高考数学(理科)必考点一函数概念与性质

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数学高考必考知识点

数学高考必考知识点一、代数1. 集合与函数- 集合的基本概念、运算及其性质- 函数的定义、性质和常见类型（如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等）- 函数的图像和变换（平移、伸缩、对称等）2. 不等式与方程- 一元一次不等式和方程的解法- 二元一次不等式组和方程组的解法- 一元二次方程的解法及其判别式- 不等式的解集表示和基本性质3. 数列- 等差数列和等比数列的通项公式、求和公式- 数列的极限概念及其计算- 数列的递推关系和通项公式的求解二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形、四边形的性质和计算- 圆的性质和相关公式- 相似与全等的判定和应用2. 立体几何- 空间几何体的性质和计算（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等） - 空间向量及其在立体几何中的应用- 立体几何中的表面积和体积计算3. 解析几何- 直线和圆的解析表达式- 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程- 坐标变换和参数方程三、概率与统计1. 概率- 随机事件的概率计算- 条件概率和独立事件的概念- 排列组合的基本原理和公式2. 统计- 数据的收集、整理和描述- 均值、中位数、众数、方差、标准差等统计量的计算- 概率分布（如二项分布、正态分布）的概念和应用四、数学分析1. 极限与连续- 数列极限的概念和性质- 函数极限的定义和计算- 连续函数的性质和判断2. 导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 常见函数的导数公式- 微分的概念和应用3. 积分- 不定积分的概念和基本积分表- 定积分的定义、性质和计算- 微积分基本定理及其应用五、数学解题技巧- 快速准确的计算方法- 图形和代数方法的结合使用- 逻辑推理和证明技巧- 常见数学问题的解题策略六、数学思维与应用- 数学建模和实际问题的应用- 创新思维在数学问题解决中的运用- 数学与其他学科的交叉融合七、复习策略- 定期复习和巩固基础知识- 针对性练习和模拟考试- 错题分析和知识点查漏补缺以上是数学高考必考知识点的概览。

2024年高考数学高频考点(新高考通用)函数的概念及其表示(精练：基础+重难点)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第06讲函数的概念及其表示（精讲）【A组在基础中考查功底】则函数根据函数图像可知：(f x 故选：ACD.8．已知函数4 ()f x xx=+A．-3B 【答案】ABC四、解答题12．定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 都有()2243f x x x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()23g x f x x =-+在[],1m m +上是单调函数，则求实数m 的取值范围.【答案】(1)()21f x x =-(2)(][),01,-∞+∞ 【分析】（1）配方后，利用整体法求解函数解析式；（2）求出()g x 的单调区间，与[],1m m +比较，得到不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()()2224321f x x x x -=-+=--，故函数()f x 的解析式为()21f x x =-；（2）()()2223122121x x g x x x x =-+=---++=在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为()g x 在[],1m m +上是单调函数，所以m 1≥或11m +≤，解得0m ≤或m 1≥，所以实数m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ .【B 组在综合中考查能力】由图可得当且仅当0t<<时）的，故()()()()36494922f f f f m n =⨯=+=+.【C 组在创新中考查思维】，该函数在当32m>时，当x>m时()2,3f x⎛∈-∞-⎝①，当1,22aa >>时，()f x 在[]0,1上单调递增，②，由2222a a a x ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭解得12x a +=或1x -=。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第二节函数的基本性质课件(理)

奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以用逗号或 “ 和 ”] 函数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增

函数的基本性质及常用结论

函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2：（导数法确定单调区间）若[]b a x ,∈，那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同，②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定； (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定；③3()()()F x f x g x =-为增函数。

函数的概念与性质常见典型考题赏析

ʏ张文伟函数是每年高考的必考内容㊂纵观近几年的高考试题,函数的概念与性质,函数的图像与应用问题,分段函数问题,以函数形式出现的综合题和应用题一直是常考点,且常考常新㊂下面就函数的概念与性质的常见典型考题进行举例分析,供大家学习与参考㊂题型一:函数概念的理解判断对应关系是否构成函数的关键:一是自变量x的取值是否任意,二是对应的函数值y是否唯一㊂判断两个函数是否相同,要根据函数的三要素来判断,即看函数的定义域㊁对应关系㊁值域是否一致,当三者都一致的时候,两个函数才是相同函数㊂例1设M={x|0ɤxɤ2},N={y| 0ɤyɤ2},给出下列四个图形,如图1,图2,图3,图4,其中能表示从集合M到N的函数关系的图形有()㊂图1图2图3图4A.1个B.2个C.3个D.4个解:由函数的定义知,M中任意一个x,在N中都有唯一的y与之对应,故图1,图2,图4正确㊂应选C㊂跟踪训练1:下列函数中与函数y=x是同一个函数的是()㊂A.y=(x)2B.y=3x3C.y=4x4D.y=(x+1)2x+1-1提示:A中,y=(x)2=x(xȡ0),yȡ0,可知定义域不同且值域不同,所以两个函数不是同一个函数㊂B中,y=3x3=x(xɪR),yɪR,对应关系相同,定义域和值域都相同,所以是同一个函数㊂C中,y=4x4,yȡ0,与y=x值域不同,且当x<0时,它的对应关系与函数y=x不相同,所以不是同一个函数㊂D中,y=(x+1)2x+1-1的定义域为{x|xʂ-1},与函数y=x的定义域不相同,所以不是同一个函数㊂应选B㊂题型二:求具体函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合,其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则㊂函数的定义域要用集合或区间的形式表示㊂若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式aɤg(x)ɤb的x取值范围;已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是xɪ[a,b],要求f(x)的定义域,就是求xɪ[a,b]时g(x)的值域㊂例2函数y=x+3-3x2+x-6的定义域是㊂解:要使此函数有意义,x必须满足x+3ȡ0,x2+x-6ʂ0,{即xȡ-3,xʂ2且xʂ-3,{也即x>-3且xʂ2,所以函数的定义域为(-3, 2)ɣ(2,+ɕ)㊂跟踪训练2:若函数f(x)的定义域为[-2,1],求函数y=f x+14()㊃f x-14()的定义域㊂提示:要使函数y=f x+14()㊃f x-14()有意义,必须满足经典题突破方法高一数学2022年10月-2ɤx +14ɤ1,-2ɤx -14ɤ1㊂ìîíïïïï由此解得-94ɤx ɤ34,-74ɤx ɤ54,ìîíïïïï即-74ɤx ɤ34㊂故函数y =f x +14()㊃f x -14()的定义域为-74,34[]㊂题型三:函数的值与值域问题一次函数的值域为R ,二次函数的值域可用公式法㊁配方法或图像法求解,反比例函数的值域可用图像法求解㊂在求值域时,一定要考虑定义域,如求y =x 2-2x (-1ɤx <2)的值域,不能用公式法,可根据定义域结合图像求解㊂例3 已知函数f (x )=3x 2-2x -1,则f (-2)=;f (m -1)=;f [f (-1)]=㊂解:f (-2)=3ˑ(-2)2-2ˑ(-2)-1=15㊂f (m -1)=3(m -1)2-2(m -1)-1=3m 2-8m +4㊂因为f (-1)=3ˑ(-1)2-2ˑ(-1)-1=4,所以f [f (-1)]=f (4)=3ˑ42-2ˑ4-1=39㊂跟踪训练3:求下列函数的值域㊂(1)y =2x -4x +3㊂(2)y =1x 2+2x +2㊂提示:(1)因为y =2x -4x +3=2(x +3)-10x +3=2-10x +3ʂ2,所以y ɪ(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ),即此函数的值域为(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ)㊂(2)令u =x 2+2x +2=(x +1)2+1ȡ1,则y =1u㊂因为u ɪ[1,+ɕ),所以y ɪ(0,1],即此函数的值域为(0,1]㊂题型四:求函数的解析式求函数解析式的四种常用方法:待定系数法,当已知函数类型时,常用待定系数法;代入法,已知y =f (x )的解析式,求函数y =f [g (x )]的解析式时,可直接用新自变量g (x )替换y =f (x )中的x ;换元法,已知y =f [g (x )]的解析式,求y =f (x )的解析式,可令g (x )=t ,反解出x ,然后代入y =f [g (x )]中,求出f (t ),即得f (x );构造方程组法,当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时,可构造方程组求解㊂例4 设二次函数f (x )满足f (x -2)=f (-x -2),且图像与y 轴交点的纵坐标为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数f (x )的解析式㊂解:(方法1)设f (x )=a x 2+b x +c (a ʂ0)㊂由已知得c =1㊂由f (x -2)=f (-x -2),可得4a -b =0㊂由|x 1-x 2|=b 2-4a c |a |=22,可得b 2-4a c =8a2㊂由上可得,b =2,a =12,c =1,所以函数f (x )=12x 2+2x +1㊂(方法2)因为f (x -2)=f (-x -2),所以y =f (x )图像的对称轴为x =-2㊂又|x 1-x 2|=22,所以y =f (x )的图像与x 轴的交点为(-2-2,0),(-2+2,0)㊂设f (x )=a (x +2+2)(x +2-2)㊂因为f (0)=1,所以a =12㊂故函数f (x )=12[(x +2)2-2]=12x 2+2x +1㊂跟踪训练4:求下列函数的解析式㊂(1)已知f (x -1)=x +2x ,求f (x )㊂(2)设f (x )是定义在(1,+ɕ)上的一个函数,且f (x )=2x f1x ()-1,求f (x )㊂提示:(1)令t =x -1,则t ȡ-1,且x =t +1,所以f (t )=(t +1)2+2(t +1)=t 2+4t +3㊂故f (x )=x 2+4x +3(x ȡ-1)㊂(2)因为f (x )=2x f 1x ()-1,所以用1x 代换x ,得f 1x()=21xf (x )-1㊂由上经典题突破方法高一数学 2022年10月消去f1x(),解得f (x )=4f (x )-2x -1,所以f (x )=23x +13㊂又因为x ɪ(1,+ɕ),所以函数f (x )=23x +13,x ɪ(1,+ɕ)㊂题型五:分段函数的应用求分段函数的函数值时,一般应先确定自变量的取值在哪个区间上,然后用与这个区间相对应的解析式求函数值㊂已知分段函数的函数值,求自变量的值,要进行分类讨论,逐段用不同的函数解析式求解,求解最后检验所求结果是否适合条件㊂实际问题中的分段函数,以自变量在不同区间上的对应关系的不同进行分段求解㊂例5已知函数f (x )=x 2+1,x ȡ0,-2x ,x <0,{若f (x )=10,则x =㊂解:当x ȡ0时,f (x )=x 2+1=10,可得x =-3(舍去)或x =3;当x <0时,f (x )=-2x =10,可得x =-5㊂综上可知,x =-5或x =3㊂跟踪训练5:已知函数f (x )=12x -1,x ȡ0,1x,x <0,ìîíïïïï若f (a )=a ,则实数a 的值是㊂提示:当a ȡ0时,f (a )=a2-1=a ,可得a =-2(舍去);当a <0时,f (a )=1a=a ,可得a =-1或a =1(舍去)㊂综上知实数a =-1㊂题型六:函数的单调性问题证明函数f (x )在区间上的单调性的五个步骤:①设元,②作差,③变形,④判号,⑤定论㊂解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性脱去函数符号 f,从而转化为不等式求解㊂例6 已知函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),求a 的取值范围㊂解:由题意知-1<a -1<1,-1<1-4a <1,{解得0<a <12㊂因为函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),所以a -1<1-4a ,可得a <25㊂综上可得,0<a <25,即a 的取值范围是0,25()㊂跟踪训练6:设函数f (x )=x |x -1|+m ,当m >1时,求函数f (x )在区间[0,m ]上的最大值㊂提示:函数f (x )=x |x -1|+m =-x 2+x +m ,0ɤx ɤ1,x 2-x +m ,1<x ɤm ㊂{当0ɤx ɤ1时,f (x )=-x 2+x +m =-x -12()2+m +14ɤm +14;当1<x ɤm 时,由f (x )=x 2-x +m =x -12()2+m -14,可得f (x )在(1,m ]上单调递增,所以f (x )m a x =f (m )=m 2㊂由m 2ȡm +14且m >1得m ȡ1+22㊂所以f (x )m a x =m +14,1<m <1+22,m 2,m ȡ1+22㊂ìîíïïïï题型七:函数性质的应用函数的性质主要有定义域㊁值域㊁单调性㊁奇偶性㊁周期性㊁对称性等㊂利用奇偶性和单调性解不等式要注意的是:奇函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相反㊂例7 设f (x )在R 上是偶函数,在(-ɕ,0)上单调递减,若f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),求实数a 的取值范围㊂解:由题意知f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂因为a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,a 2+a +1=a +12()2+34>0,且f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),所以a 2-2a +3>a 2+a +1,解得a <23㊂故所求实数a 的取值范围是经典题突破方法高一数学 2022年10月-ɕ,23()㊂跟踪训练7:设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围㊂提示:因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (|x |)㊂不等式f (1-m )<f (m )等价于f (|1-m |)<f (|m |)㊂又f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以|1-m |>|m |,-2ɤm ɤ2,-2ɤ1-m ɤ2,ìîíïïï解得-1ɤm <12㊂故实数m 的取值范围是-1,12[)㊂题型八:幂函数问题对于幂函数f (x )=xα,当α>0时,在(0,+ɕ)上单调递增;当α<0时,在(0,+ɕ)上单调递减㊂对于幂函数f (x )=xα,在(0,1)上,指数越大,图像越靠近x 轴(简记为指大图低 );在(1,+ɕ)上,指数越大,图像越远离x 轴(简记为指大图高)㊂例8 已知函数f (x )=x 3,x ɤa ,x 2,x >a,{若存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根,则a 的取值范围是㊂解:存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根等价于存在实数b ,函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点(图略)㊂当a <0时,y =f (x )在(a ,0)上单调递减,(0,+ɕ)上单调递增,所以存在实数b ɪ(0,a 2),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当0ɤa ɤ1时,y =f (x )在R 上单调递增,所以不存在实数b ,使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当a >1时,y =f (x )在(-ɕ,a )上单调递增,(a ,+ɕ)上也单调递增,所以存在实数b ɪ(a 2,a3),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点㊂综上可得,a ɪ(-ɕ,0)ɣ(1,+ɕ)㊂跟踪训练8:已知幂函数y =x 3m -9(m ɪN *)的图像关于y 轴对称,且在(0,+ɕ)上单调递减,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的取值范围㊂提示:因为幂函数y =x 3m -9在(0,+ɕ)上单调递减,所以3m -9<0,解得m <3㊂又m ɪN *,所以m =1或m =2㊂因为函数图像关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,可知m =1,则(a +1)-13<(3-2a )-13㊂因为y =x -13在(-ɕ,0),(0,+ɕ)上均单调递减,所以a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a ,解得23<a <32或a <-1㊂故a 的取值范围为(-ɕ,-1)ɣ23,32()㊂题型九:二次函数模型二次函数求最值的四种方法:配方法,判别式法,换元法,单调性法㊂求二次函数最值问题,最好结合二次函数的图像㊂例9 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的函数关系式可以近似地表示为y =x 25-48x +8000㊂已知此生产线年产量最大为210t ㊂若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少解:设可获得的总利润为W 万元,则W =40x -y=40x -x 25+48x -8000=-x 25+88x -8000=-15(x -220)2+1680(0ɤx ɤ210)㊂因为W 在[0,210]上单调递增,所以当x =210时,W m a x =-15(210-220)2+1680=1660(万元)㊂故年产量为210t 时,可获得最大利润,最大利润为1660万元㊂跟踪训练9:某工厂生产甲㊁乙两种产品所得利润分别为P (万元)和Q (万元),它们与投入资金m (万元)的关系有如下公式:P =12m +60,Q =70+6m ㊂今将200万元资金投入生产甲㊁乙两种产品,并要求对甲㊁乙两种产品的投入资金都不低于25经典题突破方法高一数学 2022年10月万元㊂(1)设对乙种产品投入资金x (万元),求总利润y (万元)关于x 的函数关系式及其定义域㊂(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?求出最大总利润㊂提示:(1)根据题意知,对乙种产品投入资金x 万元,对甲种产品投入资金(200-x )万元,那么总利润y =12(200-x )+60+70+6x =-12x +6x +230㊂由x ȡ25,200-x ȡ25,{解得25ɤx ɤ175,所以函数的定义域为[25,175]㊂(2)令t =x ,则y =-12t 2+6t +230=-12(t -6)2+248㊂因为x ɪ[25,175],所以t ɪ[5,57]㊂当t ɪ[5,6]时,函数单调递增;当t ɪ[6,57]时,函数单调递减㊂所以当t =6,即x =36时,y m ax =248㊂故当甲种产品投入资金164万元,乙种产品投入资金36万元时,总利润最大,最大总利润为248万元㊂题型十:分段函数模型对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数称为分段函数㊂分段函数是一个函数,而不是几个函数㊂分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集㊂例10 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元㊂(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P =f (x )的表达式㊂(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元(一个零件的利润=实际出厂单价-成本)解:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x 0个,则x 0=100+60-510.02,即x 0=550㊂因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元㊂(2)当0<x ɤ100时,P =60;当100<x ɤ550时,P =60-0.02(x -100)=62-x50;当x >550时,P =51㊂所以函数P =f(x )=60,0<x ɤ100,62-x 50,100<x ɤ550,51,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂(3)设销售商一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,则函数L =(P -40)x =20x ,0<x ɤ100,22x -x 250,100<x ɤ550,11x ,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂当x =500时,L =6000;当x =1000时,L =11000㊂因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元㊂跟踪训练10:某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元㊂经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t -12t 2(万元)㊂(1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f (x )表示为年产量x 的函数㊂(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?提示:(1)当0<x ɤ5时,产品全部售出,当x >5时,产品只能售出500件㊂所以函数f(x )=经典题突破方法高一数学 2022年10月5x -12x 2()-(0.5+0.25x ),0<x ɤ5,5ˑ5-12ˑ52()-(0.5+0.25x ),x >5,ìîíïïïï即函数f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,0<x ɤ5,12-0.25x ,x >5㊂{(2)当0<x ɤ5时,f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,所以当x =4.75(百件)时,f (x )有最大值,可得f (x )m a x =10.78125(万元)㊂当x >5时,f (x )<12-0.25ˑ5=10.75(万元)㊂故当这种产品的年产量为475件时,当年所得利润最大㊂题型十一:抽象函数问题解抽象函数问题,主要用赋值法㊂赋值法的关键环节是赋值 ,赋值的方法灵活多样,既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生,又要考虑所给关系式的结构特点㊂例11 已知定义在区间(0,+ɕ)上的函数f (x )满足f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0㊂(1)证明:f (x )为单调递减函数㊂(2)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值㊂解:(1)任取x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),且x 1>x 2,则x 1x 2>1㊂因为当x >1时,f (x )<0,所以f x1x 2()<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+ɕ)上是单调递减函数㊂(2)因为f (x )在(0,+ɕ)上是单调递减函数,所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)㊂由f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),可得f 93()=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2㊂故f (x )在[2,9]上的最小值为-2㊂跟踪训练11:设函数f (x )的定义域为U ={x |x ɪR 且x >0},且满足条件f (4)=1㊂对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),且当x 1ʂx 2时,有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0㊂(1)求f (1)的值㊂(2)如果f (x +6)+f (x )>2,求x 的取值范围㊂提示:(1)对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),可令x 1=x 2=1,得f (1ˑ1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0㊂(2)设0<x 1<x 2,则x 2-x 1>0㊂因为当x 1ʂx 2时,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在定义域内为增函数㊂令x 1=x 2=4,可得f (4ˑ4)=f (4)+f (4)=1+1=2,即f (16)=2㊂当x +6>0,x >0,{即x >0时,原不等式可化为f [x (x +6)]>f (16)㊂因为f (x )在定义域上为增函数,所以x (x +6)>16,解得x >2或x <-8㊂又x >0,所以x >2㊂故x 的取值范围为(2,+ɕ)㊂题型十二:函数的创新题这类问题的特点是背景新颖,信息量大,通过它可考查同学们获取信息㊁分析信息并解决问题的能力㊂解答这类问题,首先要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键㊂例12 给出定义:若m -12<x ɤm +12(其中m 为整数),则m 叫作离实数x 最近的整数,记作{x },即{x }=m ㊂现给出下列关于函数f (x )=|x -{x }|的四个命题:①f -12()=12;②f (3.4)=-0.4;③f -14()=f 14();④y =f (x )的定义域为R ,值域是-12,12[]㊂经典题突破方法高一数学 2022年10月其中真命题的序号是㊂解:因为-1-12<-12ɤ-1+12,所以-12{}=-1,所以f-12()=-12--12{}=-12+1=12,①正确㊂因为3-12<3.4ɤ3+12,所以{3.4}=3,所以f (3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,②错误㊂因为0-12<-14ɤ0+12,所以-14{}=0,所以f -14()=-14-0=14㊂因为0-12<14ɤ0+12,所以14{}=0,所以f 14()=14-0=14,所以f -14()=f 14(),③正确㊂y =f (x )的定义域为R ,值域是012[],④错误㊂答案为①③㊂跟踪训练12:(多选题)对任意实数a ,b ,定义m i n {a ,b }=a ,a ɤb ,b ,a >b,{若f (x )=2-x 2,g (x )=x 2-2,则关于函数F (x )=m i n {f (x ),g (x )}的说法正确的是( )㊂A .函数F (x )是偶函数B .方程F (x )=0有一个解C .函数F (x )有四个单调区间D .函数F (x )有最大值为0,无最小值提示:由题意可得,函数F (x )=2-x 2,x ɪ(-ɕ,-2]ɣ[2,+ɕ),x 2-2,x ɪ(-2,2),{作出函数F (x )图像,如图5所示㊂图5由图5可知,该函数为偶函数,有两个零点-2,2,四个单调区间㊂当x =ʃ2时,函数F (x )取得最大值为0,无最小值㊂应选A C D ㊂1.已知函数f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1(m ɪR ),试比较f (5)与f (-π)的大小㊂提示:f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1=m -1(x -1)2㊂y =-1x 2的图像向右平移1个单位得到y =-1(x -1)2的图像,再向上(m ȡ0)或向下(m <0)平移|m |个单位得到y =m -1(x -1)2的图像㊂因为y =-1x2在(-ɕ,0)上单调递减,在(0,+ɕ)上单调递增,且关于y 轴对称,所以f (x )在(-ɕ,1)上单调递减,(1,+ɕ)上单调递增,且关于直线x =1对称,所以f (-π)=f (2+π),而2+π>5,所以f (-π)=f (2+π)>f (5),即f (5)<f (-π)㊂2.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=x 2+x -2,求f (x ),g (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x )㊂由f (x )+g (x )=x 2+x -2,可得f (-x )+g (-x )=(-x )2-x -2,即f (x )-g (x )=x 2-x -2㊂由上可得函数f (x )=x 2-2,g (x )=x ㊂3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3-2x 2+2,求f (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以当x =0时,f (-0)=-f (0),即f (0)=0㊂当x <0时,-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3-2(-x )2+2]=x 3+2x 2-2㊂所以函数f (x )=x 3+2x 2-2,x <0,0,x =0,x 3-2x 2+2,x >0㊂ìîíïïï作者单位:河南省开封高中(责任编辑郭正华)经典题突破方法高一数学 2022年10月。

人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件第2章函数的概念与性质第6节对数与对数函数

时, y<0 ;在(0,+∞)上是
增函数
1
时,y=
0
⑤当 x>1 时, y<0 ;当 0<x<1 时,
y>0 ;在(0,+∞)上是减函数
微思考如图给出4个对数函数的图象.底数a,b,c,d与1的大小关系如何?
提示:如图,作直线y=1,则该直线与四个函
数图象交点的横坐标为相应的底数.
故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规
(a,b
lo g
均大于 0 且不等于 1);
2.logab·
logbc·
logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
增素能精准突破
考点一
对数的运算
典例突破
例1.计算:(1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2;
(lg3 )2 -lg9 +1·(lg 27+lg8 -lg 1 000)
d=
1
2
3
2
,则(
2
3
3
a=log2 ,b=log 1 ,c=e3 ,
2
2 2
)
A.c>a>d>b
B.c>a>b>d
C.a>c>d>b
D.c>d>a>b
答案:A
1
解析:2=log2
2
3
3
2<log22<log22=1,即
e >e =1,即 c>1,0<
0
1
2
3
2
<

高考数学函数的定义和性质

高考数学函数的定义和性质函数是高中数学中的重要概念之一。

它在高考数学中占有重要的地位，理解和掌握函数的定义和性质对于解题至关重要。

本文将从函数的定义、基本性质以及一些常见函数的性质等方面来进行阐述。

1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，可以将一个集合中的每个元素与另一个集合中的唯一一个元素相关联。

用数学语言描述就是，对于集合A和B，如果存在一种规律，使得对于A中的每个元素a，都能找到B中唯一一个元素b与之对应，那么我们就可以说集合A和B之间存在一个函数f。

2. 函数的基本性质函数有一些基本的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性等。

2.1 定义域和值域定义域是指函数能够取值的所有实数的集合，常用符号表示为D；值域是指函数所有可能取得的值的集合，常用符号表示为R。

2.2 单调性单调性指函数在定义域上的增减性质。

如果在定义域内任取两个实数a和b，并且a小于b，那么函数f(x)在a处的函数值f(a)和在b处的函数值f(b)之间的大小关系可以判断函数的单调性。

2.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数关于原点(0,0)的对称性。

如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = -f(x)成立，则称函数是奇函数；如果对于定义域上的任何实数x，有f(-x) = f(x)成立，则称函数是偶函数。

2.4 周期性周期性指函数在一定区间上具有重复性质。

如果存在一个正数T，使得对于定义域上的任何实数x，有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性。

3. 常见函数的性质在高考数学中，有许多常见的函数，其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

每个函数都有其独特的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。

3.1 一次函数一次函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

3.2 二次函数二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不为零。

函数概念与基本初等函数(选填压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题

专题02函数概念与基本初等函数（选填压轴题）一、函数及其表示①抽象函数定义域②复合函数定义域③根式型、分式型求值域④抽象函数的值域⑤复合函数的值域⑥根据值域求参数二、函数的基本性质①单调性（复合函数的单调性）②函数的值域（复合函数的值域）③恒成立（能成立）问题④奇偶性⑤周期性⑥对称性⑦函数奇偶性+单调性+对称性联袂三、分段函数①分段函数求值域或最值②根据分段函数的单调性求参数四、函数的图象①特殊值②奇偶性③单调性④零点⑤极限联袂五、二次函数①二次函数的单调性②二次函数的值域（最值）六、指对幂函数①单调性②值域③图象④复合型七、函数与方程①函数的零点（方程的根）的个数②已知函数的零点（方程的根）的个数，求参数③分段函数的零点（根）的问题④二分法八、新定义题①高斯函数②狄利克雷函数③劳威尔不动点④黎曼函数⑤纳皮尔对数表⑥同族函数⑦康托尔三分集⑧太极图一、函数及其表示1．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．2．（2022·北京师大附中高一期末）已知函数()f x x =，()2g x ax x =-，其中0a >，若[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，则=a （）A ．32B ．43C ．23D ．123．（2022·河南南阳·高一期末）若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()lg g x f x =的定义域为______．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．5．（2022·全国·高三专题练习）设2()lg2xf x x+=-，则2(()2x f f x +的定义域为_______.6．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）函数()f x =______．7．（2022·上海·高三专题练习）函数y =_____.8．（2022·上海·模拟预测）若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)F x f x f x =+++的值域是________.9．（2022·全国·高一）函数2y =的值域是________________．10．（2021·全国·高一专题练习）已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[1,3]-，则⋅a b 的最大值为________.二、函数的基本性质1．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）已知函数()()2ln 122x xf x x -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是A ．()(),11,-∞-+∞U B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．()(),21,-∞-⋃+∞2．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（）A ．[)(]1034-⋃，，B ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．[)43--，D ．[)10-，3．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）已知函数()22ln 1f x x x x =-+-，若实数a 满足()()121f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()40,11,3⎛⎫⎪⎝⎭4．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，当[2x ∈，4]时，224,23()2,34x x x f x x x x⎧-+⎪=⎨+<⎪⎩ ，()1g x ax =+，若对1[2x ∀∈，4]，2[2x ∃∈-，1]，使得21()()g x f x ，则正实数a 的取值范围为（）A ．(0，2]B ．(0，7]2C ．[2，)+∞D ．7[2，)+∞5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x=-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（多选）（2022·湖北·沙市中学高一期末）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．187．（2022·河北·高三阶段练习）函数()212x ax bf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值为2，且在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，则a 的范围是______，4b a+的最小值为______.8．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域()(),00,D =-∞⋃+∞，对任意的1x ，2x D ∈，都有()()()12123f x x f x f x =+-，若()f x 在()0,∞+上单调递减，且对任意的[)9,t ∈+∞，()f m >m 的取值范围是______．9．（2022·河北省唐县第一中学高一期中）设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．10．（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数2231()2--=ax x y 在区间（-1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．11．（2022·安徽省舒城中学高一阶段练习）已知函数2()43f x x x =-+，()52g x mx m =+-，若对任意的[]11,4x ∈，总存在[]21,4x ∈，使12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是________.12．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．13．（2022·全国·高三专题练习）设函数()123f x ax b x=--，若对任意的正实数a 和实数b ，总存在[]01,4x ∈，使得()0f x m >，则实数m 的取值范围是______.14．（2022·上海·高三专题练习）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t =_____________15．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1a <-）如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212()()4|f x f x x x -≥-，则a 的取值范围为_____________.16．（2022·浙江宁波·高一期末）已知()()()e 1ln 21x af x x a -=-+-，若()0f x ≥对()12,x a ∈-+∞恒成立，则实数=a ___________.17．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.18．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()800x x f x x x a x ⎧-<⎪=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x f x a ⋅≥，则实数a 的取值范围为___________.19．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()f x x ax b =++，对于任意的实数a ，b ，总存在0[0,4]x ∈，使得()f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是________.三、分段函数1．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·河南·二模（理））已知函数1,01()ln ,1x x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，若()()f a f b =，且a b ¹，则()()bf a af b +的最大值为（）A ．0B ．(3ln 2)ln 2-⋅C ．1D ．e3．（2022·宁夏·银川一中三模（文））已知()242,01,0x x m x f x x x x +⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩的最小值为2，则m 的取值范围为（）A ．(],3-∞B ．(],5-∞C ．[)3,+∞D ．[)5,+∞4．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞5．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数()()222,1e ,1xx ax a x f x a R ax x ⎧-+≤=∈⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,e D ．[]0,e6．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数()22,,14,,xx a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-+≥⎩则当5a =时，函数()f x 有______个零点；记函数()f x 的最大值为()g a ，则()g a 的值域为______.7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数()2ln ,021,0x x f x kx x x ⎧>=⎨+-≤⎩，给出下列命题：（1）无论k 取何值，()f x 恒有两个零点；（2）存在实数k ，使得()f x 的值域是R ；（3）存在实数k 使得()f x 的图像上关于原点对称的点有两对；（4）当1k =时，若()f x 的图象与直线1y ax =-有且只有三个公共点，则实数a 的取值范围是()0,2.其中，所有正确命题的序号是___________.8．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知函数1,0()lg ,0x x f x x x ⎧+<=⎨>⎩，()g x ²222x x λ=-+-，若关于x 的方程(())f g x λ=（R λ∈）恰好有6个不同的实数根，则实数λ的取值范围为_______.9．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知(),01e ,1x x xf x x <<⎧=⎨≥⎩，若存在210x x >>，使得()()21e f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为___________.四、函数的图象1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2sin 62()41x x x f x π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-，则()f x 的图象大致是（）A．B ．C ．D ．2．（2021·浙江省三门中学高三期中）已知函数()f x 的图像如图，则该函数的解析式可能是（）A ．ln xe x⋅B ．ln xx e C ．ln xx e +D ．ln xe x-3．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()f x =（）A ．B ．C ．D ．4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（多选）（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（多选）（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．五、二次函数1．（2022·江西景德镇·三模（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0ac <）存在零点，且经过点()1,3和()1,3-．记M 为三个数a ，b ，c 的最大值，则M 的最小值为（）A ．32B ．43C ．54D ．652．（2022·浙江·高三专题练习）设I M 表示函数()242f x x x =-+在闭区间I 上的最大值．若正实数．．．a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则正实数a 的取值范围是（）A ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,2⎡⎣D ．24⎡⎤+⎣⎦3．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（）4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·浙江·高三专题练习）对于函数()()y f x y g x ==，，若存在0x ，使()()00 f x g x =-，则称()()()()0000M x f x N x g x --，，，是函数()f x 与()g x 图象的一对“雷点”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，恒有()()1f x f x +=，且当10x -<≤时，()f x x =．若()()()2120g x x a x =++-<<，函数()f x 与()g x 的图象恰好存在一对“雷点”，则实数a 的取值范围为____________________．6．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）函数21()43f x ax ax =++的定义域为(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是___________.7．（2022·湖北·一模）若函数()f x 的定义域为R ，对任意的12,x x ，当12x x D -∈时，都有()()12f x f x D -∈，则称函数f （x ）是关于D 关联的.已知函数()f x 是关于{4}关联的，且当[)4,0x ∈-时，()26f x x x =+.则：①当[)0,4x ∈时，函数()f x 的值域为___________；②不等式()03f x <<的解集为___________.六、指对幂函数1．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a <<2．（2022·山东·模拟预测）若282log 323log +=⋅+a b a b ，则（）A ．12b a b<<B ．2<<+b a b C ．23b a b<<D ．1132b a b<<3．（2022·广东·模拟预测）已知()222022log f x x x =+，且()60.20.2log 11,lg ,4102022a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 之间的大小关系是__________.（用“<”连接）4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()14log 321x x λ+⋅≤对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，则实数λ的取值范围是______．5．（2022·云南·曲靖一中高二期中）函数()21949192120212049x f x x x x=--+，[]1949,2022α∃∈，对[],2049m β∀∈，()()f f αβ<都成立，则m 的取值范围（用区间表示）是_______6．（2022·江西宜春·模拟预测（文））若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式2122log 0x x x ax -+<恒成立，则实数a 的取值范围为___________.7．（2022·天津·二模）已知()4log 41log x y +=+2x y +的最小值为__________.8．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______.七、函数与方程1．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数()2221,12810,1x x x f x x x x ⎧++≤=⎨-+>⎩，若函数()()1g x f x x a =+--恰有两个零点则实数a 的取值范围是()A ．()723,4,48∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭B ．23,48⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,8∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知1120xx +=，222log 0x x +=，3233log 0x x --=，则（）A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．132x x x <<D ．231x x x <<3．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（文））若函数2()(1)1x f x m x x =--+在区间(1,1)-上有2个零点()1212,x x x x <，则21e xx +的取值范围是（）A ．(1,e 1)-B ．(2,e 1)+C ．(1,)+∞D ．(e 1,)-+∞4．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（理））正实数,,a b c 满足422,33,log 4a b a b c c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d<<D ．b c a<<5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()22,22cos π,24xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨<≤⎪⎩，实数123,,x x x ，4x 是函数()y f x m =-的零点，若1234x x x <<<，则132314242222x x x x x x x x +++++++的取值范围为（）A ．[)16,20B ．()C ．[)64,80D ．()6．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知函数()2222x xf x --=+，对任意的实数a ，b ，c ，关于x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的解集不可能是（）A ．{}1,3B ．{}1,2,3C ．{}0,2,4D ．{}1,2,3,47．（2022·陕西·模拟预测（理））已知1x 是方程32x x ⋅=的根，2x 是方程3log 2x x ⋅=的根，则12x x ⋅的值为（）A ．2B ．3C ．6D ．108．（2022·福建南平·三模）已知函数()2e 9e 42x a a xf x x x --=++--有零点，则实数=a ___________.9．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若2log 3x x ⋅=，23y y ⋅=，ln 3z z ⋅=，则x 、y 、z 由小到大的顺序是___________.八、新定义题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[][]3, 5.1π=-6=-．已知函数()221xf x x =+，则函数()]y f x ⎡=⎣的值域为（）A ．{0，1-}B ．{1-，1}C ．{0，1}D ．{1-，0，1}2．（2022·广东·华南师大附中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,23．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一，以其名命名狄利克雷函数的解析式为()0,1,x Qf x x Q ∉⎧=⎨∈⎩，关于狄利克雷函数()f x ，下列说法不正确的是（）．A ．对任意x ∈R ，()()1f f x =B ．函数()f x 是偶函数C ．任意一个非零实数T 都是()f x 的周期D ．存在三个点()()11,A x f x 、()()22,B x f x 、()()33,C x f x ，使得ABC 为正三角形4．（2022·新疆·一模（理））德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为{}0,1B ．()f x 的值域为[]0,1C ．x R ∃∈，()()0f f x =D ．任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x ∈R 恒成立5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式为：()[]1,,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数．若函数()f x 是定义在实数集上的偶函数，且对任意x 都有()()20f x f x ++=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()2022ln 20225f f ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．25C ．25-D ．15-6．（2022·吉林长春·模拟预测（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是()1T ℃，空气的温度是()0T ℃，经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式1034log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度约是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃7．（2022.安徽.淮南第二中学高二阶段练习）纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112...19202122232425 (2048)4096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,468．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式3104log T T t T T -=-得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出3log 20.6309=，则空气温度是（）A ．5℃B ．10℃C ．15℃D ．20℃9．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，设536N =，则N 所在的区间为（e 2.71828= 是自然对数的底数）（）A ．()1718,e eB ．()1819,e eC ．()1920,e eD ．()2122,e e10．（2022·新疆石河子一中高三阶段练习（理））16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e 为底数的自然对数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数）x1.3102 3.190 3.797 4.71557.397ln x0.27000.69311.1600 1.33421.550 1.60942.001A ．3.797B ．4.715C ．5D ．7.39711．（2022·福建泉州·模拟预测）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成一段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为二段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦，21,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了二分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）A ．7B ．8C ．9D ．1012．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域224x y +≤．其中黑色阴影区域在y 轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则当224x y +≤时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A ．()22(sgn())10x x y x +--≤B ．()22(sgn())10y x y y -+-≤C ．()22(sgn())10x x y x +--≥D ．()22(sgn())10y x y y -+-≥13．（多选）（2022·安徽·高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[][]1.61, 2.13=-=-，设函数()[]1f x x x =+-，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()1f x =⎡⎤⎣⎦C ．()f x 在()01，上单调递增D ．()f x 有最大值无最小值14．（多选）（2022·贵州贵阳·高一期末）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪数学家秋利克需（Dirichlet ），他是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷在1829年给出了著名的狄利克雷函数：1,()0,x Qf x x Q ∈⎧=⎨∉⎩（Q 是有理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广文的秋利克雷函数可以定义为：,,(),,a x Q D x b x Q ∈⎧=⎨∉⎩（其中,a b ∈R ，且a b ¹）.以下对()D x 说法正确的有（）A ．()D x 的定义域为RB ．()D x 是非奇非偶函数C ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性D ．任意非零有理数均是()D x 的周期15．（多选）（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-16．（多选）（2021·吉林油田高级中学高一期中）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（）A ．()2xf x x=+B ．()23f x x x =--C ．()x f x x=-D ．()ln 1f x x =+17．（多选）（2022·山东·广饶一中高一开学考试）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A ．对于圆O ，其“太极函数”有1个B ．函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C ．函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D ．函数())lnf x x =是圆O 的一个“太极函数”18．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12,33⎛⎫⎪⎝⎭，记为第1次操作；再将剩下的两个区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___________，若使前n 次操作去掉的所有区间长度之和不小于2627，则需要操作的次数n 的最小值为____________．(lg 20.30=，lg 30.47=)19．（2022·江苏常州·高一期末）德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）20．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期中）黎曼函数（Riemannfunction ）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现并提出，黎曼函数定义在[]0,1上，其定义为()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是不可以再约分的真分数或者上的无理数，则1R π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．（2022·河南新乡·三模（理））黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在[]0,1上，其解析式如下：()[]1,,,0,0,10,1.q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩都是正整数，是既约真分数或上的无理数若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()220f x f x ++-=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()202220225f f ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭___________.22．（2021·全国·高一单元测试）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其定义为：()1,(,00,101q q x p q p p p R x x ⎧=⎪=⎨⎪=⎩都是正整数，是既约真分数），或（，）上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.23．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高一阶段练习）解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数21y x =+，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．24．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)25．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的序号是______.①函数()3f x x =是圆O 的一个太极函数；②圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数；③函数()sin f x x =是圆O 的一个太极函数；④函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件.26．（2022·广东·惠来县第一中学高一阶段练习）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点．现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数()22f x x =-是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由(2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值：(3)若函数()()12log 42x xh x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．。

函数的概念与性质(公式、定理、结论图表)高考数学必背知识手册

第三章函数的概念与性质（公式、定理、结论图表）1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标思考：若函数f (x )≤M ，则M 一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x 0，使f (x 0)＝M 时，M 才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I结论f (－x )＝f (x )f (－x )＝－f (x )图象特点关于y 轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：定义域关于原点对称．8．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图所示：10．幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增函数x ∈[0，＋∞)时，增函数x ∈(－∞，0]时，减函数增函数增函数x ∈(0，＋∞)时，减函数x ∈(－∞，0)时，减函数11.常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝f1(x)，x∈D1f2(x)，x∈D2……fn(x)，x∈D n<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x x＋1，x≤－2，x2＋2x，－2<x<2，2x－1，x≥2.(1)求f(－5)，f(－3)，f f －52的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵f －52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴f f －52－32＝－32＋2×－32＝94－3＝－34.(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1x 2＋1x 2＝(x 1－x 21x 1－1x 2x 1－x 2)＋x 2－x1x 1x 2＝(x 1－x 2)1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f(4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x>20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x>20时，y＝260－100－x＝160－x.故y －x2＋32x－100，0<x≤20，160－x，x>20(x∈N*)．(2)当0<x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16时，ymax＝156.而当x>20时，160－x<140，故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f (1)<f 52<72B．f 72<f (1)<52C．f 72<f 52f (1)D．f 52<f (1)<72[思路点拨]y ＝f (x ＋2)是偶函数―→f (x )的图象关于x ＝2对称――→[0，2]上递增比较大小B [∵函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴52f 32f 72＝12，又f (x )在[0,2]上单调递增，∴f 12<f (1)<3272f (1)<5213.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f 12(1)B (2)13[(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴12＝12log 23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)与点－2，－12f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。

函数的图象与性质+课件-2025届高三数学二轮复习

∴-2<x<0,∴-1<x+1<1,
则f(x)的定义域为(-1,1),
由-1<2x-1<1,得0<x<1,
∴f(2x-1)的定义域为(0,1).故选C.
- 2 -2, < 0,
(2)(2024·江西南昌二模)已知 f(x)= log ( + 1), ≥ 0, 则不等式f(x)<2的解
2
集是( B )
+
1
1
=3+3
2lo g 2 3
=
10
.故
3
(2)已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=ex-a,若f(g(2))=3,则实数a=( A )
A.2
B.1
C.0
D.-1
解析令g(2)=t,则t>0.令f(t)=3,则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),
即g(2)=e2-a=1,解得a=2.故选A.
(方法二
复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数
f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,只需函数

单调递减,所以 ≥1,即
2
a≥2.故选 D.
2
h(x)=x(x-a)=(- 2 )
2
− 4 在(0,1)内
2.(2023·新高考Ⅱ,4)若
A.-1
2-1
f(x)=(x+a)ln2+1为偶函数,则

-1- 5
m= 2 (舍去).
所以实数 a 的取值范围为
5-1
,
2
+∞ .
考点三函数的性质
考向1已知函数的单调性、奇偶性、最值求参数

函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

考点01 函数的概念及性质-2022年高考数学(理)一轮复习小题多维练(全国通用)(解析版)

考点01 函数的概念及性质1．（2021·浙江高二期末）函数()f x =的定义域是（） A ．(2,0]- B ．(2,1]-C ．(,2)(2,0]-∞--D ．(,2)(2,1]-∞--【答案】A 【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解. 【详解】解：由题意，12020x x ⎧-≥⎨+>⎩，即02x x ≤⎧⎨>-⎩，所以20x -<≤，所以函数()f x 的定义域为(]2,0-，故选：A.2．（2021·全国高三月考（理））已知函数()()()22log 1,23,2x x f x f x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()4f f =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】由内向外，代入分段函数求值，先计算()4f ，再计算()()4f f .【详解】由题意，()224(1)log (11)1==+=f f ，所以()()224(1)log (11)1==+=ff f .故选：A.3．（2021·浙江高一期末）()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(0)(6)f f <，则下列各式一定成立的是（）A ．(0)(6)f f <-B ．(3)(1)f f ->C ．(2)(3)f f <D ．(1)(0)f f ->【答案】A 【分析】根据偶函数的性质，可得(6)(6)f f -=，即可得解.【详解】由()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，所以(6)(6)f f -=，由(0)(6)f f <，则(0)(6)f f <-，其它的不能确定，故选：A4．（2021·四川高三月考）已知函数()[]()22,61f x x x =∈-，则（） A ．()f x 是单调递增函数 B ．()f x 是奇函数 C ．函数()f x 的最大值为()2fD ．()()()345f f f <<【分析】由函数的解析式判断函数的单调性，由其自变量区间知非奇非偶函数，进而可知其最大值及()()()3,4,5f f f 的大小关系.【详解】A ：由解析式知：()f x 是单调递减函数，错误；B ：由[]2,6x ∈，显然不关于原点对称，()f x 不是奇函数，错误；C ：由A 知：在[]2,6x ∈上()max (2)2f x f ==，正确；D ：由A 知：()()()345f f f >>，错误. 故选：C.5．（2020·全国高三其他模拟）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()(1)f x f x =-，则(2018)(2019)(2020)f f f ++=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B 【分析】根据()f x 是R 上的奇函数，且()(1)f x f x =-即可得出()f x 的周期为2，从而可求出(2018)0f =，并且可得出(2019)(2020)0f f +=，这样即可得出答案.解：∵()f x 是R 上的奇函数，且()(1)f x f x =-， ∵(1)()()f x f x f x +=-=-， ∵(2)()f x f x +=， ∵()f x 的周期为2，∵(2018)(021009)(0)0f f f =+⨯==，且(2019)(2020)(2019)((12020)2019)(2019)0f f f f f f +=+-=-=， ∵(2018)(2019)(2020)0f f f ++=. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性周期性，题目中基本是奇偶性和对称性相结合推出函数的周期性，最后根据周期性求出对应的函数值，或者根据奇函数的性质求解，需要在备考过程中多总结.6．（2020·全国高三其他模拟）已知函数()22()lg 911f x x x =++-，则满足()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．(]0,3B ．10,[3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)3,+∞D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到()f x 为偶函数，()11f =，利用偶函数和对数的性质将()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭转化为()()3log 1f x f ≤，再解不等式即可. 【详解】因为()22()lg 911f x x x =++-，所以()22()lg 911()f x x x f x -=++-=，即()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，且()11f =，()331log log 2f x f x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭可得()()33log log 2f x f x +-≤，即()32log 2f x ≤，所以()3log 1f x ≤，即()()3log 1f x f ≤. 所以3log 1x ≤，解得133x ≤≤. 故选：D.7．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R 的是（） A ．1y x=B ．1y x x=+C ．1y x x=-D ．sin y x =【答案】C 【分析】由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A 、B 、D ，对C ，采用导数法，函数函数图象可判断正确【详解】对A ，1y x=为奇函数，值域为0y ≠，故A 错；对B 、1y x x=+，函数为“对勾函数”因为0x ≠，所以0y ≠，故B 错误；对C ，1y x x =-为奇函数，当0x >时，因为21'10y x =+>，故1y x x=-在0x >为增函数，1x =时，函数值为0，当0x +→时，y →-∞，,→+∞→+∞x y ，画出图形如图：所以y R ∈，故C 正确；对D ，sin y x =，函数为奇函数，值域为[]1,1-，故D 错误；故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题 ∵判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断：奇函数=奇函数±奇函数=奇函数()⨯÷ 偶函数；∵对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数； ∵对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究8．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））已知20222020a =，20212021b =，20202022c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c << 【答案】C 【分析】由ln 2020ln 2021ln 2021ln 2022a b =，设2ln ()(e )1xf x x x =≥+，求出导函数得出单调性，从而可得(2020)(2021)0f f >>，即ln 1ln ab>，得出,a b 大小，同理可得,b c 大小，得出答案. 【详解】∵ln 2020ln 2022ln 20202021ln 2021ln 2021ln 20212022a b ==，构造函数2ln ()(e )1xf x x x =≥+，2(1)ln ()(1)x x x f x x x +-'=+，令()(1)ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<， ∵()g x 在2[e ,)+∞上单减，∵22()(e )1e 0g x g ≤=-<，故()0f x '<，所以()f x 在2[e ,)+∞上单减，∵ln 2020ln (2020)2021(2020)(2021)01ln ln ln 2021ln (2021)2022a f f f ab a b b f >>⇒==>⇒>⇒>，同理可得ln ln b c b c >⇒>，故a b c >>，故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导数得出函数单调性，利用单调性比较指数幂的大小，解答本题的关键是设设2ln ()(e )1xf x x x =≥+，得出()f x 在2[e ,)+∞上单减，，从而可得(2020)(2021)0f f >>，即ln 1ln ab>，得出,a b 大小，同理可得,b c 大小，属于中档题.9．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A ．94- B ．32-C ．74 D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+∵；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+∵．令1x =，由∵得：()()()024f f a b =-=-+，由∵得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由∵得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T=．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 10．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数；对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 11．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.12．（2020·北京高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.13．（2020·海南高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.14．（2021·浙江高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a =___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2.15．（2021·全国高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则a =______.【答案】1【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x x f x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x x a --，故1a =，故答案为：116．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x +有如下四个命题： ∵f （x ）的图象关于y 轴对称．∵f （x ）的图象关于原点对称．∵f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ∵f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】∵∵【分析】利用特殊值法可判断命题∵的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题∵的正误；利用对称性的定义可判断命题∵的正误；取0x π-<<可判断命题∵的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题∵，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题∵错误；对于命题∵，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题∵正确；对于命题∵，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题∵正确；对于命题∵，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题∵错误.故答案为：∵∵.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.。

高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第1节函数及其表示课件理新人教A版

●命题角度三分段函数与不等式问题
【例 4】 (2019 届湖北四地七校联考)已知函数 f(x)＝12x－7，x<0，
若
log2（x＋1），x≥0，
f(a)<1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪[0，1)
B．(－3，0)
C．(－3，1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析] 因为 f(a)<1，所以a12<0a，－7<1或alo≥g20（，a＋1）<1，得－3<a<0 或 0≤a<1.所以实数 a 的取值范围是(－3，1)，故选 C．
|跟踪训练|
1．(2019 届定州模拟)下列函数中，满足 f(x2)＝[f(x)]2 的是( )
A．f(x)＝ln x
B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3
D．f(x)＝ex
解析：选 C 对于函数 f(x)＝x3，有 f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以 f(x2)＝[f(x)]2，
考点一函数解析式的求法【例 1】 (1)若 f1＋1x＝x12－1，则 f(x)＝________. (2)若 f(x)为有理函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，则 f(x)＝________． (3)已知 f(x)＋2f1x＝x＋1，则 f(x)＝________．
[解析] (1)解法一(配凑法)：
考点二分段函数——多维探究高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数求值问题；(2)分段函数的自变量求值问题；(3)分段函数与不等式问题．
●命题角度一分段函数求值问题
【例 2】 (2020 届成都摸底)已知函数 f(x)＝sinπx＋π6，x≤0，则 f(－2)＋f(1)＝ 2x＋1，x>0，

新教材高中数学第3章函数概念与性质单元复习课第3课时函数的概念与性质课件

那么 f(2x-1)应满足 0≤2x-1≤2,由此可得 ≤x≤ ,

故 f(2x-1)的定义域为 , .

答案:D

)
专题二
函数的性质及其应用
+

+

【例 2】已知函数 f(x)=
是奇函数,且 f(2)= .
(1)求实数m和n的值;
(2)求函数f(x)在区间[-2,-1]上的最值.
= (x1-x2)·
∵-2≤x1<x2≤-1,
∴x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).
∴函数 f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,

∴f(x)max=f(-1)=-,f(x)min=f(-2)=-.
.
反思感悟
函数的奇偶性与单调性的差异
足
条件
∀x∈I,都有 f(x)≤M
∀x∈I,都有 f(x)≥M
∃x0∈I,使得 f(x0)=M
结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x)的最小值
5.什么是奇函数?什么是偶函数?它们的图象各有什么特征?
请完成下表:
奇函数
偶函数
定义域
函数 f(x)的定义域关于原点对称
x
对于定义域内的任意一个 x
-
的定义域是
.
.
解析:(1)要使函数有意义,应满足
-|| ≥ ,
-+
-
≥ ,
解得 2≤x≤4,且 x≠3,
故函数的定义域为[2,3)∪(3,4].

()- (-) = ,

高考数学总复习：函数的概念与性质

高考数学总复习：函数的概念与性质知识网络目标认知考试大纲要求：1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3. 了解简单的分段函数，并能简单应用．4. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．5. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．重点：会求一些简单函数的定义域和值域，理解分段函数及其简单应用，会运用函数图象理解和研究函数的性质。

难点：分段函数及其简单应用；运用函数图象理解和研究函数的性质．知识要点梳理知识点一：函数的概念1.映射设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f：A→B。

理解：（1）映射是从集合A到集合B的“一对一”或“多对一”两种特殊的对应.（2）映射中的两个集合可以是数集，点集或其它集合.（3）集合A到集合B的映射f：A→B是一个整体,具有方向性；f：A→B 与f：B→A 一般情况下是不同的映射.（4）给定一个集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.（5）映射允许集合B中的元素在集合A中没有原象.2.函数的定义（1）传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一X围内x 的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数).（2）现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值X围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合C=｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域.理解：①集合A、B是两个非空数集；②f表示对应法则；③f：A→B为从集合A到集合B的一个映射；④值域C B。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解4---函数的概念及其表示

高考数学一轮复习考点知识专题讲解函数的概念及其表示考点要求1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×) (4)函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是()答案C2．下列各组函数相等的是()A ．f (x )＝x 2－2x －1(x ∈R )，g (s )＝s 2－2s －1(s ∈Z )B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案C3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．－1B ．2C.3D.12答案D解析∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一函数的定义域例1(1)函数f (x )＝lg(x －1)＋1x －2的定义域为() A ．(1，＋∞) B ．(1,2)∪(2，＋∞) C ．[1,2)∪(2，＋∞) D ．[1，＋∞) 答案B解析要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －1>0，x －2≠0，解得x >1且x ≠2，所以f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________．答案[1,3]解析∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是() A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案B解析由题意，得⎩⎨⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝x 1－2x，则函数f (x －1)x ＋1的定义域为() A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案D解析令1－2x >0，即2x <1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)． ∴函数f (x －1)x ＋1中，有⎩⎨⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1. 故函数f (x －1)x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案B解析要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎨⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.(2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎨⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．题型二函数的解析式例2(1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为______．答案f (x )＝lg 2x －1(x >1)解析令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝lg2t －1(t >1)，所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.答案x 2＋2x ＋1解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案－2x 3－43x解析∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x. 思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案－x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ， ∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2 ＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，则f (x )＝__________.答案x 2－2，x ∈[2，＋∞) 解析∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．题型三分段函数例3(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧cosπx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为()A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案D解析f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3 ＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，－x ＋1，x <1.若f (a )＝2，则a 的值为________；若f (a )<2，则a 的取值范围是________．答案4或－1(－1,4) 解析若f (a )＝2，则⎩⎨⎧a ≥1，log 2a ＝2或⎩⎨⎧a <1，－a ＋1＝2，解得a ＝4或a ＝－1，若f (a )<2，则⎩⎨⎧a ≥1，log 2a <2或⎩⎨⎧a <1，－a ＋1<2，解得1≤a <4或－1<a <1，即－1<a <4. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于()A ．－32B.22C.32D. 2 答案B解析f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22.2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案0解析当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0；当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立，则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝_______，f (x )的最小值是_______．答案022－3 解析∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3，当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3. (2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)，等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是() A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3] 答案D解析∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎨⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()答案B解析A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]．3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧4x －12，x <1，a x，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于() A.12B.34C ．1D ．2 答案D解析f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．下列函数中，与y ＝x 是相等函数的是() A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2 C ．y ＝lg10x D ．y ＝10lg x 答案C解析y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝(x )2＝x 的定义域为[0，＋∞)，故不是相等函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是相等函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x ＝x ，且定义域为R ，故是相等函数；对于D 选项，y ＝10lg x ＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是相等函数．5．设函数f (x －2)＝x 2＋2x －2，则f (x )的表达式为() A ．x 2－2x －2B ．x 2－6x ＋6 C ．x 2＋6x －2D ．x 2＋6x ＋6 答案D解析令t ＝x －2，∴x ＝t ＋2，∴f (t )＝(t ＋2)2＋2(t ＋2)－2＝t 2＋6t ＋6， ∴f (x )＝x 2＋6x ＋6.6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－5，x ≤2，3sin x ，x >2，则f (x )的值域为()A ．[－3，－1]B ．(－∞，3]C ．(－5,3]D ．(－5,1] 答案C解析当x ≤2时，f (x )＝2x －5， ∴0<2x ≤4，∴f (x )∈(－5，－1]，当x >2时，f (x )＝3sin x ， ∴f (x )∈[－3,3]， ∴f (x )的值域为(－5,3]．7．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是()答案A解析由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x <1，34－x4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.8．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是() ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝ln 1－x1＋x；③f (x )＝1ex x-；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.A ．②③B．①②④ C ．②③④D．①④ 答案D解析对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111exx-＝e x －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于④，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案25解析令x 5＝100，则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________．答案(1,4]解析依题意⎩⎨⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12解析∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0，又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案[－2,0)∪(0,1] 解析当x <0时，f (x )＝x ，代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0，解得－2≤x <0；当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x <0或0<x ≤1.13．(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案D解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，当且仅当⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0. 14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x <1(λ∈R )，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______．答案[2，＋∞) 解析当a ≥1时，2a ≥2.∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ， ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为() A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0答案C解析由题意，知－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1，1)．令－1<2x －1<1，得0<x <1.∴f (2x －1)的定义域为(0,1)．16．若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是() A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0)D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2答案B解析若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝ ⎛⎭⎪⎫其中a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f (x 1)＋f (x 2)2.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．。

高考数学总复习考点知识讲解与练习1 函数的图象与性质

高考数学总复习考点知识讲解与练习第1讲函数的图象与性质[考情分析]1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等，主要考查求函数的定义域、求分段函数的函数值或分段函数中求参数问题及函数图象的识别，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．考点一函数的概念与表示核心提炼1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．例1(1)已知函数f(x)＝x1－2x，则函数f(x－1)x＋1的定义域为()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(－∞，－1)∪(－1,1)答案D解析令1－2x >0，即2x <1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f (x －1)x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f (x －1)x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．(2)已知实数a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x >1，若f (1－a )>f (1＋a )，则实数a 的取值范围是________．答案(－2，－1)∪(0，＋∞) 解析①当a <0时，1－a >1,1＋a <1， ∴－(1－a )>(1＋a )2＋2a ，化简得a 2＋3a ＋2<0，解得－2<a <－1，又a <0，∴a ∈(－2，－1)； ②当a >0时，1－a <1,1＋a >1，∴(1－a )2＋2a >－(1＋a )，化简得a 2＋a ＋2>0，解得a ∈R ，又a >0，∴a ∈(0，＋∞)，综上，实数a 的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)．规律方法(1)形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．跟踪演练1(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于()A ．－32 B.22 C.32 D. 2 答案B解析f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫⎪⎝⎭＝22.(2)(多选)设函数f (x )的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (x )＝－f (y )成立，则称函数f (x )为“H 函数”．下列为“H 函数”的是() A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝ln x ＋e x C ．y ＝2x D ．y ＝x 2－2x 答案AB解析由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin x cos x＝12sin2x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋e x的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．考点二函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．例2(1)(2021·德州模拟)函数f(x)＝2sin x＋3xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为()答案C解析∵f(－x)＝2sin(－x)＋3(－x)cos(－x)＋(－x)2＝－2sin x＋3xcos x＋x2＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，故A错误；∵f(π)＝2sin π＋3πcos π＋π2＝3ππ2－1>1，故B，D错误．(2)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案C解析要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察．跟踪演练2(1)(2021·太原模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致是()答案A解析f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1sin(－x ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x－1sin(－x ) ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1＋e x )－21＋e x －1sin(－x ) ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x－1sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1sin 2<0，排除B ，故选A. (2)(2021·信阳检测)如图是函数f (x )的图象，f (x )的解析式可能是()A ．f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1B ．f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1＋1x －1D ．f (x )＝1x ＋1－1x －1答案C解析由图象可知f (0)＝0，若f (x )＝1x ＋1－1x －1，f (0)＝10＋1－10－1＝2，故可排除D ；当x ＝2时，f (2)>0，若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1，f (2)＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12＋1＝ln 13<0，故可排除B ；当x ＝－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋1－12－1＝ln 13<0，故可排除A. 考点三函数的性质核心提炼 1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有 f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)； f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数的周期性若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )，则函数y ＝f (x )的周期为2|a |.4．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．考向1单调性与奇偶性例3(2021·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x >0时，要满足xf (x －1)≥0，则f (x －1)≥0，得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．考向2奇偶性、周期性与对称性例4(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (2x ＋1)为奇函数，则()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0 B ．f (－1)＝0C ．f (2)＝0D ．f (4)＝0 答案B解析因为函数f (x ＋2)为偶函数，则f (2＋x )＝f (2－x )，可得f (x ＋3)＝f (1－x )，因为函数f (2x ＋1)为奇函数，则f (1－2x )＝－f (2x ＋1)，所以f (1－x )＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，又f (1)＝0，故f (－1)＝f (5)＝f (1)＝0，其他三个选项未知．二级结论(1)若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f (x ＋a )＝1f (x )，其中f (x )≠0，则f (x )的周期为2|a |.(2)若f (x )的图象关于直线x ＝a 和x ＝b 对称，则f (x )的周期为2|a －b |. (3)若f (x )的图象关于点(a ,0)和直线x ＝b 对称，则f (x )的周期为4|a －b |.跟踪演练3(1)(2021·驻马店质检)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋4)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2，则f (2021)＋f (2022)等于() A ．－5 B ．－3 C ．3 D ．5 答案A解析∵f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x )的周期为8， ∴f (2 021)＝f (5)＝－f (1)＝－1， f (2 022)＝f (6)＝－f (2)＝－4， ∴f (2 021)＋f (2 022)＝－5.(2)(2021·全国Ⅲ)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题： ①f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )的图象关于原点对称； ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称； ④f (x )的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．答案②③解析∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，关于原点对称，故①错误，②正确． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f (x )<0，故④错误．专题强化练一、单项选择题1．(2021·宝鸡联考)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是() A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1 D ．y ＝x ＋1x －1答案D解析对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又3x >0，且3x ≠1，故3x －1>－1，且3x －1≠0，故y <－1或y >0. 故值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．2．(2021·兰州模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增且图象关于坐标原点对称的是() A ．f (x )＝x ＋1x B ．f (x )＝2x ＋1 C ．f (x )＝log 2|x | D ．f (x )＝x 3 答案D解析选项B 为非奇非偶函数，选项C 为偶函数，排除B ，C ，对于A ，函数f (x )＝x ＋1x 在(0，＋∞)上先减后增，不符合题意，故选D.3．(2021·赣州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f (x －3)，x ≥0，log 2(－x )＋1，x <0，则f (2021)等于()A ．1B ．2C ．log 26D ．3 答案A解析由题意知f (2 021)＝f (2 018)＝…＝f (2)＝f (－1)＝log 21＋1＝1. 4．函数f (x )＝3|x |·cos2xx的部分图象大致是()答案D解析函数的定义域为{x |x ≠0}，故排除A ；f (－x )＝3|－x |·cos (－2x )－x＝3|x |·cos 2x－x＝－f (x )，故函数为奇函数，排除B ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，cos 2x >0，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝3|x |·cos 2x x >0，排除C ，故选D.5．(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是()A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1 答案B解析方法一因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (x －1)＝1－(x －1)1＋(x －1)＝2－x x ，f (x ＋1)＝1－(x ＋1)1＋(x ＋1)＝－xx ＋2.对于A ，F (x )＝f (x －1)－1＝2－x x －1＝2－2xx ，定义域关于原点对称，但不满足F (x )＝－F (－x )；对于B ，G (x )＝f (x －1)＋1＝2－x x ＋1＝2x ，定义域关于原点对称，且满足G (x )＝－G (－x )；对于C ，f (x ＋1)－1＝－x x ＋2－1＝－x －x －2x ＋2＝－2x ＋2x ＋2，定义域不关于原点对称；对于D ，f (x ＋1)＋1＝－x x ＋2＋1＝－x ＋x ＋2x ＋2＝2x ＋2，定义域不关于原点对称．方法二f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x －1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.6．(2021·银川模拟)已知f (x )是定义在R 上的满足f (1＋x )＝f (－1－x )的函数，且f (x )的图象关于点(1,0)对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2－2x ，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2021)的值为() A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1 答案D解析∵f (1＋x )＝f (－1－x )⇒f (x )＝f (－x )，又f (x )的图象关于点(1,0)对称，∴f (x ＋2)＝－f (－x )＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )的周期为4，由函数解析式及性质易知，f (0)＝1，f (1)＝0，f (2)＝－1，f (3)＝0，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 021)＝505[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 020)＋f (2 021)＝0＋f (0)＋f (1)＝1.7．(2021·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )() A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减答案D 解析f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1|＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x －1， ∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减．8．(2021·南通模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 2－x 1>0，记a ＝f (0.23)0.23，b ＝f (sin1)sin1，c ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13ln3，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a答案D解析设x 1<x 2∈(0，＋∞)，则x 2－x 1>0，则由x 2f (x 1)－x 1f (x 2)x 2－x 1>0，得x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，化简得f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，令函数g (x )＝f (x )x ，即得g (x 1)>g (x 2)，则得函数g (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单递调减，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以c ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 13ln 3＝－f (－ln 3)ln 3＝f (ln 3)ln 3，因为0<0.23＝153<12<sin 1<1,1＝ln e<ln 3，即得0.23<sin 1<ln 3，所以g (0.23)>g (sin 1)>g (ln 3)，即c <b <a . 二、多项选择题9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数y ＝f (|x |)在区间[a ，b ]上的图象如图，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是()答案AD解析函数y ＝f (|x |)是偶函数，所以它的图象是由y ＝f (x )把x ≥0的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项AD 正确．10．(2021·湘潭模拟)已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，则下列结论正确的是() A ．|f (x )|≥2B.当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3 C ．直线x ＝1是f (x )图象的一条对称轴 D ．f (x )在(－∞，－1)上单调递增答案ABD解析当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋2x ＋3＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x －3，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，－x 2－2x －3，x <0，作出f (x )的图象如图所示．由图象可知f (x )∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以|f (x )|≥2，故A 正确；当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3，故B 正确；由图象可知直线x ＝1显然不是f (x )的对称轴，故C 错误；由图象可知f (x )在(－∞，－1)上单调递增，故D 正确．11．若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是() A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x B ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0)D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2答案ACD解析若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝ ⎛⎭⎪⎫其中a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f (x 1)＋f (x 2)2.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质，故选ACD.12．(2021·青岛模拟)定义在R 上的函数f (x )满足：x 为整数时，f (x )＝2021；x 不为整数时，f (x )＝0，则()A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．∀x ∈R ，f (f (x ))＝2021D ．f (x )的最小正周期为1 答案BCD解析A 中，对于函数f (x )，有f (1)＝2 021，f (－1)＝2 021，所以f (－x )＝－f (x )不恒成立，则函数f (x )不是奇函数，所以A 不正确；B 中，对于函数f (x )，若x 为整数，则－x 也是整数，则有f (x )＝f (－x )＝2 021，若x 不为整数，则－x 也不为整数，则有f (x )＝f (－x )＝0，综上可得f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以B 正确；C 中，若x 为整数，则f (x )＝2 021，若x 不为整数，则f (x )＝0，综上，函数f (x )是整数，则f (f (x ))＝2 021，所以C 正确；D 中，若x 为整数，则x ＋1也是整数，若x 不为整数，则x ＋1也不是整数，总之有f (x＋1)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为1，若t (0<t <1)也是f (x )的周期，则x 和x ＋nt 可能一个为整数，另一个不是整数，则有f (x )≠f (x ＋nt )，所以函数f (x )的最小正周期为1，所以D 正确．三、填空题13．(2021·唐山模拟)有以下两个条件：①定义域不是R ；②偶函数．写出一个同时满足以上条件的函数f (x )＝________. 答案1|x |(答案不唯一)14．(2021·石嘴山模拟)已知f (x )满足对∀x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，且x ≥0时，f (x )＝e x ＋m (m 为常数)，则f (－ln5)的值为________．答案－4解析∵∀x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )为奇函数，f (0)＝0， ∵当x ≥0时，f (x )＝e x ＋m ， ∴f (0)＝e 0＋m ＝0，解得m ＝－1， ∴f (－ln 5)＝－f (ln 5)＝－(e ln 5－1)＝－4.15．已知函数f (x )＝e x －e －x －sin2x ，若f (a －2)＋f (2a )>0，则实数a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析∵f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝e －x －e x ＋sin 2x＝－(e x －e －x －sin 2x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝e x ＋e －x －2cos 2x ≥2e x ·e －x －2cos 2x ＝2－2cos 2x ≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，又不等式f (a －2)＋f (2a )>0可化为f (2a )>－f (a －2)＝f (－a ＋2)，∴2a >－a ＋2，解得a >23，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)答案①②④解析令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，得f(－2)＝0，由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，故①正确；由于函数f(x)为偶函数，故f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴，故②正确；根据前面的分析，结合函数在区间[0,2]上单调递增，可画出函数的大致图象如图所示．由图可知，函数在[－6，－4]上单调递减，故③错误；根据图象可知，f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(98)＝0，所以f(x)在[0,100]上共有25个零点，故④正确，综上所述，正确的命题有①②④.。

函数的概念与性质(5知识点+4重难点+5方法技巧+5易错易混)(解析版)2025高考数学一轮知识清单

专题03函数的概念与性质（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1函数的有关概念1、函数的概念：一般地，设,A B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.2、函数的三要素：（1）在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；（2）与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

显然，值域是集合B 的子集．（3）函数的对应关系：(),y f x x A =∈.3、相等函数与分段函数（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量x 取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。

分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。

当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势下降趋势2、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间．【注意】（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．（2）单调区间D ⊆定义域I .（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；3、函数单调性的性质若函数)(x f 与)(x g 在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：（1）)(x f 与C x f +)(（C 为常数）具有相同的单调性.（2）)(x f 与)(x f -的单调性相反.（3）当0>a 时，)(x af 与)(x f 单调性相同；当0<a 时，)(x af 与)(x f 单调性相反.（4）若)(x f ≥0，则)(x f 与)(x f 具有相同的单调性.（5）若)(x f 恒为正值或恒为负值，则当0>a 时，)(x f 与)(x f a具有相反的单调性；当0<a 时，)(x f 与)(x f a具有相同的单调性.（6）)(x f 与)(x g 的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）复合函数的单调性：对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或(g (b )，g (a ))上是单调函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]为增函数若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数．简称“同增异减”．知识点3函数的奇偶性1、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 是奇函数关于原点对称2、函数奇偶性的几个重要结论（1）()f x 为奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；()f x 为偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称．（2）如果函数()f x 是偶函数，那么()()f x f x =．（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即()0f x =，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点4函数的周期性1、周期函数的定义对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．知识点5函数的对称性1、关于线对称若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =关于直线2a b x +=对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数()y f x =关于y 轴对称，此时函数()y f x =是偶函数．2、关于点对称若函数()y f x =满足()()22-=-f a x b f x ，则函数()y f x =关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，()()f x f x =--，则函数()y f x =关于原点对称，此时函数()f x 是奇函数．重难点01求函数值域的七种方法法一、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．（2）若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )．（3）若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．【典例1】（23-24高三·全国·专题）函数()221f x x =-（[]2,6x ∈）的最大值为（）A ．2B ．23C ．25D ．235【答案】B【解析】因为函数21y x =-在[]2,6上单调递增，所以根据单调性的性质知：函数()221f x x =-在[]2,6上单调递减，所以当2x =时，函数()221f x x =-取到最大值为()2222213f ==-.故选：B 【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则值域为（）A ．9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．9,1110⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．99,10⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]9,11-【答案】A【解析】因为函数()lg f x x x =+的定义域为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且lg ,y x y x ==在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，可知()f x 在1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最小值为191010f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最大值为()1011f =，所以值域为9,1110⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A.法二、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x 的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．【典例1】（23-24高三上·河南新乡·月考）对R x ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，若函数()(){}2max 3,1M x x x =-+-，则()M x 的最小值为.【答案】1【解析】当()231x x -+≥-，即220x x --≤，即12x -≤≤时，()3M x x =-+，当()231x x -+<-，220x x -->，即2x >或1x <-时，()()21M x x =-，所以()[]()()()23,1,21,,12,x x M x x x ∞∞⎧-+∈-⎪=⎨-∈--⋃+⎪⎩，函数图象如图所示：由图可得，函数()M x 在(),1-∞-，()1,2上递减，在()2,+∞上递增，所以()()min 2231M x M ==-+=.【典例2】（23-24高三上·重庆北碚·月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[e]3-=-，[2.1]2=，定义函数()[]f x x x =-，则函数()f x 的值域为.【答案】[0,1)【解析】由高斯函数的定义可得：当01x ≤<时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知()f x 的值域为[0,1).法三、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.【典例1】（23-24高三上·全国·专题）函数()f x ）A ．[]0,2B ．[)0,∞+C ．[)2,+∞D ．()()0,22,+∞U 【答案】A【解析】令2230x x --+≥得，31x -≤≤，故定义域为[]3,1-，()[]0,2f x ==.故选：A【典例2】（2023高三·江西萍乡·开学考）函数212y x x =-++的值域为.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞ 【解析】由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤,且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞ .法四、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理【典例1】（2023高三上·广东河源·开学考试）函数()2f x x =的最大值为.【答案】178()0t t =≥，则21x t =-，所以()22117222048y t t t t ⎛⎫=-++=--+≥ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质知，对称轴为14t =，开口向下，所以函数2117248y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在10,4⎡⎤⎢⎣⎦单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当14t ==，即1516x =时，()f x 取得最大值为max 151517()()1688f x f ===.【典例2】（23-24高三·全国·专题）函数1y x =-的值域为（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[)0+，∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】Ct =，()0t ≥，则212t x -=，所以函数()22211112222t t t y t t +-=++=++=，函数在[)0,+∞上单调递增，0=t 时，y 有最小值12，所以函数1y x =-1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C法五、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax by cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式，第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。