证明四色猜想
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
四色猜想四色猜想四色定理
四色猜想-四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖“Four colorssutfice”四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色定理的简短证明
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
二、四色猜想与证明
四色猜想：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家填上不同的颜色。
”
数学语言表示：“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1852年，毕业于伦敦大学的格斯里发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。
和其弟弟研究没成功。
1852年，格斯里的弟弟请教其老师著名数学家德·摩尔根但未能证明，摩尔根后向著名数学家哈密顿爵士请教，仍未证明。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题后，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
电子计算机问世后，演算速度迅速提高，加快了对四色猜想证明的进程。
在1976年，美国伊利若斯大学的两台不同的电子计算机，用1200个小时，作100亿个判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理，轰动了世界。
这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了四色足够的特制邮戳，庆祝这一难题获得解决。
但证明并未止步，计算机证明无法给出令人信服的思考过程。
在长期的论证过程中，其他发现，人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
四色问题
四色问题
英国人格思里于1852年提出四色问题(four colour problem，亦称四色猜想），即在为一平面或一球面的地图着色时，假定每一个国家在地图上是一个连通域，并且有相邻边界线的两个国家必须用不同的颜色，问是否只要四种颜色就可完成着色。
1878年英国数学家凯莱重新提出这问题，引起人们关注。
次年，英国数学家肯普提出用可约构形证明四色问题，虽然他的证明过程有漏洞，但为该问题的解决指出方向。
1890年英国人希伍德沿着这方向证明了任何地图只用五种颜色着色便够了，取得初步进展。
1913年美国数学家伯克霍夫发现一些新的可约构形。
1968年挪威数学家奥雷等人证明了用四种颜色一定可以把不超过四十个国家的地图着色，推进了四色问题的研究。
70年代初人们努力寻找可约构形中的不可免完备集，因为用它可以通过数学归纳法证明四色问题。
1976年美国数学家哈肯和阿佩尔花了1200多小时的电子计算器工作时间，找到一个由1936个可约构形所组成的不可免完备集，因而在美国数学会通报上宣称证明了四色猜想。
后来他们又将组成不可免完备集的可约构形减至1834个。
四色问题的研究对平面图理论、代数拓扑论、有限射影几何和计算器编码程序设计等理论的发展起了推动作用。
数学经典问题-四色问题
数学经典问题·四色猜想世界近代三大数学难题之一――四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
看来这种推进仍然十分缓慢。
四色猜想四色猜想四色定理
四色猜想 -四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem) 最初是由一位叫古德里 Francis Guthrie 的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的地区每一个地区总能够用 1234 这四个数字之一来标志而不会使相邻的两个地区获得相同的数字。
”这里所指的相邻地区是指有一整段界限是公共的。
假如两个地区只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
由于用相同的颜色给它们着色不会惹起混杂。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使拥有共同界限的国家着上不一样的颜色。
”也就是说在不惹起混杂的状况下一张地图只要四种颜色来标志就行发展历史可是状况也不是过分消极。
数学家希奇早在 1936年就以为议论的状况是有限的可是特别之大大到可能有 10000种。
关于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今日的人都理解：计算机。
从 1950年起希奇就与其学生丢莱研究如何用计算机去考证各样种类的图形。
这时计算机才刚才发明。
两人的思想堪称十分超前。
1972 年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改良。
到 1976 年他们以为问题已经压缩到能够用计算机证明的地步了。
于是从 1 月份起他们就在伊利诺伊大学的 IBM360 机上分 1482 种状况检查历时 1200 个小时，作了 100 亿个判断最后证了然四色定理。
在当地的信封上盖“Fourcolorssutfice 四色”，足够了的邮戳就是他们想到的一种流传这一惊人消息的新奇的方法。
人类破天荒运用计算机证明有名数学猜想应当说是十分惊动的。
欣赏者有之，思疑者也许多，由于真实确性一时不可以一定。
以后也确实有人指出其错误。
1989 年，黑肯与阿佩尔发布文章声称错误已被改正。
1998 年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依靠于计算机。
不论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了很多重要的新思想。
四色猜想的证明
四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。
要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法——点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。
2、相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图：(a)(b) (c)图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图:图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。
若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。
因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。
但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。
3、完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。
由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。
如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。
四色定理
四色定理四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。
德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
基本介绍四色问题又称四色猜想、四色定理是世界近代三大数学难题之一。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英国大学生提出来的。
德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。
他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。
一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史：来自地图的启示相传四色问题是一名英国绘图员提出来的此人叫格思里。
四色猜想
四色猜想证明首先提出两个原则：①贴边原则（即只要两图形有公共边，则它们的颜色须涂不同的颜色）②最简原则（即能不用新的颜色填涂就不用新的颜色填涂）证明：假设四色猜想是错误的，则可以存在一个图形它必须由四种以上颜色填涂接下来试图构建一个必须由四种以上颜色填涂的一个图形，根据提出的两个原则作得下图：图①如图①所示，由于图形A,B有公共边，因此颜色A≠B即可图②如图②所示，要构建一个必须由四种以上颜色填涂的图形，则图形A,B,C就必须两两有公共边才能使得颜色A≠B≠C(根据两个原则）图③如图③所示，要构建一个必须由四种以上颜色填涂的图形，则图形A,B,C,D就必须两两有公共边才能使得颜色A≠B≠C≠D(根据两个原则）图④如图④所示，要构建一个必须由四种以上颜色填涂的图形，则图形A,B,C,D,E就必须两两有公共边才能使得颜色A≠B≠C≠D≠E(根据两个原则）看图④，显然这是做不到的因为C和A由于被E隔开所以没有了公共边，无论E怎么调由于在平面内一周只有360°，无法满足所有图形两两有公共边。
因此企图根据两个原则去构建一个用四种以上颜色填涂的图形是不可能的。
因此假设错误。
而在地图上更是无法找出那么一块地方同时满足两个原则而需要四种以上颜色填涂的地方，也就是在地图上无法找出图④成立的这种情况，因为图④本身就不存在，也就没有那么一块地方需要满足原则的情况下需要四种以上的颜色填涂。
图⑤如图⑤，在地图上以任一图形为中心，由于图⑤是一个地图中最复杂的情况，因为以1为中心时它已经用了四种颜色，所以以图形1为中心（以A为中心则只考虑和A有公共边的区域），则从上面得出的结论，要想用第五种颜色则需要有一块区域，它必须和图形1，2,3，4两两相贴，这是做不到的，因此不可能需要第五种颜色。
由于是以任何一块区域为中心，而最复杂的情况也不需要第五种颜色。
而在地图上任何一块区域都只会符合上示所有的图中的一个或几个，因此最多需要四种颜色。
数学中的四色定理证明
数学中的四色定理证明在数学中，有一项非常著名的命题被称为四色定理。
这项命题的内容是：对于任何一个平面图，只要它的区域数（包括无限远处的区域）不超过四个，那么就可以用四种不同的颜色给每一个区域都染色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理虽然看起来很简单，但是却极其难以证明。
在 1852 年，英国的一位数学家 Francis Guthrie 发现了这个定理，并向他的教授请教。
几十年过去，当 Guthrie 的教授告诉他已经找到了一个反例时，这个猜想被否定了。
但是至今为止，对于四色定理到底成不成立，数学家们仍然没有得到完全的证明。
在 1976 年，Kempe 发表了一篇文章，声称他已经证明了四色定理。
但随后，一位来自伯明翰大学的数学家 A.K. 阿普尔比汀对他的证明中的一个错误进行了纠正。
这个错误的发现一方面表明了四色定理确实非常难以证明，另一方面也启发了其他数学家，让他们继续尝试寻找证明的方法。
经过长达100 多年的探求，直到1976 年才被证明成立。
当时，国际上的四名著名数学家通过使用现代计算机技术，给出了一个完美的证明。
这个证明是非常复杂和深奥的，令人不得不惊叹于人类智慧的力量。
笔者在此不打算深入讨论这个证明的细节，而是从另一个角度出发，来理解四色定理的意义。
首先，四色定理告诉我们，即使是看似很简单的问题，也可能存在着极其复杂的答案。
如果我们不去深入研究、探求，很容易会得出错误的结论。
这也是为什么很多人随便就能口胡一些东西，却很难真正去理解和掌握某一项学问的基本原理。
其次，通过四色定理的证明，我们也可以看到人类智慧和科技的力量。
在过去，证明这个定理是极其困难的，但现在，我们可以依靠计算机技术，借助各种数学方法，从最细微的角度去找到证明。
最后，四色定理的证明也告诉我们一个很重要的思想：无论遇到多么困难和棘手的问题，我们都应该尝试着去解决它。
这需要勇气、毅力和耐心，同时也需要一些创新和发明。
正是因为几名著名数学家的努力，四色定理的证明才能变成现实。
利用数学模型证明四色猜想
面，便有了“1 面、3 线、3 点”（记作“1+3”或“3+1”）组成的
起始△ABC 单元区域特征。
单元，指△“1 面、3 线”起始位置；单元区域，指△“1 面、3
线”C43
组合位置；区域，指
C3 4
组合位置的整（总）体。
根据平面几何三角形定义与平面公理二，四色猜想使用的“1 面、
2
3 线”与“1 面、3 点”概念是一致的。
重组△角与起始△角共点，相对下一个△的出现，重组△则又被称为
起始△，可链锁产生。由“1 面、3 线（点）”组成的 图形，是相
似△或等价△。
根据平角定义，直线与平角可以互相转化。因此，线段上可以有
无数平角。平角的对顶角区域同样是个区域位置概念。
（1）根据三角形定义，点是其所在的线、面的共点。重组△与
起始△有、只有一个共点，且三个角的共点可以分别连锁产生另外的
“1 面”蓝 3：P32=(124，421，142，214，412，241）
“1 面”绿 2：P32=(143，341，134，413，314，431）
“1 面”黄 1：P32=(324，432，234，423，342，243）
（三）数学归纳。
1、任意 K 个△ABC 单元区域。
平面（1→ k 区域）=∑1k
起始△ABC
的“1
面、3
线”的
C3 4
四种单元区域组合，有三种标
识方式。
1、单元区域 C43=
2、C43=123④、12③4、1②34、①234。 3、区域内的“四方八位”位置，每个起始单
元区域
C3 4
则依照“1
单元、3
相邻”面（1+3）规则
进行“3+1”链锁重组，来实现区域四色猜想。
四色猜想的“1+3”链锁证明
四色猜想的“3+1”链锁证明李传学四色猜想是数学中费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想难题之一。
本文根据计算机逻辑判断方式，利用“1+3”链锁反应法，对四色猜想的数学定义，可做出逐步趋向、直至平面整（总）体有、且只有的四色猜想简捷证明。
一、四色猜想简捷证明的提出。
随着计算机运算速度的加快、人机对话智能的出现，极大加快了对四色猜想研究、证明的步伐。
1976年6月，美国哈肯与阿佩尔编制程序，利用1200个小时，分别在两台计算机上，作了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。
但是，计算机证明过程深长，无法令人信服，是因为缺乏适合人的逻辑思维判断过程。
二、四色猜想的数学语言定义。
任何一张平面地图，只要用四种不同颜色就能使具有共同边界的国家，着上不同颜色，称之为四色猜想。
四色猜想的数学语言定义：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来标记，且不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
这里的相邻区域，是指有一整段（非点）边界是公共的边界。
（注：来自网络“科普中国”）。
三、四色猜想的简捷证明。
（一）简捷证明的数学理论依据。
1、三角形定义。
由三条线段围成的封闭图形叫做三角形；三角形的每条线段叫做三角形的边。
2、平面公理。
公理一：如果一直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。
（推论一：直线与直线外一点可确定一个平面；推论二：两条相交直线，可确定一个平面）。
公理二：不在一条直线上的三个，有、且只有一个平面。
公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有、且只有一条过该点的公共直线。
3、拓扑等价。
对拓扑等价概念有多个解释。
如刻画微分方程解之间的关系；对连续流进行分类等。
在几何学是指：几个图形中，任意一个可以通过拓扑变换从其余图形得到，就称它们为拓扑等价；或称其中每一个可以从其余任意一个几何图形经扭转、弯曲、拉长或收缩得到，而不出现任何点的重叠与断开，它们就是拓扑等价。
平面“五色定理”的五色无限点图“四色猜想”证明
1.图论五色定理证明成立，五色定理成立的点图为单元图1，2.五色单元图拼接无限点图，商掉一色，这样的点图四色完全填充，3.“四色猜想”的“二维平面四色最大填充密度”猜想，1、正三角形与四边形均可以单独密铺，2、正多边形只有正三角形、正四边形、正六边形可以单独密铺。
3.共有17种密铺结构，开罗砖有8种不同的密铺结构4.“四色猜想”的多维度推广，色量子干涉归一开普勒猜想，四色猜想，图论填色的“波粒佯谬”，填色路径“波动”，填色区域（点）的围道积分，在一个球的周围，最多能摆放多少个相同尺寸的球？在平面上，如何最密集排放相同大小的圆？绘制的地图，图中相邻的两个区域具有不同的颜色，引进了图论，László Fejes Tóth 的区域猜想离散几何密切相关，Alfred Tarski 和 Henryk Moese 证明了用来覆盖圆面的条带（或木板）的宽度和至少等于圆的直径，Thøger Bang 证明了覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度，即单个能覆盖凸体的单个条带的最小宽度，填（色）充反填（色）充平衡y=sinx/x+x/sinx，正处于“填色”状态的佯谬薛定谔猫，颜色不确定，最终的填色结果既依赖于“波动性”又依赖于“粒子性”，这对于许多近期在化学、生物和计算机科学以及逻辑系统上的发展都至关重要，无法确定状态的“猫”走出薛定谔黑箱，或摇身为生机勃勃硕果累累牛顿苹果树，它是树上的果子，或者一棵芭蕉树，或者一个周身星光旋转的几何怪物，——非死非活的“变异态”的导数态，每一“态”都是“确定态”，薛定谔“猫态”，所有“态”的干涉“态”，四色猜想，图论填色的“波粒佯谬”，填色路径“波动”，填色区域（点）中心的围道积分，y=sinx/x自然填充y=sinx/x受空气动力学y=lnx作用y=sinxlnx/x 的导数，y'=((sinxlnx)'*x-sinxlnx*(x)')/x^2=(x(cosx*lnx+sinx/x)-sinxlnx)/x^2，化简一下就是y'=(xcosxlnx+sinx-sinxlnx)/x^2，维度填充成为一个点，函数的导数是sinx/x，sinx/x，1/LNX等函数都是没有初等函数下的原函数的，函数是积不出来的，它的积分是一个带有吉布斯（Gibbs）效应的阶越函数;x叫做取样函数或者内插函数，记为Sa(x)=sinx/x dx，F(x)=∫Sa(x)dx=∫sinx/x，台阶高度为派，图形就是一个“非理想的版高通滤波器”形状，1维量子填充力学计算y=sinx/x导数，y'=(cosx *x -sinx) /x^2，光子的“填色通道”，y=sinx/x 原函数二维色基数4，x=sin(2x)x=0.74x=sin(x/n)nx=sinxx/n=sinxx=sin(4x)x=0.3295290175...1/x=3.0346341198920365184531890275793... “四色定理”或可称为“ 色猜想”。
证明四色猜想
证明四色猜想本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。
通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。
四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。
就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
证明将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。
这些射线都属于这个点。
首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。
第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。
这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况：（1）D在ABC之内和ABC相交当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。
第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。
假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。
Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。
这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。
尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。
所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。
（见图3）（2）D在ABC之外和ABC相交D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。
但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。
若D将ABC一部分包围。
那么ABC至少有一点完全被D包围。
如图5若E在D外就不能和A、B同时相交。
若E在D内无论如何最多只能和三者相交。
要么和ABD、ACD、BCD，不可能和ABC相交。
四色猜想
世界近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。
”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。
哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。
世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。
于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。
1950年，有人从22国推进到35国。
1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。
四色猜想的逻辑证明
四色猜想的逻辑证明概要：平面或球面上两个区域相邻有且只有两种方式，按照这两种方式构成相邻关系，依次由2个、3个、4个直至足够多个不同区域，可以构成任意可能的地图。
本文提出增色定理，围绕该定理，给出四色猜想的证明。
四色定理的本质，是指在平面或者球面上最多只能构造四个两两相邻的区域。
证明这一点，只须例举出全部四个区域相邻的情形即可。
四色猜想的提出四色猜想是弗伦西斯·格斯里（FrancisGuthrie1831-1899）提出的，1852年他在给弟弟的信中写到：“每幅地图都可以只用四种颜色着色，使得有公共边界的相邻国家着上不同的颜色。
”四色猜想又称四色定理、四色问题。
格斯里的话中包含两个需要明确的概念：一个是相邻；另一个是国家，即平面或球面上的一个区域。
为此给出两个定义。
单连通：一个区域内的任何两点，如果可以在其内部（即不穿过其边界）用一条曲线相邻，则称这个区域是单连通的。
四色猜想中涉及到的区域均指的是单连通区域。
相邻：平面或球面上的两个区域，如果只有一条公共边界，就说这两个区域是相邻的。
两种基本相邻关系平面或球面上，A、B两个区域相邻有且只有两种方式：一种是，A区域的部分边界与B区域的部分边界相邻；另一种是，A区域的全部边界与B区域相邻，即A区域被B区域所包围（无需考虑A区域与B区域完全重合的情形，因为这在四色问题上没有意义）。
需要指出的是，图中的红色与绿色可以互换，即，当只有两个区域相邻时，下图中的区域A 与区域B是等价的：哪一个为红色，哪一个为绿色，意义是一样的（在下文的表述中同样的情形不再说明）。
按照这两种方式构成相邻关系，能够由最初的两个区域相邻，依次到由3个、4个直至足够多个不同区域，以任意可能的方式相邻构成全部可能的地图。
同时，该构成地图的过程是可逆的，即能够以与之相反的方式，将任意地图还原为最初两个区域构成的地图。
设想有一张由m+1个区域构成的地图，它显然可以视为由m个区域与某一个区域A以任意可能的方式相邻构成的。
四色猜想的简单证明
四色猜想的简单证明我们知道，四色猜想其实就是：一个平面或球面上最多只有四个图形的边互相接触。
【点不算】而在这里，我仅对球面上的四色猜想进行证明。
【考虑平面时仅需稍加说明，便可与球面一样考虑】
为简化问题，先强调以下两点：
1．所有图形需互相接触，故将球面分割为多个区域是毫无意义的，只需保留一个空白区域。
2．所有图形需互相接触，故所作图形不能与原来存在的任一图形相离，必须与所有原来存在的图形共边。
遵循以上两点，我们会发现，尽管作图方法任意，但情况均可看作一种【如下所示】。
首先，如图1所示是一个任意图形A ；为便于描述，我们挖去A所占区域，根据球面性质，空白区域可看作以A的边为界的有限且有界的面，如图2。
截取A边的一部分作图形B，如图3；抹去无效边【即重合边】，在A,B上各截取一段边，作图形C,如图4；继续分别截取A，B，C的一段边,此时无论如何【在遵循点1，2的情况下】，总有一个图形的边被完全覆盖。
【证明较简单，在此不赘述】故在任意一个非图形区域内，不可能同时出现四种不同边，即第五图形不必要使用第五色。
四色问题猜想成立。
李世豪。
四色猜想 四色定理
四色猜想四色定理地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
用数学语言表示即将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
四色问题的内容是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行发展历史不过情况也不是过分悲观。
数学家希奇早在1936年就认为讨论的情况是有限的不过非常之大大到可能有10000种。
对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白：计算机。
从1950年起希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。
这时计算机才刚刚发明。
两人的思想可谓十分超前。
1972年起黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。
到1976年他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。
于是从1月份起他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查历时1200个小时，作了100亿个判断最终证明了四色定理。
在当地的信封上盖Four colorssutfice四色，足够了的邮戳就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。
人类破天荒运用计算机证明著名数学猜想应该说是十分轰动的。
赞赏者有之，怀疑者也不少，因为真正确性一时不能肯定。
后来也的确有人指出其错误。
1989年，黑肯与阿佩尔发表文章宣称错误已被修改。
1998年托马斯简化了黑肯与阿佩尔的计算程序但仍依赖于计算机。
无论如何四色问题的计算机解决给数学研究带来了许多重要的新思维。
问题影响一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。
四色猜想的证明
四色猜想的证明把每个区域看成一个点，相邻的区域（点）用线连起来，则不可能存在连线交叉穿过的情况。
现存在一张地图（a ）需用上4种颜色才可区分相邻区域（点）。
下面证明是否存在必须用上第5种颜色的地图：假设存在这样的地图，则在必须染上第5种颜色的点的周围一定存在染有其它4种颜色的点与之相连（如图b ）。
由于E 是必须用上第5种颜色的点，所以无论从哪点开始按何种顺序染色最终都得使ABCDE5点两两异色。
而且在染色时颜色的选取只受之前染过颜色的点的限制，无需考虑其它未染色的点的颜色。
记5种颜色分别为“1”“2”“3”“4”“5”，则这5种颜色地位是平等的。
下面从上面那5点染起：不妨先将E 染为“1”，再染B 时要使它不能选E 的颜色，则BE 必相邻，不妨染为“2”，再染C 时要使它不能选ＥＢ的颜色则ＥＣ，ＢＣ必相连，不妨染为“３”，再染Ｄ时要使它不能选ＥＢＣ的颜色则ED，BD,CD必相连，不妨染为“4”，再染A时要使它不能选EBCD的颜色则EA，BA，ＣＡ，ＤＡ必相连，但Ａ与Ｃ由于ＢＤ相连而无法相连，这样Ａ的颜色只需选Ｃ的颜色而无需用上第５种颜色。
因此不存在必须用上第５种颜色才可区分相邻区域的地图。
综上所述：无论多么复杂的地图，只需４种颜色就可以将所有相邻区域分开，即四色定理得证。
关于四色定理证明过程中的详细说明一：对“不可能存在连线交叉穿过的情况”的证明：先谈区域间的交界线的定义问题：当区域间仅交于一点时，若把它看作交界线，则当有n个区域交于一点时，这n个点两两相邻，需用n种颜色才可区分，这样讨论“只需用几种颜色就可以将相邻区域分开”就毫无意义了，故点不能看作时交界线，交界线应该具有一定线度。
所以当区域M和N相邻后其它区域不可能通过MN的交界线而相邻。
二：对“染A时A无法与C相连”的证明：在E周围的四点定具有如图（c1）的相对位置关系，由于ＢＣＤＡ４点的地位是平等的，不妨将其按如图（c2）位置关系排列（即将它们的位置关系固定）。
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证明四色猜想
本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。
通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。
四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。
就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
证明
将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。
这些射线都属于这个点。
首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。
第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。
这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况：
（1）D在ABC之内和ABC相交
当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。
第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。
假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。
Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。
这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。
尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。
所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。
（见图3）
（2）D在ABC之外和ABC相交
D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。
但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。
若D将ABC一部分包围。
那么ABC至少有一点完全被D包围。
如图5
若E在D外就不能和A、B同时相交。
若E在D内无论如何最多只能和三者相交。
要么和ABD、ACD、BCD，不可能和ABC相交。
因为如果在D在外和ABC相交的条件下和ABC为封闭的图形这一大前提下E也和ABC相交只可能E在ABC内，D在ABC外，所以E和D是不可能相交的。
若D完全将ABC包围，则E在D外无论如何都不能和A，B，C相交。
E 在D内的情形与上述类似。
结论
本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个“三角形”的封闭空间。
通过证明第四个平面图形要与这三个平面图形两两相交，只可能在此封闭三角形内而构成新的三个三角形关系；或在外面将三个平面图形中完全包围而成为一个扩展的点。
第五个平面图形跟前面四个两两相交的平面图形之间只能形成点和三角形，或点和点的关系。
从而简明地证明了四色猜想。
本文中用点和线来代表面和面之间的相邻关系，突出了相邻关系的主要矛盾，而忽略了对讨论“四色问题”本质关系不大的形状和大小等次要因素，因而使证明过程变得简单易行。