机械工程测试技术-课本习题及参考答案-王安敏-刘培基版

第二章 信号描述及其分析

【2-1】 描述周期信号的频率结构可采用什么数学工具? 如何进行描述? 周期信号是否可以

进行傅里叶变换? 为什么?

参考答案：一般采用傅里叶级数展开式。根据具体情况可选择采用傅里叶级数三角函数展开式和傅里叶级数复指数函数展开式两种形式。不考虑周期信号的奇偶性,周期信号通过傅里叶级数三角函数展开可表示为:

001

()sin()

(1,2,3,)n n n x t a A n n ωϕ∞

==++=∑L

2

02

1()T T a x t dt T

-=

⎰

n A =(20

22()cos T n T a x t n tdt T ω-=⎰ 2

02()sin T n T b x t n tdt T ω-=⎰ )

tan n n n b a ϕ=

式中，T 为信号周期, 0ω为信号角频率, 02ωπ=。

n A ω-图为信号的幅频图, n ϕω-图为信号的相频图。

周期信号通过傅里叶级数复指数函数展开式可表示为:

0()(0,1,2,)jn t

n

n x t C e n ω∞

=-∞

=

=±±∑L

02

2

1

()T jn t n T C x t e dt T

ω--=

⎰

n C 是一个复数,可表示为:

n j n nR nI n C C jC C e ϕ=+=

n C = arctan n nI nR C ϕ=

n C ω-图为信号的幅频图, n ϕω-图称为信号的相频图。

▲ 不可直接进行傅里叶变换,因为周期信号不具备绝对可积条件。但可间接进行傅里叶变

换。参见书中第25页“正弦和余弦信号的频谱”。

【2-2】 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=

>≥的频谱。

参考答案：由非周期信号的傅里叶变换，()()j t X x t e dt ωω∞--∞

=⎰，得

2

2

()()j t

A a j X x t e

dt A a j a ωω

ωωω∞

--===++⎰

由此得到，幅频谱为：()A

X ω=

相频谱为： ()arctan()a ϕωω=-

【2-3】 求周期三角波（图2-5a ）的傅里叶级数（复指数函数形式）

参考答案：周期三角波为： (2)20()(2)02

A A T t

T t x t A A t

t T +-≤<⎧=⎨

-≤≤⎩

则

02

2

1()T jn t n T C x t e dt T ω--=⎰

积分得 022222

04(1cos )(1cos )2n A T A

C n n n T n ωπωπ

=

-=- 即 2

2()1,3,5,0

0,2,4,n A n n C n π⎧=±±±=⎨

=±±⎩L

L

又因为周期三角波为偶函数，则0n b =，所以arctan 0n nI nR C C ϕ==

所以，周期三角波傅里叶级数复指数形式展开式为：

00(21)222()(0,1,2)(21)jn t j k t

n n n A x t C e e k k ωωπ∞

∞

+=-∞

=-∞===±±+∑∑L

【2-4】 求图2-15所示有限长余弦信号()x t 的频谱。 设 0cos ()0

t

t T x t t T

ω⎧<⎪=⎨

≥⎪⎩

参考答案： 方法一

0000000001()cos ()2

sin()sin()[sin ()sin ()]

T

T

j t j t j t

j t T T X te

dt e e e dt

T T T c T c T ωωωωωωωωωωωωωω

ωωωω-----==+-+=+

-+=-++⎰⎰

方法二：对于上面所给的有限长余弦信号()x t ，其实也就是用一个窗宽为2T 的窗函数把无限长的余弦信号截断所得到的，即把无限长余弦信号()x t 与窗函数相乘，此时所需的窗函数为：

1()0t T

w t t T <⎧=⎨>⎩

。由傅里叶变换的性质可知，时域内相乘，对应在频域内相卷积，即

()()()()x t w t X f W f ⇔*。已知，余弦信号的傅里叶变换是δ函数，由δ函数的性质，()()X f W f *意味着把()W f 的图像搬移到()X f 图像的位置。

【2-5】当模拟信号转化为数字信号时遇到那些问题？应该怎样解决？

参考答案：遇到的问题：1）采样间隔与频率混叠；2）采样长度与频率分辨率；3）量化与量化误差；4）频谱泄漏与窗函数。

参见课本第26～29页。

第三章 测试系统的基本特性

【3-1】 测试装置的静态特性指标主要有哪那些？它们对装置性能有何影响？

参考答案：主要有：线性度，灵敏度，和回程误差。线性度主要影响系统的测试精度，灵敏度主要影响系统的分辨力，而回程误差主要引起系统的滞后误差。

【3-2】 什么叫一阶系统和二阶系统？它们的传递函数，频率响应函数以及幅频和相频表达

式是什么？

参考答案：

（1）能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统。其传递函数为：