最新精品 新教材高一数学必修二学案 6.2.4 向量的数量积

6.2.4 向量的数量积

【学习目标】

素 养 目 标

学 科 素 养

1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点）

2.理解a 在b 上的投影向量的概念。（重点）

3. 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点）

4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。

1.数学运算;

2.数学抽象；

3.逻辑推理。

【自主学习】

一．两向量的夹角

1.定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量a 与b ；

②当θ＝π

2

时，向量a 与b ，记作a ⊥b ；

③当θ＝π时，向量a 与b ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与AB →的夹角．作AD →＝CA →，则∠BAD 才是向量CA →与AB →的夹角． 二．向量的数量积

已知两个 向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的 (或 )，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ为a ，b 的夹角)． 规定：零向量与任一向量的数量积为 .

注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量，不再是向量；

(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零． 三．投影向量

若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θ e .

当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝π

2

时，投影向量为 ；当θ＝π时，投影向量

为 .

四．向量数量积的性质

设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝ . (2)a ⊥b ⇔ ．

(3)当a 与b 同向时，a·b ＝ ；当a 与b 反向时，a·b ＝ ．特别地，a·a ＝ 或|a |＝a·a .

(4)|a·b |≤|a ||b |.

(5)cos θ＝a ·b

|a ||b |

，其中θ是非零向量a 与b 的夹角．

数量积的性质的应用:

性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题；

性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模；

性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题；

性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式．

五．向量数量积的运算律

已知向量a，b，c和实数λ，则

(1)交换律: ；

(2)数乘结合律：；

(3)分配律： .

注意:(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a ＝b.

(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c 与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(3)推论：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.

【小试牛刀】

思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1) 两个向量的数量积仍然是向量．( )

(2)若a·b＝0，则a与b至少有一个为零向量．( )

(3)若a·b>0，则a与b的夹角为锐角．( )

(4)若a·c＝b·c(c≠0)，则a＝b.( )

(5)对于任意向量a，都有a·a＝|a|2.( )

(6)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.( )

【经典例题】

题型一求平面向量的数量积

点拨：求向量的数量积时，需明确两个关键点：模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．

例1 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，试求：

(1)a·b；

(2)(a＋b)·(a－b)；

(3)(2a－b)·(a＋3b)．

【跟踪训练】1如图，在▱ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝3，∠DAB＝60°，求：

(1) AB→·DA→；(2) AC→·BD→.

题型二求向量的模

点拨：求模问题一般转化为求模的平方，灵活应用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2．

例2 已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝ 。

【跟踪训练】2 已知向量a 与b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________.

题型三 求两向量的夹角

点拨：求向量a 与b 夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，利用cos θ＝

a·b

|a ||b |

，θ∈[0，π]，

求出θ的值．

在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．

例3 (1)已知|a |＝6，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则a 与b 的夹角为________； (2)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为__ ____．

【跟踪训练】3 已知单位向量e 1，e 2的夹角为π

3

，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角．

题型四 利用向量垂直求参数

点拨：常用向量数量积的性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0解决向量垂直问题，应熟练掌握.

例4 已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，则当k 为何值时，向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直？

【跟踪训练】4已知向量a 与b 的夹角是π

3

，且|a |＝1，|b |＝2，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数

λ＝________．

【当堂达标】

1.下列命题正确的是( ) A ．|a ·b |＝|a ||b |

B ．a ·b ≠0⇔|a |＋|b |≠0

C ．a ·b ＝0⇔|a ||b |＝0

D ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c