集合上二元关系性质判断的实现
二元关系
当(xi, yj)∈R 其他 (i=1, 2,…m; j=1, 2,…n)
称MR为R的关系矩阵。
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
5
离散数学讲义稿
4.2 关系性质
5种性质: 设R是集合A上的二元关系,则
离散数学讲义稿
第二部分
集合与关系
第4章
二元关系
林 兰
2011.3
内容
n n n n
4.1 二元关系及其表示 4.2 关系的性质 4.3 关系的运算 4.4 关系的闭包
1
离散数学讲义稿
4.1 二元关系及其表示
1. 二元关系
例1:集合A={ 2, 3, 5, 9 }上建立小于关系R,则可表达为: R={ (2,3), (2,5), (2,9), (3,5), (3,9), (5,9) } 例2:男队A={ a, b, c, d },女队B={ e, f, g }。如果A和B的元素间 有混双配对关系:a和g,d和e。可表达为: R={ (a, g), (d, e) } 表示所有可能的混双配对有序对集合: A×B={ (a, e), (a, f), (a, g), (b, e), (b, f), (b, g), (c, e), (c, f), (c, g), (d, e), (d, f), (d, g) } 有 R ⊆ A× B
∴ (R ◦S) -1 = S-1◦R-1
R-1的性质: 设R是A上的二元关系,R-1与R有相同的性质。 (自反,反自反,对称,反对称,传递)
4.4 关系的闭包
1. 定义 设R是集合A上的二元关系。如果另有A上关系R’满足:
有限集合上二元关系性质的矩阵判别法
有限集合上二元关系性质的矩阵判别法作者:张亚蕾来源:《知识窗·教师版》2019年第06期摘要:从定义出发去判断集合A上的二元关系是否是自反、反自反、对称、反对称、传递比较困难。
基于此,本文从二元关系的关系矩阵出发,总结了一种二元关系性质判断的矩阵判别法,并给出了相应的证明。
关键词:有限集合; ;二元关系; ;等价关系; ;关系矩阵关系是我们日常生活中经常听到的一个词语,在平时的工作、学习和生活中,我们不可避免地要遇到和处理许多关系。
可以说,人的一生从出生到死亡,身边都有许多关系,如生活中的父母关系、兄弟关系、夫妻关系,工作中的同事关系、上下级关系,学习中的师生关系、同学关系等。
不管在社会现象中还是在自然现象中,几乎没有孤立存在的独立体,而是各种事物相互影响、相互依存、相互制约、相互促进,从而构成了有序链环。
人类社会的文明就是在不断地提示这些有序链环的进程中形成和发展的。
抽象地看,这些“有序链环”就是多元关系。
在数学中,关系可抽象为表达集合中元素之间的关系。
在离散数学中,关系是刻画元素之间相互联系的一个重要概念,离散数学中最基本的关系就是二元关系。
所谓二元关系,就是两个事物之间相互关系的数学抽象,它是一个十分基本而有用的数学工具。
二元关系不管在自然科学,还是在社会科学中都有着非常广泛的应用,它在模糊分析、数字电路设计、数据结构、数据库分析、數据挖掘等发面也有着广泛的应用。
在模糊数学中,模糊数的二元关系、数据结构就是一个二元组,计算机科学技术中的计算机程序的输入、输出关系和数据库的数据特性关系等都是二元关系的应用。
其中,关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础。
离散数学还在数学的许多分支学科上有着重要应用,如近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究。
关系也是点集拓扑中的一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系。
熟练掌握关系的定义和性质,是学好近世代数和点集拓扑的基础。
有限集上二元关系性质的判定
Ke y wo r d s :b i n a r y r e l a t i o n a l p r o p e r t i e s ;r e l a i t o n a l ma t r i x ;r e l a t i o n a l g r a p h ;r e l a t i o n a l o p e r a t i o n ;j u d g me n t me t h o d
计 算机 时代 2 0 1 3 年 第4 期
・ 5 l ・
有 限集 上 二 元 关 系性 质 的判 定
张松敏
( 洛 阳理 工 学院计 算机 与信 息工程 系,河南 洛 阳 4 7 1 0 2 3 )
摘 要 : 离散数 学 中, 二元关 系 自反、 反 自反 、 对称 、 反 对称和传 递性的判 定是 学习等 价关 系、 相容 关 系和偏序 关 系的重
要基础 知识 , 为使 读者灵活 掌握 二元关 系五种性 质的判定 , 分别从 关 系性 质的定 义、 关 系矩 阵、 关 系图和 关 系运算四方 面
对 二 元 关 系五 种 性 质 的 判 定 方 法 进 行 了探 讨 。
关键词 :二元 关系性 质 ;关 系矩阵 ;关 系图;关系运算 ;判 定方法 中图分类号 : T P 3 0 1 文献标志码 : A 文章编号 : 1 0 0 6 — 8 2 2 8 ( 2 0 1 3 ) 0 4 — 5 1 — 0 2
a nt i — s y mme  ̄c a nd t r ns a i t i v e i s i mp o r t nt a b a s i c k n o wl e d g e i n l e a r ni n g e q u i v a l e n c e r e l a t i o n ,c o mp a t i b l e r e l a t i o n nd a pa r t i a l l y o r d e r e d
第七章 二元关系
二、笛卡儿积 定义: 为集合, 中元素为第一元素, 1.定义: 设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第 二元素构成有序对.所有这样的有序对组成的集合叫做A 二元素构成有序对.所有这样的有序对组成的集合叫做A和B 的笛卡儿积,记作AⅹB. 的笛卡儿积,记作A 笛卡儿积的符号化表示为 <x, AⅹB= { <x,y> | x ∈A ∧ y∈B } 笛卡儿积是以序偶为元素的集合(平面上的点的坐标) 序偶为元素的集合 注:笛卡儿积是以序偶为元素的集合(平面上的点的坐标) 第一成员取自于集合A 第二成员取自于B (所有 第一成员取自于集合A,第二成员取自于B) 有限集合的笛卡儿积的元素: 2.有限集合的笛卡儿积的元素: 如果 |A| =m ,|B| =n,则| A ⅹ B| = m n 3.笛卡儿积的性质 3.笛卡儿积的性质 对任意集合A 1) 对任意集合A,根据定义有 A ⅹ ø = ø ,ø ⅹ A=ø 一般地说,笛卡儿积运算不满足交换律(有序的要求) 2)一般地说,笛卡儿积运算不满足交换律(有序的要求)
§7.3 关系的运算
0、关系作为集合来说,具有一般集合的运算:并、交相对补、补及对称差 关系作为集合来说,具有一般集合的运算: 相对补、 1、关系的逆运算 定义: <x, <y, 1)定义:R-1 = {<x,y> | ∃<y,x>∈R } 的逆关系R 完全由R 唯一确定, 注:1、R的逆关系R-1完全由R 唯一确定, 中有元素<x <x, 中就有<y x>, <y, 即R中有元素<x,y> ,则R-1 中就有<y,x>, 的元素是由R中的元素交换有序对所构成。 R-1的元素是由R中的元素交换有序对所构成。 2)性质 任何关系R (1)任何关系R均存在其逆关系 的关系矩阵是R (2)R-1的关系矩阵是R的关系矩阵的转置矩阵 的关系图是R (3)R-1的关系图是R的关系图中将所有有向弧改变方向得到 (4)(F-1 ) -1= F 1 1 ranF, (5) domF—1 = ranF, ranF—1 = domF
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定离散数学是一门研究离散结构的数学学科,而二元关系是离散数学中一个重要的概念。
在离散数学中,我们经常需要对二元关系进行判定,其中最为重要的性质之一就是传递性。
本文将围绕《离散数学》中二元关系传递性的判定展开讨论。
让我们来了解一下什么是二元关系。
在集合论中,如果给定一个集合A,那么A的二元关系R可以定义为A中元素之间的某种关系。
具体来说,对于任意的a、b∈A,如果(a, b)∈R,那么称a与b有关系R。
二元关系可以用有向图来表示,其中A中的元素对应图中的结点,而关系R中的元素对应图中的边。
为了简化描述,我们暂时不考虑关系R的性质,而只讨论关系R中元素的组成部分。
对于集合A={1,2,3,4},我们可以定义一个二元关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}。
这样,我们就得到了一个有向图来表示关系R,如下图所示:[图一]在这个有向图中,结点1和结点2之间有一条有向边,表示(1,2)∈R;结点2和结点3之间也有一条有向边,表示(2,3)∈R;依此类推。
很显然,通过有向图可以直观地看出集合A中元素之间的关系。
那么,关系R中的元素有哪些性质呢?在这里我们先介绍关系R的一条重要性质:传递性。
传递性是指如果对于任意的a、b、c∈A,如果(a, b)∈R且(b, c)∈R,那么(a,c)∈R。
直观地说,如果关系R中存在一条从a到b的有向边,同时存在一条从b到c的有向边,那么就应该存在一条从a到c的有向边。
下面我们将讨论如何判定关系R中的传递性。
对于关系R中的传递性,常用的方法是直接检验。
我们可以利用集合A中元素之间的关系,通过逐对比较来判断关系R是否满足传递性。
下面我们以一个具体的例子来说明。
考虑集合A={1,2,3,4},定义二元关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}。
为了判断关系R是否传递,我们需要逐对比较关系R中的元素。
我们找到所有满足(a, b)∈R和(b, c)∈R 的元组,然后检查是否存在(a, c)∈R。
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定
在离散数学中,二元关系是指一个关联两个元素的集合。
传递性是二元关系的一个重要性质。
传递性是指如果某个关系中的元素a与另外两个元素b和c之间有关联,而且b 与c之间也有关联,那么就可以推断出a与c之间也有关联。
传递性的判定方法有多种,下面我们将介绍两种常用的判定方法。
一、图形法
图形法是通过绘制一个关系的有向图,并判断图中是否存在从一个元素到另一个元素的路径来判定传递性。
具体操作步骤如下:
1. 绘制有向图:将关系中的元素表示为图中的结点,关系表示为有向边。
根据关系定义,确定图中的结点以及结点之间的有向边。
2. 找到路径:从一个元素出发,通过有向边找到与它关联的所有元素,然后再通过有向边找到这些元素关联的所有元素,一直继续下去,直到找不到新的元素为止。
3. 判断传递性:如果从一个元素出发,可以找到与之存在关联的所有元素,那么就说明关系是传递的。
二、矩阵法
矩阵法是将一个关系表示为一个方阵,通过矩阵的乘法运算来判定传递性。
1. 构建矩阵:将关系中的元素表示为矩阵的行和列,关系的存在与否表示为矩阵元素的值。
如果元素a与元素b之间存在关系,那么矩阵的第a行第b列的值为1,否则为0。
2. 矩阵乘法:将矩阵与自身进行乘法运算,得到的结果是一个新的矩阵。
这两种判定传递性的方法都比较简单直观,可以根据具体情况选择适用的方法。
在实际应用中,传递性的判定常常与其他性质一起使用,以提供更准确的判断结果。
南京邮电大学离散数学实验教学大纲
附件1:《离散数学》课程实验教学大纲实验类别:□通识基础 □学科基础 ■专业基础 □专业一、实验课程目的和任务(黑体小四号)性质:本实验课程是计算机及相关专业的专业基础课,本实验是理论课程的配套实验。
目的和任务:《离散数学》课程以培养学生的逻辑思维能力、推理能力为主要目的,通过给学生设置一定数量的上机实验,使学生通过运用高级语言编程实现和离散数学理论知识相关的若干程序,加深对课内所学基本理论内容的理解和掌握,并进一步提高学生的编程能力。
任务:通过实验,使学生掌握与离散数学理论相关的编程实现思想和方法,重点掌握命题逻辑中合式公式的主析取范式以及主合取范式的真值表求取法、集合论中二元关系性质的判定、偏序关系中盖住关系的求取、有补格的判定以及图论中欧拉路的判定。
二、实验内容、学时分配及基本要求(黑体小四号)课程编号: B0302021S 课程名称: 离散数学 课内总学时:48实验学时/上机实验学时: 16注:实验类型指演示、验证、综合和设计。
综合性、设计性实验内容及要求另附大纲,表中“实验内容及要求”处标明“见附录X”。
三、考核及实验报告(黑体小四号)(一)考核(宋体五号加粗)实验课考核分两个部分:上机演示和实验报告。
演示部分主要考察所编程序执行结果是否正确,学生对编程思想是否能清晰表述;报告部分主要考察程序是否规范、结果分析是否合理、格式是否正确美观等。
成绩根据两部分内容综合评定,由于不是单独设课,所以实验成绩按一定比例折入学生课程考试总分之中,占总成绩的20%。
(二)实验报告(宋体五号加粗)实验报告的内容:1. 实验名称:按统一要求给出。
2. 实验目的:简单描述实验与理论知识的关联,说明实验目的。
3. 实验任务:给出实验需完成的各项主要功能。
4. 实验内容:详见第二部分。
5. 实验过程描述:包括实验结果分析、实验过程遇到的问题及体会。
实验报告的要求:实验报告以文本和电子两种形式提交。
实验报告要求符合基本格式规范,仔细填写学校统一编制报告册中的各项内容,包括具体的实验内容,规范的程序书写,清晰的编程思想描述,正确的运行结果,合理的结果分析,出现的问题及解决措施,心得体会等。
第4章 二元关系_性质
15
传递性
定义 设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称R是A上的传递关系.
实例: A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系,整除关系,包含关系, 真包含关系
幂集上的真包含关系
2
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1={<1,1>,<2,2>} R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3={<1,3>}
R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
3
(1)R在A上是自反的
(x)(x∈A→<x,x>∈R)=1,
12
1
31
31
2
42
42
(a)
(b)
31
3
42
4
(c)
(d)
13
(1)存在既不是对称也不是反对称的关系, 也存在既是对称也是反对称的关系;
(2)关系R是对称的关系图中任何一对结 点之间,要么有方向相反的两条边,要么无 任何边;
关系R是反对称的关系图中任何一对结点之 间,至多有一条边;
(3)关系R是对称的R的关系矩阵为对称 矩阵,关系R是反对称的R的关系系矩阵为 反对称矩阵。
36
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
用C程序实现对二元关系性质的判定
p it(请输入关系矩阵的维数nn = :n ) r f” n (< M)\ ”;
是R上 的关 系 矩 阵 , 作 M 记 。
sa f” ”&n ; cn(%d , )
p it(请 输入 关 系矩 阵 的元 素值 (,)\ ”; r f“ n O 1:n )
定义3 设R为A : 上的关系 ,
些 问 题 可 以 利 用 C语 言 编 程 在 计 算 机 上 实 现 , 之 , C 言 相 反 对 语
自反性 反 自反 性
对 称性 反 对称 性 传 递性
主对 角 线元 素全为 1 主对 角线 元素 全为 。
对 称 矩 阵 女 l 1 i ,0 口 K ≠,贝0
=
,
关知 识的学习 , 也可 以以离散数学 的 问题算 法为例 , 这样 的学习
过程 , 既可 以 加 深 对 两 门 课 程 相 关 知 识 的理 解 和 掌 握 , 能 培 养 也 学 生 的 理 论 和 实 践相 结 合 的 学 习 能 力 。
=
0
,
M 1 中 所在的位置,肿 相应位置都是1
系 叫做 从A到B的 二元 关系 , 特别 当 A=B时 则 叫做 A上 的二元
关 系。
v i i( od ma ) n
定 义2 设 A= ,2 a}R是A上 的关 系 。 : a… n ,
{v i f( ta】,itn ; od z h [】 n )/ 函数声 明} xn [ / v i c (a a】,itn ; od dx it [] n ) l [
To ud t Pr p r y f Bi a y Re li ns b J ge he o e t o n r a to y C p o a r gr m
第67章 二元关系1
性质5的证明和性质4类似, 也采用命题演算的方法. 讨论:性质5的逆命题是否成立。
第2部分 二元关系
逆命题不成立,因为: (1)当A=B=Ø,结论成立。 (2)当A≠Ø, B≠Ø时,结论也成立。 证明: A y B x, y A B x
n个A的笛卡儿积 n= 约定 A A A A
第2部分 二元关系
最后看一个在数据库课程应用的一个例子: 令A1={x|x是学号} A2= {x|x是姓名} A3 ={男,女}
A4 ={x|x是出生年月日} A5 ={x|x是班级} A6 ={x|x是籍贯}
则A1×A2×A3 ×A4×A5×A6中一个元素:
<001,李强,男,1987.05.12,计2008-2,石家庄> 这就是学生档案数据库的一条信息,所以学生的档案就 是A1×A2×A3 ×A4×A5×A6的一个子集。
第2部分 二元关系
7.2 二元关系及其表示
7.2.1 二元关系的概念 例: A=1,2,3, B=1,2 A、B中元素的≤关系, R={<1,1>, <2,2>, <1,2>} A×B。 定义7.2.1设A和B是任意集合,如果RA×B,则称R是A 到B的二元关系。如果R是A到A的二元关系,则称R是A上 的二元关系。 设A=1,2,3,B=a,b,R=1,a,2,a,3,b。R是A 到B的二元关系 RA×B 。S=3,1,2,2,2,1,1,1。 S是A上的二元关系SA×A 。
第2部分 二元关系
第7章 二元关系
7.1 有序对与笛卡尔乘积
7.2二元关系及其表示
7.3关系的运算
7.4关系的性质
7.5关系的闭包运算
第七章 二元关系
例2,设A={1,2},求P(A)×A?
5
如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素?
mn个 若<x,y>A×B,则有
x∈A和y∈B。 若<x,y>A×B,则有
xA或者y B。
6
笛卡儿积运算的性质
有限集合A上的关系R的幂序列是一个周期性变化的序列。 利用它的周期性可以将R的高次幂化为R的低次幂。
定理7.5 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面 的等式成立。
31
7.4 关系的性质
设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种:
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
32
关系R的五种性质
R在A上是自反的 x(x ∈ A→<x,x> ∈ R)=1 R在A上是反自反的 x(x ∈ A→<x,x> R)=1
11
7.2 二元关系Relation
所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相 关性。
例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两 个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三 场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个 结果可以记作
{<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x胜y。它 表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关 系。
26
关系的基本运算的主要性质
定理7.1 设F是任意的关系, 则有
定理7.2 设F,G,H是任意的关系, 则有 (3) (F◦G) ◦H=F◦ (G◦H) (4)
定理7.3 设R是A上的关系,则有 R◦IA=IA◦R=R
实验四 二元关系及其性质
实验四 二元关系及其性质【实验目的】掌握二元关系在计算机上的表示方法,并掌握如果判定关系的性质。
【实验内容】编程判断一个二元关系是否为等价关系,如果是,求其商集。
等价关系:集合A 上的二元关系R 同时具有自反性、对称性和传递性,则称R 是A 上的等价关系。
【实验原理和方法】(1)A 上的二元关系用一个n ×n 关系矩阵R=n n ij r ⨯)(表示,定义一个n ×n 数组r[n][n]表示n ×n 矩阵关系。
(2)若R 对角线上的元素都是1,则R 具有自反性。
C 语言算法:int i,flag=1;for(i=0;i<N && flag ;i++)if(r[i][i]!=1) flag=0; 如果flag=1, 则R 是自反关系(3)若R 是对称矩阵,则R 具有对称性。
对称矩阵的判断方法是:R r R r ji ij ∈∀∈∀有,。
C 语言算法:int i,j,flag=1;for(i=0;i<N && flag ;i++)for(j=i+1;j<N && flag;j++)if(r[i][j] &&r[j][i]!=1) flag=0; 如果flag=1, 则R 是对称关系(4)关系的传递性判断方法:对任意i ,j ,k ,若111===ik jk ij r r r 有且。
C 语言算法:int i,j,k,flag=1;for(i=0;i<N &&flag;i++)for(j=0;j<N && flag;j++)for(k=0;k<N && flag;k++)if(r[i][j] &&r[j][k] && r[i][k]!=1) flag=0; 如果flag=1, 则R 是传递关系(5)求商集的方法:商集是由等价类组成的集合。
第4章 二元关系
第4章 二元关系
一般地说,R∘S∩R∘T⊈R∘(S∩T),举反例如下: 设A=1,2,3,4,5 R=4,1,4,2A×A S=1,5,3,5A×A T=2,5,3,5A×A R∘S∩R∘T =4,5∩4,5 =4,5 R∘(S∩T) =4,1,4,2∘3,5= R∘S∩R∘T⊈R∘(S∩T) 定理4.2.4的⑴说明,关系的复合运算“∘”对并运算 “∪”满足左分配律。⑵说明,关系的复合运算“∘” 对并运算“∪”满足右分配律。所以,复合运算“∘” 对并运算“∪”满足分配律。由⑶和⑷知,复合运算 “∘”对交运算“∩”不满足分配律。
称为二元关系R的关系矩阵。
第4章 二元关系
【例4.3】设A=a1,a2,a3,a4,B=b1,b2,b3,R是A到B 的二元关系,定义为: R=a1,b1,a1,b3,a2,b2,a2,b3,a3,b1,a4,b1,a4,b2 写出R的关系矩阵。 解:R的关系矩阵为:
第4章 二元关系
4.1.2二元关系的表示 1.用列举法表示二元关系 例4.1中的A到B的全域关系 E=A×B=a,1,a,2,b,1,b,2 A上的恒等关系 IA=a,a,b,b 都是用列举法表示的。 2.用描述法表示二元关系 设R是实数集,LR= x,y | xR∧yR∧x≤y, LR是 实数集R上的二元关系。
第4章 二元关系
定理4.2.3 设R是A上的二元关系,R∘IA=IA∘R=R 证明:先证R∘IA=R x,yR∘IA(z)(x,zR∧z,yIA) (z)(x,zR∧z=y)x,yR 所以 R∘IAR x,yRx,yR∧y,yIAx,yR∘IA 所以 RR∘IA 故 R∘IA=R 类似的,可以证明IA∘R= R
第4章 二元关系
定义4.2.3 设R是A上的二元关系,n为自然数,R的n次幂 记为Rn,定义为: ⑴ R0=IA ⑵ Rn+1= Rn∘R 由定义4.2.3可以看出,A上的任何二元关系的0次幂都相 等,等于A上的恒等关系IA。由定义4.2.3还可以看出: R1= R0 ∘ R=IA∘R=R R2= R1∘R= R∘R R3= R2∘R=(R∘R)∘R „„ 因为复合运算满足结合律,所以R3又可以写成: R3= R∘R∘R n个R的复合 同样的道理Rn也可以写成: Rn= R R R
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定离散数学是计算机科学中的重要基础学科之一,而二元关系是离散数学中的重要概念之一。
二元关系是指给定集合上的两个元素之间的一种关系,它可以用来描述集合中元素之间的某种联系或者性质。
在离散数学中,二元关系的性质和特性是非常重要的,其中传递性是二元关系的一个重要性质之一。
在本文中,我们将介绍离散数学中二元关系传递性的判定方法,以及一些相关的例子和应用。
让我们来回顾一下二元关系的定义。
设A是一个集合,R是A上的二元关系,即R是A的子集。
对于A中的元素a和b,如果(a, b)∈R,我们就说a和b满足关系R。
假设A={1,2,3},R={(1,1),(2,2),(2,3)},则R是A上的一个二元关系,因为R是A的子集,并且R中的元素都是A中的元素对。
在离散数学中,二元关系的传递性是一个非常重要的性质。
一个二元关系R在集合A 上是传递的,如果对于A中的任意元素a、b和c,如果(a, b)∈R且(b, c)∈R,则(a, c)∈R。
换句话说,如果R中的元素对(a, b)和(b, c)都属于R,那么(a, c)也属于R。
这种传递性的性质在实际应用中非常重要,它可以用来描述很多实际情况下元素之间的某种传递关系。
那么,我们如何判定一个二元关系是否具有传递性呢?在离散数学中,有几种方法可以用来判定二元关系的传递性。
下面我们将介绍其中的一些方法。
方法二:矩阵分解法另一种判定二元关系传递性的方法是使用矩阵分解。
设A是一个有限集合,R是A上的一个二元关系,我们可以用一个|A|×|A|的矩阵M来表示R。
如果R是传递的,那么M 的幂运算M^2、M^3等也会反映这种传递性质。
我们可以通过计算M、M^2、M^3等来判断R是否具有传递性。
方法三:通过定义直接推导根据二元关系传递性的定义,我们还可以通过对二元关系的定义进行直接推导,以判断它是否具有传递性。
对于一个给定的二元关系R,在集合A上是传递的,如果对于A中的任意元素a、b和c,如果(a, b)∈R且(b, c)∈R,则(a, c)∈R。
二元关系 (3)
150-3
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例6.4.2
设A={a,b},试计算A上所有具有自反性的关系R的 个数。 解 因为A2={<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>},所以A上 具有自反性的关系R的个数为:
C(2,0) + C(2,1) + C(2,2) = 4。
2020/1/12
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150-5
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例6.4.2
设A={1,2,3,4}, 定义A上的关系R,S,T和V如下: (1)R={<1,1>,<1,3>,<3,1>,<4,4>}; (2)S={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<2,4>}; (3)T={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,1>,<1,4>}; (4)V={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}。 试判定它们是否具有对称性和反对称性
(a)
a
b
c
(b)
a
b
c
(c)
a
b
c
(d)
a
b
c
(e)
(f)
(g)
(h)
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150-15
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例6.4.9
设R={<1,1>,<2,2>},试判断R在集合A和B上具备的 特殊性质,其中A={1,2},B={1,2,3}。 解 当R是定义在集合A上的关系时,R是自反、对称、 反对称和传递的; 当R是定义在集合B上的关系时,R是对称、反对称 和传递的。 注意:绝对不能脱离基集(即定义关系的集合)来 谈论关系的性质。
离散数学 ch2.二元关系(3,4节)
下边R3、R4、 R6 、 R8均是对称关系。
1
。
1
。
2
。 。 3
R1
1
。 。 3
R2
1
。 。 2。 。 3 3
R3
1
R4
1
。
2
。
2
。
。
2
。 。 3
R5
。 。 3
R6
。 。 2。 。 3 3
R7 R8
四.反对称性
定义:设R为集合X中关系,若对任何x, y∈X,如果有 (x,y)∈ R,和(y ,x)∈ R,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。 如实数的小于关系<,≤ ,均是反对称的。父子关系是反 对称的。
R 3 {(1,2), (3,0), (3,2)}
性质 判定 自反性
从关系的有向图 每个结点都有环
从关系的矩阵 主对角线全是1
反自反性
对称性 反对称性
每个结点都无环
主对角线全是0
不同结点间如果有边, 是以对角线为对称 则有方向相反的两条 的矩阵 边. 不同结点间,最多有一 以主对角线为对称 条边. 的位置不会同时为1
实际上r(R)、(s(R) 、t(R)) 就是包含R的“最小” 的自反(对称、传递)关系。 三.计算方法 定理1.给定 A中关系R,则 r(R)=R∪IA。 证明:令R’=R∪IA,显然R’是自反的和RR’,下 面证明R’是“最小的”:如果有A上自反关系 R”且RR”,又IAR”,所以 R∪IAR”,即R’R”。 所以R’就是R的自反闭包。即r(R)=R∪IA 。 ~ R 定理2.给定 A中关系R,则 s(R)=R∪ 。 证明方法与1.类似。(集合法) 定理3.给定 A中关系R,则 t(R)=R∪R2∪R3∪... 。 证明:令R’= R∪R2∪R3∪..., ⑴显然有 RR’ ;
二元关系
(R ⋅ R2 ) ⋅ R3 = R ⋅ (R2 ⋅ R3 ) 1 1
11
例6 设
A = ,,2,3,4}, B = {2,3,4} {1 C = {1,2,3} D = {4,5,6} , .
A到B的关系 R ={< 2,4 >, < 2,3 >, < 4,2 >} 到 的关系 1 B到C的关系 R2 = {< 2,1 >, < 3,2 >, < 4,3 >} 到 的关系 C到D的关系 R3 = {< 2,4 >, <1,5 >, < 2,6 >, < 3,6 >} 到 的关系 则A到C的关系 R ⋅ R2 = {< 2,3 >, < 2,2 >, < 4,1 >} 到 的关系 1 因此 因此 所以
8
例4 设R1是由 是由A={1,2,3,4}到B={2,3,4}的关系。 的关系。 到 的关系
R2是由 B 到C={3,5,6}的关系。 的关系。 的关系
分别定义为: 分别定义为:
R ={< a, b >| a + b = 6} ={< 2,4 >, < 3,3 >, < 4,2 >} 1 R2 ={< b, c >| b整除c} ={< 2,6 >, < 3,3 >, < 3,6 >}
R⋅ R⋅⋯⋅ R
简记作 Rn,它也是集
A 上的一个关系。 上的一个关系。
13
(3)求复合关系的几种方法 求复合关系的几种方法
根据复合关系的定义求复合关系 中求复合关系采用的就是这种方法。 例6中求复合关系采用的就是这种方法。 中求复合关系采用的就是这种方法 运用关系矩阵的运算求复合关系 A.布尔运算 布尔运算 其加法和乘法运算定义如下
二元关系的性质及判定
Ke r sdsrt ma e t s ia lt npo e isu g e t yWo d :i ee t ma c; n r r ai ;rpre; d m n c h i b ye o t j
{ab ,a c ,b c l 反 对 称 的 。 < ,> < ,> < ,>是
定义 1设 R是集合 A上 的二元关系 , () 对所有的 a 1若 ∈A, a >∈R, 称 R 是 自反 的 。 有< , a 则 () 对所有的 a 2若 ∈A, a >隹R, 称 R 是 反 自反 的。 有< , a 则 ( ) 对 所 有 的 a b∈A, 当< '>∈R 时 , 有 < ,>∈R, 称 3若 , 每 ab 就 ba 则
二元关系是离散数学 中的一个重要 的基本 概念 , 定义在某一集合 上 的二元关 系有 自反性 、 自反性 、 反 对称性 、 反对 称性 和传递 性等性 质。
一
因此,, R 是具有传递性 的。
下 面 的定 理 也 是 判 定 二 元 关 系 具 有 某 一 性 质 的简 捷 有 效 的 方 法 : 定 理 1设 R A ,^ 则 I A 。 () 1 R是 自反 的 当且 仅 当 I R; () 2 R是 反 自反 的 当且 仅 当 RnI= ^ () 3 R是 对 称 的 当且 仅 当 R ; = () 4 R是 反 对 称 的 当且 仅 当 Rn
义 . 时 列 出 了二 元 关 系性 质 判 定 的 四种 不 同方 法 。对 于 易混 淆 的 关 系指 出 了 它们 之 间 的联 系 。 同 关键词 : 离散 数 学 ; 元 关 系 ; 质 ; 定 二 性 判 P o et sa dj d me t f ia yrlt n r p ri n g n n r ea o e u ob i AnS u o ain l n eh ia olg fGu h uP o ic uQig h n 6 0 h nV c t a dT c nc l l eo i o rvne w n c e g5 1 0 o a C e Z
《离散数学》中二元关系传递性的判定
《离散数学》中二元关系传递性的判定1. 引言1.1 介绍二元关系二元关系是离散数学中一个非常重要的概念。
在离散数学的研究中,我们常常需要研究元素之间的各种关系,而二元关系就是其中一种最基本的形式。
简而言之,二元关系就是一个元素对的集合,其中每个对代表了两个元素之间的关系。
举个简单的例子来说明二元关系。
假设我们有一个集合A={1,2,3,4},我们可以定义一个二元关系R为{(1,2),(2,3),(3,4)}。
在这个关系中,元素1和2之间存在关系,元素2和3之间也存在关系,但是元素1和3之间并没有直接的关系。
二元关系可以通过图形的形式来表示,通常我们用有向图或者无向图来表示不同类型的二元关系。
有向图中,每个节点代表集合中的一个元素,而每条边代表元素之间的关系。
无向图则更多地表示元素之间的对称关系。
通过研究二元关系,我们可以更深入地探讨元素之间的关系性质,为解决各种离散数学中的问题奠定基础。
在接下来的我们将深入研究二元关系的性质以及传递性的重要性。
1.2 引入传递性概念传递性是离散数学中一个重要的性质,它指的是如果集合中的元素之间存在某种关系,那么这种关系是否能够由某种规律或者条件连接起来,使得如果集合中的某两个元素之间存在这种关系,那么它们之间也存在这种关系。
传递性是二元关系中的一个基本概念,它能够帮助我们理解和分析集合中元素之间的关系,从而推断出更多的信息。
在离散数学中,传递性的概念是非常重要的。
通过传递性,我们可以将复杂的关系简化为更加清晰和直观的形式,从而更好地理解集合中元素之间的联系。
传递性也为我们解决问题提供了一种有效的方法,例如在图论、逻辑推理和关系代数等领域中,传递性都扮演着重要的角色。
了解二元关系的传递性及其判定方法对于深入学习离散数学是非常有帮助的。
在接下来的正文中,我们将详细介绍二元关系的定义、性质和传递性的概念,以及如何判定二元关系是否具有传递性,希望能够带给读者更多的启发和认识。
02-第4讲:二元关系
表示方法
1 集合表示法 (前已使用) 2 关系矩阵法(从有穷集A到有穷集B的关系) 3 关系图(有穷集A上的关系)源自基本概念定义4.4
设两个有穷集A={x1, x2, …, xm},
B={y1, y2, …, yn},R A×B。
则对应于二元关系R有一个关系矩阵:
MR=(rij)m×n,其中
rij
离散数 学罗 元 勋 博 士
厦门大学数学科学学院
第4讲 二元关系
基本概念
定义4.1
二元关系 如果一个集合为空集或者它的每个元素都是有 序对,则称这个集合是一个二元关系,一般记 作R。二元关系也可简称关系。
对于二元关系R, 如果<x,y>∈R,则记作xRy;
如果<x,y>R,则记作xRy。
基本概念
基本概念
定义4.3
对任何集合A: EA={<x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A, IA={<x,x>|x∈A}。
例子
例4.1 设A={a,b},请写出P(A)上的包含关系R 。 解:P(A)={,{a},{b},A}。 R ={<,>,<,{a}>,<,{b}>, <,A>,<{a},{a}>,<{a},A>, <{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}。
定义4.2
设A,B为集合,A×B的任何子集所定义的 二元关系称作从A到B的二元关系。特别 当A=B时,则叫做A上的二元关系。
基本性质
思考
有穷集A上有多少个不同的二元关系?
若|A|=n
则|A×A|=n2 |P(A×A)|=2n2
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if(i==j)
{
continue;
}
else
{
if(c[j].Getleft()==c[i].Getright())
{
for(k=0;k<n;k++)
{
if(c[k].Getleft()==c[i].Getleft()&&c[k].Getright()==c[j].Getright())
{
break;
{
for(j=0;j<n;j++)
{
if((c[j].Getleft()==a[i])&&(c[j].Getright()==a[i]))
{
return false;
}
}
}
return true;
}
bool Fanduichen_or_not(element c[],int n)//反对称性的判断
{
}
else
{
continue;
}
}
if(k==n)
{
return false;
}
}
else
{
continue;
}
}
}
}
return true;
}
bool Fanzifan_or_not(string a[],int m,element c[],int n)//反自反性的判断
{
int i,j;
for(i=0;i<m;i++)
{
continue;
}
}
}
return true;
}
int main()
{
int flag=1;
while(flag==1)
{
system("cls");
cout<<"欢迎使用集合上的二元关系性质判断的工具!"<<endl<<endl;
int number_1;
cout<<"请输入全集中元素的个数:";
{
int i,j;
for(i=0;i<m;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
if(c[j].Getleft()==a[i]&&c[j].Getright()==a[i])
{
break;
}
else
{
continue;
}
}
if(j==n)
{
return false;
}
}
return true;
right="";
}
element::element(string a,string b)
{
left=a;
right=b;
}
string element::Getleft()
{
return left;
}
string element::Getright()
{
return right;
}
bool Zifan_or_not(string a[],int m,element c[],int n)//自反性的判断
cin>>number_1;
string *all=new string[number_1];
cout<<"请输入全集中的各个元素:";
for(int i=0;i<number_1;i++)
{
cin>>all[i];
}
cout<<"你输入的全集为:"<<"{";
for(int i=0;i<number_1;i++)
实验报告
(/学年第一学期)
课程名称
离散数学
实验名称
集合上二元关系性质判断的实现
实验时间
年
月
日
指导单位
指导教师
学生姓名
班级学号
学院(系)
专业
实验报告
实验称
集合上二元关系性质判断的实现
指导教师
实验类型
上机实验
实验学时
4
实验时间
一、实验目的和要求
能正确判定任意二元关系的自反性、对称性、传递性、反自反性和反对称性。
{
cout<<all[i];
if(i!=number_1-1)
{
cout<<",";
}
}
cout<<"}"<<endl;
int number_2;
cout<<endl<<"请输入要求二元关系的集合中元素的个数:";
cin>>number_2;
element *collection=new element[number_2];
}
bool Duichen_or_not(element c[],int n)//对称性的判断
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
if(c[j].Getleft()==c[i].Getright()&&c[j].Getright()==c[i].Getleft())
{
break;
}
else
{
continue;
}
}
if(j==n)
{
return false;
}
}
return true;
}
bool Chuandi_or_not(element c[],int n)//传递性的判断
{
int i,j,k;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
原理:建立一个元素类,用来保存元素,根据各个二元关系的定义构造判断的函数,在主函数中建立一个字符数组保存全集,建立一个对象数组保存要求二元关系的集合调用判断的函数并输出。
程序:
#include <iostream>
#include <windows.h>
using namespace std;
class element
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
if(c[j].Getleft()==c[i].Getright()&&c[j].Getright()==c[i].Getleft())
{
if(i==j)
{
break;
}
else
{
return false;
}
}
else
cout<<"请输入要求二元关系的集合中的每个元素:"<<endl<<endl;
for(int i=0;i<number_2;i++)
{
string a,b;
cin>>a>>b;
collection[i]=element(a,b);
{
private:
string left;
string right;
public:
element();
element(string a,string b);
~element() {};
string Getleft();
string Getright();
};
element::element()
{
left="";
二、实验环境(实验设备)
硬件:PC机。
软件:Code::Blocks(C++)
三、实验原理及内容
内容:首先输入要求二元关系的集合所对应的全集中的元素个数以及各个元素,屏幕输出该全集以便使用者观看,然后输入要求二元关系的集合中的各个元素,程序调用判断各个关系的函数,最后在屏幕输出是否具有各个二元关系,并且询问是否继续使用,若继续使用则重复进行上述过程。