数学分析之函数极限
数学分析之函数极限
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
nli mxn a
y xn
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
yA
yA
yA
落在窄带内.
O
x0 x 0 x0 x
注：f (x)在 x 0 处有无定义皆可.
lx im 11x2 0.
例5 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
Chapt 3 函数极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
函数的极限(数学分析)
第二讲 函数极限一、定义：1、00lim ()0,0:(,)|()|x x f x A x U x f x A εδδε→=⇔∀>∃>∈⇒-<；2、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→+=⇔∀>∃><-<⇒-<；3、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→-=⇔∀>∃><-<⇒-<；4、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→+∞=⇔∀>∃>>⇒-<；5、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→-∞=⇔∀>∃><-⇒-<；6、lim ()0,0:|||()|x f x A M x M f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<；7、000lim ()(,)0,0:(,)()((),|()|)x x f x M x U x f x M f x M f x M δδ→=+∞-∞∞⇔∀>∃>∈⇒><->；8、00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)x x f x M x x f x M f x M f x M δδ→+=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；9、00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)x x f x M x x f x M f x M f x M δδ→-=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；10、lim ()(,)0,0:()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →+∞=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->；11、lim ()(,)0,0:()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →-∞=+∞-∞∞⇔∀>∃><-⇒><->；12、lim ()(,)0,0:||()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →∞=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->。
高等数学第3章第1节函数极限的概念.
第三章函数极限§1函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、时函数的极限1．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义定义１设为定义在上的函数，Ａ为实数．若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有, 则称函数当时以Ａ为极限．记作或.3．几点注记（1）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n．（2）的邻域描述：当时，（3）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域．“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内．如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内．（4）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，或，或．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，．（５）推论：设为定义在上的函数，则．４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明.例２证明１）；２）.二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ．本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，．现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列．先看下面几个例子：例１.（是定义在上的函数，当时，）例２.（是定义在上的函数，当时，）例３.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当时，的变化趋势．我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了．即对，当时，都有．此即．２．时函数极限的定义定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.3．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出．（２）是表示函数与Ａ的接近程度的．为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的．这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了．以便通过寻找，使得当时成立．这即的第二特性——暂时固定性．即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色．也即的第三个特性——多值性；（）(3 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小．但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的．这即的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”．（５）定义中的不等式；．从而定义２，当时，都有，使得．（６）定义的几何意义．例1．设，证明.例2．证明１）；２）.例3．证明.例4．证明.练习：１）证明; ２）证明.三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论在时的极限．要在的左右两侧分别讨论．即当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念．２．单侧极限的定义定义３设函数在内有定义，Ａ为定数．若对任给的，使得当时有, 则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作或或．类似可给出左极限定义（，，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限．３．例子例5讨论在的左、右极限．例6讨论函数在处的单侧极限．４．函数极限与的关系．定理３.１.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知不存在．２），，可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3，7。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是高等数学中的重要部分，也是数学分析的基础。
函数极限的求解需要运用一些方法和技巧，通过适当的方案来解除一些复杂问题。
本文将详细介绍一些常用的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解。
一、函数极限的概念及性质1.1 函数极限的定义函数极限的定义是指在自变量趋于某个值的时候，因变量的取值也趋于某个值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个数L，对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，就称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
函数极限具有一些重要的性质，包括：唯一性、有界性、保号性和四则运算法则等。
具体来说，函数在某点处的极限是唯一的，即函数在一点的极限只有一个值；如果函数在某点处的极限存在，则函数在这一点是有界的；如果函数在某点处的极限为正值（或负值），那么函数在该点的邻域内是恒大于零（或恒小于零）的；以及函数的极限具有四则运算法则，即两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数极限的和、差、积、商的极限。
二、求函数极限的方法2.1 代数法代数法是求函数极限的一种基本方法，通常用于求解简单的极限问题。
代数法的核心思想是利用基本代数运算性质来对原函数进行适当的变形，从而得到函数极限的解。
对于极限lim(x→a) (f(x) + g(x))，可以利用极限的唯一性和四则运算法则，将其分解为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)的形式，然后再分别求出f(x)和g(x)在x趋于a时的极限值，最终求得原函数的极限。
2.2 几何法几何法是一种直观的方法，通常用于求解具有几何意义的极限问题。
几何法的核心思想是通过几何图形的分析和推理，来推导出函数极限的解。
对于极限lim(x→a) f(x)，可以将函数f(x)的图像画出来，然后通过图像的趋近性来判断极限的存在性和极限值。
§3.2-函数极限的性质-数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是微积分的重要内容之一，也是数学分析中的基本问题。
求函数极限需要掌握一定的方法与技巧，下面将从常用的方法、典型的技巧和注意事项等方面进行详细介绍。
1. 代入法代入法是求函数极限最简单的方法之一。
当函数在极限点附近没有特殊的性质时，可以通过直接代入极限值来求解极限。
求函数f(x)=2x-1在点x=3处的极限，直接代入x=3，即可得到f(3)=2*3-1=5，所以极限值为5。
2. 分式化简法对于复杂的函数极限，通常可以利用分式化简法来解决。
将函数化为分式形式，通过合并同类项或者提取公因式等方法，将分式化简至最简形式，然后再进行极限运算。
这样可以简化计算，并且更容易得到极限值。
3. 夹逼准则夹逼准则也是求解极限常用的方法之一。
夹逼准则是一种利用不等式来求解极限的方法，通常用于求解无穷小的极限。
利用夹逼准则可以将复杂的极限问题转化为相对简单的不等式推导问题，从而更容易求得极限值。
4. 极限换元法极限换元法是求解函数极限的一种有效方法，也是求极限的一个经典技巧。
通过将变量进行适当的换元，可以将原来复杂的极限问题转化为相对简单的形式，从而更容易求解极限值。
常见的换元方式包括三角换元、指数换元、对数换元等。
二、典型的技巧1. 分步求解有些复杂的函数极限问题可以通过分步求解来进行，先将函数进行分解或者阶段性的处理，然后逐步求解各个部分的极限值，最后将结果进行合并得到整体的极限值。
这样可以降低计算的复杂度，更容易求得极限值。
2. 极限的运算法则在进行极限运算时，可以利用极限的运算法则来简化计算。
其中包括加减法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则、复合函数法则等，这些运算法则可以在极限计算中起到一定的简化作用，并帮助求得极限值。
3. 利用对称性对称性在求解函数极限中也是一种常用的技巧。
对于对称性的函数或者函数的特殊性质，可以利用对称性来简化极限计算，例如利用奇偶性、周期性等性质，从而简化计算过程，更容易求得极限值。
函数极限的计算方法研究
函数极限的计算方法研究函数极限是数学分析中的重要概念，它描述了当自变量接近其中一特定值时，函数的取值趋近于一个确定的常数或无穷大的过程。
在数学中，有几种常见的方法用于计算函数的极限。
1.代入法：当函数在其中一点的极限存在且函数在这一点连续时，可以直接将该点的横坐标代入函数中计算出纵坐标的值作为极限的值。
例如，计算函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限。
将x=1代入函数中得到f(1)=(1^2-1)/(1-1)=0/0。
这时，我们无法直接得到极限的值，需要使用其他方法进行计算。
2.直接法：通过对函数进行变形或化简，从而直接得到函数在其中一点的极限。
例如，计算函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限。
通过因式分解，可以将函数变形为f(x)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1、因此，函数在x=1处的极限为f(1)=1+1=23.分段法：对于一个函数，在不同的区间范围内，极限的计算方法可能会有所不同。
可以通过将区间划分为若干个子区间，然后分别计算每个子区间内函数的极限来求得整个函数的极限。
例如，计算函数 f(x) = ，x，在 x = 0 处的极限。
我们可以将区间分为 x < 0 和 x > 0 两个子区间。
当 x < 0 时，f(x) = -x，因此极限为 lim (x -> 0-) f(x) = lim (x -> 0-) -x = 0。
当 x > 0 时，f(x) = x，因此极限为 lim (x -> 0+) f(x) = lim (x -> 0+) x = 0。
由于lim (x -> 0-) f(x) = lim (x -> 0+) f(x) = 0，所以函数在 x = 0 处的极限为 lim (x -> 0) f(x) = 0。
4.夹逼准则：用于计算函数在其中一点的极限，通过找到两个函数，它们的极限分别是被计算函数极限的上下界，从而求得被计算函数的极限。
函数极限的几种求解方法
函数极限的几种求解方法【摘要】函数极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或者某个区间内的趋势和性质。
本文将从引言、正文和结论三个部分详细介绍函数极限的几种求解方法。
在将依次介绍极限的定义与性质、基本的极限求解方法、无穷小与无穷大的比较法、夹逼定理和洛必达法则。
在将讨论在不同情况下选择适合的求解方法、函数极限求解方法的实际应用以及深入学习函数极限的重要性。
通过阅读本文，读者将能够全面了解函数极限的求解方法，提升对函数极限概念的理解和运用能力。
【关键词】函数极限、极限的定义、性质、基本求解方法、无穷小、无穷大、夹逼定理、洛必达法则、求解方法选择、应用、深入学习。
1. 引言1.1 什么是函数极限函数极限是微积分中一个非常重要的概念，它在研究函数的性质和图像特征时起着至关重要的作用。
在数学上，函数的极限描述了当自变量趋于某个特定值时，函数的值会接近或趋于某个确定的值。
简而言之，函数极限可以帮助我们理解函数在某个特定点附近的表现，这对于分析函数的变化趋势和性质至关重要。
具体来说，当我们讨论一个函数在某个点的极限时，我们实际上是在研究当自变量趋近于这个点时，函数值的变化情况。
如果函数在这个点处存在极限，那么我们可以通过极限的存在性来推断函数在这个点的连续性、导数等性质。
而如果函数在某个点的极限不存在，那么这也能告诉我们函数在这个点附近的不连续性或者其他特殊性质。
函数极限是微积分中的基础概念，也是建立在导数和积分之上的重要内容。
通过研究函数的极限，我们可以更深入地理解函数的性质和特性，为进一步的微积分学习奠定基础。
1.2 函数极限的重要性函数极限在数学中具有重要意义，是微积分学习的基础。
通过研究函数在某一点或某一区间内的极限，我们可以更深入地理解函数的性质和变化规律。
函数极限的研究不仅帮助我们更好地理解数学概念，还在实际问题的建模和解决过程中发挥着重要作用。
在数学分析、物理学、工程学等领域，函数极限都是必不可少的概念。
数学分析函数的极限与连续性
数学分析函数的极限与连续性数学分析：函数的极限与连续性在高等数学中，函数的极限与连续性是非常基本且重要的概念。
本文将从函数极限和函数连续性两个方面，简要介绍相关定义和判定方法。
一、函数的极限1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果对于任何给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，那么就称$f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$，记为$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。
这个定义可以简单理解为：在 $f(x)$ 函数中，当 $x$ 趋近于$x_0$ 时，$f(x)$ 的取值越来越接近于 $A$。
2. 极限的性质(1) 极限唯一性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在，则极限唯一。
(2) 有界性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 存在，则$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有界。
(3) 夹逼定理：设 $f(x),g(x),h(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，并且当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 成立，则当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，这三个函数的极限都存在，且有$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrowx_0}f(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)$。
二、函数的连续性1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在且等于 $f(x_0)$，那么就称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
数学分析3.2函数极限的性质
第三章函数极限2 函数极限的性质六种类型的函数极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).定理3.2(唯一性)：若极限存在，则此极限是唯一的.证：设A，B都是f当x→x0时的极限，则∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε；当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)-B|<ε.取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,由ε的任意性，可知A=B. ∴存在时，此极限是唯一的。
定理3.3(局部有界性)：若存在，则f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 证：设=A，取ε=1，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有|f(x)-A|<1=>|f(x)|<|A|+1. ∴存在时，f在U⁰(x0;δ)内有界.定理3.4(局部保号性)：若=A>0(或<0)，则对任何正数r<A(或r<-A)存在U⁰(x0)有：f(x)>r>0(或f(x)<-r<0).证：当=A>0时，对任何r∈(0,A)，取ε=A-r，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有f(x)>A-ε=r，∴f(x)>r>0.当=A<0时，对任何-r∈(A,0)，取ε=-r-A，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有f(x)<A+ε=-r，∴f(x)<-r<0.定理3.5(保不等式性)：若与都存在，且在某邻域U⁰(x0;δ’)内有：f(x)≤g(x)，则≤.证：设=A，=B，则对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有Aε<f(x)；当0<|x-x0|<δ2时，有g(x)<Bε.取δ=min{δ’,δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，Aε<f(x)≤g(x)<Bε，从而有A<B+ε. 由ε的任意性，可知A≤B. 即≤.注：当f(x)<g(x)时，仍有≤.反之，当时，在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x). (证明见习题第6题)定理3.6(迫敛性)：设==A，且在某U⁰(x0;δ’)内有：f(x)≤h(x)≤g(x)，则=A.证：∵==A，∴对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有A-ε<f(x)；当0<|x-x0|<δ2时，有g(x)<A+ε.取δ=min{δ’,δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，A-ε<f(x)≤h(x)≤g(x)< A+ε，从而有|h(x)-A|<ε. ∴=A.定理3.7(四则运算法则)：若极限与都存在，则函数f±g，f·g 当x→x0时的极限也存在，且：(1)=；(2)=.(3)当≠0时，当x→x0时的极限也存在，且：=.证：设=A，=B，则对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε，即A-ε<f(x)<A+ε；当0<|x-x0|<δ2时，有|g(x)-B|<ε，即B-ε<g(x)<B+ε.取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时：(1)有A+B-2ε<f(x)+g(x)<A+B+2ε，A-B-2ε<f(x)-g(x)<A-B+2ε；∴=A±B=.(2)|f(x)g(x)-AB|=|g(x)(f(x)-A)+A(g(x)-B)|≤|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B|<(|g(x)|+|A|)ε又|g(x)|-|B|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|<ε+|B|，∴|f(x)g(x)-AB|<(ε+|B|+|A|)ε；∴=AB=. (3)==≤<ε.又|B|-|g(x)|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|> |B|-ε，∴<ε；∴==.ε例1：求.解：当x>0时，1-x<≤1；当x<0时，1≤<1-x.∵=1，由迫敛性得==1；∴=1.例2：求.解：===.例3：求.解：当x+10时，===-1.例4：证明(a>1).证：∀ε>0，不妨设ε<1，为使|a x-1|<ε，即1-ε<a x<1+ε，∵a>1，即(1-ε)<x<(1+ε). 只要令δ=min{(1+ε),-(1-ε)}，则当0<|x|<δ时，就有|a x-1|<ε，∴(a>1).习题1、求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(n,m为正整数)；(6)；(7)(a>0)；(8).解：(1)=2(sinx-cosx-x2)=2(1-0)= 2(1).(2)==1.(3)===.(4)==== -3.(5)当n,m为正整数时，==.(6)===.(7)当a>0时，===.(8)==.2、利用迫敛性求极限：(1)；(2).解：(1)∵-1≤cosx≤1，∴=≤≤=；∵==1，根据迫敛性定理，=1.(2)∵-1≤sinx≤1，又x→+∞，即x2-4>0，∴=≤≤=；∵==0，根据迫敛性定理，=0.3、设f(x)=，a0≠0，b0≠0，m≤n，试求. 解：=；当m=n时，=；当m<n时，=0.，∴=4、设f(x)>0，=A. 证明：，其中n≥2为正整数. 证：∵f(x)>0，∴=A≥0.当A=0时，由=0可知，对∀ε>0，存在正数δ，当0<|x-x0|<δ时，有f(x)<εn，即<ε，∴.当A>0时，由=A可知，对∀ε>0，有正数δ，使当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε.又=≤<ε.∴.5、证明=1(0<a<1).证1：∀ε>0(不妨设ε<1)，要使1-ε<a x<1+ε，∵0<a<1，即log a(1+ε)<x< log a(1-ε)，只要取δ=min{ log a(1-ε),- log a(1+ε)}，则当0<|x|<δ时，就有|a x-1|<ε，∴=1(0<a<1).证2：∵=1，∴对∀ε>0，∃N>0，有0<1-<ε，由a x递减，∴当0<x<时，有a x>.∴0<1-a x<1-<ε，取δ=，则当0<x<δ时，就有0<|a x-1|<ε，∴=1. 又=1，∴对∀ε>0，∃N>0，有-ε<1-<0，由a x递减，∴当<x<时，有a x<.∴-ε<1-<1-a x <0，取δ=，则当-δ<x<0时，就有0<|a x-1|<ε，∴=1. ∴=1(0<a<1).6、设=A，=B，(1)若在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x)，问是否必有A<B？为什么？(2)证明：若A<B，则在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x).解：(1)不一定。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结一、数列极限：1.利用通项公式或递推公式求出数列的表达式，进而通过数学运算和性质进行极限求解；2.利用引理，例如夹逼定理、单调有界定理等，根据已知的性质以及所要求的极限关系，确定一个与之相关的已知极限，然后运用引理求解未知极限。
二、函数极限：1.利用函数的性质，例如连续性、导数性质等，结合极限的定义进行计算；2.利用夹逼定理、单调有界准则等物理建模方法，将复杂的函数极限问题转化为更简单的函数极限问题，然后求解；3.利用泰勒展开、极坐标变换、特殊函数性质等数学分析工具进行极限计算。
三、级数极限：1.根据级数极限的定义，利用极限计算原理进行求解；2.利用级数的收敛判别法，例如比较判别法、积分判别法、根值判别法等，确定级数的收敛性质，进而求解其极限。
在具体的求极限中，还可以运用以下方法和技巧：1. 运用数列极限的性质，例如子数列性质、Cauchy准则等，进行极限求解；2.将复杂的极限问题化为较为简单的形式，例如利用变量替换或函数分解等方法；3.利用数列和函数的收敛性质，例如极限的保序、保号、保比、保和等运算规则；4. 运用Stolz定理、L'Hopital法则等特殊的求极限方法；5.利用正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等特殊函数的性质，进行计算。
最后，对于一些复杂的极限问题，如果经过常规方法无法求解，可以尝试使用数值逼近法，例如牛顿法、二分法等，来逼近极限值。
综上所述，数学分析中求极限的方法主要包括数列极限、函数极限和级数极限等多个方面。
除了利用极限的定义和性质进行计算外，还可以利用引理、准则、工具和技巧等进行解题。
在实际的极限求解中，还需要根据具体问题选择最合适的方法，灵活运用，提高解题效率。
数学分析 第二章22-1函数的极限定义、性质、
x x0
x x0
。
则 0,x U (x0, ),有f (x) g(x).
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13
证 lim f (x) A, lim g(x) B.
xx0
xx0
对 0, 1 0, 2 0, 当0 | x x0 | 1时,| f ( x) A | 当0 | x x0 | 2时,| g ( x) B |
只要
x x0 x0
,
即 x x0
x0 .
0, 可取 x0 ,
则当0 x x0 时,
总有 x x0 ,
lim x x0
x
x0 .
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9
例4
证明 lim x2 1 2 / 3. x1 2x2 x 1
证
由
f (x) A
x2 1 2x2 x
1
2 3
x1 3(2x 1)
1. 把| f(x)A|化简为| f(x)A| k |x x0| ;
2. 要| f(x)A|,只要 k |x x0| ; 3. 取 ＝1 ;
k 4. 验证.
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N定义 :
lim
x x0
f (x)
A 0
0, 对
0，
x1, 0 |
x1
x0
| , 有 |
f
(x1)
x0 处的极限.
记为 lim f ( x) A , 或者 x x0
f ( x) A( x x0 ) .
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几何意义
y
当x在x0的去心邻
域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
A
A
A
线y A为中心线,
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结在数学中，函数的极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将总结函数的24种极限，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 常数函数的极限。
当函数f(x) = c为常数时，其极限为lim(x→a) f(x) = c。
这是因为常数函数在任意点的取值都是常数c，因此其极限也等于c。
2. 幂函数的极限。
对于幂函数f(x) = x^n，当n为正整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = a^n。
当n 为负整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = 1/a^n。
当n为分数时，其极限需要根据具体情况进行计算。
3. 指数函数的极限。
指数函数f(x) = a^x的极限为lim(x→a) f(x) = a^a。
其中a为常数且大于0。
4. 对数函数的极限。
对数函数f(x) = log_a(x)的极限为lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
其中a为常数且大于0且不等于1。
5. 三角函数的极限。
三角函数sin(x)和cos(x)在其定义域内的极限都存在，分别为lim(x→0) sin(x) = 0和lim(x→0) cos(x) = 1。
6. 反三角函数的极限。
反三角函数arcsin(x)和arccos(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x→0) arcsin(x) = 0和lim(x→0) arccos(x) = 1。
7. 双曲函数的极限。
双曲函数sinh(x)和cosh(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→0) sinh(x) = 0和lim(x→0) cosh(x) = 1。
8. 反双曲函数的极限。
反双曲函数arcsinh(x)和arccosh(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x →0) arcsinh(x) = 0和lim(x→0) arccosh(x) = 1。
9. 指数对数函数的极限。
指数对数函数f(x) = x^a和f(x) = log_a(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→a) f(x) = a^a和lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧
函数极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
求函数极限的方法与技巧有很多，下面将介绍一些常用的方法：
1. 代入法：
这是最简单也是最直接的求函数极限的方法。
即将要求的极限值代入函数中计
算。
2. 等价无穷小替换法：
当函数极限形式为无穷小与无穷大相乘或相除时，可以将其替换为等价无穷小，
然后再求极限。
3. 夹逼准则：
当函数在某一区间内与两个已知函数夹在中间，且这两个已知函数极限值相等时，可以利用夹逼准则求得要求的极限。
4. 利用极限性质：
有些函数的极限可以利用基本极限性质求得，例如常见的指数函数、对数函数、
三角函数等。
5. L'Hospital法则：
当函数的分子和分母在某一点的极限都为0或者都为无穷大时，可以使用
L'Hospital法则求得函数极限。
6. 泰勒展开法：
有些函数无法直接求得极限，可以使用泰勒展开法将函数展开成一个求极限较容
易的形式，然后再求得极限。
7. 收敛性判断：
对于一些特殊的函数列，可以使用收敛性判断的方法判断函数极限是否存在。
除了以上提到的方法与技巧，还可以根据具体问题的特点，灵活应用其他的数学分析
技巧来求解函数极限。
需要注意的是，求函数极限的过程需要严格的逻辑推理、数学推导
和计算技巧，需要熟练掌握相关的数学理论和运算方法。
数学高考函数的极限
数学高考函数的极限函数的极限在数学高考中是一个重要的考点。
它是研究函数变化趋势的有效方法，广泛应用于微积分、数学分析等领域。
本文将介绍函数的极限的概念、性质以及计算方法，并通过实例进行解析，帮助读者深入理解这一概念。
1. 概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化情况。
设函数为f(x)，x趋近于a时，若随着x的不断接近于a，f(x)的取值趋近于某个确定的常数L，即当x无限接近于a时，f(x)的极限为L。
用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L其中lim表示极限，(x→a)表示x趋近于a，f(x)表示函数f在x处的取值，L表示极限值。
2. 性质函数极限具有以下性质：（1）唯一性：函数的极限值是唯一的，即当x趋近于a时，函数只有一个极限值。
（2）局部性：函数的极限与x的局部取值有关，与整体取值无关。
即函数极限的计算只需关注x趋近于a时的情况，不受其他点的影响。
（3）逼近性：函数的极限可以用于逼近某个特定的值。
当函数在某点附近的取值接近于某个值时，可以利用极限来计算该函数在该点处的取值。
（4）趋势性：函数极限可以用于判断函数的趋势。
当函数的极限为正无穷大或负无穷大时，可以得出函数增大或减小的结论。
3. 计算方法常用的函数极限计算方法主要包括以下几种：（1）代入法：将x的值代入函数中，计算得到函数在该点的取值。
（2）分式分解法：将函数进行分式分解，利用已知函数的极限性质进行计算。
（3）洛必达法则：对于函数极限计算困难的情况，可以利用洛必达法则进行简化。
洛必达法则是一个求极限的有效工具，可简化复杂的计算过程。
（4）级数展开法：对于一些特定的函数形式，可以通过级数展开的方法来计算函数的极限。
4. 实例分析为了更好地理解函数极限的概念和计算方法，下面通过几个实例进行具体分析。
实例1：计算函数极限lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)解析：将x的值代入函数中，得到函数在x=1处的取值。
数学分析3.3函数极限存在的条件
x>x0
时，有
A-ε<f(x)≢f(x0)<A+ε，∴
lim f(x)=A.
x→+∞
其充分性得证。
3、(1)叙述极限 lim f(x)的柯西准则；
x→−∞
(2)根据柯西准则叙述 lim f(x)不存在的充要条件，并应用它证明 lim sinx不存在.
x→−∞
x→−∞
解：(1)设函数 f 在某 U(-∞)内有定义。 lim f(x)在的充要条件是：任给ε>0，存
1(≢δ
’)，
使当 0<|x-x0|<δ 1 时，|f(x)-A|<ε.
设{xn}⊂U⁰(x0;δ
’)且
lim
n →∞
xn
=x0，则对δ
1，有 N>0，使当 n>N
时，有 0<|xn-x0|<δ
1，
从而有|f(xn)-A|<ε.
∴ lim f
n →∞
xn
=A.
[充分性]若{xn}⊂U⁰(x0;δ ’)且 nli→m∞xn=x0，则对∀δ >0(≢δ ’)，有 N>0，
x →x 0
注：1、事实上，在证明充分性时，∵对任何 x’, x”∈U⁰(x0;δ )有|f(x’)- f(x”)|<ε；
∴所有的 xn∈U⁰(x0;δ )看作数列{xn}，则数列{f(xn)}的极限存在，记为：nli→m∞f xn =A.
则对{xn}中所有当
n→∞以
x0
为极限的子列{x’n}也有
lim f
从而有 A+ε>f(x)>f(x1)>A-ε，即|f(x)-A|<ε，∴f(x0-0)=A= sup f x ；
数学分析中的函数和极限
在数学分析这门学科中，函数和极限是两个非常重要的概念。
函数是数学中描述变化关系的工具，而极限是数学中描述趋近性的概念。
它们的研究可以帮助我们深入理解数学中的各种变化规律，并应用于实际问题的求解。
首先，让我们来看一下函数的定义。
在数学中，函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
简单来说，函数就是一个输入-输出的映射。
我们用f(x)来表示函数f对于自变量x的取值所对应的函数值。
函数可以有不同的表达形式，比如用公式、图表或者图像来表示。
通过研究函数的性质和规律，我们可以深入理解不同变化规律和关系的特点。
接下来，让我们来介绍一下极限的概念。
极限是数学中描述趋近性的重要概念。
当我们讨论一个序列或者一个函数在某个点的极限时，我们希望找到一个数值，使得序列或者函数的值无限接近该数值。
具体来说，当自变量x趋近于某个确定的值时，函数值f(x)趋近于一个确定的常数L，我们就说函数f在该点的极限为L。
极限可以用数学符号来表示，即lim(x→a)f(x) = L。
通过研究极限，我们可以揭示函数的局部和全局特性，进而解决许多实际问题。
在函数和极限的研究中，我们还遇到了一些重要的概念和定理。
比如，连续函数是指在其定义域内，函数值可以通过无限接近自变量的方式来实现。
也就是说，无论离自变量多近，函数值都能无限接近。
这样的函数在实际问题中具有良好的应用性质，因为它们能够提供一种平滑的变化规律。
我们还有洛必达法则，它能够帮助我们求解一些复杂的极限运算。
它的核心思想是将我们不熟悉的极限问题转化为我们熟悉的导数计算。
在实际应用中，函数和极限的研究为我们解决许多问题提供了有力的工具。
比如，在物理学中，我们可以通过函数和极限来描述物体的运动规律，从而预测和模拟各种运动情况。
在经济学中，函数和极限的概念被广泛应用于经济模型的构建和参数估计。
在工程学中，函数和极限的研究有助于揭示信号的变化规律，进而提供合理的信号处理方法。
数学分析3.1函数极限概念
第三章 函数极限 1 函数极限概念一、x 趋于∞时的函数极限定义1：设f 为定义在[a,+∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限， 记作：lim x→+∞f (x )=A 或f(x)→A(x →+∞).定义1的几何意义如右上图：正数ε越小时，一般x=M 越大；f(x)的图象右边落在x=M 与y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里。
设f 为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x<-M 或|x|>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于-∞或∞时以A 为极限，记作：lim x→−∞f (x )=A 或f(x)→A(x →-∞)；lim x→∞f (x )=A 或f(x)→A(x →∞).lim x→∞f (x )=A lim x→+∞f (x )=lim x→−∞f (x )=A.例1：证明limx→∞1x=0.证：任给ε>0，取M =1ε，则当|x|>M 时，有|1x −0|=1|x|<1M =ε，∴lim x→∞1x=0.例2：证明(1)lim x→−∞arctan x =−π2；(2)lim x→+∞arctan x =π2.证：(1)任给ε>0，要使|arctan x −(−π2)|<ε，即-ε−π2<arctan x<ε−π2， ∵arctan x ≥−π2>-ε−π2，∴只须使arctan x<ε−π2，即x<tan (ε−π2)= -tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x<-M 时， 便有|arctan x −(−π2)|<ε，∴lim x→−∞arctan x =−π2.(2)任给ε>0，要使|arctan x −π2|<ε，即π2−ε<arctan x<ε+π2， ∵arctan x ≤π2<ε+π2，∴只须使arctan x>π2−ε，即x>tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x>M 时， 便有|arctan x −π2|<ε，∴lim x→+∞arctan x =π2.注：∵lim x→−∞arctan x =−π2≠π2=lim x→+∞arctan x ，∴lim x→∞arctan x 不存在。
函数的极限课件
函数的极限课件函数的极限是微积分中的一个重要概念，它在数学分析、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的极限的概念、性质以及一些常见的计算方法。
一、函数的极限概念在微积分中，函数的极限描述了当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值趋近于某个确定的值。
形式化地说，对于函数f(x)，当x趋近于a时，如果存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、函数极限的性质函数的极限具有一些重要的性质，包括唯一性、局部性、保号性和四则运算性质。
1. 唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么它的极限值是唯一的，即极限值L是唯一确定的。
2. 局部性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，那么它在x=a的某个邻域内的取值都会趋近于该极限值L。
3. 保号性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在且大于0（或小于0），那么它在x=a的某个邻域内的取值都大于0（或小于0）。
4. 四则运算性质：对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在x=a处的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也都存在，并且满足相应的运算规律。
三、函数极限的计算方法在实际计算函数的极限时，可以利用一些常见的计算方法，包括代入法、夹逼准则、无穷小量比较法和洛必达法则等。
1. 代入法：当函数在某个点处有定义，并且该点是极限所在的点时，可以直接将该点代入函数中计算极限值。
2. 夹逼准则：如果函数f(x)、g(x)和h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)在x=a的某个邻域内成立，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么函数g(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
3. 无穷小量比较法：如果函数f(x)和g(x)在x=a的某个邻域内成立，并且lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0，并且存在一个正数M，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)|≤M|g(x)|成立，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于0。
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2. 是不惟一的, 一旦求出了, 那么比它更小的正
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
可以先限制 xx0 1, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
所以 x 2 x 0 2 (1 2 x 0)x x 0,故只要
xx0
12 x0
.
证 0,取min1,12x0,当 0xx0
时, 有 x2x02 .
这就证明了
limx2
limf(x)A 或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
一、x 趋于时的函数极限 二、x 趋于x0时的函数极限
三、单侧极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
1 1x2
0
1 x2
,
所以
lx im 11x2 0.
例5 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
几何解释:
X
y sin x x
A
X
当 xX或 xX时 ,函y数 f(x)图形完全落 直y线 A为中,心 宽2 线 为 的带形. 区域内
从定义1、2 、3 不难得到:
定理 3.1 f (x)定义在的一个邻域内， 则
limf(x)A的充要条件是：
x
lim f(x )lim f(x ) A .
x
x
π
π
例如 lim a r c ta n x ,lim a r c ta n x ,
x
2x
2
则由定理 3.1，limarctaxn不存在. x
二、x趋于x0时的函数极限
定义4 设f(x) 在点x 0 的某空心邻域 U(x0,')
内有定义， A是一个常数. 如果对于任意正数 ,
若对于任意 0, 存M 在 0,当 x M (b )时
f(x)A,
则称 f(x)当 x 时 A 以 为极限, 记为 limf(x)A或 f(x ) A (x ) .
x
例3 求证 lim ex 0. x
证 对于任意正数 (01),取 M ln ,
当xln时 ex0ex.
则 limex 0.
nli mxn a
y xn
N
limf(x)A
x
y f(x) （a,）
n
x
xn a
f(x)A
0, N，nN时， 0,X0，xX时，
有 xn a ,
有f(x)A
注 数列可视为定义在正整数集上的函数.
例1 证明 lim 1 0. x x
证 任给 0,取 M 1 ,当xM时 ,
10 1 ,
x
x
数学分析之函数极限
教学目标：
1.理解函数极限的“ε-δ”定义及单侧极限概念； 2.掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个
重要极限； 3.理解无穷大量及无穷小量概念； 4.会求渐进线.
§1 函数极限概念
作为数列极限的推广,函数极限与数列极 限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就 是归结原理.
x
定义3 设 f(x)定义 的 在 某U 个 ( )内 邻 , A 域
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M0，当 x M时
f(x)A,
则f称 (x)当 x 时A 以 为极 记为限， limf(x)A或 f(x ) A (x ).
x
例4 求证 lx im 11x2 0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 xM 时 ,有
yA
yA
yA
落在窄带内.
O
x0 x 0 x0 x
注：f (x)在 x 0 处有无定义皆可.
例6 证明 limx1 2 1. x 1 x1 22
分析 对于任意正数 ,要找到 0,当 0|x1|
时, 使 x 121 1 1 x 1 22 x 1222
x12
22( x12) 22(
x x 1 12)2.(
所以(由定义1),
lim 1 0. x x
例2 证l明 im arcxta.n
x
2
证 任给 0( ),取Mtan().
2
2
因为 arctaxn严格增 当， xM时，
f(x)ππarctanx 22
π(π).
22
这就是说 limarctanxπ.
x
2
定义2 设 f(x ) 定 义 ,b 上 ,A在 是一个常数.
x
例如 函数 yarctxa,当nx趋于时,
arctxa以nπ 为极限. 2
y
π 2
1
0.5
O
10 20 30 40 x
定义1 设 f为定 a, 义 上 在 的一 . A 为个
定数,若对于任意正数 0，存在正数 M(a)，
使得 当xM时,
f(x)A,
则称函数 f(x)当 x趋于 时A 以 为极限. 记为
)
因
x1
x1,
2 2( x1 2)2
只要 x1 ,()式就能成立, 故取 即可.
证 任给正数, 取 , 当 0xx0时 , x121 x1,
x1 22
这就证明了 limx1 2 1 . x 1 x1 22
例7
证明
limx2
xx0
x02.
分析 要使
x 2 x 0 2 x x 0 x x 0,
存在正数 ', 当 x U (x0, ) U (x0, ')时
(即 0|xx0|) f(x)A,
则称 f(x )当 x x 0时A 为 以.极 记为 限
limf(x)A
xx0
f(x ) A (x x 0 ) .
需要注意以下几点：
1. 对于, 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定
的 ,不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更