不等式高等数学证明方法论文

不等式的高等数学证明方法

内容摘要：在初等数学中，我们对不等式的证明采用移项初等变形方法达到证明不等式的目的，但有些不等式仅利用此方法证起来很麻烦，甚至证不出来，因此总结了一些用高等数学的方法来证明不等式，如利用中值定理，函数单调性，函数的极值，凸凹性，概率的方法等。

关键词：不等式证明方法

在学习数学的过程中，不等式证明是非常重要的，下面主要介绍一些用高等数学的知识证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野.

1. 拉格朗日中值定理与函数单调性

1.1 拉格朗日中值定理

若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间[a,b]上连续；(ii)f在开区间（a,b）内可导，则在(a,b)内至少存在一点,使得（1），其中（1）被称为拉格朗日公式。

例、证明不等式，其中0分析：应用拉格朗日中值定理，关键是找出函数及区间，这可结合不等式特点找，则此不等式可改为,由此猜到取,区间在[a,b].

证明：由于,取,而在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，故由拉格朗日中值定理，存在使得

又01.2 函数单调性

定理1.2 设函数在区间i上可导，则在上递增的充要条件是.

例、证明不等式

证明：设.则

.则

进而有

.

根据函数单调性则当时有： ,

.进而得.

2. 柯西中值定理

定理2.1（柯西中值定理）设函数和满足：（i）在[a,b]上都连续（ii）在（a,b）内都可导（iii）和不同时为0 （iv）则存在使得.

例．，证明：.

证明：设，则.对于在[a,b]上应用柯西中值定理有：.设，考察.由于，显然当时，即.所以在时单调递减，从而有，

即.故.

3. 函数极值与最值

通过变换，把某些问题归纳为求函数极值达到证明不等式的目的。

例：设，求证：.

证明：令=-2+

当时， .当时，.

故.

4. 函数的凸凹性和詹森不等式

4.1 函数的凸凹性

定义：设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点和对于任意的实数总有：,则称为上的凸函数.反之，若总有：则称为上的凸函数。

函数凸凹性的判别方法：（1）为上的凸函数的充要条件是：对于上任意三点，总有.

（2）设为在区间上的可导函数，则下述论断互相等价：1’为上的凸函数.2’为上的增函数.3’对上的任意两点有

（3）设函数为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是.

4.2 詹森不等式

1.定义:若函数为上的凸函数，则对任意的,有.

2.应用。例．证明不等式,其中均为正数。

证明：设,由的一阶和二阶导数,.

.可见在时为严格凸函数.依詹森不等式有:.从而有:

即:.

又因为.所以.

5. 概率

不等式的证明也可用概率的方法。

例：设函数且这里

求证：.

证明：由题所给的已知条件知非负,且,所以为某一随机变量的密度函数,则

.

即：

6. 隐函数

1.隐函数定理：若满足下列条件：（i）函数在以为内点的某一区域上连续；（ii）（通常称为初始条件）；（iii）在内存在连续的偏导数；（iv），则在点的某临域内，方程唯一地确定了一个定义在某区间内的函数（隐函数），使得①时且；②在内连续.

不等式的证明方法有许多种，当然一道题可以有多种证明方法，下面我从一道题的证明方法来体会一下不等式证明的多样性。

例如：当时，试证：.

利用函数单调性证法：令

则.显然对任意的，有.根据不等式定理：对任意的，都有.即：。

当然还有更多证法，可见不等式证明中的灵活多样，这样可以引起学生学习兴趣，激活学生思维，是培养学生观察力、判断力、推理能力的最好催化剂。

参考文献：

[1].余元希田万海毛宏德《初等代数研究》

[2].华东师范大学数学系编《数学分析》

[3].盛祥耀《高等数学》高等教育出版社