理力答案_第四章
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而 ，平衡时有：
（a）
解：为求 ，首先解除A处约束，并建立如图（a）所示的力和虚位移图。由虚位移原理
于是
KN·m
4-19均质杆AB的长为l，重为P，搁置在宽为a的槽内，如图所示。设A、D处光滑接触，试求平衡位置的 角，并讨论其平衡的稳定性。
解：建立如图所示的坐标系，以杆为研究对象，约束是理想的，主动力只有重力，系统的势能为：
虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，弹簧力是主动力，必须计入。
4-13长度均为l的轻棒四根，由光滑铰链联成一菱形ABCD；AB、AD两边支于同一水平线的两个钉E，F上，相距为2a，BD间用一细绳连接，C点作用一铅直力P，如图所示。设A点的顶角为2 ，试用虚功原理求绳中张力T。
解：根据题意，以四根杆组成的整体为研究对象，约束为理想约束，主动力为 。
4-1图示为一轧纸钳，其尺寸如图所示。工作时上、下钳口保持平行，设手握力为P，求作用于纸片上的力Q的大小。
解：
1）取整个轧纸钳为研究对象。
2）系统约束为理想约束。
3）主动力P和Q分别作用在B点和A点。
4）取A点和B点的无穷小真实位移为虚位移 和 。
5）建立虚位移和的关系。由几何关系得
6）主动力的虚功为
假设 不动， 有一个小的转角 ，
那么 ，那么两根杆所做的功为
而力偶所做的功为：
而根据虚位移原理，
现假设 不动， 有一个小的转角 ，
那么 ， ，两根杆所做的功为
而力偶所做的功为：
而根据虚位移原理，
4-10三均质细杆以铰链相联，其A端和B端另以铰链联接在固定水平直线AB上，如图所示。已知各杆的重量与其长度成正比，AC=a,CD=DB=2a,AB=3a。设铰链为理想约束，求杆系平衡时 和 间的关系。
于是
4-2图示机构的在C处铰接，在D点上作用水平力P，已知AC=BC=EC=FC=DE=DF=l，求保持机构平衡的力Q的值。
解：建立如图所示的坐标系，由几何关系得：
，
由虚位移原理得：
所以：
4-4反平行四边形机构 中的杆 和 用铰链 和 互相连接，同时又用铰链 和 连在机架 上。在杆 的铰链 处作用着水平力 。在铰链 沿垂直于杆 的方向作用有力 ，机构在图示位置处于平衡。设 ， ， ， 。求 的大小。
对BC杆，有 ,其中 , ,
由以上式子可得
则A点的虚位移rA与滑块C的虚位移rC的关系同速度之间的关系，即
由虚位移原理 ，代入rA与rC的关系
得P = 125N.
4-9两相同的均质杆，长度均为l，质量均匀为m，其上作用力偶如图。试求在平衡状态时，杆与水平线之间的夹角 ， 。
解：假设上面杆的质心为A点，下面质心为B点。
解：根据题意，选三根杆组成的整体为研究对象，约束均为理想约束，主动力为 。质系平衡，则由虚位移原理，有
又由运动学知识，
其中 是沿CB杆方向的分量。
联立上述两式可得，
4-5滑套D套在光滑直杆AB上，并带动CD杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。已知当 时，弹簧等于原长，且弹簧系数为5kN/m。若系统的自重不计，求在任意位置 角平衡时，在AB杆上应加多大力偶矩M。
解：如图所示，以A为原点建立坐标系。则D点坐标：
对上式进行变分可得：
(1)
此时弹簧的弹力为：
(2)
以杆AB、滑套D和杆CD为研究对象，约束为理想约束。将弹簧去除，代之以作用在D和B上的弹簧力。弹簧力在 上所做的虚功为零，在 上做的虚功为 ，利用虚位移原理有：
(3)
将(1)式代入得：
由 的任意性可得：
由约束知：
（1）
主动力的虚功为：
（2）
将（1）代入（2）得到：
得到距离AC为：
4-8在曲柄OA上作用力矩为M=6 的力偶。OA=150mm，OO1=200mm,O1B=500mm,BC=780mm,略去摩擦及自重。当OA⊥OO1时（如图所示），为了使机构处于平衡，求作用在滑块C上的水平力P。
解：
如图，OA杆速度为 ,其中
由虚功原理列方程可得：
解得： 为插入端A铅直反作用力。
4-16试用虚位原理求图标桁架1、2两杆的内力。
解：如左图去掉1杆，代以作用力F，设F点虚位移为（方向向下），则点E，G，H的虚位移分别为 ，
由虚位移原理有 可得 ；
如右图，分析机构左半部分。设E点虚位移为（方向向下），则点G的虚位移为 ，由虚位移原理有 可得 ；
以EF中点为坐标原点建立坐标系，则有
则有：
因为系统质系平衡，由虚位移原理有：
由此解得：
4-14已知AD=DB=6m，CD=3m，在节点D的载荷为P，各杆自重不计。试用虚位原理求图示桁架中杆3的内力。
解：将杆3解除，并代之以相应的内力S。这样，结构ACD可以绕A点定轴转动，CB做平面运动，B、C、D点的虚位移如图所示。根据运动学中定轴转动的知识可知：
所以：
(1)
CB杆的速度瞬心为E点， ， ，所以：
(2)
利用虚位移原理可得：
将(1)、(2)代入，得：
由 的任意性，可得：
4-15平台钢架由一个 形框架带中间铰 构成。框架的上端刚性地插在混凝土墙内，下端则搁在圆柱滚动支座上。求当 和 两力作用时，插入端A处的铅直反作用力。
解：欲求 端铅直方向力，解除 端铅直方向约束，代之以约束力 ，则 只能上下平动， 和 点的虚位移大小相同 ，方向可知沿铅直方向， 点虚位移方向沿水平方向，由此可以确定 的速度瞬心即为 的折角处点 。可以求出 作用点D的虚位移 满足：
解：如图所示，重力 ， ， 的坐标分别为 ， ， 。
易知
， ，
由几何关系有
变分得
解得
主动力 的虚功为0，即
带入 便得
4-12图示平面平衡系统，在列其整体的平衡方程时，不需计入弹簧内力；而用虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，必需计入弹簧的虚功，二者矛盾吗？简要说明理由。
解：这二者并不矛盾。
在列其整体的平衡方程时，弹簧力是属于内力，不计入平衡方程。
将(2)式代入，并由 可得：
4-6两等长杆AB与BC在B点用铰链接，又在杆的D和E两点连一弹簧，如图所示。弹簧系数为k，当距离AC等于a时，弹簧的拉力为零。如在C点作用一水平力F，杆系处于平衡。设AB=l，BD=b，杆重及摩擦略去不计，求距离AC之值。
解：解除弹簧DE的约束，代之以约束反力 和 。
因为当AC等于a时，弹簧的拉力为零，从而当AC等于 时，弹簧弹力：
答：
4-17图示三铰拱的自重不计，求在水平力P作用下支座A和B的约束反力。
解：解除B点Y方向上的约束，假设B点Y方向上的力为 ，有：
所以：
根据力平衡原理有：
然后解除C点的约束，假设A点X和Y方向的力为 和 。对C点，根据力矩平衡，可以得到：
所以：
再根据X方向上的力平衡，可以得到：
所以：
4-18图示组合梁上作用有载荷P1=5kN，P2=4kN，P3=3kN，以及M=2kN·m的力偶。不计摩擦及梁的质量Байду номын сангаас试用虚位移原理求固定端A的约束反力偶之矩MA。
（a）
解：为求 ，首先解除A处约束，并建立如图（a）所示的力和虚位移图。由虚位移原理
于是
KN·m
4-19均质杆AB的长为l，重为P，搁置在宽为a的槽内，如图所示。设A、D处光滑接触，试求平衡位置的 角，并讨论其平衡的稳定性。
解：建立如图所示的坐标系，以杆为研究对象，约束是理想的，主动力只有重力，系统的势能为：
虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，弹簧力是主动力，必须计入。
4-13长度均为l的轻棒四根，由光滑铰链联成一菱形ABCD；AB、AD两边支于同一水平线的两个钉E，F上，相距为2a，BD间用一细绳连接，C点作用一铅直力P，如图所示。设A点的顶角为2 ，试用虚功原理求绳中张力T。
解：根据题意，以四根杆组成的整体为研究对象，约束为理想约束，主动力为 。
4-1图示为一轧纸钳，其尺寸如图所示。工作时上、下钳口保持平行，设手握力为P，求作用于纸片上的力Q的大小。
解：
1）取整个轧纸钳为研究对象。
2）系统约束为理想约束。
3）主动力P和Q分别作用在B点和A点。
4）取A点和B点的无穷小真实位移为虚位移 和 。
5）建立虚位移和的关系。由几何关系得
6）主动力的虚功为
假设 不动， 有一个小的转角 ，
那么 ，那么两根杆所做的功为
而力偶所做的功为：
而根据虚位移原理，
现假设 不动， 有一个小的转角 ，
那么 ， ，两根杆所做的功为
而力偶所做的功为：
而根据虚位移原理，
4-10三均质细杆以铰链相联，其A端和B端另以铰链联接在固定水平直线AB上，如图所示。已知各杆的重量与其长度成正比，AC=a,CD=DB=2a,AB=3a。设铰链为理想约束，求杆系平衡时 和 间的关系。
于是
4-2图示机构的在C处铰接，在D点上作用水平力P，已知AC=BC=EC=FC=DE=DF=l，求保持机构平衡的力Q的值。
解：建立如图所示的坐标系，由几何关系得：
，
由虚位移原理得：
所以：
4-4反平行四边形机构 中的杆 和 用铰链 和 互相连接，同时又用铰链 和 连在机架 上。在杆 的铰链 处作用着水平力 。在铰链 沿垂直于杆 的方向作用有力 ，机构在图示位置处于平衡。设 ， ， ， 。求 的大小。
对BC杆，有 ,其中 , ,
由以上式子可得
则A点的虚位移rA与滑块C的虚位移rC的关系同速度之间的关系，即
由虚位移原理 ，代入rA与rC的关系
得P = 125N.
4-9两相同的均质杆，长度均为l，质量均匀为m，其上作用力偶如图。试求在平衡状态时，杆与水平线之间的夹角 ， 。
解：假设上面杆的质心为A点，下面质心为B点。
解：根据题意，选三根杆组成的整体为研究对象，约束均为理想约束，主动力为 。质系平衡，则由虚位移原理，有
又由运动学知识，
其中 是沿CB杆方向的分量。
联立上述两式可得，
4-5滑套D套在光滑直杆AB上，并带动CD杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。已知当 时，弹簧等于原长，且弹簧系数为5kN/m。若系统的自重不计，求在任意位置 角平衡时，在AB杆上应加多大力偶矩M。
解：如图所示，以A为原点建立坐标系。则D点坐标：
对上式进行变分可得：
(1)
此时弹簧的弹力为：
(2)
以杆AB、滑套D和杆CD为研究对象，约束为理想约束。将弹簧去除，代之以作用在D和B上的弹簧力。弹簧力在 上所做的虚功为零，在 上做的虚功为 ，利用虚位移原理有：
(3)
将(1)式代入得：
由 的任意性可得：
由约束知：
（1）
主动力的虚功为：
（2）
将（1）代入（2）得到：
得到距离AC为：
4-8在曲柄OA上作用力矩为M=6 的力偶。OA=150mm，OO1=200mm,O1B=500mm,BC=780mm,略去摩擦及自重。当OA⊥OO1时（如图所示），为了使机构处于平衡，求作用在滑块C上的水平力P。
解：
如图，OA杆速度为 ,其中
由虚功原理列方程可得：
解得： 为插入端A铅直反作用力。
4-16试用虚位原理求图标桁架1、2两杆的内力。
解：如左图去掉1杆，代以作用力F，设F点虚位移为（方向向下），则点E，G，H的虚位移分别为 ，
由虚位移原理有 可得 ；
如右图，分析机构左半部分。设E点虚位移为（方向向下），则点G的虚位移为 ，由虚位移原理有 可得 ；
以EF中点为坐标原点建立坐标系，则有
则有：
因为系统质系平衡，由虚位移原理有：
由此解得：
4-14已知AD=DB=6m，CD=3m，在节点D的载荷为P，各杆自重不计。试用虚位原理求图示桁架中杆3的内力。
解：将杆3解除，并代之以相应的内力S。这样，结构ACD可以绕A点定轴转动，CB做平面运动，B、C、D点的虚位移如图所示。根据运动学中定轴转动的知识可知：
所以：
(1)
CB杆的速度瞬心为E点， ， ，所以：
(2)
利用虚位移原理可得：
将(1)、(2)代入，得：
由 的任意性，可得：
4-15平台钢架由一个 形框架带中间铰 构成。框架的上端刚性地插在混凝土墙内，下端则搁在圆柱滚动支座上。求当 和 两力作用时，插入端A处的铅直反作用力。
解：欲求 端铅直方向力，解除 端铅直方向约束，代之以约束力 ，则 只能上下平动， 和 点的虚位移大小相同 ，方向可知沿铅直方向， 点虚位移方向沿水平方向，由此可以确定 的速度瞬心即为 的折角处点 。可以求出 作用点D的虚位移 满足：
解：如图所示，重力 ， ， 的坐标分别为 ， ， 。
易知
， ，
由几何关系有
变分得
解得
主动力 的虚功为0，即
带入 便得
4-12图示平面平衡系统，在列其整体的平衡方程时，不需计入弹簧内力；而用虚位移原理求力F1和F2之间的关系时，必需计入弹簧的虚功，二者矛盾吗？简要说明理由。
解：这二者并不矛盾。
在列其整体的平衡方程时，弹簧力是属于内力，不计入平衡方程。
将(2)式代入，并由 可得：
4-6两等长杆AB与BC在B点用铰链接，又在杆的D和E两点连一弹簧，如图所示。弹簧系数为k，当距离AC等于a时，弹簧的拉力为零。如在C点作用一水平力F，杆系处于平衡。设AB=l，BD=b，杆重及摩擦略去不计，求距离AC之值。
解：解除弹簧DE的约束，代之以约束反力 和 。
因为当AC等于a时，弹簧的拉力为零，从而当AC等于 时，弹簧弹力：
答：
4-17图示三铰拱的自重不计，求在水平力P作用下支座A和B的约束反力。
解：解除B点Y方向上的约束，假设B点Y方向上的力为 ，有：
所以：
根据力平衡原理有：
然后解除C点的约束，假设A点X和Y方向的力为 和 。对C点，根据力矩平衡，可以得到：
所以：
再根据X方向上的力平衡，可以得到：
所以：
4-18图示组合梁上作用有载荷P1=5kN，P2=4kN，P3=3kN，以及M=2kN·m的力偶。不计摩擦及梁的质量Байду номын сангаас试用虚位移原理求固定端A的约束反力偶之矩MA。