复变函数与积分变换答案(马柏林、李丹横、晏华辉)修订版,习题2

习题二

1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44

u iv x y +=+ 所以 54u x =

,34

v y =+ 5344

,u v x y == 所以()()2

253442u

v +=即()()222253221u v +=，表示椭圆.

2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ϕρ=或i w u v =+.

（1）π02,4r θ<<=

； （2）π02,04

r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+

所以22,2.u x y v xy =-=

(1) 记e i w ϕρ=，则π02,4

r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2

ρϕ<<=

(2) 记e i w ϕρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2

ρϕ<<<<

(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-=

即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.

3. 求下列极限.

(1) 2

1lim 1z z →∞+; 解：令1z t

=,则,0z t →∞→. 于是2

22

01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z

→; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y

=+有 000

Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同

所以极限不存在.

（3） 2lim (1)

z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()()2

z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.

（4） 2122lim 1

z zz z z z →+---. 解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1

zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+ 所以2112223lim lim 112

z z zz z z z z z →→+--+==-+.

4. 讨论下列函数的连续性： (1) 22

,0,()0,0;xy z x y f z z ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩ 解：因为220(,)(0,0)lim ()lim

z x y xy f z x y →→=+, 若令y =kx ,则222(,)(0,0)lim

1x y xy k x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f (z )的取值不同，所以f (z )在z =0处极限不存在. 从而f (z )在z =0处不连续，除z =0外连续. (2) 342

,0,()0,0.x y z f z x y z ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩ 解：因为3342202

2x y x x y x y x y ≤≤=+, 所以342

(,)(0,0)lim 0(0)x y x y f x y →==+ 所以f (z )在整个z 平面连续.

5. 下列函数在何处求导？并求其导数.

(1) 1()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；

解：因为n 为正整数，所以f (z )在整个z 平面上可导.

1()(1)n f z n z -'=-. (2) 22()(1)(1)

z f z z z +=++. 解：因为f (z )为有理函数，所以f (z )在2(1)(1)0z z ++=处不可导.

从而f (z )除1,i z z =-=±外可导.

22222

32222(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543

(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''+++-+++'=++-+++=++ (3) 38()57

z f z z +=

-. 解：f (z )除7=5

z 外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)z z f z z z --+'==---. (4) 2222()i x y x y f z x y x y +-=+++. 解：因为2222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i ()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z ++--+--+++=====+++. 所以f (z )除z =0外处处可导，且2(1i)()f z z

+'=-

.

6. 试判断下列函数的可导性与解析性.

(1) 22()i f z xy x y =+; 解：22(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微.

22,2,2,y u v v y xy xy x x y x y

∂∂∂∂====∂∂∂∂ 所以要使得u v x y ∂∂=∂∂， u v y x

∂∂=-∂∂, 只有当z =0时,

从而f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.

(2) 22()i f z x y =+.

解：22(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.

2,0,0,2u u v v x y x y x y

∂∂∂∂====∂∂∂∂ 只有当z =0时,即(0,0)处有u v x y ∂∂=∂∂,u v y y

∂∂=-∂∂. 所以f (z )在z =0处可导，在全平面上不解析.

(3) 33()23i f z x y =+;

解：33(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.

226,0,9,0u u v v x y x y x y

∂∂∂∂====∂∂∂∂

=时，才满足C-R 方程.