不等式的解法(独门绝招6)

不等式的解法

独门绝招（6）

一、 绝对值不等式

四类绝对值不等式的等价转化与活用.

Ⅰ、形如|()|f x a <，|()|f x a >()a R ∈型不等式.

① 等价转化：|()|()f x a a f x a <⇔<-<<

|()|()()f x a f x a f x a >⇔<->或

② 活用：①若a =0, |()|?f x a <

|()|?f x a > ②若a <0呢？ 对应练习 1、（04辽18）设全集U R =，

(1)解关于x 的不等式|1|10()x a a R -+->∈；

(2)记（1）的解集为A ，集合{

+ )03

x ππ-=}，若U B C A 恰三个元素，

求a.

Ⅱ、形如|()|()f x g x <，|()|()f x g x >型不等式. ①等价转化：|()|()f x g x <⇔ |()|()f x g x >⇔

②()g x 可以是负的吗？要对()g x 的正负、0分类吗？

对应练习

2、解不等式（1）|1|2x x +>-

（2）|35|4x x -<

Ⅲ、形如|()|()f x f x <，|()|()f x f x >型不等式 等价转化：|()|()f x f x <⇔ |()|()f x f x >⇔ 对应练习

3、 解不等式||11x x x x

>++（高考题）

Ⅳ、形如|()||()|()f x g x h x +<或

|()||()|()f x g x h x +>型不等式

① 等价转化：|()||()|()f x g x h x +<

|()()|()

|()()|()f x g x h x f x g x h x +<⎧⇔⎨

-<⎩

|()||()|()f x g x h x +>

|()()|()|()()|()f x g x h x f x g x h x ⇔+>->或

② 以前通常是怎样解的？

对应练习 4、（1）|2||3|13x x ++-< （2）|4||3|5x x +++> 二、一元二次不等式

1、20(0)ax bx c a ++>>的解是 0∆=会怎么样？ 0∆<结果怎么理解？

2、20(0)ax bx c a ++<>的解是

0∆=呢？ 0∆<呢？

3、20(0)ax bx c a ++><或

20(0)ax bx c a ++<<怎么处理？

对应练习 5（1）（06福04理）已知全集U R =， }{||1|2A x x =->，}{2|680B x x x =-+< 则()

U C A B = （ ）

A.[-1,4)

B.(2,3） C (2，3] D.(-1,4)

（2）（06江03）若a>0,b>0,则不等式

1b a x

-<<，等价于 （ ）

A.1100x x b a

-<<<<或 B.11x a b -<<

C. 1x a

<-或1

x b > D 11x x b a <->或

三、指数不等式——利用函数的单调性

形如()()f x g x a a >的不等式

①若1a >，原不等式的解⇔()()f x g x > ①若01a <<，原不等式的解⇔()()f x g x < 对应练习

6、解不等式23321()22

x x --<。 7、（06重15）设01a <≠，函数 2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式

2log (57)0a x x -+>的解集为

1.(1)①若1a >,解集为R ,②若1a ≤,解集为 {}|2x x a x a <>- (2)10a -<≤

2.(1)15(,),(2)(,)27

+∞+∞ 3.(-1,0) 4(1)(-6,7) (2)x<-6或x>-1 6.(1,)+∞ 7.(2,3)

|sin()3x x π

π-

四、对数不等式——利用函数的单调性

形如log ()log ()a a f x g x >的不等式 ①若1a >，原不等式⇔

②若01a <<，原不等式⇔

对应练习

8、（07江苏8）设2()lg(

)1f x a x

=+-是奇函数，

则使()0f x <的x 的取值范围是 （ ） (1,0) .(0,1) .(,0) .(,0)A B C D --∞-∞

9、（06江苏16）21log (6)3x x

++≤的解集为

10、（浙0603）已知01a <<，log log 0a a m n <<，则 （ ） 1 . 1 . 1 .1A n m B n m C m n D m n <<<<<<<<

五、图象、方程破解不等式

（1）方程比不等式易解 （2）图像能直观地看出不等式的解来，

而解。 11、解不等式

2|25|7x <

-≤

分别作函数 |25|,7y x y =-=

的图像。解方程|2x 坐标依次为：

371,,,622

-。由数形结合知，不等式的解为：3

7[1,)(,6]22

-

12、不等式|1|x x -< 的解集是 .

13、解不等式21|21|x x ->- 解：在同一坐标系中分别作 函数21,|21|y x y x =-=-的图像。 解方程21|21|2x x x -=-⇒=。 易见不等式的解为

14、求使不等式|4||3|x x a -+-<有解的a 的取值范围。

作：

的图及y a =的图，

易见1a >时，不等式

|4||3|x x a -+-<

15、已知1|1||1|2

x x a ++-≥的解集为R ，求实

数a 的最大值。 解：令 其图像

如右，易知当

3

2

y a =≤时原不

等式恒成立，

16、不等式2log 3x x +>的解集为 （ ）

A 、（0，2）

B 、（2，3）

C 、（-∞，2）

D （2，+∞）

六、含参一元二次不等式的讨论策略 Ⅰ、优先步骤

（1）对二次项系数a 分类：①0a > ②0a < ③0a =（转化为一次不等式）

（2）对不等式的判别式∆进行分类： ①0∆> ②0∆< ③0∆= （3）对不等式的两根进行分类：

①12x x > ② 12x x < ③12x x = ④12x x 、同号（同正、同负） ⑤12x x 、异号。 对应练习

17、解关于x 的不等式20()x a a R x a

-<∈-。

18、解关于x 的不等式 （1）210x ax -+>; （2）2(1)410m x x +-+<

9.(-3-22,-3+2∪{1} 12. 13. (,1(2,)-∞-+∞ 17.①a <0时, a

φ ⑤a>1时, a∆=∆>

分类讨论,(2)①m=-1时, ;②m ≠-1时 按 0,0,0∆>∆=∆>分类讨论,

()0()0()()g x f x f x g x >⎧⎪

>⎨⎪>⎩()0

()0()()g x f x f x g x >⎧⎪

>⎨⎪<⎩3(2)2

1|1||1|2(12)223(1)2x x x y x x x x x ⎧≥⎪⎪=++-=+-≤<⎨⎪-<-⎪⎩

max 32a ∴

=2,

y =1

2

x >14

x >|4||3|27(3) 1(34)27(4)y x x x x x x x =-+--+<⎧⎪=≤≤⎨->⎪⎩