构造方程解方程讲课讲稿

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17、构造方程1

n
n
n
例 2 设函数f ( x)在[a, b]上连续，且f ( x) 0, b b dx 2 证明： f ( x ) dx ( b a ) a a f ( x)
由于所证不等式与判别式类似，所以我们可考虑构造二次函数，利用判别式证明.
构造函数：F (t ) t
b a
2

b
a
由已知条件有：f ( x) f (2 y)
x 2 y x 2 y 0
cos( x 2 y) cos 0 1
（4）利用函数的分析性质（导数与积分性质）
1p 2 p n p 例14求极限 lim n n p 1
1p 2 p n p 1 p 2 p 解： [( ) ( ) p 1 n n n
（ a )( b ) ( aibi ) ,(柯西不等式）
i 1 2 i i 1 2 i 2 i 1
n
n
n
分析: 要证的不等式形式非常类似于根的判别式,这就启发我们构造一元二次函数 (方程),使其判别式恰为所求证的不等式. 为此构造函数 : n n n
f (t ) ( ai2 )t 2 2( aibi )t bi2
2 3 C1 2 C 3 C n n n n (1)n1 nCn 0
四、构造数列
例1 已知p>0,q>0,且p3+q3=2,求证：p+q≤2 证明：由 p3+q3=2知p3,1,q3成等差数列不妨设p≤q,则公差d=1-p3=q3-1≥0
1 p d 1 p 2 1 p p 1 p p2 d q3 1 q 1 2 2 1 q q 1 q q

高考数学解析几何-第13讲构造同构式方程简化运算

高考数学解析几何第13讲构造同构式方程简化运算知识与方法1.同构式方程“同构式方程”指“结构相同的方程”,是指除了变量不同,其余结构均相同的等式.如11220Ax By C Ax By C ++=⎧⎨++=⎩22(0)A B +≠,两式中除了,x y 的下标不同之外,其余结构完全相同,两式为同构式方程.说明()()1122,,,A x y B x y 两点坐标满足直线方程:0Ax By C ++=，则直线AB 的方程为:0Ax By C ++=.又如21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩(0)a ≠,两式中除了x 的下标不同之外,其余结构完全一致,说明12,x x 为方程20ax bx c ++=的两根,由韦达定理可得:1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2.解析几何中同构式的应用同构思想简化运算的基本思路：构造方程,巧用韦达定理.①构造两个直线方程;②构造一个二次方程的两根（坐标,斜率,定比）.典型例题【例1】已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>内有一点()1,1P ,过P 的两条直线12,l l 分别于椭圆Γ交于,A C 和,B D 两点,且满足,(AP PC BP PD λλ==其中0λ>,且1)λ≠,若λ变化时,AB 的斜率总为14-,则椭圆E 的离心率为______________.【例2】已知拋物线22y px =上三点()2,2,,A B C ,直线AB AC ，是圆22(2)1x y -+=的两条切线,则直线BC 的方程为（）A. 2630x y ++= B.3640x y ++= C.2630x y ++= D.320x y ++=【例3】过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,交y 轴于P ,若12PA AF λ= ,22PB BF λ=,求证:12λλ+为定值.【例4】在平面直角坐标系中,点()00,M x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，从原点O 向圆()()22200:M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ,若直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ,且2122b k k a=-(1)求证:2222||;OP OQ a b +=+(2)求证:22222a b r a b =+.强化训练1.过抛物线21:C y x =上一点()2,4P -作圆222:(2)1C x y +-=的两条切线分别交1C 于点,A B ,求直线AB 的方程.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,离心率为32,又椭圆内接四边形ABCD （点,,,A B C D 在椭圆上）的对角线,AC BD 相交于点11,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,且2AP PC =,2BP PD= (1)求椭圆的方程;(2)求直线AB 的斜率.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为),离心率为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.4.过点()1,1P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ,且AP PB λ= .点Q 满足AQ QB λ=-,若O 为坐标原点,则OQ 的最小值为_________________.5.已知抛物线21:C x y =,圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线1C 的准线的距离;(2)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点）,过点P 作圆2C 的两条切线,交抛物线1C 于,A B 两点,若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线l 的方程.6.设O 为坐标原点,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率32,以椭圆C 的长轴长,短轴长分别为两邻边的矩形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)若,,P Q M 是椭圆上的点,且圆M 与直线,OP OQ 相切,14OP k k ⋅=-,求圆M 的半径.7.已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆22:(1)1E x y -+=的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点 M N ，.试推断是否存在点P ,使14||3MN =?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内两点,A B ,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r的值.9.已知圆22:()()9M x a y b -+-=,圆心M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,圆M 过原点且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)设点(0,)(0)Q t t ->,点P （与Q 不重合）在直线:l y t =-上运动,过点P 作C 的两条切线,切点分别为,A B ,求证:AQO BQO ∠=∠.10.已知抛物线2y x =和C ,过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 斜率;（2）求面积ABP ∆的最小值.11.如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB ∆面积的取值范围.参考答案【例1】已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>内有一点()1,1P ,过P 的两条直线12,l l 分别于椭圆Γ交于,A C 和,B D 两点,且满足,(AP PC BP PD λλ==其中0λ>,且1)λ≠,若λ变化时,AB 的斜率总为14-,则椭圆E 的离心率为______________.【答案32e =】【解析】设()11,A x y ,则2211221x y a b +=.由AP PC λ= ,得1111,.x y C λλλλ+-+-⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22221x y a b +=,得()()22112222111x y a b λλλλ+-+-+=.整理,得()()()()2211222222121111x y a b a bλλλλλ++++--++=，即112212x y a b λ-+=①设()22,B x y ,同理可得22221.2x y a b λ-+=②由①②可得直线AB 的方程为2212x y a b λ-+=,所以AB 直线斜率为2214b a -=-,即224a b =,易得椭圆E 的离心率为2e =.【例2】已知拋物线22y px =上三点()2,2,,A B C ,直线AB AC ，是圆22(2)1x y -+=的两条切线,则直线BC 的方程为（）A. 2630x y ++=B.3640x y ++= C.2630x y ++= D.320x y ++=【答案】B【解析】解法1:同构式1+韦达定理由抛物线22y px =过()2,2A ,得22221p p =⨯⇒=,拋物线方程为22y x =.设22,,,22b c B b C c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则():20BC x b c y bc -++=,同理():2220AC x c y c -++=,由AB 与圆相切得1=,整理得231280c c ++=.同理有:231280b b ++=,于是,b c 是方程231280x x ++=的两根,所以84,3b c bc +=-=,得:3640.BC x y ++=故选:B.【注】过拋物线任意两点()()1122,,,x y x y 的直线方程为()121220px y y y y y -++=.解法2：同构式2由抛物线22y px =过()2,2A ,得22221p p =⨯⇒=,拋物线方程为22y x =.设()()1122,,,B x y C x y ,则2112y x =,直线()11:2220AB x y y y -++=,由AB 与圆相切得1=,整理得211380y y +=将2112y x =代入,得1161280x y ++=,即113640x y ++=①同理可得223640x y ++=②①②两式说明：直线3640x y ++=经过,B C 两点而过,B C 两点的直线有且只有一条,故直线BC 的方程为3640x y ++=.故选:B.【例3】过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆于,A B 两点,交y 轴于P ,若12PA AF λ= ,22PB BF λ=,求证:12λλ+为定值.【答案】见解析.【解析】证明:设()0,P m ,由21PA AF λ= 得,111,11c m A λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭,代入椭圆方程得:()()2222222221120b a c a b a b m λλ-++-=,同理可得:()()2222222222220b a c a b a b m λλ-++-=，所以,,λμ是二次方程()()22222222220b a c a b a b m λλ-++-=的两根,故()22212222222a b a b b a c λλ+=-=--为定值.【例4】在平面直角坐标系中,点()00,M x y 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，从原点O 向圆()()22200:M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ,若直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ,且2122b k k a=-(1)求证:2222||;OP OQ a b +=+(2)求证:22222a b r a b =+.【答案】见解析.【解析】（1）()()2,0,1,0A B ,设()()1122,,,P x y Q x y ,由2122,b k k a=-得212212y y b x x a =-,所以4224221212a y y b x x =.,P Q 在椭圆上,22222222112212122222221,1,1,1x y x y x x y y a b a b a a ∴+=+=∴=-=-,于是22222242212122211x x a b a b b x x a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,即()()2222221212a x a x x x --=,化简得22212x x a +=.所以()22222222222222121212122||2b OP OQ x x y y x x b x x a b a+=+++=++-+=+(2)设直线,OP OQ 的方程分别为1y k x =与2y k x =,过原点O 作圆的切线y kx =,由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径，r =,即()()222001,k r y kx +=-即()22222000020x r k x y k y r --+-=因为12,k k 是方程的两根,所以2220122220y r b k k x r a -==--,所以222220022a yb x r a b +=+因为()00,M x y 在椭圆上,所以2200221x y a b+=,即22222200b x a y a b +=,所以22222a b r a b =+.强化训练1.过抛物线21:C y x =上一点()2,4P -作圆222:(2)1C x y +-=的两条切线分别交1C 于点,A B ,求直线AB 的方程.【答案】4310x y -+=【解析】解法1:()12,4P -,设()()1122,,,A x y B x y 则221212121212AB y y x x k x x x x x x --===+--同理122,2PA Pb k x k x =-=-,直线PA 的方程为()()1422y x x -=-+,即()11220x x y x --+=,由直线PA 与圆相切,1=,即()()22112221x x -=-+,化简得2114310x x -+=,即114310x y -+=.由直线PB 与圆相切，同理可得224310x y -+=.说明()()1122,,,A x y B x y 两点都在直线4310x y -+=上，故直线AB 的方程为4310x y -+=.解法2:由题意知，切线的斜率均存在，设过点()2,4P -且与圆相切的直线方程为()42y k x -=+,即240kx y k -++=,1=,所以22(22)1k k +=+,即23810k k ++=，设12,PA PB k k k k ==,则12,k k 是上面方程的两根,所以12128,13k k k k +=-=,由()242y k x y x ⎧-=+⎨=⎩得2240x kx k ---=,即()()220,2,2x x k x x k +--=≠-∴=+ .设()()1122,,,A x y B x y ,则11222, 2.x k x k =+=+进而1212844433x x k k +=++=-+=()()()1212121216122241533x x k k k k k k =++=+++=-+=-而221212121212ABy y x x k x x x x x x --===+--,直线AB 的方程为()()21121y x x x x x -=+-即()1212y x x x x x =+-,即4133y x =+,即4310x y -+=.解法3:设()()1122,,,A x y B x y ,则()1212:0AB x x x y x x +--=,同理()11:220PA x x y x --+=,由PA 与圆相切得:1=,整理得2113410x x --=,将211y x =代入，得114310x y ++=,同理有:2223410x x --=,于是12,x x 是方程23410x x --=的两根,所以121241, 33x x x x +==-,得:4310AB x y -+=.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,离心率为32,又椭圆内接四边形ABCD （点,,,A B C D 在椭圆上）的对角线,AC BD 相交于点11,4P ⎛⎫⎪⎝⎭,且2AP PC =,2BP PD=(1)求椭圆的方程;(2)求直线AB 的斜率.【答案】(1)2214x y +=,(2)1-【解析】（1）依题意,2222221314c aa b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得2241a b ⎧=⎨=⎩,所求椭圆的方程为22 1.4x y +=(2)设()11,A x y ,则221114x y +=.由2AP PC = ,得11334,.28x y C --⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程2214x y +=,得21213342 1.48x y -⎛⎫⎪-⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭整理,得()22111131904216x y x y +-+-=,即111.8x y +=-①设()22,B x y ,同理可得221.8x y +=-②由①②可得直线AB 的方程为18x y +=-,所以AB 直线斜率为1-.3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为),离心率为(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【答案】(1)221;94x y +=(2)2213x y +=.【解析】(1)222553,9543c c e a b a c a a ====∴=----=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=.(2)若两切线斜率都存在,设切线方程为()00y y k x x -=-,代入椭圆方程得:()()()22200009418940k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦,由判别式为零得:()()()22220000(18)364940k y kx y kx k ⎡⎤----+=⎣⎦,整理得:()2220009240x k x y k y --+-=，所以k 是方程()2220009240x k x y k y --+-=的一个根，同理1k-是方程()2220009240x k x y k y --+-=的另一个根,所以20204119y k k x -⎛⎫⋅-==- ⎪-⎝⎭,即220013x y +=;若两切线中有斜率不存在,则()3,2P ±±,也满足220013;x y +=故点P 的轨迹方程为2213x y +=.4.过点()1,1P 的直线l 与椭圆22143x y +=交于点A 和B ,且AP PB λ= .点Q 满足AQ QB λ=-,若O 为坐标原点,则OQ 的最小值为_________________.【答案】125【解析】设点,,Q A B 的坐标分别为()()()1122,,,,,x y x y x y ,由题设有,,,,PA AQ BQ Q A P B=∣∣四点共线,故可设(),0,1PA AQ PB BQ μμμ==-≠±,于是111111x x y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩①2211 11x x y y μμμμ-⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩②点()11,A x y 在椭圆22143x y +=上,将①代入椭圆方程整理得()()22234122341250x y x y μμ+-++--=③点()22,B x y 在椭圆上，将②代入，同理可得()()22234122341250x y x y μμ+--+--=④由③④知:,μμ-是方程()()22234122341250x y t x y t +--+--=的两根,由韦达定理得34120x y +-=,点Q 的轨迹方程为34120x y +-=,故||OQ 的最小值就是点O 到直线34120x y +-=的距离125d ==.5.已知抛物线21:C x y =,圆222:(4)1C x y +-=的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线1C 的准线的距离;(2)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点）,过点P 作圆2C 的两条切线,交抛物线1C 于,A B 两点,若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ,求直线l 的方程.【答案】(1)17;4(2)4y =+.【解析】(1)抛物线21:C x y =的准线为14y =-,圆心(0,4)M ,点M 到准线的距离174d =.（2）解法1:设点()()()222001122,,,,,P x x A x x B x x ,由题意知00120,1,x x x x ≠≠±≠.设过点P 的圆2C 的切线方程为：()00y y k x x -=-,由直线与圆2C相切有()()()22200001124410d x k x y k y ==⇒-+-+--=设,PA PB 的斜率为12,k k ,则()00122241x y k k x -+=-.由于2210101101010y y x x k x x x x x x --===+--,02201201,4AB PM x k x x k x x k y -=+=+==-.因此()000122002414x y x k k x y -+==--,解得20235x =,即235P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以直线l方程为4y =±.解法2:设()()()2221122,,,,,P t t A x x B x x ,由题意得120,1,t t x x ≠≠≠,可得1212,,AB AP BP k x x k t x k t x =+=+=+,所以直线()()21:AP y t t x x t -=+-化简得()11y t x x tx =+-.因为AP 与圆相切,所以1d =,化简得()221116150t x tx -++=同理可得()222216150t x tx -++=.所以12,x x 是方程()2216150tx tx -++=的两根.所以121222615,11t x x x x t t -+==--.又24MPt k t-=,由,1AB MP MP AB k k ⊥⋅=-,解得2235t =.即点P的坐标为235⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以直线l 的方程为31154115y x =±+.6.设O 为坐标原点,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>以椭圆C 的长轴长,短轴长分别为两邻边的矩形的面积为8.(1)求椭圆C 的方程;(2)若,,P Q M 是椭圆上的点,且圆M 与直线,OP OQ 相切,14OP k k ⋅=-,求圆M 的半径.【答案】(1)2214x y +=;(2)r =【解析】(1)由已知得222228c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆的方程为2214x y +=.(2)过原点O 作圆的切线y kx =,设()00,M x y ,圆半径为(0)r r >,由圆心()00,M x y 到直线0kx y -=的距离等于半径,r =,即()()222001k r y kx +=-,即()22222000020x r k x y k y r --+-=,,OP oQ k k 是方程的两根,2222200022041,45OP oQy r x y k k r x r -+∴==-∴=-,因为()00,M x y 在椭圆上，所以222004251,,455x y r r +=∴=∴=.7.已知椭圆C 的中心在原点,离心率为22,其右焦点是圆22:(1)1E x y -+=的圆心.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过椭圆C 上且位于y 轴左侧的一点P 作圆E 的两条切线,分别交y 轴于点 M N ，.试推断是否存在点P ,使14||3MN =?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2212x y +=;(2)存在点21,2P ⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭满足条件.【解析】(1)设椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>,半焦距为c ,因为椭圆的右焦点是圆E 的圆心,则1c =,又因为22e =,即2a =,从而2221b a c =-=,故椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设点()()000,0,(0,),(0,)P x y x M m N n <,则直线PM 的方程为00y my x m x -=+,即()0000y m x x y mx --+=,因为圆心(1,0)E 到直线PM 的距离为1,即()0022001y m x my m x-+=-+,即()()()222220000002y m x y m x m y m x m -+=-+-+,即()2000220x m y m x -+-=,同理()2000220x n y n x -+-=.由此可知,,m n 为方程()2000220x x y x x -+-=的两个实根,所以00002,22y xm n mn x x +=-=---,()()22220000220004444||||()4222y x x y x MN m n m n mn x x x +-=-=+-=+=---因为点()00,P x y 在椭圆C 上,则220012x y +=，220012x y =-则||MN ===,143,则()2029x -=,因为00x <,则01x =-，22001122xy =-=，即0y =故存在点21,2P ⎛-± ⎪⎝⎭满足条件.8.如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内两点,A B ,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB 恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r 的值.【答案】(1));+∞(2)12r =【解析】（1）设4:,(0)5l x ty t =->,代入24y x =,得22166440,16055y ty t -+=∆=->,得t >设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212164,5y y t y y +==()121212124445y y k k t y y y y ++=+==>,所以12k k +的取值范围是)+∞.（2）由（1）知1211165k k y y ==,设过原点且与圆相切的直线为y kx =,r =,整理得()2221440r k k r --+-=2122451r k k r -==-,得214r =,所以12r =.9.已知圆22:()()9M x a y b -+-=,圆心M 在抛物线2:2(0)C x py p =>上,圆M 过原点且与C 的准线相切.(1)求抛物线C 的方程;(2)设点(0,)(0)Q t t ->,点P （与Q 不重合）在直线:l y t =-上运动,过点P 作C 的两条切线,切点分别为,A B ,求证:AQO BQO ∠=∠.【答案】(1)28x y =;（2）见解析【解析】（1）∵圆M 与抛物线准线相切,∴32p b =-.又圆过0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭和原点,∴4p b =.∴324p p-=,解得4p =.∴抛物线C 的方程为28x y =.(2)设()()1122,,,,(,1),A x y B x y P m C -方程为211.84y x y x =∴'=,∴抛物线在点A 处的切线的斜率114k x =,∴切线PA 的方程为()11114y y x x x -=-,即()21111184y x x x x -=-,化简得:2111184y x x x =-+,又因过点(,1)P m -,故可得21111184x x m -=-+,即211280x x m --=.同理可得:222280x x m --=.∴12,x x 为方程2280x mx --=的两根,∴12122,8x x m x x +==-.∴()()221212121212121211882208888AQ BQx x x x y y x x m m k k x x x x x x ++++++-+=+=+=+==∴AQO BQO ∠=∠.10.已知抛物线2y x =和C ,过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 斜率;（2）求面积ABP ∆的最小值.【答案】(1)4;3k =(2)23.【解析】（1）抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,设切线PB 的斜率为k ,则切线PB 的方程为:14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即104kx y k --=.1(1)1041k k⋅--⋅-=,解得：43k =±.∵()()0004,1,3P x y y k ∴=（2）设切线方程为y kx m =+,由点P 在直线上得：00y m k x -=圆心C1=,整理得:2210m km --=将(1)代入(2)得:()2000220x m y m x +--=设方程的两个根分别为12,m m ,所以001212002,22y xm m m m x x +==-++,从而12||AB m m =-==,)001||12ABPS AB x x x ∆==≥记函数()2223()(1)(2)x x x g x x x +=≥+,则()22321118()0(2)x x x g x x ++'=>+,()min 2,3PAB ABP S S ∆∆==的最小值为23,当01x =取得等号.11.如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB ∆面积的取值范围.【答案】（1）见解析;(2)4⎡⎢⎣⎦.【解析】(1)设()22120012,,,,,44y y P x y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则PA 中点为20011,282x y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,由AP 中点在抛物线上,可得2201014228y y x y ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得2210100280y y y x y -+-=,显然21y y ≠,且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=,所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两不等实根,所以1212002,2M P y y y y y y y y ++====,即PM 垂直于x 轴.(2)()()()120121122M P M M M S x x y y y y x x y y =--+-=--,由（1）可得()()()()222212012000000122,8,248840y y y y y x y x y y x y y +==-∆=--=->≠,此时()00,P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,∴()()()222000000848414321y x x x x x ⎡⎤∆=-=--=--⎣⎦,∵01210,0,||x y y a -<∴∆>∴-===()()()22222200001212120000428644238888M P y x y x y y y y y y x x x x x x ---+-+-=-=-==()20031x x =--,所以()2301200112M S x x y y x x =--=--=,51,2t ⎡=⎢⎣⎦,所以315104S ⎡=∈⎢⎣⎦,即PAB∆的面积的取值范围是4⎡⎢⎣⎦.21。

解方程ppt课件

解方程的思路
01
02
03
理解方程
首先需要理解方程的意义和背景，了解方程的形式和特点。
寻找规律
观察方程的特点，寻找规律和线索，这有助于找到解方程的思路和方法。
选择方法
根据方程的特点和规律，选择合适的方法来解方程，比如因式分解法、公式法、图解法等。
解方程的步骤
观察
观察方程的特点，寻找规律和线索。
计算
按照选定的方法进行计算，求解方程的根。
读题
仔细阅读题目，理解方程的形式和要求。
选择方法
根据方程的特点和规律，选择合适的方法来解方程。
检验
对求解结果进行检验，验证是否满足方程的条件。
02
一元一次方程的解法
去分母法
总结词
通过将方程两边同时乘以方程中各项的最小公倍数，将方程中的分母去掉，使方程变得简单明了。
矩阵法的适用范围
适用于系数行列式不为0的情况
适用于需要求解高阶线性方程组的情况
04
高次方程的解法
因式分解法
定义
将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
原因
高次方程的解法需要将方转化为多个低次方程，从而简化计算过程。
通过等式的变形，将方程组中的一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来
将表示出来的式子加或减另一个方程，消去一个未知数
加减消元法的适用范围适用于方程组中有相同未知数的系数的情况适用于方程组中某一个未知数的系数是负数的情况
矩阵法
矩阵法的基本步骤
建立方程组的增广矩阵
对增广矩阵进行初等行变换，得到方程组的解

构造一元二次方程解题

四.用根的判别式构造一元二次方程
5．已知 14（b-c）＝（a﹣b）（c﹣a）
且a≠0，则 b+c ＝
．
a
答案：2
五.用求根公式构造
7．已知a＝
1 8
求（ 1+ 1-4a）3﹣ 2
（ 1+ 1-4a）2+a×（ 1+ 1-4a）+4的值．
2
2
答案：4
六.运用主元法构造
6．已知a＞b＞0，且a2+b2＝6ab，求的值a+b ．
构造一元二次方程技巧
肇东市宋站中学校
一. 已知两根求作新的方程
以x 1,x2为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x2 (x1 x2 )x x1x2 0
1.已知两个数的和等于2，积等于-
15，则这两个数中较大的
是
．答案：5
变式.已知两个数的差等于2，积等
于15，则这两个数中较大的
是
4.已知m=1+ 2 ，n=1- 2，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）＝8，则a的值等于（）
A．﹣5 B．5 C．﹣9 D．9 【分析】观察已知等式可知，两个括号里分别
有m2﹣2m，n2﹣2n的结构，可由已知m、n的值移项，平方得出m2﹣2m，n2﹣2n的值，代入已知等式即可．故选：C．
a-b
答案： 2
总结
构造一元二次方程既是一种重要的数学方法，又是一种常用的数学思想，某些非一元二次方程问题，若能抓住其特征，则可以用过构造一元二次方程来解决。
．答案：5或-3
二.由根的定义构造一元二次方程
2.两个不相等的实数m，n满足

初中数学构造一次方程组解题专题辅导

初中数学构造一次方程组解题二元（三元）一次方程组是初中数学的重要内容之一，正确求解一次方程组固然重要，但根据题目的不同条件，构造一次方程组解题，增强方程组的意识，更是一种学习的深入、开拓、创新。

常用的构造方法如下：一. 利用方程组解的定义构造例1. 已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-m ny 3x n y mx 的解是⎩⎨⎧==2y 1x ，求n 2m 3m 3n 2+-的值。

解：⎩⎨⎧==2y 1x 是已知方程组的解，把⎩⎨⎧==2y 1x 代入方程组⎩⎨⎧=+=-m ny 3x n y mx 中，得到关于m 、n 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-m n 23n 2m 。

解得⎩⎨⎧-==1n 1m 52332-=---=∴原式例2. 甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧=+=+18y 5cx 26by ax 甲得正确的解为⎩⎨⎧-==2y 4x 。

乙因看错了c 。

得到的解为⎩⎨⎧==3y 7x 。

求a 、b 、c 的值。

解：甲的解正确⎩⎨⎧-==∴2y 4x 把代入原方程组后为⎩⎨⎧=-=-1810c 426b 2a 4，乙是仅看错了c ，但a 、b 没有看错，则乙所得的解⎩⎨⎧==3y 7x 应满足方程ax+by=26。

于是有7a+3b=26。

因此构成关于a 、b 、c 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-26b 3a 71810c 426b 2a 4解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==7c 3b 5a二. 利用题设条件构造例3. 在公式d )1n (a a 1n -+=中，已知)321n (14a ,5a 52 、、===。

求10a 。

解：要求10a ，只要求出d a 1、。

把10a 5a 52==、分别代入公式中，构造关于a 、d 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+14d 4a 5d a 11 解得⎩⎨⎧==3d 2a 1 293)110(2a 10=⨯-+=∴例4. 已知代数式c bx ax 2++。

解方程课件ppt

01
02
03
04
消元法
通过加减消元或代入消元的方式，将方程组化简为一元一次
方程，从而求解未知数。
换元法
在复杂的方程中，引入新的变量进行替换，简化方程，便于
求解。
参数法
对于某些方程，可以引入参数来表示未知数，通过对方程进
行变形，求解参数的值。
图解法
对于一些线性方程或二元一次方程，可以通过作图的方式找
求解一元一次方程
总结词
通过移项、合并同类项和去括号等方法，将方程化简为一元一次方程的标准形式，并求解未知数。
详细描述
求解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤
，最终得到一元一次方程的标准形式ax=b （其中a≠0），然后通过求解未知数x得到答案。例如，对于方程5x+3=7-2x，首先移项得到5x+2x=7-3，然后合并同类项得
02
03
求解实根
当判别式Δ>0时，可以通过公式法求解一元二次方程的两个不相等的实根。
求解重根
当判别式Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根，可以通过公式法直接求解。
求解虚根
当判别式Δ<0时，一元二次方程没有实根，而是两个共轭虚根，可以通过因式分解法求解。
05
解方程的技巧与注意事项
解方程的技巧
解方程的基本步骤
总结词
解方程的基本步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1等。
详细描述
去分母是为了消除分母对解题的影响，可以通过找到所有分母的最小公倍数来实现。去括号则是将方程中的括号消除，根据乘法分配律进行展开。移项是将含有未知数的项移到等式的一侧，常数项移到另一侧。合并同类项是将具有相同字母因子的项合并，简化方程。最后，系数化为1是为了将未知数的系数化为1，从而更容易找到未知数的值。这些步骤是解一元一次方程的基本方法，也是学习其他更复杂方程的基础。

【例题讲解】构造一元二次方程例完整版课件

1 根据根与系数关系可知：以m
1 和n
为根的一元二次方程为：x2
1 m
1 n
x
1 m
1 n
0；
11
所以以m 和n 为根的一元二次方程为：x2－x－1＝0．
此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根据根与系数的关系构造
方程是解本题的关键．
再见
例若m，n是方程x2＋x﹣1＝0的两个实数根．
（1）则m2＋2m＋n的值为 0 ；
11 （2）求以 m 和 n 为根的一元二次方程．
分析
求出
1 m
1 n
和
1 m
1 n
值
ห้องสมุดไป่ตู้
构造一元二次方程
解答（2） ∵若m，n是方程x2＋x﹣1＝0的两个实数根， ∴m＋n＝－1，m·n＝－1
∴ 1 1 m n 1，1 1 1， m n mn m n
已知两根构造一元二次方程一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2
x2＋ b x＋c ＝0 aa
x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0
引例请写出一个以方程x2＋3x－5＝0的两个根的相反数为根的一元二次方程x2－3x﹣5＝0 .
解答
设方程x2＋3x－5＝0两根为x1，x2，则：x1＋x2＝－3，x1x2＝－5 则有：(－x1)＋(－x2)＝3，(－x1)·(－x2)＝－5 以－x1和－x2为根的一元二次方程可以为：x2－[(－x1) ＋ (－x2)]x＋ (－x1)·(－x2) ＝0
代入数值可得：x2－3x﹣5＝0.
例若m，n是方程x2＋x﹣1＝0的两个实数根．
（1）则m2＋2m＋n的值为 0 ； 11
（2）求以 m 和 n 为根的一元二次方程．

利用韦达定理的逆定理来构造一元二次方程解题

利用韦达定理的逆定理来构造一元二次方程解题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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自主招生培训：构造一元二次方程解题

构造一元二次方程解题一元二次方程是初中数学的重点内容，也是解决数学问题的重要工具。

在很多具体题目中，往往看不到一元二次方程的“身影”，但往往可以利用题目中的已知条件构造一元二次方程，再利用方程的知识来求解，会使问题得以简捷解决，收到事半功倍之效。

一、创设情境、复习旧知：1、已知m 、n 是一元二次方程2a +bx+0c 0a .x =≠（）的两根，则：（1）m+n=,mn=;（2）a( )2+b （）+c= a( )2+b （）+（）=0.2、以x 1、x 2为根的一元二次方程是。

（以x 为主元）二、合作交流，探究新知：1、利用根的定义构造：例1、（1）若ab ≠1，且有25a +2013a+90=，29b +2013b+50=，则a b 的值是。

（2）若实数x 、y 满足53535353x y x y +=1+=12+52+63+53+6，，则x+y=。

2、利用韦达定理构造：例2、（1）已知x 、y 是正整数，并且xy+x+y=23，x 2y+xy 2=120，则x 2+y 2=。

（2）已知a 、b 、c三数满足方程组2a b=8ab-c +⎧⎪⎨⎪⎩，试求方程2bx +cx-a 0=的根。

3、确定主元构造：例3、已知a 、b 为实数，且22a +ab+b 3=，若22a -ab+b 的最大值为m ，最小值为n ，求m 、n 的值。

4、反客为主构造：例4、求关于x 的一元二次方程22a +4-ax-10.x =（）的最大实数根和最小实数根。

例5、解方程32x -10x -2a-x +2a+6x+2a+a =042（11）（5） 5、联想构造：例6、已知z-x -2（）4（x-y ）（y-z ）=0，求证：2y=x+z例7、已知b 3=。

求+22b b a a33（）（的值。

6、逆向构造例8、已知3a-b b-c +c-a =（）（）0（a ≠b ），求2c-b -a+b c+ab a -2ab+b 2（）（）的值。

如何构造一元一次方程解题？

ａ＝ｂ有无穷多个解，有ａ０且ｂ．ｘ则＝，＝０于是可以整理出关于ｋ的方程的一般形式，而进
八、根据互为倒数的概念构造
例８已知关于的方程＝＋了ｍ与
半
－ｘ２互为倒数，３－的解求ｍ的值．
２－＝且２３＝．ｂ３０－ａ０解得ａ－ｂ要．￣－１，＝１
解：半由
－ｘ２得，３－，＝１
当：，吾，了吾１ｎ号６时： × ＝＝２．
六、据互为相反数的性 ห้องสมุดไป่ตู้ 构造根
因为１的倒数仍为ｌ，所以把＝１代入方
詈一× ，＋＝一．３１孚告号即
四、根据方程无解构造
例４已知关于的一次方程（ｎ８＋３＋）
三、据两个一元一次方程的解相同的意根
ｍ笛
。。
即ａ６－．
义构造
＾例若程ｕ＋：一丰ｎ３方旦１ ’ Ｊ
７无解，９＝０则一３一６ｎ４的值是多少？
譬
％ ■
｜÷ ｜，ｌ
｜．
馥０一
秘一耨｜。赣一
分析：关于的方程似＝ｂ尢解，有若则
解这个一元一次方程，ｍ得
七、据绝对值的意义构造根
程：，＋ｍ
例５Ｐ与｛的互相６ｍ一５一）为－｛值
反数，ｍ的值．求
１），

24. 怎样运用韦达定理的逆定理构造一元二次方程解题 ---刘培杰代数

24 怎样运用韦达定理的逆定理构造一元二次方程解题本节将一些不同类型的问题转化为利用“韦达定理的逆定理”来解，拓宽了解题思路，丰富了解题技巧．如果两个数21,x x 满足,.,2121acx x a b x x =-=+那么21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，这便是韦达定理的逆定理．本节对灵活剖析题目的特点，运用上述定理构造一元二次方程解题的方法和技巧作一些探讨．(为了着重说明上述定理的应用，以下例题的解法并非都是最简便的)1．如果题目中同时含有某两个数的和与积，可直接利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程．例1 方程组⎩⎨⎧=-=+122z xy y x 实数解的组数是——．解由x+y =2和xy=1+Z 2知，并x ，y 是关于t 的方程①01222=++-z t t的两个实数根．所以,0)1(442≥+-=∆z 即,02≤z 但,02≥z 故z=0，代人①得,0122=+-t t 解得,121==t t 即x=y=1．故原方程组有唯一的实数解⎩⎨⎧===0z 1y x例2 若正数x+y=x·y，求x+y 的最小值解设x+y=x·y =k >0，则x ，y 是方程02=+-k kt t 的两个根．所以,04)(2≥--=∆k k 即_k ≥4，故.4)(min =+y x2．如果题目的条件(结论)中含有某两个数的和(或积)，常可从条件或结合结论求出这两个数的积(或和)，再根据韦达定理的逆定理构造一元二次方程．例3确定最大的实数z ，使得x+y+z=5，xy+弦+蕊=3，并且x ，y 也是实数．解由条件等式得①z y x -=+5②35)5(3)(32+-=--=+-=z z z z y x z xy由①，②知x ，y 是关于t 的方程035)5(22=+-+--z z t z t 的两个根，所以0)35(4)5(22≥+---=∆z z z即0131032≤--z z解得,3131≤≤-z 所以z 的最大值是⋅313:例4 已知①10=ab ②222c b a =+求证：.52||≥c证明由②得,2)(22ab c b a +=+把①代入得.20)(22+=+c b a 即202+±=+c b a由①，③知a ，b 是方程010.2022=++±t c t 的两个根，所以040)20(22≥-+±=∆c即,202≥c 故.52||≥c例5 若P ，q 是正实数，且,233=+q p 求证：.223≤+<q p证明设①0>=+k q p因为 )3(]3))[((22233pq k k pq q p q p q p -=-++=+= 所以②kk pq 323-=由①，②知P ，q 是二次方程03232=-+-kk kt t 的两个正根，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≥--0203)2(4332k kk k解此不等式组得.223≤<k 故.22.3≤+<q p3．如果题目条件(结论)中虽含有某两个数的和(或积)但不易求出，或虽能求出这两个数的积(或和)但不利于问题的解决时，常可通过换元重新构造与问题的结论有关的某两个新数的和与积，再根据韦达定理的逆定理构造一元二次方程．例6 设,1,1,222=++=++>>c b a c b a c b a 求证：⋅<+<341)1(b a .198)2(22<+<b a证明令a 一c=x ，b —c=y ，则 x>y >0，有①c c c b a y x 313)(-=-++=+因为0)(2)()(2222=++=++-++ca bc ab c b a c b a所以c c c c b a c ab -=--=+-=2)1()(②c c c b a c ab c b c a xy 23)())((22-=++-=--=由①，②知x ，y 是关于t 的方程023)31(22=-+--c c t c t 的两个不等正根，于是得出⎪⎩⎪⎨⎧>->->---=∆0230310)23(4)31(222c c c c c c 解不等式组得.031>>c (1)因为a+b+c=1，a+b=1一c ，所以⋅<+<341b a (2)因为,1222=++c b a 所以,1222c b a -=+且⋅<<9102c 所以.19822<+<b a 4．如果题目中仅含有某两个数的和(或积)，常可先挖掘这两个数隐含的积(或和)的关系式，再用韦达定理的逆定理构造一元二次方程．例7 求函数12-+-=x x y 的值域．解因为,1)1()2(22=-+-x x 于是对函数式等号两边同时平方并整理得)1(21122-=-⋅-y x x 所以1,2--x x 是关于t 的方程0)1(2122=-+-y yt t 的两个非负实数根，于是得出⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥≥---=∆0100)1(21.4)(222y y y y 解不等式组得函数的值域为.21≤≤y例8 解方程,2=-+++-xa xb x b x a 其中.0>>b a 解注意到该方程为倒数方程这一隐含条件，知xa xb x b x a -+⋅+-|是方程0122=+-t t 的两个根，解此方程得.121==t t所以,1=+-x b x a 解得).(21b a x -= 把)(21b a x -=代入原方程检验知，它是原方程的根．例9在口ABCD 中，BAD ∠为钝角，且,4422AD AB BD AC +=⋅求BAD ∠的度数．解如图l ，因为ABCD 是平行四边形，所以①)(2222AD AB AC +=+ω又②4422AD AB BD AC +=⋅由①，②知，22,BD AC 是方程0)()(244222=+++-AD AB t AD AB t 的两个根，解这个方程得AD AB AD AB t ⋅⋅±+=2222,1因为∠BAD 为钝角，所以有BD>AC ，于是AD AB AD AB BD ⋅⋅++=2222在△ABC 中，由余弦定理得,cos .2222BAD AD AB AD AB BD ∠⋅-+=所以221cos -=∠BAD 即o BAD 135=∠5．如果题中既不含有某两数的和，也不含有某两数的积，有时可先变换题设条件、结论或利用题设条件先求出某两个数的和与积，然后再用韦达定理的迹定理构造一元二次方程．例10 设实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧=+-++=+--②①066078222a bc c b a bc a 求a 的取值范围．解由①得③782+-=a a bc由②一①可得④)1(-±=+a c b由③，④知b ，c 是关于t 的方程078)1(22=+-+-±a a t a t 的两根．因为a ，b ，C 为实数，所以,0)78(4)1(22≥+---=∆a a a 解得≤≤a 1.9例11 △ ABC 的面积是它的内接矩形PQ 麟的面积的3倍，且边BC 和高AD 的值是有理数，问矩形PQRS 的周长的值在什么情况下是有理数?在什么情况下是无理数?解如图2，设,,,,y PS x PQ b AD a BC ====则,axb b =-γ即 ①ab ay bx =+又,612131ab ab xy =⨯=所以 ②2261.b a ay bx =⋅ 由①，②知bx ，ay 是方程061222=+-b a abt t 的两个根，解这个方程得ab t )33(612,1±=则矩形PQRS 的周长2(x+y)为).(331b a b a -±+ 故当a=b 时，矩形PQRS 周长的值为有理数；当a≠b 时，矩形PQRS 周长的值为无理数．。

初中数学构造方程思路教案

初中数学构造方程思路教案教学目标：1. 理解构造方程的基本思路和方法；2. 能够运用构造方程解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 构造方程的基本思路和方法；2. 运用构造方程解决实际问题。

教学难点：1. 灵活运用构造方程解决实际问题；2. 理解并掌握构造方程的原理。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的方程知识，如一元一次方程、一元二次方程等；2. 提问：我们在解决方程问题时，一般是如何找到未知数的？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解构造方程的基本思路：通过观察问题，找到数量关系，设定未知数，列出方程；2. 举例讲解构造方程的方法：a. 问题分析：分析问题中的已知量和未知量，找到它们之间的关系；b. 设定未知数：根据问题中的数量关系，选择合适的未知数；c. 列出方程：根据未知数和已知量，列出方程。

3. 引导学生跟随讲解，进行实例操作，理解构造方程的过程；4. 强调构造方程的关键：正确找到数量关系，合理设定未知数。

三、课堂练习（15分钟）1. 出示练习题，要求学生独立完成；2. 引导学生运用构造方程的方法，解决实际问题；3. 选几位学生分享解题过程，讲解思路。

四、总结与反思（5分钟）1. 引导学生回顾本节课所学内容，总结构造方程的思路和方法；2. 提问：大家在解决实际问题时，如何运用构造方程？遇到了哪些困难？3. 鼓励学生积极参与，提出问题，共同解答。

教学延伸：1. 引导学生进行课后练习，巩固所学知识；2. 组织学生进行小组讨论，分享构造方程的解题心得；3. 布置相关作业，检查学生对构造方程的理解和掌握程度。

教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了构造方程的基本思路和方法，能够运用构造方程解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生观察问题，找到数量关系，合理设定未知数，列出方程。

同时，要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习效果。

应用构造法解指数方程

特殊的指数方程有各种特殊的解法.本文介绍三种构造法，供初三和高中师生教与学时参考.1构造一元二次方程解指数方程例1解方程æèçöø÷2+3x+æèçöø÷2-3x=4①.解：∵æèçöø÷2+3x∙æèçöø÷2-3x=()4-3x=1②，∴根据韦达逆定理，由①、②知：æèçöø÷2+3x和æèçöø÷2-3x是方程t2-4t+1=0的两个根，∴t1=2+3，t2=2-3.∴æèçöø÷2+3x=2+3或æèçöø÷2+3x=2-3，∴()2+3x2=()2+31或()2+3x2=()2+3-1,∴x=2或x=-2.经检验x=2，x=-2都是原方程的解.例2解方程6x+4x=9x.解：∵6x≠0,∴方程两边同除以6x得1+æèöø23x=æèöø32x，即æèöø32x-æèöø23x=1①，又æèöø32x∙éëêùûú-æèöø23x=-1②，∴根据韦达逆定理，由①、②知æèöø32x,-æèöø23x是方程t2-t-1=0的两个根，解得t1,2，从而æèöø32x或-æèöø32x=，解之得x=log32，经检验x是原方程的解.例3解方程(a-x)23-6(a2-x2)13+4(a+x)23=0，这里a≠0.分析：考虑到23是13的2倍，故可将根式方程变形转化为一元二次方程，然后应用求根公式求解.解：显然x=-a不是原方程的根，故x+a≠0，用(a+x)23除方程的各项得æèöøa-xa+x23-6æèöøa-xa+x13+4=0，由求根公式得æèöøa-xa+x13=3+5，当æèöøa-xa+x13=3+5时，应用构造法解指数方程江苏省泰州市海陵区森南新村15栋103室于志洪225300摘要：指数方程是中学数学的重点和难点，本文给出了三种应用构造法解指数方程的途径，新颖实用.关键词：构造法；指数方程··15x1=1-()3+531+()3+53a,当æèöøa-xa+x13=3-5时，x2=1-()3-531+()3-53a，方程两边同时立方，不破坏同解性.所以经检验知x1=1-()3+531+()3+53a，x2=1-()3-531+()3-53a都是原方程的解.2构造指数函数解指数方程例4解方程：3x+4x+5x=6x.解：方程两边同时除以6x，整理得æèöø36x+æèöø46x+æèöø56x-1=0.构造指数函数f(x)=æèöø36x+æèöø46x+æèöø56x-1,显然f(3)=æèöø363+æèöø463+æèöø563-1=0,则x=3是方程的一个解.因为æèöø36x,æèöø46x,æèöø56x均为R上的减函数，所以f(x)是定义域R上的减函数，因此原方程有且只有唯一解x=3.例5求方程5x+12x=13x的所有解.解：观察易知x=2是原方程的一个解.原方程两边同除从13x得，æèöø513x+æèöø1213x=1.构造指数函数f(x)=æèöø513x+æèöø1213x.由指数函数的单调性可知，f(x)在其定义域R上也为严格单调递减函数.因此原方程仅一解x=2.例6解方程9x+6x=2·4x.解：方程两边同除以4x得æèöø94x+æèöø64x-2=0.由观察发现f()0=æèöø94+æèöø64-2=1+1-2=0，∴x=0是方程的一个解，而æèöø94x,æèöø64x均为R上的增函数，故f(x)是定义域R上的增函数，因此方程有且仅有一解x=0.3构造均值换元解指数方程例7解方程：æèçöø÷3+22x+æèçöø÷3-22x=22.分析：此方程右边为常数22，左边两括号内的二重根式互为倒数.根据这一特征，运用均值换元可简化解题过程，达到变难为易、化繁为简之目的.解：因为3+22=()2+12，3-22=()2-12，所以原方程可变形为()2+12x+()2-12x=22.应用均值换元，设()2+12x=2+t，()2-12x=2-t.而()2+12x与()2-12x互为倒数，因此可知()2+t()2-t=1，故2-t2=1，t2=1，t=±1.即()2+12x=2±1,∴x1=12，x2=-12，经检验x1,x2都是原方程的根.综上可知：注意应用构造法解指数方程，不仅思路简捷、解法新颖、内容丰富，而且通过专题研究，有利于帮助学生理解课本内容，融会贯通所学过的知识，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，符合新课程标准关于“培养学生的探索精神和创新意识”的理念，因而对提高学生的发散思维和应用意识，对于巩固课本知识，掌握“双基”，(下转第19页)··16=3+(Σcot A 2)2-2Σcot B 2cot C 2+2Σcsc B 2csc C2=3+(Σcot A 2)2-2(Πcsc A 2+1)+2Σcsc B 2csc C2=1+(Σcot A 2)2-2Πcsc A 2+2Σcsc B 2csc C 2⑮,⑮式代入⑭式，化为1-2Πcsc A 2+2Σcsc B2⋅csc C 26(2-3)Πcot A 2+9(7-43)⇔B 2cscC 2 Πcsc A 2+3(2-3)Πcot A 2-(183-31)，两边同时乘以Πsin A 2，得Σsin A21+3(2-3)Πcos A 2-(183-31)Πsin A 2.最后，将三角形恒等式Πcos A 2=s 4R 与Πsin A2=r 4R代入上式，推论3得证.参考文献［1］李建潮.一个优美的几何不等式［J ］.数学通报，2015（02）：56-57.［2］李建潮，钱旭锋.三角形中线与内角平分线的两个新不等式的注记［J ］.数学通讯（下），2018（06）：60-62.［3］杨学枝.不等式研究（第一辑）［C ］.西藏：西藏人民出版社，2010（06）:13，134.均颇有益处.练习题：1.解方程æèçöø÷5+26x+æèçöø÷5-26x=10.(x 1=2,x 2=-2).2.解方程6x +8x +10x =12x .（提示:参照例4，构造指数函数f (x )=æèöø612x+æèöø812x+æèöø1012x-1，答案为方程仅有一解x =3.）参考文献［1］于志洪.构造方程解指数方程［J ］.现代中学生（高1993（10）.［2］于志洪.构造一元二次方程解题［J ］.初中生学习指导，2021（09）.［3］于志洪.构造一次函数证明不等式［J ］.中学生理科应试，2010（08）.［4］于志洪.构造二次函数解全国初中联赛题［J ］.理科考试研究》，2009（09）.［5］于志洪.构造三次函数解最值问题［J ］.数学教学，2015（12）.［6］于志洪.巧用均值换元法妙解因式分解题［J ］.数学学习，2002（04）.［7］徐爱芳.应用均值换元法解高考最值问题［J ］.中学数学研究，2017（06）.(上接第16页)··19。

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初中数学知识点：构造方程
初中数学知识点：构造方程
构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未
知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从
而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解，那么a、b的值分别
是多少?
解：原方程整理得(a-4)
∵此方程有无数多解，∴a-4=0且
分别解得a=4，
2、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"
一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求
的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而
解出x、y的值，再求出的值。

曲周县第四中学八年级数学上册第五章二元一次方程组专题课堂五构造二元一次方程组解题课件新版北师大版3

∵AO= 1 AC= 3 ∴ AB2 2= AO
2
5 + BO
BO=12
2
BD=6
B
O
D
C
∴三角形AOB是直角三角形
∴AC ⊥ BD
∴平行四边形ABCD是菱形
S=
1 2
AC×BD=
1 2
×12×6
5 = 36
5
思考:
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起 , 你能判断重叠部分ABCD 的形状吗？
(2) (2x–3)(x+4) ;
1
2
拆分成多个单项式 : 〔2x , -3〕〔x , 4〕
3
4
按法那么算得 : 2x·x, 2x·4, -3·x , -3·4
1
2
3
4
积相加得 : 2x·x+2x·4+(-3)·x+(-3)·4
解 :(2x–3)(x+4) =2x2+8x –3x –12
(3) (3x+y)(x–2y) ;
解：由题意得x3＋x－y＝y＝53，，解得xy＝＝23，，将xy＝＝23，代入
ax＋by＝2，
2a＋3b＝2，
a＝－2，
3ax＋by＝－6，则有6a＋3b＝－6，解得b＝2
8．对于任意的有理数 a，b，c，d，我们规定ac db ＝ad－bc，如（－32）（－54）＝(－2)×5－(－4)×3＝2，根据这一规定，解答下列问题： (1)化简：（x＋3y3y）（2x2＋x y）； (2)若 x，y 同时满足3y （－x2）＝5，xy 12 ＝8，求 x，y 的值．
∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA