构造方程解方程讲课讲稿

构造方程解方程

构造方程解方程（组）（初二）

武汉实验外国语学校胡春洪

解方程（组）时，对于一些难以直接下手的问题，如果仔细观察题目的特点，巧妙构造新方程，往往可使局面立即改观，使解方程（组）的过程大大简化．本文将举例说明构造方程巧解方程（组）的几种方法，希望对读者能有所启发．

1．利用方程的根的定义构造方程

例1 已知a、b、c是互不相等的实数，且abc≠0，解关于x、y、z的方程组

0的3个根，从而t3-zt2+yt-x=0还可写成（t-a）（t-b）（t-c）=0，即t3-（a+b+c）t2+（ab+bc+ca）t-abc=0

与方程t3-zt2+yt-x=0比较，立即得

x=abc，y=ab+bc+ca，z=a+b+c．

2．应用韦达定理逆定理构造方程

例2 解方程（6x＋7）2（3x＋4）（x＋1）=6

分析原方程可化为

（6x ＋ 7）2（6x＋8）（6x＋6）=72．

设（6x＋7）2=a，-（6x＋8）（6x＋6）=b，

则a＋b=1，a·b=-72，

∴ a，b是方程t2-t-72=0的两根，

分析注意到

（x＋1）（y＋2）=xy＋2x+y＋2，

∴方程②可化为（x+1）（y+2）=36，

又由①可知x+1≥0，y＋2≥0，

则m＋n=7，m·n=6，

∴m、n是方程t2-7t＋6=0的两根，

解这个方程，得

3．运用公式法构造方程

例4 解方程

分析如果平方去根号，那将会很繁．注意到（2x2＋x＋1）-

联系①，可分离出新方程

分析不难发现（5＋x）＋（4-x）=9，联想到公式

a3＋b3=（a＋b）［（a＋b）2-3ab］，利用这个公式，并结合原方程，即可分离出新方程

联系①、②，又可构造新方程

y2-3y+2=0③

解方程③，得y1=1，y2=2，从而

∴x1=-4，x2＝3．

经检验，原方程的根为x1=-4，x2=3．

4．宾主易位构造方程

例6 解方程

分析直接解方程，难度可想而知．但是如果改变一下角度，设y=

我们不解x，转而求y，局面立即大开．显然x≠0，

练习

1．已知实数a、b、c互不相等，试解方程组

3．解方程

4．解方程x4-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2=0（其中a为常数，且a≥-6）．

答案

1．x=-abc，y＝ab+bc+ca，z＝-（a+b+c）．