高考数学(理科)必考点一函数概念与性质

必考点一函数概念与性质

[高考预测]——运筹帷幄

1．根据函数解析式求解函数的定义域或值域．

2．考查分段函数的求值或已知函数值求自变量取值等．

3．考查函数的性质的判定及应用．

[速解必备]——决胜千里

1．有关函数的奇偶性问题

(1)若f(x)是奇函数，且x＝0有意义时，则f(0)＝0；

(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶．

2．有关函数的对称性问题

(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b

2对称．

(3)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(x＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．

3．有关函数的周期性问题

(1)若函数y＝f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；

(2)若函数y＝f(x)的图象有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；

(3)如果函数y＝f(x)的图象有一个对称中心A(a，c)和一条对称轴x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝4|a－b|.

(4)若函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；

(5)若f(x＋a)＝

1

f(x)

(a≠0)恒成立，则T＝2a；

(6)若f(x＋a)＝－

1

f(x)

(a≠0)恒成立，则T＝2a.

[速解方略]——不拘一格

类型一函数表示及定义域、值域

[例1] (1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，1

解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－1

2，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－1，－12，选B.

答案：B

方略点评：此题型视2x ＋1为整体，使之在f (x )的定义域内再求解x . (2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

1＋log 2(2－x )， x ＜1，

2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

解析：基本法：∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.

速解法：由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)＞3排除A.

由于log 212＞1，要用f (x )＝2x －1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C. 答案：C

方略点评：1.基本法分段求值．是分段函数的正向求值的一般思路：速解法是巧用了结果的特征排除答案．

2．求函数f [g (x )]的定义域问题，要注意g (x )的整体思想的应用．

3．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．

1．(高考原题·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x

C ．y ＝2x

D ．y ＝1

x

解析：根据函数解析式特征求函数的定义域、值域． 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．

函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1

x

的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 答案：D

2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧

3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )

A ．1 B.7

8 C.34 D.12

解析：基本法：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

56＝3×56－b ＝52－b ，

当52－b ≥1，即b ≤32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

52－b ＝252－b ，

即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝1

2；

当52－b ＜1，即b ＞32时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝15

2－3b －b ＝152－4b ，

即152－4b ＝4，得到b ＝78＜3

2，舍去． 综上，b ＝1

2，故选D. 答案：D

类型二 函数的奇偶性、对称性

[例2] (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：基本法：由已知得f (－x )＝f (x )， 即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，则 ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(a ＋x 2－x )＝0，

∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0，得ln a＝0，

∴a＝1.

速解法：根据“奇×奇＝偶”，设g(x)＝ln(x＋a＋x2)为奇函数即可．

又∵g(0)＝0，∴ln a＝0，∴a＝1.

答案：1

方略点评：基本法是根据偶函数的定义f(－x)＝f(x)待定a.速解法是根据奇函数、偶函数的特殊结论快速求解.

(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：基本法：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B.|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.

速解法：y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|为偶函数．

故f(x)·g(x)＝奇，A错，|f(x)|g(x)＝偶，B错．

f(x)|g(x)|＝奇，C正确．

答案：C

方略点评：1.函数奇偶性判定主要有①定义法，②图象法，③特殊结论．要注意定义域必须关于原点对称．

2．此题基本法利用的是定义法，速解法利用的是特殊结论．

1．已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2 016，则g(x)的最大值与最小值之和为()

A．0 B．1

C．2 016 D．4 032