高等数学方明亮版课件2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
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隐函数和由参数方程确定的函数求导
\ \frac{dy}{dt} &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{2} - t^{2}}{\Delta t}
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} \frac{(t + \Delta t)^{3} - t^{3}}{\Delta t}
\ &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 3t^{2} + 3\Delta t(t)
\ &= 3t^{2}
由参数方程确定的函数求导
把一个隐函数化作显函数，叫隐函数的显化，另外有一些隐函数是很难显化或无法显化的，这样就需要考虑直接由方程入手来计算其所确定的隐函数导数的方法。
下面来举个例子说明他的求法。
隐函数求导
&= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x + \Delta x)^{3} - 3(x + \Delta x) - x^{3} + 3x}{\Delta x} \ &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac{3x^{2} + 3\Delta x(2x + \Delta x) - 3}{\Delta x} \ &= 3x^{2} + 6x
\
由参数方程确定的函数求导
&= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0} 2t + \Delta t \ &= 2t \end{aligned}$$ 然后，我们可以使用链式法则和乘法法则来找到 $x$ 和 $y$ 的导数的组合
隐函数的导数ppt课件
( x 1)( x 2) (3 x)(5 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
总结一下，什么时候适 合使用“对数求导法”？
1. 幂指函数求导数； 2. 函数为多个因子的乘积。
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求一般幂指函数 y u( x)v( x) (u( x) 0) 的导数时，同样可以用 上述 “对数求导法”．但注意到y e v( x)lnu( x) ，也可以利用复 合函数求导法则求导．如
y
sin y (1 cos y)3
.
下面又应 怎么办？
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您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式. 3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
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例7 求由参数方程
x 2(cos sin ),
y
3(sin
cos
),
所确定的函数 y y的( x微) 商 . dy
dx
解
(a 0,b 0)
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
(t
)
1 dx
(t) dt
d dt
(t)
(t
)
1 (t
)
(t
)
(t)
t
.
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由于
(
(t (t
) )
)
(
t
)
(t) (t [ (t)]2
)
(t
)
,
因此
d 2 y (t ) (t) (t) (t)
高等数学方明亮版课件24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
dt dx
b a
csc2
t
1 dx
dt
b csc2 t 1 b
a
asint a2 sin3 t
(t 0,π,2π).
13.06.2019
14
例6 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
确定函数 yy(x),求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
9
若上述参数方程中
二阶可导, 且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0, 故
13.06.2019
3
例2 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 16
x y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
1 cos t tπ
2
于是所求切线方程为
ya1xaπ21
即
y x a(2 π).
2
13.06.2019
13
例5
由椭圆的参数方程
x y
a b
cos t, sin t,
2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数ppt课件
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 消去参数 t 2
y t2
( x)2 2
x2 4
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
15
在方程
x y
(t (t
)中, )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x), y [ 1( x)]
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
当2<x<3时, y
( x 1)(x 2) (3 x)(4 x)
用同样的方法可得与上面相同的结果.
13
例8 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解： 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
25
布置作业
P111 习题2-4 1（3）, 3（2）; 4（3），6.
26
解出 y
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
将y回代
11
例7 求
y ( x 1)(x 2) ( x 3)(x 4)
的导数
解：两边取对数 (假定 x>4 ), 得
ln y 1 [ln(x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)] 2
23
解 设气球上升t秒后, 其高度为h, 观察员视线
的仰角为 , 则
tan h
500 上式两边对t求导得
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
500米 h
500米
tan 1, 1 tan2 sec2 .
《高等数学B》 第三章 导数、微分、边际与弹性 第4节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
代入 x = 0 , y = 1 , 得
y′′ x = 0 = −
y =1
1 . 16
介绍对数求导法 介绍对数求导法: 对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
y = x sin x .
先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 求出导数. --------对数求导法 --------对数求导法 适用范围: 适用范围:
§ 4 隐函数及由参数方程所确பைடு நூலகம்的函数的导数
一、隐函数的导数 定义: 定义: 由方程F( x, y) = 0所确定的函数 = y( x) y
. 称为隐函数
y = f ( x ) 形式称为显函数 .
F( x, y) = 0
y = f ( x ) 隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法: 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 x y − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 的 dy dy , . 导数 dx dx x = 0
解 方程两边对 x 求导 ,
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx dy e x − y , 解得 = y dx x + e
由原方程知 x = 0 , y = 0 , 所以
v( x )
(u( x) > 0) ,
ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x) ,
上式两边对 x 求导得
f ′( x) v( x)u′( x) ], = [v′( x) ⋅ lnu( x) + f ( x) u( x) ∴ f ′( x) = u( x)
y′′ x = 0 = −
y =1
1 . 16
介绍对数求导法 介绍对数求导法: 对数求导法
( x + 1)3 x − 1 , 观察函数 y = 2 x ( x + 4) e
y = x sin x .
先在方程两边取对数, 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法 求出导数. 求出导数. --------对数求导法 --------对数求导法 适用范围: 适用范围:
§ 4 隐函数及由参数方程所确பைடு நூலகம்的函数的导数
一、隐函数的导数 定义: 定义: 由方程F( x, y) = 0所确定的函数 = y( x) y
. 称为隐函数
y = f ( x ) 形式称为显函数 .
F( x, y) = 0
y = f ( x ) 隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法: 隐函数求导法: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 x y − e x + e y = 0所确定的隐函数 y 的 dy dy , . 导数 dx dx x = 0
解 方程两边对 x 求导 ,
dy x y dy y+ x −e +e =0 dx dx dy e x − y , 解得 = y dx x + e
由原方程知 x = 0 , y = 0 , 所以
v( x )
(u( x) > 0) ,
ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x) ,
上式两边对 x 求导得
f ′( x) v( x)u′( x) ], = [v′( x) ⋅ lnu( x) + f ( x) u( x) ∴ f ′( x) = u( x)
高数二章课件04隐函数参数导数
所求的切线方程为 3 3 y 3 ( x 2) 即 3 x 4 y 8 3 0 2 4
1 sin y 0 x y 例4 例 4．求由方程 所确定的隐函数 y 2 的二阶导数
解 方程两边对x求导 得 dy 1 dy 1 cos y 0 dx 2 dx dy 2 于是 dx 2 cos y 上式两边再对x求导 得 dy d 2 y 2 sin y dx 4 sin y 2 2 3 dx (2 cos y) (2 cos y)
sin t cot t (t2n n 为整数) 1 cos t 2
d 2 y d dy d t ) dt ( ) (cot dx 2 dx dx dt 2 dx 1 1 1 2 t a ( 1 cos t ) a ( 1 cos t ) 2 2 sin 2 (t2n n为整数)
2.4 由方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数 显函数与隐函数
形如yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 例如 方程xy310确定的隐函数为
sin x sin x ln x sin x y e (sin x ln x) x (cos x ln x ) x
( x 1)( x 2) 例6 例 6 求函数 y 的导数 ( x 3)( x 4)
解 先在两边取对数 得 1 ln y [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2 上式两边对x求导 得 1 y 1 ( 1 1 1 1 ) y 2 x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 1 1 1 ) y ( 于是 2 x 1 x 2 x 3 x 4 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
2-10隐函数和参数方程所确定的函数的导数091018-PPT精品文档
d(lny) d(lny) d y 1 y
dx
dy dx y
1 y h(x), y
yyh(x).
(2) 适用范围
1)幂指 :y函 [u(x)数 v](x)的情 . 形
取对数得 lnyvln u
两边求导：
1 y
y vln u u v , u
yuv(vlnuuv) u
13y2(x)y(x)
13y2 (x )y(x )0
从而 y(x)3y2 1(x)1 3(1x)3 2.
2. 隐函数求导法则 用复合函数求导法则，直接对方程两边求导，
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导 d F(x, y) 0 dx
将方程中y视 的为x 的函数 y(x)(隐函数 )
( 含导数 y 的方程 )
例2 求由方程 exeyxy0所确定的隐函数 y
的导数
dy及dy dx dx
x0.
解 方程两边对 x 求导,
e
x
e
y
d d
y x
(y xdy) dx
0， 解得
dy dx
ex y xe y
.
由原方程知 x0 时 ,y0,
dy dx x0
2°若y 隐 y ( x ) ( x 函 D ) 可 F 数 ( x ,y 由 ) 0 中
解出，则称此隐函数可显化；
如： 方x程 y310确定了一个隐函数：y = y不易 甚显 至化 不， 能. 显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
确定的函数 y[1(x)]可导， 且
dy dx
dy dt dt dx
d d
高等数学方明亮版课件24隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
2020/6/12
6
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
2020/6/12
1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
13
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例5
由椭圆的参数方程
x y
a b
cos t, sin t,
所确定的函数
y y(x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
解： d y y t ( b s in t ) b c o s t b co t t d x x t ( a c o s t ) a ( s in t ) a (t 0,π,2π)
(t) (t)
2020/6/12
dt
(此时看成 x 是 y 的函数 )
9
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
高等数学PPT课件：隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
如
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2e x
1
,
y xsin x .
方 法 方程两边取对数, 再利用隐函数求导法。
--------对数求导法
11
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
设
y
(
x (
1) 3 x 1 x 4)2 e x
,
求y.
解
ln
y
ln( x
1)
1 3
ln(
x
1)
,求y.
解答 等式两边取对数
ln y ln xsin x ln(1 x2 ) sin x ln x ln(1 x2 )
d: dx
y cos x ln x sin x
y
x
1
2
x x
2
y
xsin x 1 x2
(cos
x
ln
x
sin x
x
1
2
x x
2
)
17
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.设 x y y x ,求y.
解答 ln : y ln x x ln y,
d: dx
y ln x y ln y x y,
x
y
y
x y ln x y ln
y x
y2 x2
.
18
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定函数的导数
若
x y
(t) (t)
d dx
:
1 y
y
cos x ln x
sin
x
1 x
隐函数及参数方程的的导数解析PPT课件
(x 3)(x 4)
解: 先在两边取对数 得
ln y 1 [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2
上式两边对x求导 得
1 y
y
1 2
(
x11
x
1 2
1 x3
x1 4)
于是
y
y 2
(
1 x 1
x
1
2
1 x3
x
1) 4
说明 严格来说 本题应分x4 x1
2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
三、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t ) 确定了 (t)
y与x间的
函数关数 ,则称其为由参数方程所 确定的函数.
例如
x
y
2t, t2,
t x 消去参数t
2
y t 2 ( x)2 x2 y 1 x
y 3 1 x
把隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显 化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方 程两边求导, 然后从所得的新方程中把 隐函数的导数解出.
例1 求由方程eyxye0所确定 的隐函数y的导数
解: (ey)(xy)(e)(0)
角为 arctan v2
v1 达到最高点的时刻 t
v2 g
,
高度
o
t
v2 g
x
落地时刻
函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和
商的导数
此方法是先在yf(x)的两边取 对数 然后用隐函数求导法求出y的导
解: 先在两边取对数 得
ln y 1 [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2
上式两边对x求导 得
1 y
y
1 2
(
x11
x
1 2
1 x3
x1 4)
于是
y
y 2
(
1 x 1
x
1
2
1 x3
x
1) 4
说明 严格来说 本题应分x4 x1
2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
三、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t ) 确定了 (t)
y与x间的
函数关数 ,则称其为由参数方程所 确定的函数.
例如
x
y
2t, t2,
t x 消去参数t
2
y t 2 ( x)2 x2 y 1 x
y 3 1 x
把隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显 化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方 程两边求导, 然后从所得的新方程中把 隐函数的导数解出.
例1 求由方程eyxye0所确定 的隐函数y的导数
解: (ey)(xy)(e)(0)
角为 arctan v2
v1 达到最高点的时刻 t
v2 g
,
高度
o
t
v2 g
x
落地时刻
函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和
商的导数
此方法是先在yf(x)的两边取 对数 然后用隐函数求导法求出y的导
隐函数与参数式函数的求导PPT课件
2x 1 3x 4
注意：需把 y 换回成原来表达式. 14 第14页/共28页
例6 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
本题常见问题：1、为取对数而取对数,没有任何化简.
ln y ln
xesin x (2x 1)(3x 4)
,
y y
ln
(2x
xesin x 1)(3x
注：并不是所有的方程都可以确定隐函数的. 一个方程能确定隐函数是需要满足一定条件的.
例如 方程 x2 y2 1在实数域内不存在隐函数.
第1页/共28页
部分隐函数可以显化，即从方程中解出 y(x) 的表达式.
显化
x3 y3 1 y 3 1 x3 .
但许多隐函数不易或者不能显化. 例如：
Kepler方程：y x sin y 0 (0 1). 方程：ey ex xy 0.
y0
7
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8
例4 设 y y(x) 是由方程 x2 y cos y 0 所确定的
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin 2
1 [ln x ln esin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
1 [ln x sin x ln(2x 1) ln(3x 4)] 2
13
第13页/共28页
例5 设 y
xesin x
, 求 y .
(2x 1)(3x 4)
1
定义 对于 x, y 的二元方程 F(x, y) 0 ,若存在函数 y y(x) 使得 F(x, y(x)) 0 ,则称 y y(x) 是由方程 F(x, y) 0 所确定的隐函数. 例如：函数 y 3 1 x3 就是由方程 x3 y3 1确定的 隐函数. 因为 x3 ( 3 1 x3 )3 1 0.
隐函数与参数方程确定的函数的求导法则-PPT模板
1.2 由参数方程确定的函数的导数
设由参数方程
x y
(t) ，确定 (t)
y
是
x
的函数，
(t)
，
(t
)
可导，且
(t)
0
，
x (t) 是单调连续的，其反函数为 t 1(x) ． 在上述条件下， y (t) ( 1(x)) ，由复合函数求导与反函数求导法则可
得
dy
dy dx
dy dt
1.1 隐函数的导数
例 1 求由方程 x y3 1 0 确定的隐函数的导数．
解
即 解得
y 是 x 的函数，将方程 x y3 1 0 两边同时对 x 求导得
d (x y3 1) 0 ，
dx
1 3y2 dy 0 1 3y2 dy 0 ，
dx
dx
dy dx
1 3y2
1.1 隐函数的导数
dt dx
dy dt
1 dx
dt dx
．
dt dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
所以，由参数方程
x
y
(t)
， 确定的函数
(t)
y
y(x)
的导数为
dy
dy dx
dt dx
(t) (t)
．
dt
1.2 由参数方程确定的函数的导数
例6
解已知当椭t 圆4ax时22 ， 设by22椭圆1 的上的参对数应方点程为为M0xy(x0 ，abycs0io)ns，tt，，则求椭圆在
t
4
相应点处的切线方程．
x0
a cos
4
2 2
a
，
y0
b sin
4
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。
前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
用这种方式表达的函数叫做显函数。
有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。
例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。
这样的函数称为隐函数。
一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y）= 0在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。
隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。
但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。
例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。
解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。
方程左边对x求导得dx V dx dx方程右边对求导得（0）' = 0。
由于等式两边对x的导数相等，所以4+y + Q = 0,dx dx从而—= ------ - （X + ￡ ' 工0）。
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2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
2013年7月20日星期六 4
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例3 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 cos x ln x sin x y y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
2013年7月20日星期六 3
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例2 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 3 3 y
9
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若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) dx d2 y d dy d dy ( ) ( ) 2 dx dx dx dt d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
2013年7月20日星期六
7
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
dh(t ) dH (t ) （2） 求 ， 之间的关系式 dt dt 对上式关于 t 求导数，得
1 2 dh(t ) dH (t ) h (t ) 25 0 9 dt dt
（3）从中解出要求的变化率．
2013年7月20日星期六 18
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1 2 dh(t ) dH (t ) h (t ) 25 0 9 dt dt dH (t ) 1 h2 (t ) dh(t ) 由(2)可得 9 25 dt dt
2013年7月20日星期六 14
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x t 2 2 t (0 1) 例6 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y (x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
2013年7月20日星期六 1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
dh(t ) 由已知， h(t ) 12 cm 时， ， 1 （cm /s） dt 代入上式得
dH (t ) 16 122 (cm / s) (1) dt 25 9 25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s 16 时，桶中水面上升的速度为 cm /s． 25
则
可导, 且 (t ) 0 时, 有 d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
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2013年7月20日星期六
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π 2 1 2 2 r (t )h(t ) 5 πH (t ) 6 π 18 3 3
r (t ) h(t ) 1 又因为 ， 所以 r (t ) h(t ) ， 代入上式得 6 18 3
π 3 3 h (t ) 25πH (t ) 6 π 27
点击图中任意点动画开始或暂停
2013年7月20日星期六 11
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x a(t sin t ), 例 4 已知摆线的参数方程为 求该 y a(1 cos t ). π 摆线在 t 时的切线方程． 2 解：当 t π 时，摆线上相
2 应点 M 0 的坐标为
sin t k 1 cos t
所以，
π t 2
1
于是所求切线方程为
π y a 1 x a 1 2
即
2013年7月20日星期六
π y x a(2 ). 2
13
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x a cos t , 例 5 由椭圆的参数方程 所确定的函数 y b sin t , y y( x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
2013年7月20日星期六 8
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
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二、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
关系,
（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）
可确定一个 y 与 x 之间的函数
2013年7月20日星期六 19
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例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
dy yt (b sin t ) b b cos t 解： cot t dx xt (a cos t ) a( sin t ) a (t 0, π, 2π)
d 2 y d dy d b dt b 2 1 cot t csc t 2 dx dx dx dt a dx dx a dt b 2 1 b csc t 2 (t 0, π, 2π). 3 a a sin t a sin t
相关变化率之间的关系式
2013年7月20日星期六 21
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课后练习 思考与练习
习题2-4
1（2）（4）；3；
5（2）（4）； 6（2）；7；10
1. 设 y (sin x) y1 答案:
tan x
x x
ln x
3
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y2
x 2x 1 2ln x 3(2 x) 3(2 x)
22
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y y1 y2 (sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x (2 x) 2
2013年7月20日星期六
2. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0
按幂函数求导公式
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按指数函数求导公式
2013年7月20日星期六 6
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
2013年7月20日星期六
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说明: 1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
再求导, 得
①
2 (e y x) y 2 y 0 e y
y
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 (0) 2 再代入 ② 得 y e
之间有联系 相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
2013年7月20日星期六 16
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例 7 设有一深为 18cm，顶部直径为 12 cm 的正圆锥 形漏斗装满水，下面接一直径为 10 cm 的圆柱形水桶， 水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为 12 cm，水面下降 速度为 1 cm /s 时，求桶中水面上升的速度． 解： 设在时刻 t 漏斗中水面高度为 h h(t ) ，
2013年7月20日星期六 20
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 1 tan
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
即
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例3 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 cos x ln x sin x y y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
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例2 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y y 3 3 3 3 y
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若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) dx d2 y d dy d dy ( ) ( ) 2 dx dx dx dt d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
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( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
u ( ln u ) u
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
dh(t ) dH (t ) （2） 求 ， 之间的关系式 dt dt 对上式关于 t 求导数，得
1 2 dh(t ) dH (t ) h (t ) 25 0 9 dt dt
（3）从中解出要求的变化率．
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1 2 dh(t ) dH (t ) h (t ) 25 0 9 dt dt dH (t ) 1 h2 (t ) dh(t ) 由(2)可得 9 25 dt dt
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x t 2 2 t (0 1) 例6 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y (x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
dh(t ) 由已知， h(t ) 12 cm 时， ， 1 （cm /s） dt 代入上式得
dH (t ) 16 122 (cm / s) (1) dt 25 9 25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s 16 时，桶中水面上升的速度为 cm /s． 25
则
可导, 且 (t ) 0 时, 有 d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
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π 2 1 2 2 r (t )h(t ) 5 πH (t ) 6 π 18 3 3
r (t ) h(t ) 1 又因为 ， 所以 r (t ) h(t ) ， 代入上式得 6 18 3
π 3 3 h (t ) 25πH (t ) 6 π 27
点击图中任意点动画开始或暂停
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x a(t sin t ), 例 4 已知摆线的参数方程为 求该 y a(1 cos t ). π 摆线在 t 时的切线方程． 2 解：当 t π 时，摆线上相
2 应点 M 0 的坐标为
sin t k 1 cos t
所以，
π t 2
1
于是所求切线方程为
π y a 1 x a 1 2
即
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π y x a(2 ). 2
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x a cos t , 例 5 由椭圆的参数方程 所确定的函数 y b sin t , y y( x) 的二阶导数，其中 t [0, 2π] ．
2013年7月20日星期六 8
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
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二、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
关系,
（Derivative of Function Determined by Parametric Equation）
可确定一个 y 与 x 之间的函数
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例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , h 则 tan 500 500 两边对 t 求导
dy yt (b sin t ) b b cos t 解： cot t dx xt (a cos t ) a( sin t ) a (t 0, π, 2π)
d 2 y d dy d b dt b 2 1 cot t csc t 2 dx dx dx dt a dx dx a dt b 2 1 b csc t 2 (t 0, π, 2π). 3 a a sin t a sin t
相关变化率之间的关系式
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课后练习 思考与练习
习题2-4
1（2）（4）；3；
5（2）（4）； 6（2）；7；10
1. 设 y (sin x) y1 答案:
tan x
x x
ln x
3
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y2
x 2x 1 2ln x 3(2 x) 3(2 x)
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y y1 y2 (sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 x
ln x 3
3 x (2 x) 2
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2. 设
由方程
确定 , 求
解: 方程两边对 x 求导, 得
e y y y x y 0
按幂函数求导公式
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按指数函数求导公式
2013年7月20日星期六 6
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
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说明: 1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
再求导, 得
①
2 (e y x) y 2 y 0 e y
y
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得 1 y (0) e 1 (0) 2 再代入 ② 得 y e
之间有联系 相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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例 7 设有一深为 18cm，顶部直径为 12 cm 的正圆锥 形漏斗装满水，下面接一直径为 10 cm 的圆柱形水桶， 水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为 12 cm，水面下降 速度为 1 cm /s 时，求桶中水面上升的速度． 解： 设在时刻 t 漏斗中水面高度为 h h(t ) ，
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内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
d 1 dh sec d t 500 d t
2
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sec 1 tan
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