动量守恒定律和能量守恒定律
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设 t+dt 时刻: 合并为 (m dm) , (v dv )
其间系统所受的合外力 F
由动量定理得:
(m dm)(v dv ) mv v 'dm Fdt
理学院 物理系 张建锋
mv mdv vdm dmdv mv v 'dm Fdt
由相对运动: u v ' v （dm相对m的速度）
理学院 物理系 张建锋
力的时间上积累 冲量 动量
动量定理 动量守恒
力的空间上积累 功
动能 动能定理 机械能守恒
碰撞
理学院 物理系 张建锋
主要内容
§3.1 质点和质点系的动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 系统内质量移动问题 §3.4 动能定理 §3.5 保守力与非保守力 势能 §3.6 功能原理 机械能守恒定律 §3.7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 §3.8 能量守恒定律 §3.9 质心 质心运动定律
v Fi
时，可近似地认为系统
总动量守恒．
两个特例
➢ 若合外力不为零，但某个方向的合外
力为零，则该方向上动量守恒
4. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本，它在 宏观和微观领域均适用。
思考：动量定理在不同的惯性系里是否具有相同 的形式？
理学院 物理系 张建锋
例题1 一静止的船质量为M长为 l ，有一质量为m的人 从船头行至船尾，问：船和人相对岸各移动的距离。
mv2
mv1
来自百度文库
理学院 物理系 张建锋
d
I
Fd
t
d
p
（微分形式）
I
t2 t1
F d t p2 p1
（积分形式）
质点动量定理 在给定的时间间隔内，外力作用
在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量．
分量表示
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2x
mv1x
其中： x x, y, z
平均冲力
§3.4 动能定理 (kinetic energy theorem)
一、功（work）
力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积
1.恒力作功
W F cos r
F r
2.变力的功
dW
F
dr
dr ds
W
B
F
dr
B
F cos ds
A
A
F
r
dr
dri
i
*B
Fi
dr1 1
*A
F1
F
理学院 物理系 张建锋
质点系
j fj i
对质点 i ：（Fvi
v fi）j d
t
d
pvi
ji
对质点系：
v (Fi
fvi） j d t d pvi
i
ji
i
理学院 物理系 张建锋
v
由牛顿第三定律： fij 0
i ji
所以：
v
( F） i d t
d pvi
令
i
i
v
v
F外 dt d P （微分形式）
Fi F外
m M0
vt
v0
u ln
M0 Mt
N M0 Mt
vt v0 uln N
火箭质量比
思考：如何提高 vt (1) 提高 u (2) 增大 N（受一定限制）
为提高N，采用多级火箭（一般为三级）
v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3
理学院 物理系 张建锋
例2：宇航员及装备总质量为M=100kg，宇航员与飞船相 对静止，距离为l = 45m，贮气瓶装有m=0.5kg的氧气，其 喷嘴可使氧气在极短时间内以v=50m/s的速度相对宇航员 喷出。求要安全返回飞船并最大限度节省氧气，所用掉的 氧气是多少？（已知人的耗氧率R=2.5×10-4kg/s）
0M
M0
人相对岸行走的距离为: 船相对岸行走的距离为:
t
s vdt
Ml
0
M m
s l s ml M m
理学院 物理系 张建锋
§3.2﹡ 系统内质量移动问题
粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 设 t 时刻: 两物体 m , v 和 dm , v '
讨论 (1) 功是个标量，有正、负
解：设喷射的氧气m1 kg，宇航员获得相对飞船速度 u
由动量守恒 返回时间 总共耗氧
m1(u v) (M m1 )u 0
u
t l u
m m1
呼吸耗氧 m2
RlM m2 m1 m1v
Rt
RlM m1v
m1v M
dm
0 dm1
m1 0.15kg
mm in 0.3kg
理学院 物理系 张建锋
i
pi
P
i
t2 t1
v F外
d
t
v P2
v P1
（积分形式）
质点系动量定理——作用于系统的合外力的冲量
等于系统动量的增量
注意：内力仅能改变系统内某个物体的动量，
但不能改变系统的总动量.
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§3.2 动量守恒定律
（law of conservation of momentum）
F
t2 t1
F dt
p
t2 t1 t
理学院 物理系 张建锋
二 质点系的动量定理
（theorem of momentum of particle system）
· Fi
为质点
i
受的合外力，
pi i
··· fij 为质点 i 受质点 j 的内力， Fi fi j
···· pi 为质点 i 的动量。
理学院 物理系 张建锋
§3.1 质点和质点系的动量定理
一 冲量 质点的动量定理
力的时间积累称为冲量（impulse）
恒力：
I Ft
变力： 时间元 dt , 对应的力可看成是恒力
dI Fdt
I
t2
Fdt
F
dp
d(mv)
Fdt
t1
dp
d
( mv)
dt dt
t2
t1
Fdt
p2
p1
两边除 dt 得: m dv F u dm
dt
dt
火箭推力
火箭飞行问题（在自由空间中）
m dv u dm
dt
dt
mdv udm
设 t = 0 时：系统的质量为M0 , 速度为 v0
设 t = t 时：系统的质量为Mt , 速度为 vt
理学院 物理系 张建锋
vt dv u
Mt
1 dm
v0
解：选人+船=系统, 忽略水的阻力, 该系统沿水平方向
所受合外力为零, 因此在水平方向上动量守恒.
mv MV 0 V m v
M
人相对船的速度为 v v V v m v M m v
M
M
若在0到t的时间内,人从船头走到了船尾,则有:
l
t
vdt
tM
m vdt
M
m
t
vdt
0
由质点系动量定理可知：
F外 0时， P 0, 即P 常矢量
描述：质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。
说明：1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。
2.系统的总动量不变，但系统内任一物体的动
量是可变的．
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v
3.守恒条件：合外力为零． F外 0
➢
当
v Fe
其间系统所受的合外力 F
由动量定理得:
(m dm)(v dv ) mv v 'dm Fdt
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mv mdv vdm dmdv mv v 'dm Fdt
由相对运动: u v ' v （dm相对m的速度）
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力的时间上积累 冲量 动量
动量定理 动量守恒
力的空间上积累 功
动能 动能定理 机械能守恒
碰撞
理学院 物理系 张建锋
主要内容
§3.1 质点和质点系的动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.3 系统内质量移动问题 §3.4 动能定理 §3.5 保守力与非保守力 势能 §3.6 功能原理 机械能守恒定律 §3.7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 §3.8 能量守恒定律 §3.9 质心 质心运动定律
v Fi
时，可近似地认为系统
总动量守恒．
两个特例
➢ 若合外力不为零，但某个方向的合外
力为零，则该方向上动量守恒
4. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本，它在 宏观和微观领域均适用。
思考：动量定理在不同的惯性系里是否具有相同 的形式？
理学院 物理系 张建锋
例题1 一静止的船质量为M长为 l ，有一质量为m的人 从船头行至船尾，问：船和人相对岸各移动的距离。
mv2
mv1
来自百度文库
理学院 物理系 张建锋
d
I
Fd
t
d
p
（微分形式）
I
t2 t1
F d t p2 p1
（积分形式）
质点动量定理 在给定的时间间隔内，外力作用
在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量．
分量表示
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2x
mv1x
其中： x x, y, z
平均冲力
§3.4 动能定理 (kinetic energy theorem)
一、功（work）
力和力所作用的质点（或质元）的位移的标量积
1.恒力作功
W F cos r
F r
2.变力的功
dW
F
dr
dr ds
W
B
F
dr
B
F cos ds
A
A
F
r
dr
dri
i
*B
Fi
dr1 1
*A
F1
F
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质点系
j fj i
对质点 i ：（Fvi
v fi）j d
t
d
pvi
ji
对质点系：
v (Fi
fvi） j d t d pvi
i
ji
i
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v
由牛顿第三定律： fij 0
i ji
所以：
v
( F） i d t
d pvi
令
i
i
v
v
F外 dt d P （微分形式）
Fi F外
m M0
vt
v0
u ln
M0 Mt
N M0 Mt
vt v0 uln N
火箭质量比
思考：如何提高 vt (1) 提高 u (2) 增大 N（受一定限制）
为提高N，采用多级火箭（一般为三级）
v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3
理学院 物理系 张建锋
例2：宇航员及装备总质量为M=100kg，宇航员与飞船相 对静止，距离为l = 45m，贮气瓶装有m=0.5kg的氧气，其 喷嘴可使氧气在极短时间内以v=50m/s的速度相对宇航员 喷出。求要安全返回飞船并最大限度节省氧气，所用掉的 氧气是多少？（已知人的耗氧率R=2.5×10-4kg/s）
0M
M0
人相对岸行走的距离为: 船相对岸行走的距离为:
t
s vdt
Ml
0
M m
s l s ml M m
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§3.2﹡ 系统内质量移动问题
粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 设 t 时刻: 两物体 m , v 和 dm , v '
讨论 (1) 功是个标量，有正、负
解：设喷射的氧气m1 kg，宇航员获得相对飞船速度 u
由动量守恒 返回时间 总共耗氧
m1(u v) (M m1 )u 0
u
t l u
m m1
呼吸耗氧 m2
RlM m2 m1 m1v
Rt
RlM m1v
m1v M
dm
0 dm1
m1 0.15kg
mm in 0.3kg
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i
pi
P
i
t2 t1
v F外
d
t
v P2
v P1
（积分形式）
质点系动量定理——作用于系统的合外力的冲量
等于系统动量的增量
注意：内力仅能改变系统内某个物体的动量，
但不能改变系统的总动量.
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§3.2 动量守恒定律
（law of conservation of momentum）
F
t2 t1
F dt
p
t2 t1 t
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二 质点系的动量定理
（theorem of momentum of particle system）
· Fi
为质点
i
受的合外力，
pi i
··· fij 为质点 i 受质点 j 的内力， Fi fi j
···· pi 为质点 i 的动量。
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§3.1 质点和质点系的动量定理
一 冲量 质点的动量定理
力的时间积累称为冲量（impulse）
恒力：
I Ft
变力： 时间元 dt , 对应的力可看成是恒力
dI Fdt
I
t2
Fdt
F
dp
d(mv)
Fdt
t1
dp
d
( mv)
dt dt
t2
t1
Fdt
p2
p1
两边除 dt 得: m dv F u dm
dt
dt
火箭推力
火箭飞行问题（在自由空间中）
m dv u dm
dt
dt
mdv udm
设 t = 0 时：系统的质量为M0 , 速度为 v0
设 t = t 时：系统的质量为Mt , 速度为 vt
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vt dv u
Mt
1 dm
v0
解：选人+船=系统, 忽略水的阻力, 该系统沿水平方向
所受合外力为零, 因此在水平方向上动量守恒.
mv MV 0 V m v
M
人相对船的速度为 v v V v m v M m v
M
M
若在0到t的时间内,人从船头走到了船尾,则有:
l
t
vdt
tM
m vdt
M
m
t
vdt
0
由质点系动量定理可知：
F外 0时， P 0, 即P 常矢量
描述：质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。
说明：1.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。
2.系统的总动量不变，但系统内任一物体的动
量是可变的．
理学院 物理系 张建锋
v
3.守恒条件：合外力为零． F外 0
➢
当
v Fe