ews=Esi*cosа+2e*sinа, Esi=-16 fpt公法线平均长度公差：Tw=Ts*cosа-4esinа, Ts=12 fpt1、式中2e为齿轮一转内最大的几何偏心量，为ΔFr2e=ΔFr=KFr,根据国标取K=0.72,式中Fr齿圈径向跳动公差有精度等级（查表）和分度圆直径决定2、式中α为压力角，标准渐开线圆柱齿轮α=20°3、式中Ess和Esi为齿轮齿厚上偏差和下偏差，通常齿轮副，两齿轮的Ess相同，Ess=fa*tagа+(jn min+J)/2cosа=-4Fpt①式中fa为齿轮副中心距极限偏差，②式中jn min为齿轮副公法线方向极限侧隙，叫作法向极限侧隙，jn min=jn1+jn2jn1=a(α1Δt1+α2Δt2)*2sinа(单位mm)a---齿轮副中心距α1，α2---线膨胀系数（45#钢齿：11.5*10^-6,铸铁箱体：10.5*10^-6）Δt---工作温升（相对于20℃）脚注1为齿轮，脚注2为壳体jn2=K*mn （单位um)mn---法向模数系数K---5~10（油池润滑）10（V<10m/s)齿轮线速度(喷油润滑）20（10<V<25)30(25<v<60)30~50(V>60)Esi=Ess+TsTs=(F r^2+br^2)^1/2*2tagαFr---齿圈径向跳动（查表）br---切齿径向进刀公差（查表）4、小结要得到公法线长度上下偏差必须根据应用环境来确定精度等级，有三组公差精度分别为：运动精度、平稳性精度、接触精度，示例一、7-6-6GM、示例二、7FL第一个示例表示运动精度7，平稳性精度和接触精度6，G和M代表齿厚上下偏差分别为-6fpt和-20fpt(买本书或下载齿轮手册上面有标准），fpt查表得，它属平稳性精度参数，第二个示例表示三组公差精度都为7，其他同上，只是齿厚公差带偏上一点了，F=-4fpt,L=-16fpt。
平行轴齿轮计算(DIN3960)
平行轴圆柱齿轮计算小齿轮大齿轮啮合中心距a"=法向模数Mn= 6.000 6.000法向压力角(deg)an=20.00020.000分圆螺旋角(deg)β=10.140L -10.140L法向变位系数Xn=0.4000#DIV/0!齿轮齿数Z=15.000-58.000齿宽B=120.00013.000法向侧隙选择范围jnmin>=0.080jnmin<=0.160法向侧隙jnmin=0.000齿顶高系数ha*= 1.000 1.000顶隙系数C*=0.2500.250齿顶高降低系数k*=#DIV/0!#DIV/0!齿端最小倒角Cbmin=0.5000.500齿顶最小倒角Camin=0.2000.200顶圆直径da=#DIV/0!#DIV/0!根圆直径df=81.228#DIV/0!分圆直径d=91.428-353.522节圆直径d"=#DIV/0!#DIV/0!基圆直径db=85.754-331.582全齿高h=#DIV/0!#DIV/0!工作齿高hw=#DIV/0!#DIV/0!公法线跨齿数K= 2.000#DIV/0!公法线长度W=29.529#DIV/0!公法线长度上偏差Ews=-0.025-0.029公法线长度下偏差Ewi=-0.051-0.058选择量球直径Dp=12.220#DIV/0!#DIV/0!#DIV/0!量球触点渐开线角(rad)amt=0.579#DIV/0!量球距M=114.117#DIV/0!量球距上偏差Ems=-0.046#DIV/0!量球距下偏差Emi=-0.094#DIV/0!分度圆法向齿厚Sn=11.172#DIV/0!法向齿厚上偏差Ess=-0.027-0.031法向齿厚下偏差Esi=-0.054-0.062端面重合度εα=#DIV/0!#DIV/0!←内齿轮取负值←内齿轮取←此值=0时，为无侧隙设计计算总重合度εγ=#DIV/0!#DIV/0!滑动系数η=#DIV/0!#DIV/0!齿根圆角半径（最大）rρmax=#DIV/0!#DIV/0!#DIV/0!#DIV/0!渐开线起始点直径（最大）dsp=#DIV/0!#DIV/0!标准中心距a=-131.047-131.047任意圆直径（默认为顶圆）dx=#DIV/0!#DIV/0!任意圆上的法向齿厚Snx=#DIV/0!#DIV/0!基圆螺旋角βb=0.166-0.166基圆端面齿厚Sbt=11.982#DIV/0!基圆法向齿厚Sbn=11.817#DIV/0!分度圆端面齿厚St=11.349#DIV/0!端面有效啮合长度Lt=#DIV/0!#DIV/0!有效渐开线终止曲率半径ρmax=#DIV/0!#DIV/0!有效渐开线终止角(deg)αmax=#DIV/0!#DIV/0!节点渐开线曲率半径ρj=#DIV/0!#DIV/0!节点渐开线展开角(deg)αj=#DIV/0!#DIV/0!有效渐开线起始圆直径dw=#DIV/0!#DIV/0!有效渐开线起始曲率半径ρmin=#DIV/0!#DIV/0!有效渐开线起始角(deg)αmin=#DIV/0!#DIV/0!起测点渐开线曲率半径ρqc=#DIV/0!#DIV/0!起测点渐开线展开角(deg)αqc=#DIV/0!#DIV/0!渐开线起测直径dqc=#DIV/0!#DIV/0!渐开线评价终点曲率半径ρzp=#DIV/0!#DIV/0!渐开线评价终点展开角(deg)αzp=#DIV/0!#DIV/0!渐开线评价终点直径dzp=#DIV/0!#DIV/0!结论#DIV/0!#DIV/0!无侧隙设计计算。
齿轮公法线上下偏差计算公式
齿轮公法线上下偏差计算公式公法线平均长度上偏差Ews=Es*scosа-2e*sinа,公法线平均长度下偏差Ews=Esi*cosа+2e*sinа,公法线平均长度公差：Tw=Ts*cosа-4esinа,1、式中2e为齿轮一转内最大的几何偏心量，为ΔFr2e=ΔFr=KFr,根据国标取K=,式中Fr齿圈径向跳动公差有精度等级和分度圆直径决定（你未给出分度圆直径及应用，所以我没办法给你准确数，你自己查表）。
2、式中α为压力角，标准渐开线圆柱齿轮α=20°3、式中Ess和Esi为齿轮齿厚上偏差和下偏差，通常齿轮副，两齿轮的Ess 相同，Ess=fa*tagа+(jn min+J)/2cosа①式中fa为齿轮副中心距极限偏差，②式中jn min为齿轮副公法线方向极限侧隙，叫作法向极限侧隙，jn min=jn1+jn2jn1=a(α1Δt1+α2Δt2)*2sinа(单位mm)a---齿轮副中心距α1，α2---线膨胀系数（45#钢齿：*10^-6,铸铁箱体：*10^-6）Δt---工作温升（相对于20℃）脚注1为齿轮，脚注2为壳体jn2=K*mn （单位um)mn---法向模数系数K---5~10（油池润滑）10（V<10m/s)齿轮线速度(喷油润滑）20（10<V<25)30(25<v<60)30~50(V>60)Esi=Ess+TsTs=(Fr^2+br^2)^1/2*2tagαFr---齿圈径向跳动（查表）br---切齿径向进刀公差（查表）4、小结要得到公法线长度上下偏差必须根据应用环境来确定精度等级，有三组公差精度分别为：运动精度、平稳性精度、接触精度，示例一、7-6-6GM、示例二、7FL第一个示例表示运动精度7，平稳性精度和接触精度6，G和M代表齿厚上下偏差分别为-6fpt和-20fpt(买本书或下载齿轮手册上面有标准），fpt查表得，它属平稳性精度参数，第二个示例表示三组公差精度都为7，其他同上，只是齿厚公差带偏上一点了，F=-4fpt,L=-16fpt。
公法线长度和跨球（圆柱）尺寸的测量
圆柱齿轮检验实施规范第2部分：径向综合偏差、径向跳动、齿厚和侧隙的检验齿厚、公法线长度和跨球（圆柱）尺寸的测量（GB/Z18620.2-2002）6 齿厚、公法线长度和跨球（圆柱）尺寸的测量测得的齿厚常被用来评价整个齿的尺寸或一个给定齿轮的全部齿尺寸。
它可根据测头接触点间或两条很短的接触线间距离的少数几次测量来计值，这些接触点的状诚和位置是由测量法的类型（公法线、球、圆柱或轮齿卡尺）以及单个要素偏差的影响来确定的。
习惯上常假设整个齿轮依靠一次或两次测量来表明其特性。
控制相配齿轮的齿厚是十分重要的，以保证它们在规定的侧隙下运行。
有些情况下，由于齿顶高的变位，要在分度圆直径d处测量齿厚不太容易，故而用一个计算式给出在任何直径d y处齿厚s，见图16，推荐选取d y=d+2m n x。
图16 齿顶高和弦齿厚6.1齿厚的测量用齿厚游标卡尺测齿厚齿厚游标卡尺不能用于测量内齿轮。
侧隙的允许偏差没有包括在s ync齿厚的公称值内，应从公称值减去上上偏差E syns 和下E syni。
E syni和E syns应有正负号。
用齿厚游标卡尺测齿的弦齿厚的优点，是可以用一个手持的量具进行测量，携带方便和使用简便是其主要优点，见图17。
图17 用齿厚游标卡尺测量弦齿厚测量弦齿厚也有其局限性，由于齿厚卡尺寸的两个测量腿与齿面只是在其顶尖角处接触而不是在其平面接触，故测量必须要由有经验的操作者进行。
另一点是，由于齿顶圆柱面的精确度和同心度的不确定性，以及测量标尺分辨率很差，使测量不甚可靠。
如果可能的话，应采用更可靠的公法线长度、圆柱销或球测量法来代替此法。
6.2 公法线长度的测量公法线W K的长度是在基圆柱切平面（公法线平面）上跨K个齿（对外齿轮）或k个齿槽（对内齿轮）在接触到一个齿的右齿面和另一个齿的左齿面的两个平行平面之间测得的距离。
这个距离在两个齿廓间沿所有法线都是常数（见图18和图19）。
图18 斜齿轮公法线测量图19 在基圆柱切平面上的公法线测量的极限尺寸在外齿轮的实际测量时，按规定作出的两内侧平行平面就是度量表面，以测量它们之间的距离。
(整理)渐开线圆柱齿轮齿厚测量方法及其计算公式
渐开线直齿圆柱齿轮齿厚测量方法及其计公算式本文意欲回答读者在查阅设计手册时无从知晓而常常提出来的关于几个基本含义的问题：什么是公法线？什么是量柱距？什么是固定弦和分度圆弦？它们的计算公式是怎样推出来的等等。
渐开线圆柱齿轮常用的齿厚测量方法有公法线长度、量柱（或球）距、分度圆弦齿厚、固定弦齿厚四种方法。
后两种方法是测量单个齿，一般用于大型齿轮。
对于精度要求不太高的齿轮也常用分度圆弦测量法。
公法线长度测量在外齿轮上用得最多，内齿轮也可用；大齿轮测量因受量具限制很少用。
量柱距测量主要用于内齿轮和小模数齿轮。
1. 公法线长度测量（1）公法线及其长度计算式对于渐开线齿廓，根据渐开线的性质，其上任意点的法线总是和基圆相切，因此用两个平行的卡爪卡住几个齿时（见图1），两个卡爪接触点A 、B 的连线必定与基圆相切于某一点C ，这条AB 连线就叫公法线，一般用W k 表示；下标k 表示卡住的齿数。
图1中，根据渐开线的性质，A C ＝A C ')；B C ＝B C '⌒；A B ＝A B ''⌒。
A B 是（k-1）个基圆齿距p b和一个基圆齿厚S b 之和，即：(1)(1)cos k b b b W k p S k m S πα=-+=-+……（1-1） 式中，k –跨测齿数；α–压力角（°）；m –模数，mm ；分度圆和基圆上的齿厚具有如下关系：22b bs sinv invo r r α+=+ 由上等式可得：(2tan )22b b b r ms xm r inv r παα=++ 图1 公法线长度的测量计算 =1cos 2sin cos 2m xm zm inv παααα++…………（1-2） 将（1-2）式代入（1-1）式，经整理后可得公法线长度计算式为：cos [(0.5)2tan ]k W m zinv k x ααπα=+-+…………（1-3）式中，z –齿轮的齿数； inv α–渐开线函数；x –变位系数；若模数m=1,（1-3）式变为：cos [(0.5)2tan ]k W zinv k x ααπα=+-+cos [(0.5)2sin zinv k x ααπα=+-]+K k W W **=+∆…………（1-4）（1-4）式中第二行的前一项cos (0.5)k W k ααπ*=+-［zinv ］就是m=1的标准齿轮的公法线长度。