突变理论及其应用_丁庆华

3.2.2 贴金，指在产品外粘贴极薄的金叶的
或藏于江河、砂砾之下的金。这种金体积有大有 然后再进行砂金纯度的检验。
工艺，多见大型工艺品、人物塑像等。应在饰品
小，形如瓜子。成色一般在 85%~88%之间。俗称
2.2 岩金的鉴定
上取样，然后再进行检验。
“瓜子金”。还有体积较大、重量几公斤至几十公
自然界中的岩金藏于石英共同夹在岩石缝
可达性。意味系统有不稳定的平衡位置，这些位置 突变，就应用该突变势函数，调整某些参数，抑制
2.2 突变理论基本概念。使用和研究突变理 是不可微的，稍瞬即逝。（3）突跳。这是最常观察到 突变或控制突变发展方向。甚至在一些一直缺乏
论，必须了解势、奇点、吸引子这几个概念。
的也是最容易让人联想到突变理论的特征，控制 合适数学工具的医学、生物学、社会科学领域，突
（1） 势。在热力学系统中，势是自由能，由系 参量有微小的变化就会引起状态变量巨大的变 变理论也能提供很有启发性的应用。
统演化的方向决定；在力学系统中，势是相对保守 化，从而导致系统从一个局部极小点突变到另一
然而，作为一种相当年轻的理论模型和方法，
的位置能；在社会领域，势是系统采取某种趋向的 局部极小的点。（4）发散。对于连续平滑的变化，控 突变理论在应用中还有许多问题亟待解决，主要
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突变理论及其应用
丁庆华 （哈尔滨工程大学，黑龙江 哈尔滨 150001）
摘 要：阐述了突变理论的概念、演变过程、基本原理以及初等突变理论的基本突变类型，介绍了尖点突变模型及相关性质。对前人在突变理论 应用研究成果进行总结，分析其中不足之处，并展望应用前景。
关 键 词 ：突变理论；尖点突变模型；微分方程；质变
能力。势由系统各个组成部分的相对关系、相互作 制参数微小的扰动仅引起状态变量的微小增量。 是以下几个方面：（1）根据突变理论提出的大多数
用及系统与环境的相对关系决定，因此系统势可 但在退化点邻域内，参量的微小变化将导致状态 模型都是定性模型，尽管能对现象本身有合理解
以通过系统的状态变量和外部控制参量描述系统 变量很大的变化，这种不稳定性称为发散。（5）滞 释，但还缺乏很好的验证。（2）难以确定临界区域
控制上，解决机翼摇晃预测与抑制问题；在光学
另外一种稳定的状态。
上，Berry 运用突变理论求解焦散面找到了自然界
突变理论的数学方法有着不同于牛顿古典数
中可能出现的全部焦散面；在交通运输事故中，突
学分析方法：
变模型明显优于其他模型，应用突变理论能很好
（1）它建立在集合、拓扑、群论与流形等现代
回答车流量、路面车辆占有率与车辆运行速度三
炼加工的都可称为生金，又可分为砂金与岩金 象也比较普遍，这种伪造的砂金体积较大，拿在 品外包上金叶的工艺。常见的有头簪、戒指、耳
两小类。
手中轻飘，色泽乌暗，无光泽，根据黄金不溶于 环、手镯等。应在饰品上取样，然后再进行检验。
1.1.1 砂金：产于冲积层地质带。露出地表 硝酸而银和铜溶于硝酸的特性，将银、铜溶掉，
尖点突变
然的变化和发散现象，如量变积累到一定程度，就 个互不相交的吸引子，那么它们将处于相互竞争 的突变流形 M
会发生质变的飞跃，都属于不可微函数。这迫使人 的状态，有可能破坏分解为多个吸引子，从而走向 和分叉集 B 形
们进一步研究描述突变现象的数学理论，突变理 分叉。
态见图 1，分叉
论由此产生。
2.3 基本突变形态。突变理论是通过研究对象 集 B 就是突变
3.2.3 镀金。火镀，将镀件涤上汞金合物，经
斤、形如狗头状的金，俗称“狗头金”。
中，开采后，应将矿砂进行过筛，精选后进行冶 火烤，除去汞金便留于镀件上，这种工艺又称水
1.1.2 岩金：即原生金矿，矿床类型可分多 炼，制成试片，再进行纯度的鉴定。
银镀。上金量大，根据需要可多涂多镀，电镀，即
金属硫化矿含金石英脉；黄铁矿含金石英脉；含
的行为。一般地说，被研究对象的状态与控制空间 后。物理过程并非严格可逆，平衡曲面两状态间的 边界。（3）选择好控制变量和系统的状态变量是能
在数学上是高维状态的超曲面 Rn+m，其中 n 为控制 转换和逆转换时控制参数变化路径不同。
否成功运用该模型的关键，对此显得相当多的时
变量，m 为状态变量。（2）奇点。在突变论中，把某一
上流行的 K 金标准配方。常见的产品有 22K、 等金制品置于其中加火烧（不使其熔化）约 2 小 分布比较均匀的成品金。用钻孔的方法，可以钻
动，直至铁渣被吸净，此外还需要清除铜渣：在
虽然稀金、亚金、钛金肉眼观察与黄金十分
金按我国传统习惯和目前制定的标准可分 砂金中混入洞渣的现象比较普遍。检验前首先 接近。但是使用硝酸点在这些金属表层再加上
两大种六小类，即生金（砂金、岩金），熟金（清色 在砂金中点上适量硝酸，如果出现绿色烟雾或 食盐，该金属便会经过化学反应被轻易的腐蚀
量变和质变，是存在于自然界一切变化和发 平滑函数的位势导数为零的点叫做定态点。定态 Hugonioc 点突变，是最常用的突变模型，其势函数
展过程中的普遍规律，是辩证法的基本规律之一。 点在不同的条件下有不同的分类，当 n=1 时，有 3 为：V（x）=x4+ux2+vx
对这一到处可见的现象，过去却缺乏一种适当的 种类型：极大点、极小点和拐点。特别是在某些定
突变理论提供了一种研究跃迁、不连续性和 七种初等突变形态（表 1）。这个数学证明是相当难 线系统状态发生突跳。
突然质变的普通适应的方法，引起国际学术界的 的，但掌握证明的结论却比较容易。初等突变本身
其他突变模型也具有和尖点突变模型类似的
广泛关注。数学家齐曼（E.C.Zeeman）、阿诺尔德（V. 是可以理解的，并且可以不管其证明而直接应用 特性，只是在空间维度表示上不同，不一一列举。
电磁学、相对论等重要定理都是用微分方程表述 系统趋向的一个极限状态。该极限状态可以是封 变流形 M，把它与 V"（x）=12x2+2u=0 联立消去 x，即
的。但是，微分方程存在着内在的限制：它只能描 闭迹线，也可以是更为复杂的图形。这些极限点的 可得到分叉集 B：B=8u3+27v2=0
绘连续变化、可微的现象。但是世界上经常发生突 连通集被称为系统的一个吸引子。如果系统有多
色；在 70%的颜色，显青黄色；在 50%的颜色， 色金液内使其凝固，即将低色金包入高色金内，
3.3.2 黄金的化学法鉴定：仲裁检验委托人
显黄白略带灰色。俗称“七青、八黄、九五赤”。而 表皮不易察觉，周边也没有不匀的现象，只有剖 对无损检验方法提出异议，要求化学法检验，检
金纯度在 99%~99.9%的金颜色，显赤橙黄色。 开才能发现。
金、K 金、足金、千足金）。
“砂金”变绿，即可证明在砂金中混入了一定量 掉。用 X 光光谱检验法也可进行精确的检验。
1.1 生金
的铜。此时必须全部熔化砂金，再对砂金成色进
3.2 包金、贴金、镀金的鉴定
凡由矿山或江河里开采出来、未经熔化提 行检验。除此之外，用银或铜镀金仿造砂金的现
3.2.1 包金，以饰品为多，器皿较少，指在产
相空间由 1 个状态变量及 2 个控制变量构成
数学工具来描述。三百年来，建立数学模型一个最 态点附近，连续变化能够引起不连续的结果，此时 的三维空间。
常用方法是牛顿和莱布尼创立的微积分。像力学、 将退化的定态点称为奇点。（3）吸引子。吸引子是
平衡曲面由 V（' x）=4x3+2ux+v=0 决定，称为突
条、金绽、金箔、金币、金器及各种金饰品。按其 者较多，常见伪制品和仿制品有以下几种:
3.3 焊药量及化学法的鉴定
纯度的不同可分清色金、K 金、足金、千足金。
3.1.1 熔化不匀，常见条、宝、锭等铸造金。
3.3.1 焊药量的鉴定：金饰品的接口均有金
1.2.1 清色金：在金中只含白银，不论其纯 有两种情况：一是在熔化时用火不足，高、低成 焊药，如金链、镶嵌戒指、手镯等，黄金焊药一般
理论及其应用的研究得到了蓬勃发展，并迅速成
2 突变理论
为研究领域的重要热点，下面举例说明。
2.1 突变理论基本原理。所谓突变是指在系统
在非线性动力学系统上，Mehra 提出分叉分
演化过程中，某些变量的连续逐渐变化最终导致ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
析与突变理论法（BACTM），已经成功应用于飞机
系统状态的突然变化，即从一种稳定的状态跃到
学家托姆（R.Thom）在前人的基础上发表了《结构 临界点，突变理论正是通过研究临界点之间的相 3 个平衡位置： 图 1 尖点突变的一般形态
稳定性和形态形成学》，明确地阐明突变理论，宣 互转换来研究系统的突变特征。
上下两叶是稳定的，中叶是不稳定的。在从上叶到
告突变理论的诞生。
Thom 证明，在不超过四个控制因素时，只有 下叶或从下叶到上叶的转换中，如果跨越了折叠
验部门应依据国家标准对饰品进行化学方法检
1.2.2K 金：指由黄金、铜、银、锌等金属混合
3.1.2 烧浓金:用盐二成，红土八成混合后盛 验，具体环节应注意以下两个方面：
而成的合金。每 K 金的金含量约 4.16%。按国际 在罐内，然后将 70%左右成色的条、宝、锭、镯
（1）钻屑取样，这种方法适用于金属与杂质
I.Arnold）等人丰富并完善了突变理论，使突变理论 到一些科学问题中。事实上，大部分问题中最常使
3 突变理论的应用
从理论到实际应用方面的研究有了全面的进展， 用的，也仅是七种初等突变形态中的二三种。
经过几十年的发展，特别是最近十年来，突变
有关突变理论的文献也与日俱增。
表 1 七种初等突变形态及其势函数
3 熟金的鉴定
用电解法将金镀在饰品上，这种工艺镀层均匀。
黄铁矿的细晶岩与花岗岩金砂床等。
3.1 伪造与仿造黄金的鉴定
外观平滑光亮。此外包金、贴金用肉眼观察很容
1.2 熟金
由于黄金制品价值较昂贵并有一定的保值 易发现其生产工艺的特征，镀金由于镀层薄，用
生金经熔炼后成为的金，用熟金可制成金 作用，消费者争相购买并收藏，历来伪造者仿造 X 射线荧光光谱法检验即可验出金的纯度。
度高低，都可称为清色金。特点：质地柔软，随含 色未完全熔合均匀，即铸锭成形，各角和周边成 分“红焊”、“黄焊”、根据不同情况使用，红焊成
银量的多少呈现不同颜色，一般金纯度在 95% 色不一，仔细观察表皮色泽略有不同；二是将高 分是黄金、白银、红铜；黄焊成分是黄金、白银、
左右的颜色，显赤黄色；在 80%的颜色，显正黄 色金熔化后，再把预先铸好的低色金块放在高 黄铜。金含量在 60%和 30%的多见。
1 突变理论的产生
的势函数来研究突变现象的。系统势函数通过系 流形 M 在 u-v
突变理论的数学渊源是常微分方程三要素： 统状态变量 X={x1，x2，…，xm} 和外部控制参量 U= 平面上的投影。
结构稳定性、动态稳定性和临界集。1930 年出现的 {u1，u2，…，un}来描述系统的行为，即 V=（f U，X）。这 由图可见，突变
2.5 尖点突变模型。尖点突变又称 Riena- 候难以确定。
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生金及熟金的鉴定
崔英奎
（齐齐哈尔市产品质量监督检验所，黑龙江 齐齐哈尔 161000）
摘 要：针对金的分类及特点进行说明，并对生金和熟金的鉴定进行分析论述。 关 键 词 ：金；分类；生金；熟金；鉴定
1 金的种类
Morse 引理成为突变理论的重要数学基础，1955 样，在各种可能变化的外部控制参量和内部行为 流形的上、中、
年，美国数学家 Whitney 在《曲面到平面的映射》 变量的集合条件下，构造状态空间和控制空间。通 下叶分别表示
中阐释了光滑映射的奇异性现象，1972 年，法国科 过联立求解 V（' x）和 V"（x），得到系统平衡状态的 了系统可能的
数学基础之上，内含随机与现代系统论的基质。
2.4 突变模型的基本特征。研究突变模型，需 者之间的关系，为高速公路的运行管理提供了科
（2） 它着重研究连续作用导致系统不连续突变的 要了解它的几个基本特征。
学依据；在岩土力学中，针对矿层底板突水，矿道
现象，直接处理不连续突变而不涉及特殊的内在
（1）多模态。系统在同一控制参数作用下，出 失稳，建立尖点突变预测模型，给处理险情、减少
机制，特别适用那些内部结构尚未清楚的系统。 现两个或多个不同可能的状态，即系统的位势对 开采事故，提供了理论依据；在控制系统中，孙尧
（3） 不必事先知道被描述系统状态变量遵循的微 于控制参数的某些范围可能有多个极小值。（2）不 教授提出了突变控制理论，当系统发生某种类型
分方程，可以预测系统许多定性特征。