现代控制理论第4章 李亚普诺夫稳定性分析
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04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
平衡状态— —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。
第现代控制理论4章
全导数分别为
V(x)
xτ
Px
1 2
xτ
3 1
1 2x 0
V(x)
xτ
Qx
xτ
1
0
01x 0
实用文档
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为 x1 0 1 x2 0 2 x3 k 0
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
1 2(6k)
6k 0
3k k k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为
正定。
实用文档
➢ 采用合同变换法,有
k2 1 2 k6 k0
k2 00
k2 0 0
6 k
3 kk 行 (1 ) (2 ) 2 (1 ) 03 kk 行 (3 ) (2 )/3 (3 ) 03 k
1 2
实用文档
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P1 21 3
1行 (2)(1)/3 (2)19 2列 (2)(1)/3 (2)60
0 5
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为
矩阵方程
PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫
函数。 □
实用文档
证明过程为：
➢ 已知满足矩阵方程
V(x)
xτ
Px
1 2
xτ
3 1
1 2x 0
V(x)
xτ
Qx
xτ
1
0
01x 0
实用文档
例4-10 控制系统方块图如下图所示。 ➢ 要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围。
x3
x2
x1
k
1
1
s 1 -
s 2
s
解 由图可写出系统的状态方程为 x1 0 1 x2 0 2 x3 k 0
➢ 求得
k2 12k 6k 0
P
1 2(6k)
6k 0
3k k k 6
➢ 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为
正定。
实用文档
➢ 采用合同变换法,有
k2 1 2 k6 k0
k2 00
k2 0 0
6 k
3 kk 行 (1 ) (2 ) 2 (1 ) 03 kk 行 (3 ) (2 )/3 (3 ) 03 k
1 2
实用文档
➢ 为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:
P1 21 3
1行 (2)(1)/3 (2)19 2列 (2)(1)/3 (2)60
0 5
➢ 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故 矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。
➢ 此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为
矩阵方程
PA+AP=-Q 的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫
函数。 □
实用文档
证明过程为：
➢ 已知满足矩阵方程
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
现代控制理论基础4控制系统的稳定性分析课件
[解] （1）系统的传递函数为：
G(s) C(sI A)1 B 0
1s1
6
1
2
s 1 1
(s
(s 2)(
2) s
3)
(s
1
3)
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。 系统是有界输入有界输出稳定的。
（2） 求系统的特征方程：
de
t(I
A)
1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
稳
图解表示：
定
区
内部稳定性判据：
Im S平面 临不 界 稳 Re 稳定 定区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
13
[例4-6]
设系统方程为：
x
0 1
6 1
x
12u,
y 0 1x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
6
二、状态向量范数
符号 称为向量的范数， x xe 为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义 为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定 义式为：
1
x xe (x1 xe1)2 (x2 xe2 )2 (xn xen )2 2
7
三、李雅普诺夫意义下稳定性意义
1、稳定与一致稳定： （系统的自由响应是有界的）
3）对任意初始时刻 t0 时的任意状态 x0 0 ，在 t t0
时，除了在 x 0 时有 V(x) 0 外，V ( x) 不恒等于零。
则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
说明： 恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面 V(x) C 。
现代控制理论4稳定性
现代控制理论4稳定性4 稳定性分析4．1李氏稳定性分析（1）平衡状态设系统 [],x f x t = x —n 维状态向量。
f —n 维函数向量。
若存在状态向量ex ，对所有的t ，使得 []0ef x t ≡成立，则称ex 为系统的平衡状态。
例如系统1132122x x x x x x =-??=+-?解：有3个平衡点 100e x=，201e x=??-??，301e x=（2）稳定性分析1）李亚普诺夫意义下的稳定对于任选0ε>，都对应存在0(,)0t δε>的实数，当00(,)e x x t δε-≤时其解满足00(,,)x t t εΦ≤ 0t t ≤<∞则称平衡状态ex 为李亚普诺夫意义下的稳定，如果δ与t 无关，则称ex 是一致稳定2）渐近稳定由非0初始状态引起的自由运动是衰减的，当t →∞时， 0(,,)0et x t x Φ-=则ex 平衡点是渐近稳定的。
3）大范围稳定如果ex 稳定，而且对于所有的0x ，00(,,)0et x t x Φ-→，则称平衡状态是大范围渐近稳定的。
4）不稳定由初始状态引起的运动无论0ex x δ-≤，δ多么小，至少有一个状态超出任意指定的空间范围，则称平衡点ex 是不稳定的。
4．2李氏第一方法（1）线性定常系统的稳定判据：x Ax Bu =+ y Cx =系统稳定的充要条件是0SI A -=的特征根全位于S 左半面，输出稳定的充要条件是B A SI C S W 1)()(--=的极点全位于S 左半面，当存在零、极点对消情况时两者是不一致的。
101-=A ，11B ??=， []10C = 0)1()1(=+?-=-S S A SI 11S =-，21S =状态不全稳定，属于状态不稳系统，而输出为[]1)1)(1(111100101)()(1+=-+-=-+=-=-S S S S S S B A SI C S W 是输出稳定系统。
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
第4章 李雅普诺夫
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现代控制理论 二、二次型及其定号性 1、二次型 、
定义： 个变量 定义：n个变量
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
x1 , x2 ,L xn
的二次齐次多项式为： 的二次齐次多项式为：
V ( x 1 , x 2 , L x n ) = a 1 1 x 12 + a 1 2 x 1 x 2 + L + a 1 n x 1 x n
University of Science and Technology LiaoNing
现代控制理论
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫第二方法 李亚普诺夫第二方法称为直接法， 李亚普诺夫第二方法称为直接法，基本思想是用能量变 化的观点分析系统的稳定性 。
⇒
若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐 若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐 减少，则系统就能稳定；反之， 减少，则系统就能稳定；反之，若系统在运动过程 不断地从外界吸收能量，使其储能越来越大 越来越大， 中，不断地从外界吸收能量，使其储能越来越大， 系统就不能稳定。 系统就不能稳定。
可见，除 x2 = 0时, d d E ( x1 , x2 ) = 0外，在正阻尼(f >0）情况下， E ( x1 , x2 ) dt dt 在所有其它点处都是负的，即系统总能量是衰减的，故系统是稳定的。 下图为总能量 E ( x1 , x2 ) = 1 2 1 2 x2 + kx1 的几何表示。 2 2
& = dE = Cx x + Lx x = Cx ( 1 x ) + Lx (− R x − 1 x ) = − Rx 2 & & E 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 dt C L L
现代控制理论 二、二次型及其定号性 1、二次型 、
定义： 个变量 定义：n个变量
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
x1 , x2 ,L xn
的二次齐次多项式为： 的二次齐次多项式为：
V ( x 1 , x 2 , L x n ) = a 1 1 x 12 + a 1 2 x 1 x 2 + L + a 1 n x 1 x n
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现代控制理论
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
李亚普诺夫第二方法 李亚普诺夫第二方法称为直接法， 李亚普诺夫第二方法称为直接法，基本思想是用能量变 化的观点分析系统的稳定性 。
⇒
若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐 若系统储存的能量在运动过程中随时间的推移逐渐 减少，则系统就能稳定；反之， 减少，则系统就能稳定；反之，若系统在运动过程 不断地从外界吸收能量，使其储能越来越大 越来越大， 中，不断地从外界吸收能量，使其储能越来越大， 系统就不能稳定。 系统就不能稳定。
可见，除 x2 = 0时, d d E ( x1 , x2 ) = 0外，在正阻尼(f >0）情况下， E ( x1 , x2 ) dt dt 在所有其它点处都是负的，即系统总能量是衰减的，故系统是稳定的。 下图为总能量 E ( x1 , x2 ) = 1 2 1 2 x2 + kx1 的几何表示。 2 2
& = dE = Cx x + Lx x = Cx ( 1 x ) + Lx (− R x − 1 x ) = − Rx 2 & & E 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 dt C L L
现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法基础知识解析
对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡 状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点 的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统， 平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳 定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。
为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。
对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量 随时间而最终消失，那么这个系统是渐近稳定的。反 之则不稳定。
若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫 意义下的稳定。
但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一 种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难， 李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普 诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的 函数，所以v(x) > 0。这样就可以根据 的v(定x) 号性来 判断系统的稳定性。显然，若v(x) > 0，并且 v(x) < 0，则系统就是渐近稳定的。
若系统方程的平衡状态 xe 不仅具有李雅普诺夫意义下
的稳定性，且有
lim
t
(t;
x0,t0 )
xe
0
则称系统的平衡状态 xe是渐近稳定的。
若 与初始时刻 t0无关，则称系统的平衡状态xe是
一致渐近稳定的。
几何意义：
当t 时，从S( )出发的轨迹不仅不超出 S( )，
而且最终收敛于 xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。
一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系 统稳定。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的 首要任务。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov） 在《运动稳定性的一般问题》一文中，提出了著名的 李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理 论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别 被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。
对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量 随时间而最终消失，那么这个系统是渐近稳定的。反 之则不稳定。
若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫 意义下的稳定。
但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一 种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难， 李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普 诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的 函数，所以v(x) > 0。这样就可以根据 的v(定x) 号性来 判断系统的稳定性。显然，若v(x) > 0，并且 v(x) < 0，则系统就是渐近稳定的。
若系统方程的平衡状态 xe 不仅具有李雅普诺夫意义下
的稳定性，且有
lim
t
(t;
x0,t0 )
xe
0
则称系统的平衡状态 xe是渐近稳定的。
若 与初始时刻 t0无关，则称系统的平衡状态xe是
一致渐近稳定的。
几何意义：
当t 时，从S( )出发的轨迹不仅不超出 S( )，
而且最终收敛于 xe，则称系统的平衡状态是渐近稳定的。
一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系 统稳定。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的 首要任务。
1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov） 在《运动稳定性的一般问题》一文中，提出了著名的 李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理 论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别 被称为李雅普诺夫第一法和第二法。
现代控制理论第四章
同一个系统的李雅普诺夫函数选择不唯一。
从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。
因此，若有 在n维状， 态空间中，有：
表示系统状态 到空间原点的距离。
例4-6 闭环结构不稳定系统的李雅普诺夫方法分析：李雅普诺夫意义的稳定，但在经典控制理论中不稳定。
则平衡状态
为大范围渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的正定实对称矩阵 ，必存在一个正定的实对称矩阵
初始状态有界，随时间推 移，状态向量距平衡点越 来越远。
x2
S( )
xe
x1
S ( )
注：在经典控制理论中，渐近稳定系统才称作稳定系统，而李雅普诺夫意义下的 稳定但不是渐近稳定的系统（临界稳定），在工程上属于不稳定系统。
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1）
平衡状态 实部。
e
t 其中 与 有关，一般情况下也与 0 有关。
如果 与初始时间无关，称为一致稳定。
几何意义：
任给一个从球域 S(，) 出发的若存在一个球域 S ( )使得当 t时，从S( ) 出发的轨迹不离开 S ( ，) 则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定。
初始状态有界，随时间推移，状 态向量距平衡点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到达不了平衡点。
x ,V(x)
xe 0 大范围（一致）渐近稳定
几何意义： V(x)x12x2 2 V ( x ) 2 ( x 1 2 x 2 2 ) 2 0
V (x) 表示系统状态 x到空间原点的距离。 V(x) x 表示状态 趋向原点的速度。
x2 取 V(x)=x12 +x22
x2 V增大的方向
现代控制理论课件7wzj第四章 李雅普诺夫稳定性
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.1 引言
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系 统的稳定性通常有两种定义方式： ★ 外部稳定性 是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统 的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即有界输入 有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。 ★ 内部稳定性 是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义 的内部稳定性，即状态稳定。内部稳定性不但适用于线性 系统，而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定 义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，只和系统1 2018/11/25 本身的结构和参数有关，与输入-输出无关。
广义能量函数 V ( X , t ) 称为李亚普诺夫函数，如果其不 显含时间t，就记成 V ( X ) 。
2018/11/25
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
★ 能量函数的定义 设 V ( X ) 为任一标量函数，其中X为系统的状态变量， 如果 V ( X ) 具有以下性质：
dV ( X ) (1) V ( X ) 是连续的； dt
2018/11/25
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
V ( X ) V ( x1, x2 ,, xn )
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.1 引言
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系 统的稳定性通常有两种定义方式： ★ 外部稳定性 是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统 的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性，即有界输入 有界输出稳定。外部稳定性只适用于线性系统。 ★ 内部稳定性 是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义 的内部稳定性，即状态稳定。内部稳定性不但适用于线性 系统，而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定 义才具有等价性。稳定性是系统本身的一种特性，只和系统1 2018/11/25 本身的结构和参数有关，与输入-输出无关。
广义能量函数 V ( X , t ) 称为李亚普诺夫函数，如果其不 显含时间t，就记成 V ( X ) 。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
★ 能量函数的定义 设 V ( X ) 为任一标量函数，其中X为系统的状态变量， 如果 V ( X ) 具有以下性质：
dV ( X ) (1) V ( X ) 是连续的； dt
2018/11/25
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
V ( X ) V ( x1, x2 ,, xn )
稳定性与李雅普诺夫方法
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
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25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状 态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
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平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也 未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性 旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统 旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
3
本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳 标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是 尤其主要旳。
现代控制理论第4章_稳定性与李亚普诺方法
李亚普诺夫根据系统自由响应是否有界定义如下四种稳定性：
1.李亚普诺夫意义下稳定(简称稳定) 若系统对任意选定正实数ε，存在另一正实数δ(ε,t0 )，
使得当 x0 xe δ(ε,t0 )时，从任意初态x0出发的解均满足 x(t;x0,t0 ) xe ε，t0 t ，称平衡状态xe是李亚普诺夫 意义下稳定的。若δ与t0无关，称平衡状态xe是一致稳定的。
4.不稳定 对ε 0和δ 0，不管 δ多小，由s(δ内) 出发 的状 态轨 线，至少
有一 条越 出s(ε，)称平衡 状态xe不稳 定。
稳定性定义小结
李亚普诺夫关于稳定性的定义中，超球域s(δ)限制 着初始状态x0的范围(可称之出发区域)，超球域s(ε) 则规定了系统由初态x0引起的自由响应x(t)的边界 (可称之稳定边界)。因此，稳定性定义可概括为：
•
x
f
(
x
,t
)
f
(
xe
,t
)
f x
式 中，R ( x )为 展 开 式 中 的 高 阶
f1
f
x1 f2
x
x1
f1 x2 f2 x2
f1
xn f2
xn ;
(x xe ) R(x)；
f
(
x,
t
)
f2
;
xe
导
数项
，f x
为
雅
可
比(
fn
Jacobian)矩 阵 ：
令Δx x - xe，忽略高阶导数项， 得近似线性化方程：
A阵为非奇异时只有一个平衡状态，因此可笼统讲系统稳定性；
对于非线性系统，可能存在多个平衡状态，系统在不同平衡
状态下可能表现出不同的稳定性，因而必须分别讨论和研究。
1.李亚普诺夫意义下稳定(简称稳定) 若系统对任意选定正实数ε，存在另一正实数δ(ε,t0 )，
使得当 x0 xe δ(ε,t0 )时，从任意初态x0出发的解均满足 x(t;x0,t0 ) xe ε，t0 t ，称平衡状态xe是李亚普诺夫 意义下稳定的。若δ与t0无关，称平衡状态xe是一致稳定的。
4.不稳定 对ε 0和δ 0，不管 δ多小，由s(δ内) 出发 的状 态轨 线，至少
有一 条越 出s(ε，)称平衡 状态xe不稳 定。
稳定性定义小结
李亚普诺夫关于稳定性的定义中，超球域s(δ)限制 着初始状态x0的范围(可称之出发区域)，超球域s(ε) 则规定了系统由初态x0引起的自由响应x(t)的边界 (可称之稳定边界)。因此，稳定性定义可概括为：
•
x
f
(
x
,t
)
f
(
xe
,t
)
f x
式 中，R ( x )为 展 开 式 中 的 高 阶
f1
f
x1 f2
x
x1
f1 x2 f2 x2
f1
xn f2
xn ;
(x xe ) R(x)；
f
(
x,
t
)
f2
;
xe
导
数项
，f x
为
雅
可
比(
fn
Jacobian)矩 阵 ：
令Δx x - xe，忽略高阶导数项， 得近似线性化方程：
A阵为非奇异时只有一个平衡状态，因此可笼统讲系统稳定性；
对于非线性系统，可能存在多个平衡状态，系统在不同平衡
状态下可能表现出不同的稳定性，因而必须分别讨论和研究。
现代控制工程四-精品文档
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4）渐近稳定性： 系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且 有：
lim x ( t ; x 0 , t 0 ) x e 0
t
称此平衡状态是渐近稳定的。 5）大范围稳定性： 当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此 平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。
此时
, S () , x
4
6）不稳定性 ：
不论δ 取得得多么小，只要在 S ( ) 内有一条 从x0 出发的轨迹跨出 S ( ) ，则称此平衡状态是不 稳定的。
注意：按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作 不衰减的振荡运动时则认为是稳定的，同经典控制理 论中的稳定性定义是有差异的。经典控制理论的稳定 是李雅普诺夫意义下的一致渐近稳定。
e
的状态
（1）只有状态稳定，输出必然稳定； （2）稳定性与输入无关。 平衡状态的各分量不再随时间变化；若已知状态方程， 令 所求得的解 x ,便是平衡状态。 2) 李雅普诺夫稳定性定义：
x0
,t0) 0 ， 如果对于任意小的 > 0，均存在一个 ( 当初始状态满足 x 时，系统运动轨迹满足 0 x e lim x ( t ;x ,t ) x ，则称该平衡状态xe 是李雅普诺 0 0 e 夫意义下稳定的，简称是稳定的。
且 V(0 ) 0 ，则称
V (x)
在域S内负定。
2 2 是负定的。 如 V ( x ) ( x x ) 1 2
如果
V ( x ) 是负定的，则
V ( x ) 一定是正定的。
) 0，且 V ( x ) 在域S内某些状态处 负（正）半定性： V(0 有 V(x) 0，而其它状态处均有 V(x) 0 （ V(x) 0）， 则称 V ( x ) 在域S内负（正）半定。
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由图4-1(b)可得系统实现的系数矩阵为
1 0 2 A , B , C 0 1 1 1 1
（4-2）
计算可知，系统矩阵A的特征值为1，-1，故系统为内部不稳定。由秩判据， 可判定系统能观测但不能控，而且由图4-1可见，由于零点1和极点1的对消 发生在系统的输入通道，使得不稳定极点1成为不能控极点，对应模态 不 受输入控制制约，这将使系统实际上无法稳定工作。 t
第4章 李亚普诺夫稳定性分析 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 引言 外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李亚普诺夫稳定性定理 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫直接法应用举例 MATLAB在系统稳定性分析中的应用
4.2.2 内部稳定性
内部稳定性揭示系统零输入时内部状态自由运动 的稳定性，其基于系统的状态空间描述。 一个没有输入 信号的系统称为自治系统，因此，内部稳定性意指自治 系统状态运动的稳定性。
4.2.3 外部稳定性与内部稳定性的 关系
■ ■ ■ 若系统内部稳定，则系统必为BIBO稳定 若系统为BIBO稳定，并不能保证系统必为内部稳定 若系统能控且能观测，则BIBO稳定性与内部稳定性是等价的
e
t
t
尽管在输出端观察不到模态 ，但这种指数 上升型模态由于实际存在于系统内部，仍将对系统 正常运行产生有害后果，导致系统饱和或损坏。
e
4.3 李亚普诺夫稳定性的基本概念
4.3.1 平衡状态
稳定性实质上是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部 输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为
由图4-2(b)可得系统实现：
0 1 1 A , B , C 1 1 2 1 0
（4-5）
显然，系统仍为内部不稳定，且能控但不能观测。 由图4-2可见，由于极点1和零点1的对消发生在系统的 输出通道，使得Wo(s)中的不稳定极点1生成的模态 被Wc(s)中的零点1所阻断，成为仅存在于系统内部但在 输出量中却观测不到的模态。
■系统为BIBO稳定，并不能保证系统必为内部稳定
式（3-151）揭示了传递函数矩阵W(s)只能表征系统中 能控且能观测子系统的动力学特性，因此系统BIBO稳 定仅意味其能控且能观测子系统特征值均具有负实部，既不要求也不表明系统其余 子系统特征值均具有负实部，故即使系统为BIBO稳定，也有可能为内部不稳定。
y (t ) e t v(t )d
0
t
（4-4）
式（4-4）表明，对应任一有界输入v(t)，输出y(t)有界， 因此该系统理论上为BIBO稳定。但这一BIBO稳定的取得要求满足 两个条件：一是串联补偿器的零点与被控对象的极点精确相消； 二是零初始条件。
然而，实际系统中存在的元件老化和建模误差， 故零、极点精确对消难以保证； 另一方面，外界扰动的存在使零初始条件难以保证， 若外界扰动使eLeabharlann 若设系统初始时刻为0，且初态
x0 x10
x20
T
则由式（2-43）可获得系统输出的全响应为
t 1 t t t y (t ) x2 (t ) (e e ) x10 e x20 e t v(t )d 2 0
（4-3）
若令
x0 0
，则由式（4-3）得
t
4.2 外部稳定性和内部稳定性
4.2.1 外部稳定性
外部稳定也称有界输入-有界输出稳定（BIBO稳定）, 其基于系统的输入输出描述。其定义为：
■对于零初始条件的因果系统，若在任意一个有界 输入u(t)作用下，对应的输出y(t)均为有界，则称 该系统为外部稳定（BIBO稳定）。
线性定常连续系统常用零初始条件下定义的真 或严真传递函数矩阵W(s)进行分析，其BIBO稳定的 充分且必要条件为： W(s)的所有极点均具有负实部。
图4-1不稳定被控对象前串联补偿器及其状态空间实现
由图4-1(a)可见，系统传递函数为
s 1 1 W ( s) Wc ( s)Wo ( s) ( s 1)(s 1) s 1
（4-1）
W(s)的极点为-1，系统为BIBO稳定。然而，系统传递函数 由于存在零、极点对消导致其状态空间实现并非能控且能 观测，系统能控且能观测子系统的传递函数为1/(s+1),可 见，BIBO稳定仅表征系统能控且能观测子系统渐近稳定。
4.1 引言
一个动态系统的稳定性，通常指系统的 平衡状态是否稳定。
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法,即李亚普诺夫第一法和李 亚普诺夫第二法。
李亚普诺夫第一法(间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来 判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统, 只需解出全部特征根即可判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理, 即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判断在平衡 状态附近很小范围的稳定性。
x0 0 且x10 2 x20
即使输入信号v(t)有界，输出y(t)也将发散，直至某些 元部件饱和或损坏而使系统不能正常工作。
若将图4-1中的串联补偿器Wc(s) 和被控对象Wo(s)的 前后顺序对调，如图4-2所示。
图4-2不稳定被控对象后串联补偿器及其状态空间实现
图4-2系统的传递函数仍为式（4-1），因此系统仍为 BIBO稳定。图4-1、图4-2系统的传递函数虽然相同， 但内部结构并不相同 。
李亚普诺夫第二法（直接法）的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对 系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡 状态是渐近稳定的，则随着系统的运动,其储存的能量将随时间增长而不断衰减,直至 时系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟 系统能量的“广义能量” 函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。