导数各类题型方法总结

x3
1 x2
2x
1 bx 2
x
1 (b 1) 整理得：
2
2
2
即： x3
1 (b
1) x 2
x
1 (b 1)
0 恒有含 x
2
2
（计算难点来了： ） h(x)
x3
1 (b
1) x 2
x
2
1 的三个不等实根
1 (b 1)
0 有含 x
2
1 (b 1)
2 1 的根，
则 h( x) 必可分解为 ( x 1)(二次式 ) 0 ，故用 添项配凑法因式分解，
导数各种题型方法总结
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f ' ( x) 0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 ----- 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（ >0,=0,<0） 第二种：变更主元 （即关于某字母的一次函数） ----- （ 已知谁的范围就把谁作为主元 ）
于是，对任意 x [a 1, a 2] ，不等式 ①恒成立，等价于
g(a 2)
4a
4
a, 解得
4
a 1.
又0
a
1, ∴ 4
a
1.
g(a 1) 2a 1 a 5
5
点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值 题型特征： f ( x) g ( x) 恒成立
系；
第三步：解不等式（组）即可；
例 6、已知函数 f (x) 1 x3 (k 1) x 2 ， g(x) 1 kx ，且 f (x) 在区间 (2, ) 上为增函数．
3
2
3
（ 1） 求实数 k 的取值范围；
（ 2） 若函数 f (x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围．
（Ⅲ ）当 x [1,4] 时，不等式 f ( x) g( x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。
解：（Ⅰ） f / ( x) 3x2 2ax ∴ f / (1)
3，
a 解得
3
b1a
b2
（Ⅱ）由（ Ⅰ）知， f (x) 在 [ 1,0] 上单调递增，在 [0,2] 上单调递减，在 [2,4] 上单调递减
（ 2）若对满足 m 2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x) 在区间 a, b 上都为 “凸函数 ”，求 b a 的
最大值 .
解 :由函数 f ( x)
x4
mx3
3x2 得 f (x)
x3
mx 2 3x
12 6 2
32
g( x) x2 mx 3
（ 1） y f ( x) 在区间 0,3 上为 “凸函数 ”， 则 g ( x) x2 mx 3 0 在区间 [0,3]上恒成立
f (x) 3x2 x 2 (3 x 2)( x 1) 0
f (x)
3
2
22
f极大值 (x) f ( 1)
f 极小值 ( x ) f ( )
2
3
7
-1
2
3
（ 2）设函数 g (x) 的图像与函数 f (x) 的图像恒存在含 x 1 的三个不同交点，
等价于 f (x) g( x) 有含 x 1 的三个根，即： f ( 1) g ( 1) d
又 f ( 1) 4, f (0) 0, f (2) 4, f (4) 16
∴ f (x) 的值域是 [ 4,16]
（Ⅲ）令 h( x) f (x) g ( x)
t x2 (t 1)x 3 x [1,4] 2
思路 1：要使 f ( x) g ( x) 恒成立，只需 h( x) 0 ，即 t (x2 2x) 2x 6 分离变量
-2
2
F ( 2) 0 F (2) 0
ba
2x x2 3 0 2x x2 3 0 2
1x1
例 2：设函数 f ( x)
1 x 3 2ax 2 3a 2x b(0 a 1, b R) 3
（ Ⅰ）求函数 f（ x）的单调区间和极值；
（ Ⅱ）若对任意的 x [ a 1, a 2], 不等式 f (x) a 恒成立，求 a 的取值范围 .
g( x) x2 4ax 3a2 的 对 称 轴 x 2a
即定义域在对称轴的右边， g (x) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g(x) x2 4ax 3a2在[ a 1,a 2] 上是增函数 .
∴ g( x)max g (a 2) 2a 1,g ( x) min g(a 1) 4a 4.
1、 当 a 0时 , f ( x) ( x 1)2 0恒成立 ,
当且仅当 x 1 时取 “ =”号， f (x)在 ( , ) 单调递增。
2、 当 a 0时 ,由 f ( x) 0, 得 x1 1, x2 a 1,且x1 x2 ,
f (x)
单调增区间： ( , 1 )a, ( 1 ,
单调增区间： ( 1a, 1 )
解：（1）由题意 f ( x) x2 (k 1)x ∵ f ( x) 在区间 ( 2, ) 上为增函数，
∴ f (x) x2 (k 1) x 0在区间 (2, ) 上恒成立 （分离变量法）
即 k 1 x 恒成立，又 x 2 ， ∴ k 1 2 ，故 k 1 ∴ k 的取值范围为 k 1
（2）设 h( x)
数 f ( x) 的图像恒有含 x 1 的三个不同交点？若存在，求出实数 b 的取值范围；否则说明理
由。 高 1 考 1 资 1 源 2 网 解：（1）∵ f ( x) 的图像过原点，则 f (0) 0 c 0
f ( x) 3ax2 x 2 ，
又∵ x 1 是 f ( x) 的极值点，则 f ( 1) 3a 1 2 0 a 1
x ( , k)
k
(k ,1)
1
(1, )
h (x)
0
—
0
h( x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
3
2
kk1
k1
6 23
2
由于 k 1 0 ，欲使 f ( x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点， 即方程 h(x) 0 有三个不同的 2
实根，故需
k3 6
k2 2
1 3
0 ，即 (k
1)( k 2
2k
2)
k1 0 ∴ k 2 2k
递增
极大值
递减
可知： f ( x) 的极大值为 f ( 2 3) 4 3 ，
极小值
递增
f (x) 的极小值为 f (2 3)
4 3.
（Ⅱ ）∵函数 f (x) 是 ( ,
) 上的单调函数，
∴ f (x) 则
12 x
4 (a
( a 1) x (4a 1) 0 ， 在给定区间 R 上恒成立 判别式法
1)2
x3
x2
x2
1 (b
1)x 2
x
1 (b 1)
0
2
2
x2 (x 1)
1 (b
1)x2
x
1 (b 1)
0
2
2
x2 ( x 1)
1 (b
1)x2
2x
(b 1)
0
2
十字相乘法分解：
x
x
而 h(x)
x
3 （0
源自文库
x 3 ）是增函数，则 hmax ( x)
h (3)
2, m
2
x
(2)∵ 当 m 2 时 f ( x) 在 区 间 a,b 上 都 为 “凸 函 数 ” , 则 等 价 于 当 m 2 时
g (x) x2 mx 3 0 恒成立 变更主元法 再等价于 F (m) mx x2 3 0 在 m 2 恒成立 （视为关于 m 的一次函数最值问题）
1 4 (4a
1)
a2
2a
0，
4
解得： 0 a 2 .
综上， a 的取值范围是 { a 0 a 2} .
例 5、已知函数 f (x)
13 x
1
2
(2 a) x
(1 a) x(a
0).
32
（ I ）求 f ( x) 的单调区间；
（ II ）若 f (x) 在 [0，1]上单调递增， 求 a 的取值范围。 子集思想 （ I ） f ( x) x2 (2 a)x 1 a (x 1)( x 1 a).
，解得 k 20
1
3
综上，所求 k 的取值范围为 k 1 3
根的个数知道，部分根可求或已知。
例 7、已知函数 f (x)
3
ax
12 x
2x c
2
（ 1）若 x 1 是 f ( x) 的极值点且 f (x) 的图像过原点，求 f ( x) 的极值；
（ 2）若 g( x) 1 bx2 x d ，在（ 1）的条件下，是否存在实数 b ，使得函数 g(x) 的图像与函 2
-1
a-1
（II ）当 f (x)在 [0,1]上单调递增 , 则 0 , 1是上述增区间的
子集：
1、 a 0 时， f ( x)在 ( , ) 单调递增 符合题意
2、 0,1 a 1, ， a 1 0 综上， a 的取值范围是 [0，1]。
a1
三、题型二：根的个数问题 题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点 ====== 即方程根的个数问题 解题步骤 第一步： 画出两个图像即 “穿线图 ”（即解导数不等式） 和 “趋势图 ”即三次函数的大致趋势 “是 先增后减再增 ”还是 “先减后增再减 ”； 第二步： 由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式 （组）；主要看极大值和极小值与 0 的关
当 x=3a 时， f (x) 极大值 =b.
（ Ⅱ）由 | f (x) | ≤a，得：对任意的 x [ a 1, a 2], a x2 4ax 3a2 a 恒成立 ①
则 等 价 于 g ( x) 这 个 二 次 函 数 gmax ( x) a gmin ( x) a
0 a 1 , a 1 a a 2a （放缩法）
f ( x) g (x)
x3
(k 1) x2
1 kx ，
3
2
3
h ( x) x 2 (k 1)x k ( x k)( x 1)
令 h ( x) 0得 x k 或 x 1 由（ 1）知 k 1，
①当 k 1时， h ( x) ( x 1) 2 0 ， h( x) 在 R 上递增，显然不合题意 …
②当 k 1时， h(x) ， h ( x) 随 x 的变化情况如下表：
解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于 gmax (x) 0
g(0) 0 g(3) 0
30 m2
9 3m 3 0
解法二： 分离变量法：
∵ 当 x 0 时 , g( x) x2 mx 3 3 0 恒成立 ,
当 0 x 3 时 , g( x) x2 mx 3 0恒成立
等价于 m x2 3 x 3 的最大值（ 0 x 3 ）恒成立，
思路 2：二次函数区间最值
二、题型一： 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1： 转化为 f ' ( x) 0或 f ' ( x) 0 在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求 的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚 “在（ m,n）上是减函数 ”与“函数的单调减区间是（ a,b） ”，要弄清楚两 句话的区别：前者是后者的子集
h(x) f ( x) g( x) 0 恒成立；从而转化为 第一、二种题型
例 3；已知函数 f (x) x3 ax2 图象上一点 P(1,b) 处的切线斜率为 3 ，
3 t 62
g (x) x
x (t 1)x 3
2
（Ⅰ ）求 a,b 的值；
(t 0)
（Ⅱ ）当 x [ 1,4] 时，求 f ( x) 的值域；
（ Ⅰ） ∵ f ( x) 是偶函数， ∴ a 1.
令 f (x) 0 ，解得： x 2 3 .
此时 f ( x) 1 x3 3x ， f ( x) 1 x 2 3 ，
12
4
列表如下：
x (－ ∞，－2 3 ) －2 3
f (x)
+
0
(－ 2 3 ,2 3 )
－
23 0
(2 3 ,+ ∞） +
f (x)
例 4：已知 a R，函数 f ( x) 1 x 3 a 1 x 2 ( 4a 1) x ．
12
2
（Ⅰ ）如果函数 g (x) f ( x) 是偶函数，求 f (x) 的极大值和极小值；
（Ⅱ ）如果函数 f (x) 是 ( ,
) 上的单调函数，求 a 的取值范围．
解： f ( x) 1 x 2 (a 1)x (4a 1) . 4
例 1：设函数 y f ( x) 在区间 D 上的导数为 f (x) ， f ( x) 在区间 D 上的导数为 g( x) ，若在区
间 D 上， g ( x) 0恒成立，则称函数 y f (x) 在区间 D 上为 “凸函数 ”，已知实数 m 是常数，
4
3
2
f (x) x mx 3x
12 6 2
（ 1）若 y f ( x) 在区间 0,3 上为 “凸函数 ”，求 m 的取值范围；
（二次函数区间最值的例子） 解：（Ⅰ） f (x) x2 4ax 3a2
x 3a x a
0a1
f (x)
a
3a
a
3a
令 f ( x) 0, 得 f ( x) 的单调递增区间为（ a,3a）
令 f ( x) 0, 得 f ( x) 的单调递减区间为（－ ， a）和（ 3a，+ ）
∴当 x=a 时， f ( x) = 极小值 3 a3 b; 4