《力学》杜婵英 漆安慎课后习题答案大全集

∴ cos(A, B) =
−3 32
=−
2 2
,
两矢量夹角（A, B) = 135°
G 10．已知A
+
G B
=
3iˆ
+
5
ˆj
−
G kˆ，A
−
G B
=
4iˆ
−
4
ˆj
+
kˆ,
GK 求A与B
的夹角。
G 解：将已知两式相加，可求得 A = 3.5iˆ + 0.5 ˆj ；再将已知两式相
G 减，可求得 B = −0.5iˆ + 4.5 ˆj − kˆ. ∴ A = 3.52 + 0.52 ≈ 3.5 ，
ln
x)d (1 +
ln
x)
=
1 2
(1 +
ln
x)2
|1e = 1.5
1
1
2
⑸∫ (ex
+
1 x
)dx
=
(e x
+
ln
x)
|12
=
e2
−
e
+
ln 2
1
π/ 4
π /4
⑹
∫
cos 2xdx
=
1 2
∫ cos 2xd (2x)
=
1 2
sin
2
x
|ππ
/ /
4 6
=
1 2
−
3 4
π/ 6
π /6
1
⑺∫
1 1+ x2
吉林师范大学物理学院
第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答
1
1．求下列函数的导数
⑴ y = 3x2 − 4x + 10
⑵ y = 1/ x + 7 sin x + 8 cos x − 100
⑶ y = (ax + b) /(a + bx) ⑷ y = sin 1 + x2
⑸ y = esin x
−π / 2
f (x) = sin x的函数图形上用面积表示这些定积分。
第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答
π /2
π
∫ 解：
sin
xdx
=
−
cos
x
|2
0
=
1
0
0
π /2
∫ sin xdx = −1 ∫ sin xdx = 0
−π / 2
−π / 2
y
-π/2
+
- 0 π/2 x
6．计算由y=3x和y=x2所围成的平面图形的面积。
⑵iˆ × ( ˆj + kˆ) − ˆj × (iˆ + kˆ) + kˆ × (iˆ + ˆj + kˆ)
j
= kˆ − ˆj + kˆ − iˆ + ˆj − iˆ = 2kˆ − 2iˆ
i k
KK KK KK KK
⑶(2A + B) × (C − A) + (B + C) × ( A + B)
K KK K KK K KK K KK = 2AK × (KC −KA) +K B ×K(CK− A)K+ BK × (KA + KB) +KC ×K( A + B) = 2KA ×KC + B × C − B × A + B × A + C × A + C × B = A×C
14．计算下面诸式
解：⑴iˆ ⋅ ( ˆj × kˆ) + kˆ ⋅ (iˆ × ˆj) + ˆj ⋅ (kˆ × iˆ)
= iˆ ⋅ iˆ + kˆ ⋅ kˆ + ˆj ⋅ ˆj = 3 KKK KKK
⑵ A ⋅ (B × A) = B ⋅ ( A × A) = 0
=
1 4
x4
−
3 2
x2
+
x
+
c
∫ ∫ ∫ ⑵
(2 x + x 2 )dx =
2x dx +
x 2dx
=
2x ln 2
+
1 3
x3
+
c
∫ ∫ ∫ ∫ ⑶
(
3 x
+
2e x
−
1 )dx
xx
=
3
dx x
+
2
e x dx −
x −3 / 2 dx
= 3ln x + 2e x + 2 + c x
⑷ ∫ (sin x − cos x)dx = ∫ sin xdx − ∫ cos xdx = − cos x − sin x + c
⑹ y = e−x + 100x
解：⑴ y'= 6x − 4
⑵ y'= −1/(2x x ) + 7 cos x − 8sin x
⑶ y' = (a 2 − b2 ) /(a + bx)2
⑷
y' = cos(1 + x 2 )1/ 2·
1 2
(1 +
x2
) −1/
2·
2x
= x cos 1 + x 2 / 1 + x2
∫ ∫ ∫ ∫ ⑸
x2 1+ x2
dx
=
dx = 1+ x2 −1
1+ x2
dx −
dx 1+ x2
=
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x − arctgx + c
∫ ∫ ⑹
sin(ax
+
b)dx
=
1 a
sin(ax
+
b)d
(ax
+
b)
=
−
1 a
cos(ax
+
b)
+
c
∫ ∫ ⑺
e−2x
dx
=
−
1 2
e−2x d (−2x)
=
−
1 2
G GG GG G
GG GG GG
A × A, B × B,C × C均为零，∴ A × B = B × C = C × A
12．计算以 P (3,0,8)、Q (5,10,7)、R (0,2,-1)为顶点的三角形的面积。
解：据矢积定义，△PRQ 的面积
A
=
1 2
|
PR ×
PQ
|, PR
=
OR
− OP
解：如图所示，令 3x=x2,得两
条曲线交点的 x 坐标：x=0,3. 面积
y
3
3
A = ∫ 3xdx − ∫ x2dx
0
0
=
(3 2
x2
−
1 3
x3)
|30 =
4.5
0
3x
7．求曲线y=x2+2,y=2x,x=0 和x=2 诸线所包围的面积。
解：面积 A
y
2
2
= ∫ (x2 + 2)dx − ∫ 2xdx
B
β
A
α
用正交分解法：∵Ax=4cosα=3.6
0
x
Ay=4sinα=1.7, Bx=5cos(90º+β)= - 5sinβ= -3,By=5sin(90º+β)=5cosβ=4
GG
∴ A ⋅ B = Ax Bx + Ay By = 3.6 × (−3) + 1.7 × 4 = −4
G 9．已知A
GG B = (−0.5)2 + 4.52 + (−1)2 ≈ 4.64, A ⋅ B = 3.5 × (−0.5) +
第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答
K G GG
GG
0.5×4.5=0.5。cos(A, B)
=
A⋅B AB
≈
0.0308,
夹角(A, B) ≈ 88.24°
GGG
GG GG GG
88 2
+ 212
+ 342
= 96.6,∴ ΔPRQ面积A =
96.6 2
= 48.3
13． 化简下面诸式
第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答
4
KKK K KKK K KKK K 解：⑴( A + B − C) × C + (C + A + B) × A + ( A − B + C) × B KK KK KK KK KK KK = A×C + B×C +C× A+ B× A+ A×B +C×B = 0
t t1 t2
第 1 章物理学力学数学 矢量习题解答
3
1．2．3．4．5．6．7．略
8．二矢量如图所示 A=4,B=5,α=25º,β=36.87º,直接根据矢量标积
GG
定义和正交分解法求 A ⋅ B 。
y
解：直接用矢量标积定义：
GG A ⋅ B = AB cos(90° − α + β ) = −4
11．已知 A + B + C = 0, 求证A × B = B × C = C × A.
证明：用已知等式分别叉乘
GGG G G G G G G A, B,C, 有A × A + B × A + C × A = 0
GG GG GG
GG GG GG
A × B + B × B + C × B = 0, A × C + B × C + C × C = 0. 其 中 ，
dh dx
=
d dx
(102
− 10−4 x2
+ 5 ×10−7
x4)
=
2 ×10−6 x3
−
2 ×10−4 x
d 2h dx 2
=
d dx
(2 ×10−6 x3
−
2 ×10−4 x)
=
6 ×10−6 x2
−
2 ×10−4
令dh/dx=0，解得在x=0,10,-10 处可能有极值。∵d2h/dx2|x=0<0,∴x=0 是 极 大 值 点 ， h(0)=100 ； ∵ d2h/dx2|x=10>0, ∴ x=10 是 极 小 值 点 ，
e−2x
+
c
∫ ∫ ⑻
= dx
1
ax+b a
(ax
+
b) −1/ 2
d (ax
+
b)
=
2 a
ax + b + c
∫ ∫ ⑼
sin 2 x cos xdx =
sin
2
xd (sin
x)
=
1 3
sin 3
x
+
c
∫ ∫ ⑽
xe −x2
dx
=
−
1 2
e−x2 d(−x2 ) =
−
1 2
e−x2
+c
∫ ∫ (11)
0
⑶ ∫ dx −1/ 2 1− x2
e
∫ ⑷
1+ln x
x
dx
1
2
π/ 4
1
π/ 2
⑸
∫ (ex
+
1 x
)dx
⑹ ∫ cos 2xdx
∫ ⑺
1 1+ x2
dx
⑻ ∫ (3x + sin 2 x)dx
1
π/ 6
0
0
2
解：⑴（∫
x
− 1)dx
=
2
2
∫ x1/ 2dx − ∫ dx
=
2 3
3
x2
|12
−x |12 =
⑸ y' = esin x cos x
⑹ y' = e−x (−1) + 100 = 100 − e−x
2．已知某地段地形的海拔高度h因水平坐标x而变， h=100-0.0001x2(1-0.005x2)，度量x和h的单位为米。问何处的高度将取极 大值和极小值，在这些地方的高度为多少？
解：先求出 h(x)对 x 的一阶导数和二阶导数：
⑼ ∫ sin 2 x cos xdx
⑷ ∫ (sin x − cos x)dx
⑹ ∫ sin(ax + b)dx
∫ ⑻
dx
ax+b
∫ ⑽ xe−x2 dx
(11) ∫ cos2 xdx
∫ (12)
ln x x
dx
解：
∫ ∫ ∫ ∫ ⑴ (x3 − 3x +1)dx =
x3dx − 3 xdx +
dx
cos 2
xdx
=
1 2
(1 +
cos 2x)dx
=
1 2
x
+
1 4
sin
2x
+
c
∫ ∫ (12)
ln x x
dx
=
ln
xd (ln
x)
=
1 2
(ln
x) 2
+
c
第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答
2
4. 求下列定积分
2
1
1/ 2
⑴ （∫ x −1)dx
1
⑵ ∫ (e x −1)4 e x dx
42 3
−
5 3
1
1
1
1
1
⑵∫ (e x
− 1)4 e x dx
=
∫ (e x
− 1)4 d (e x
− 1)
=
1 5
(e x
− 1)5
|10
=
1 5
(e
− 1)5
0
0
1/ 2
∫ ⑶ −1/ 2
dx 1− x2
=
arcsin
x
|1/ 2
−1/ 2
=
π 3
=
60°
e
e
⑷∫
1+ln x x
dx
=∫ (1 +
h(10)=99.0005 米；显然，x=-10 亦是极小值点，h(-10)=h(10).
3．求下列不定积分
⑴ ∫ (x3 − 3x + 1)dx
∫ ⑵ (2 x + x 2 )dx
第 1 章物理学力学数学 微积分初步习题解答
∫ ⑶
(
3 x
+
2e x
−
1 )dx
xx
∫ ⑸
dx x2
1+ x2
∫ ⑺ e−2x dx
0
0
=
(
1 3
x3
+
2x
−
x2)
|02
A
=
8 3
0 2x
8．一物体沿直线运动的速度为v=v0+at,v0和a为常量，求物体在t1至
t2时间内的位移。
t2
v
∫ 解：位移 S = (v0 + at)dt
t1
v0
=
(v0t
+
1 2
at 2 )
|t2
t1
=
v0 (t2
− t1 )
+
1 2
a(t2 2
− t12 )
dx
=
arctgx
|10
=
π
/
4
=
45°
0
π/ 2
π /2
π /2
⑻ ∫ (3x + sin 2 x)dx = 3 ∫
xdx
+
1 2
∫ (1 −
cos 2x)dx
=
3 8
π
2
+
1 4
π
0
0
0
π /2
0
π /2
5. 计算 ∫ sin xdx 、∫ sin xdx 以及 ∫ sin xdx,并在
0
−π / 2
力学习题剖析
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目录
第 01 章 第 02 章 第 03 章 第 04 章 第 05 章 第 06 章 第 07 章 第 08 章 第 09 章 第 10 章 第 11 章
物理学、力学、数学…………………01 质点运动学……………………………05 动量定理及其守恒定律………………15 动能和势能……………………………28 角动量及其规律………………………38 万有引力定律…………………………42 刚体力学………………………………45 弹性体的应力和应变…………………56 振动……………………………………60 波动……………………………………68 流体力学………………………………75
=
y Q(5,10,7)
R(0,2,-1)
− 3iˆ + 2 ˆj − 9kˆ, PQ = OQ − OP =
o
x
2iˆ +10 ˆj − kˆ .
z
P(3,0,8)
iˆ ˆj kˆ PR × PQ = − 3 2 − 9 = 88iˆ − 21 ˆj − 34kˆ
2 10 −1
| PR × PQ |=
=
−iˆ
+
ˆj,
G B
=
iˆ
−
2
ˆj
+
2kˆ,
GG 求A与B的夹角。
GG
GG
G G GG
解：由标积定义 A ⋅ B
=
AB cos(A, B)∴cos(A, B)
=
A⋅B AB
，而
GG
A = (−1)2 + 12 = 2, B = 12 + (−2)2 + 22 = 3, A ⋅ B = −3
GG
GG