高等数学方明亮版课件2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

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x a(t sin t ), 例 4 已知摆线的参数方程为 求该 y a(1 cos t ). π 摆线在 t 时的切线方程． 2 解：当 t π 时，摆线上相
2 应点 M 0 的坐标为
再求导, 得
①
2 (e y x) y 2 y 0 e y
y
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 (0) 2 再代入 ② 得 y e
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例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4



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1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
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二、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
关系,
（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）
可确定一个 y 与 x 之间的函数
dh(t ) dH (t ) （2） 求 ， 之间的关系式 dt dt 对上式关于 t 求导数，得
1 2 dh(t ) dH (t ) h (t ) 25 0 9 dt dt
（3）从中解出要求的变化率．
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1 2 dh(t ) dH (t ) h (t ) 25 0 9 dt dt dH (t ) 1 h2 (t ) dh(t ) 由(2)可得 9 25 dt dt
sin t k 1 cos t
所以，
π t 2
1
于是所求切线方程为
π y a 1 x a 1 2
即
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π y x a(2 ). 2
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x a cos t , 例 5 由椭圆的参数方程 所确定的函数 y b sin t , y y( x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 3 3 y
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说明: 1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
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若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) dx d2 y d dy d dy ( ) ( ) 2 dx dx dx dt d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 1 tan
2 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
漏斗在高为 h (t ) 处的截面圆的半径为 r (t ) ， 桶中水面的高度为 H H (t ) ．
（1）建立变量 h 与 H 之间的关系
漏斗中的水量与水桶中的水量之 由于在任何时刻 t ，
和应等于开始时装满漏斗的总水量， 则有 设水的密度为 1，
π 2 1 2 2 r (t )h(t ) 5 πH (t ) 6 π 18 3 3
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x3 (t )
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x a(t sin t ), 例 4 已知摆线的参数方程为 求该 y a(1 cos t ). π 摆线在 t 时的切线方程． 2
相关变化率之间的关系式
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课后练习 思考与练习
习题2-4
1（2）（4）；3；
5（2）（4）； 6（2）；7；10
1. 设 y (sin x) y1 答案:
tan x

x x
ln x
3
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y2
x 2x 1 2ln x 3(2 x) 3(2 x)
dh(t ) 由已知， h(t ) 12 cm 时， ， 1 （cm /s） dt 代入上式得
dH (t ) 16 122 (cm / s) (1) dt 25 9 25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s 16 时，桶中水面上升的速度为 cm /s． 25
之间有联系 相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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例 7 设有一深为 18cm，顶部直径为 12 cm 的正圆锥 形漏斗装满水，下面接一直径为 10 cm 的圆柱形水桶， 水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为 12 cm，水面下降 速度为 1 cm /s 时，求桶中水面上升的速度． 解： 设在时刻 t 漏斗中水面高度为 h h(t ) ，
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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例3 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导

1 cos x ln x sin x y y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
按幂函数求导公式
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按指数函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法:
两边对 x 求导 (含导数 y 的方程)
2013年7月20日星期六 2
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例1 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
则
可导, 且 (t ) 0 时, 有 d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
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三、相关变化率（Related Rates of Change）
为两可导函数
π π π x0 a sin a 1 ; 2 2 2
π y0 a 1 cos a 2
dy 由导数几何意义知，所求切线的斜率为 k ． dx t π
2
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而
yt [a(1 cos t )] dy sin t , xt [a(t sin t )] 1 cos t dx
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π 2 1 2 2 r (t )h(t ) 5 πH (t ) 6 π 18 3 3
r (t ) h(t ) 1 又因为 ， 所以 r (t ) h(t ) ， 代入上式得 6 18 3
π 3 3 h (t ) 25πH (t ) 6 π 27
dy yt (b sin t ) b b cos t 解： cot t dx xt (a cos t ) a( sin t ) a (t 0, π, 2π)
d 2 y d dy d b dt b 2 1 cot t csc t 2 dx dx dx dt a dx dx a dt b 2 1 b csc t 2 (t 0, π, 2π). 3 a a sin t a sin t
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x t 2 2 t (0 1) 例6 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y (x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
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y y1 y2 (sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x (2 x) 2
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2. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0