河北省邢台市临西县实验班2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

河北省邢台市临西县实验班2019-2020学年九年级上学期期中数学试
卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）
1.若y=(m−2)x m2−2+3x−2是二次函数，则m等于()
A. −2
B. 2
C. ±2
D. 不能确定
2.如果(m+3)x2−mx+1=0是一元二次方程，则()
A. m≠−3
B. m≠3
C. m≠0
D. m≠−3且m≠0
3.一元二次方程3x−2=x(2x−1)的一般形式是()
A. 2x2−3x−2=0
B. 2x2+3x−2=0
C. 2x2−4x−2=0
D. 2x2−4x+2=0
4.如图所示的图案是几个名车的标志，其中是中心对称图形的共有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5.如果等腰三角形的两边长(两边不相等)分别是方程x2−10x+21=0的两根，那么它的周长为
()
A. 17
B. 15
C. 13
D. 13或17
6.抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是()
A. (2,3)
B. (2,−3)
C. (−2,3)
D. (−2,−3)
7.一元二次方程x2+3x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()
A. m>−9
4B. m≥−9
4
C. m<−9
4D. m>−9
4
且m≠0
8.抛物线y=x2−2x+3向左平移4个单位长度后的顶点坐标是()
A. (2,3)
B. (3,−2)
C. (−3,2)
D. (4,2)
9.若关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值是()
A. m≥1
B. m≤1
C. m>−1
D. m<−1
10.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E均在⊙O上，若∠ACD=40°，
则∠BED的度数为()
A. 50°
B. 40°
C. 30°
D. 20°
11.如图，△ABC中，∠A=75°，∠B=50°，将△ABC绕点C按逆时针方
向旋转，得到△A′B′C，点A的对应点A′落在AB边上，则∠BCA′的度
数为()
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
12.如图，已知正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，F是AD
延长线上一点，且BE=DF，则矩形AEGF的面积y与BE的长
x之间的函数关系式为()
A. y=5−x
B. y=5−x2
C. y=25−x
D. y=25−x2
13.如图，射线BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为()
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
14.如图，在直径长为10的⊙O中，OC⊥弦AB，且OC=3，则弦AB的长为
()
A. 3
B. 6
C. 8
D. 10
15.若代数式2x2+3x+7的值是8，则代数式4x2+6x+15的值是()
A. 2
B. 17
C. 3
D. 16
16.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间(不包括这两点)，
对称轴为直线x=1，下列结论：①abc<0；②9a+3b+c=0；
③4ac−b2<2a；④2b=3a．
其中正确的结论是()
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17.若关于x的一元二次方程(m−1)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
_________．
18.如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的直径
等于_________
x2−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于
19.如图所示，抛物线y=1
3
点C，M为第一象限抛物线上一点，且∠MCB=15°，则
S△MCB=______．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）
20.解方程：x2−√2x−2=0
21.用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
22.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC
于点E，△BEA旋转后能与△DFA重合．
(1)哪一点是旋转中心？
(2)旋转了多少度？
(3)若AE=5cm，求四边形AECF的面积．
23.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若MD=2，AB=8，求CM
的长．
24.已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且EF⏜=GH⏜．
(1)如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A=∠C；
(2)如图②，若EF⏜的度数为θ，∠A=α，∠C=β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．
25.某商店商品每件成本20元，按30元销售时，每天可销售100件，根据市场调查：若销售单价
每上涨1元，该商品每天销售量就减少5件．若该商店计划该商品每天获利1125元，求该商品的售价？
26.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两
点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线y=−x2+bx+c在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P(−3,4)的直线y=mx+
n(m≠0)与图象G有唯一公共点，请结合图象，求n的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：略
2.答案：A
解析：
本题主要考查了一元二次方程的一般形式中二次项系数不能为0.一元二次方程的一般形式是：ax2+ bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．
因为(m+3)x2−mx+1=0是一元二次方程，所以(m+3)≠0，即：m≠−3．
解：
如果(m+3)x2−mx+1=0是一元二次方程，(m+3)≠0，即：m≠−3．
故选A．
3.答案：D
解析：解：3x−2=x(2x−1)，
3x−2=2x2−x，
3x−2−2x2+x=0，
−2x2+4x−2=0，
2x2−4x+2=0，
故选：D．
首先去括号，然后移项，把等号右边化为0即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
4.答案：A
解析：
根据中心对称图形的概念求解．中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念，关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选：A．
5.答案：A
解析：解：∵等腰三角形的两边长分别是方程x2−10x+21=0的两根，
∴方程x2−10x+21=0的两个根分别是x1=3，x2=7，
∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，
∴等腰三角形的周长为：7+7+3=17．
∵等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，3+3<7，不符合三角形三边关系；
故选：A．
首先求出方程x2−10x+21=0的两根，然后确定等腰三角形的腰长和底，进而求出它的周长．本题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，此题难度一般．
6.答案：B
解析：
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
解：∵抛物线的解析式为：y=(x−2)2−3，
∴其顶点坐标为(2,−3)．
故选B．
7.答案：A
解析：解：根据题意得△=32−4(−m)>0，
．
解得m>−9
4
故选：A．
利用判别式的意义得到32−4(−m)>0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．
8.答案：C
解析：解：抛物线y=x2−2x+3=(x−1)2+2，顶点坐标是(1,2)，将其向左平移4个单位，得到的点是(−3,2)．
故选：C．
先将抛物线y=x2+2x−3化为顶点式，找出顶点坐标，利用平移的特点即可求出新的抛物线顶点坐标．
考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．解决本题的关键是得到所求抛物线顶点坐标，利用平移的规律解答．
9.答案：C
解析：解：根据题意得△=22+4m>0，
解得m>−1．
故选C．
根据判别式的意义得到△=22+4m>0，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
10.答案：A
解析：
此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠AEB=90°，又由∠ACD=40°，即可求得∠AED的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
解：连结AE
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ACD=∠AED=40°，
∴∠BED=90°−∠AED=50°．
故选A．
11.答案：B
解析：
根据三角形内角和定理了求出∠ACB，根据旋转得出AC=A′C，求出∠CA′A，根据三角形内角和定理求出∠ACA′，即可求出答案．
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，能求出∠ACA′的度数是解此题的关键．
解：∵△ABC中，∠A=75°，∠B=50°，
∴∠BCA=180°−∠A−∠B=55°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A′B′C，点A的对应点A′，落在AB边上，
∴AC=A′C，
∴∠A=∠CA′A=75°，
∴∠ACA′=180°−∠A−∠CA′A=30°，
∴∠BCA′=∠BCA−∠ACA′=25°，
故选B．
12.答案：D
解析：
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据矩形的面积找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
设BE的长度为x(0≤x<5)，则AE=5−x，AF=5+x，根据矩形的面积即可得出y关于x的函数关系式，此题得解．
解：设BE的长度为x(0≤x<5)，则AE=5−x，AF=5+x，
∴y=AE⋅AF=(5−x)(5+x)=25−x2．
故选D．
13.答案：A
解析：
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
利用切线的性质得∠OBM=90°，则可计算出∠ABO=50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠AOB=80°，然后根据圆周角定理可计算出∠ACB的度数．
解：∵射线BM与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BM，
∴∠OBM=90°，
∴∠ABO=∠ABM−∠OBM=140°−90°=50°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=50°，
∴∠AOB=180°−50°−50°=80°，
∠AOB=40°．
∴∠ACB=1
2
故选：A．
14.答案：C
解析：
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，连接OA，先根据勾股定理求出AC的长，再由垂径定理可知AB=2AC，故可得出结论．
解：连接OA，
∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，
∴AC=√OA2−OC2=√52−32=4，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8．
故选C．
15.答案：B
解析：
本题考查了求代数式的值，考查了整体代入的数学思想.
根据代数式2x2+3x+7的值是8，可得2x2+3x=1，再将2x2+3x=1整体代入代数式4x2+6x+ 15求解即可．
解：∵代数式2x2+3x+7的值是8，
∴2x2+3x=1，
∴4x2+6x+15=2(2x2+3x)+15=2+15=17．
故选B．
16.答案：D
解析：解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间(不包括这两点)，
=1，c<0，
∴a>0，−b
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，结论①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的另一个交点为(3,0)，
∴9a+3b+c=0，结论②正确；
③∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间(不包括这两点)，
∴抛物线顶点纵坐标4ac−b2
<−1，
4a
∵a>0，
∴4ac−b2<−4a<2a，结论③正确；
④∵抛物线对称轴为直线x=1，
=1，b=−2a，结论④错误．
∴−b
2a
综上所述，正确的结论有：②③．
故选：D．
①由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B的范围，即可得出a>0、b<0、c<0，进而可得出abc>0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为(3,0)，进而可得出9a+3b+c=0，结论②正确；③由点B的范围可得出抛物线顶点纵<−1，结合a>0可得出4ac−b2<−4a<2a，结论③正确；④由抛物线对称轴为x=1
坐标4ac−b2
4a
可得出b=−2a，结论④错误．综上即可得出结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
17.答案：m<5且m≠1．
解析：
本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△>0且m−1≠0，即(−4)2−4(m−1)>0且m≠1，
解得m<5且m≠1，
故答案为：m<5且m≠1．
18.答案：10．
解析：
此题考查了垂径定理，以及勾股定理，连接OA，由M为圆O中弦AB的中点，利用垂径定理得到OM垂直于AB，由AB的长求出AM的长，在直角三角形OAM中，由AM与OM的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径，则⊙O的直径=2OA．
解：连接OA，
∵在圆O中，M为AB的中点，AB=8，
AB=4，
∴OM⊥AB，AM=1
2
在Rt△OAM中，OM=3，AM=4，
根据勾股定理得OA=√OM2+AM2=5．
则⊙O的直径=2OA=10
故答案为10．
19.答案：27−9√3
2
x2−3，
解析：解：∵抛物线y=1
3
∴当x=0时，y=−3，当y=0时，x=±3，
∴点A(−3,0)，点B(3,0)，点C(0,−3)，
∴OC=OB=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠MCB=15°，OC=3，
∴∠COM=30°，
设CM与x轴的交点为N，
∴ON=3×tan30°=√3，
∴点N的坐标为(√3,0)BN=3−√3，
设过点C(0,−3)，N(√3,0)直线解析式为y =kx +b ，
{b =−3√3k +b =0，得{k =√3b =−3
， ∴y =√3x −3，
由{y =13x 2−3y =√3x −3
得，{x =0y =−3或{x =3√3y =6， ∴点M 的坐标为(3√3,6)，
∴S △MCB =S △NCB +S △NBM =
(3−√3)×32+(3−√3)×62=27−9√32， 故答案为：27−9√32．
根据题意可以求得点A 、点B 、点C 、点M 的坐标，从而可以求得△MCB 的面积，本题得以解决． 本题考查抛物线与x 轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
20.答案：解：∵a =1，b =−√2，c =−2，
∴△=2+8=10>0，
∴x =√2±√102
；
解析：根据一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 21.答案：解：(1)设围成的矩形一边长为x 米，则矩形的邻边长为：32÷2−x.依题意得
y =x(32÷2−x)=−x 2+16x ．
答：y 关于x 的函数关系式是y =−x 2+16x ；
(2)由(1)知，y =−x 2+16x ．
当y =60时，−x 2+16x =60，即(x −6)(x −10)=0．
解得x 1=6，x 2=10，
即当x 是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；
(3)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：
由(1)知，y =−x 2+16x ．
当y=70时，−x2+16x=70，即x2−16x+70=0
因为△=(−16)2−4×1×70=−24<0，
所以该方程无解．
即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．
解析：(1)根据矩形的面积公式进行列式；
(2)、(3)把y的值代入(1)中的函数关系，求得相应的x值即可．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．
22.答案：解：观察：由△BEA到△DFA的旋转过程可知，
(1)A点；
(2)旋转了90度或270度；
(3)由旋转的性质可知，AE=AF，∠F=∠AEB=∠AEC=∠C=90°；
∴四边形AECF是正方形：四边形AECF的面积=AE2=25cm2．
解析：由已知：△BEA旋转后能与△DFA重合可得，旋转中心，旋转角；由旋转前后三角形全等的性质，可证明四边形AECF是正方形．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．23.答案：
解：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=BM，
∵AB=8，
∴AM=4，
设⊙O的半径为r，则OA=OC=DO=r，
∵MD=2，
∴OM=r−2，
∵AM2+OM2=AO2，
即42+(r−2)2=r2，
解得：r=5，
∴CM=2r−2=8．
解析：此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
连接OA，根据垂径定理得到AM=BM，设⊙O的半径为r，则OA=OC=DO=r，根据勾股定理列方程即可得到结论．
24.答案：证明：(1)连接DF、DG，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DFB=∠DGB=90°，
∵EF⏜=GH⏜，
∴∠EDF=∠HDG，
∵∠DFB=∠EDF+∠A，
∠DGB=∠HDG+∠C，
∴∠A=∠C；
(2)α+β+θ=180°．
解析：
本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，属于基础题．
(1)连接DF、DG，由BD是⊙O的直径得出∠DFB=∠DGB=90°，根据EF⏜=GH⏜即可得出∠A=∠C；
(2)利用圆周角定理，圆内接四边形性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质即可求出α+β+
θ =180°．
(1)见答案；
(2)连接DF ，BH ，
∵EF
⏜=GH ⏜， ∴∠ADF =∠HBG =1
2
θ， ∵∠A +∠ADF +∠AFD =180°，
∠AFD =∠DHB =∠C +∠HBG ，
∴∠A +∠ADF +∠C +∠HBG =180°，
∴α+12θ+β+12θ=180°， 即α+β+θ =180°．
25.答案：解：设商品售价为每件(30+x)元，则每天销售(100−5x)件，
根据题意得：(30+x −20)×(100−5x)=1125，
整理得：x 2−10x +25=0，
解得：x 1=x 2=5，
∴x +30=35．
答：该商品的售价为35元．
解析：设商品售价为每件(30+x)元，则每天销售(100−5x)件，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，将其代入30+x 中即可求出该商品的售价． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26.答案：解：(1)将A 、B 两点的坐标代入抛物线的表达式中，得：
{−1−b +c =0−9+3b +c =0，解得{b =2c =3
, ∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；
(2)设抛物线y =−x 2+2x +3与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为(0,3)．
抛物线y =−x 2+2x +3的顶点坐标为(1,4)．
设直线PB 解析式为y =kx +b ，
将点P(−3,4)、B(3,0)代入，得，
{−3k +b =4 3k +b =0
， 解得：{k =−2
3b =0
， ∴直线PB 的表达式为y =−23x +2，
∴与y 轴交于点E(0,2)．
∵直线PD 平行于x 轴，
∴与y 轴交于点F(0,4)．
由图象可知，当过点P 的直线与y 轴交点在C 、E(含点C ，不含点E)之间时，与图象G 有唯一公共点，
另外，直线PD 与图象G 也有唯一公共点，
但此时m =0．
∴n 的取值范围是2<n ≤3．
解析：本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象G 有唯一公共点时，与y 轴交点的范围是解题的关键．
(1)将点A、B坐标代入二次函数解析式即可求得；
(2)如图，先求出直线PB解析式．从而知其与y轴的交点E，由图象知过点P的直线与y轴交点在C、E(含点C，不含点E)之间时，与图象G有唯一公共点，据此解答可得．。