直线与圆锥曲线的位置关系专题
线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习(新教材新高考)
−
，两式相减得
+ −
+
−
+
=
+
−
=
− ，故
=
−
=
知识梳理·基础回归
知识点3：点差法
（2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线
, ，则 =
= 1，①
= 1②
①-②得
1 +2 1 −2
16
+
1 +2 1 −2
12
= 0，
−
3
1
2
∵ 1 + 2 = 4，1 + 2 = 2，∴ = − = − 2，
1
∴此弦所在的直线方程为 − 1 =
【方法技巧】
点差法
3
− (
2
2
− 2)，即3 + 2 − 8 = 0．
2
2
2
【解析】当 ≥ 0时，曲线 −
= 1，即 − =
9
4
9
4
3
一条渐近线方程为： = 2 ，直线与渐近线平行；
当 <
2
0时，曲线
9
−
4
=
2
1，即
9
2
+
4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有2个公共点．
故选：B
1，双曲线右半部分；
= 1，椭圆的左半部分；
）．
题型突破·考法探究
16
弦所在的直线方程为
2
+
12
第七十三讲直线与圆锥曲线的位置关系
第七十三讲 直线与圆锥曲线的位置关系一 学习目标二 知识梳理及拓展直线与圆锥曲线的位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．(1)若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a ＝0，b ≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点，①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．三 考点梳理考点1：直线与椭圆、双曲线的位置关系【例1】椭圆22143x y +=与直线2360x y ++=的公共点个数为________． 【例2】已知正数a 、b 满足2221a b +=，则a b +的最大值为________．【例3】双曲线2221x y -=与直线2y x b =+相切，则b 等于________． 【例4】双曲线2213x y -=与直线2y kx =+只有一个公共点，则k 等于________． 考点2：直线与抛物线的位置关系【例5】已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若·＝0，则k ＝________.四 课后习题1．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．02.(2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．3.(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．课后习题答案1.答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行， 所以它与双曲线只有1个交点，故选A.2.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ①将①代入①，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.①方程①根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．3.解 (1)由已知得M (0，t )，P ),2(2t pt ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ),(2t pt ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H )2,2(2t p t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2. (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2t p(y －t )． 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．。
圆锥曲线的定点、定值问题(解析版)
2020上学期期末复习专题1 圆锥曲线的定点、定值问题（教师版）一．知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (或x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程．例：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0.(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则： Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时， 若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 3．定点问题(1)参数法：参数法解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；②利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．(2)由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4.定值问题(1)直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．(2)从特殊到一般求定值：常用处理技巧：①在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；②巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.二．题型归纳题型1 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定点问题【例1-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过x 轴上一定点．[解] (1)因为抛物线2y ＝2px (p >0)的焦点坐标为F (1，0)，所以p2＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为2y ＝4x .(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ,42，B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-t t ,42. 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以214422-=-⋅t t t t ，化简得2t ＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A ()A A ,y x ，B ()B B ,y x ，联立⎩⎨⎧+==bkx y x y 42，消去x ，化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.所以B A y y ＝4bk ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以21-=⋅B B A A x y x y ，整理得B A x x ＋2B A y y ＝0.即024422=+⋅B A B A y y yy ，解得B A y y ＝0(舍去)或B A y y ＝－32.所以B A y y ＝4bk＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)．【跟踪训练1-1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【解】(1)由题意得，c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0，∴(k 2＋1)4m 2－44k 2＋1＋k (m －1)－8km4k 2＋1＋(m －1)2＝0，整理，得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝－35或m ＝1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝kx －35.易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．故直线l 过定点，且该定点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-530，.【总结归纳】定点问题实质及求解步骤解析几何中的定点问题实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：题型2 “设参→用参→消参”三步解决圆锥曲线中的定值问题【例2-1】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆x 29＋y 24＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM 2=(1)求点P 的轨迹E 的方程；(2)过F (1,0)的直线l 1与点P 的轨迹交于A ，B 两点，过F (1,0)作与l 1垂直的直线l 2与 点P 的轨迹交于C ，D 两点，求证：1|AB |＋1|CD |为定值．[解] (1)设P(x ，y)，M(x 0，y 0)，则N(x 0,0)．∵NP ―→＝ 2 NM ―→，∴(x －x 0，y)＝2(0，y 0)，∴x 0＝x ，y 0＝y 2.又点M 在椭圆上，∴142922=⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ，即x 29＋y 28＝1.∴点P 的轨迹E 的方程为x 29＋y 28＝1.(2)证明：由(1)知F 为椭圆x 29＋y 28＝1的右焦点，当直线l 1与x 轴重合时，|AB|＝6，|CD|＝2b 2a ＝163，∴1|AB|＋1|CD|＝1748.当直线l 1与x 轴垂直时，|AB|＝163，|CD|＝6，∴1|AB|＋1|CD|＝1748. 当直线l 1与x 轴不垂直也不重合时，可设直线l 1的方程为y ＝k(x －1)(k ≠0)， 则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝k x －1，x 29＋y28＝1消去y ，得(8＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－72＝0，则Δ＝(－18k 2)2－4(8＋9k 2)(9k 2－72)＝2 304(k 2＋1)>0， x 1＋x 2＝18k 28＋9k 2，x 1x 2＝9k 2－728＋9k 2，∴|AB|＝ 1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝481＋k 28＋9k 2.同理可得|CD|＝481＋k 29＋8k 2.∴1|AB|＋1|CD|＝8＋9k 248k 2＋1＋9＋8k 248k 2＋1＝1748.综上可得1|AB|＋1|CD|为定值． 【跟踪训练2-1】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为定值，并求出该定值．【解】(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2<x 0<2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)． 因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎨⎧y ＝－2＋x0y(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，解得E ⎝⎛⎭⎫45x 0＋25，－45y 0， 所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.法二：设M (2cos θ，sin θ)(θ≠k π，k ∈Z )，则D (2cos θ，0)，N (2cos θ，－sin θ)， 设BE ―→＝λBN ―→，则DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝DB ―→＋λBN ―→＝(2－2cos θ，0)＋λ(2cos θ－2，－sin θ) ＝(2－2cos θ＋2λcos θ－2λ，－λsin θ)．又AM ―→＝(2cos θ＋2，sin θ)，由AM ―→⊥DE ―→，得AM ―→·DE ―→＝0，从而[(2－2cos θ)＋λ(2cos θ－2)](2cos θ＋2)－λsin 2θ＝0，整理得4sin 2θ－4λsin 2θ－λsin 2θ＝0， 即5λsin 2θ＝4sin 2θ.，所以λ＝45，所以S △BDE S △BDN ＝|BE ||BN |＝45.故△BDE 与△BDN 的面积之比为定值45.【总结归纳】定值问题实质及求解步骤定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题．其求解步骤一般为：题型三 探索性问题例3.已知圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)． (1) 求圆M 的方程；(2) 设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引切线，切点为Q .试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR 为定值．若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1) 因为圆M 的圆心在直线2x －y －6＝0上，且过点(1,2)，(4，－1)， 所以设圆心坐标为(m,2m －6)，半径为r ， 则圆的标准方程为(x －m )2＋(y －2m ＋6)2＝r 2.则(1－m )2＋(2－2m ＋6)2＝r 2且(4－m )2＋(－1－2m ＋6)2＝r 2， 即(m －1)2＋(8－2m )2＝r 2且(m －4)2＋(5－2m )2＝r 2， 解得m ＝4，r ＝3.所以圆M ：(x －4)2＋(y －2)2＝9.(2) 设P (x ，y )，R (a ，b )，则(x －4)2＋(y －2)2＝9，即x 2＋y 2＝8x ＋4y －11. 又PQ 2＝x 2＋y 2－1，PR 2＝(x －a )2＋(y －b )2＝x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2， 故PQ 2＝8x ＋4y －12，PR 2＝(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11.又设PQPR ＝t 为定值，故8x ＋4y －12＝t 2[(8－2a )x ＋(4－2b )y ＋a 2＋b 2－11]． 因为上式对圆M 上任意点P (x ，y )都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧8＝(8－2a )t 2，4＝(4－2b )t 2，－12＝(a 2＋b 2－11)t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，b 1＝1，t 1＝2或⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a 2＝25，b 2＝15，t 2＝103.综上，存在点R (2,1)或R ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，15满足题意．跟踪训练3：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝32，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2) 以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点M (2,0)．由题意可知直线AM 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 1x 1－2. 直线BM 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，故点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－2y 2x 2－2. 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N (x 0,0)，则等价于PN →·QN →＝0恒成立．又因为PN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 1x 1－2，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 0，2y 2x 2－2，所以PN →·QN →＝x 20＋2y 1x 1－2·2y 2x 2－2＝x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝0恒成立． 又因为(x 1－2)(x 2－2)＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝4k 2－41＋4k 2－28k 21＋4k 2＋4＝4k 21＋4k 2，y 1y 2＝k (x 1－1)k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1＝－3k 21＋4k2，所以x 20＋4y 1y 2(x 1－2)(x 2－2)＝x 20＋－12k 21＋4k 24k 21＋4k 2＝x 20－3＝0，解得x 0＝±3. 故以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±3，0)．圆锥曲线定点定值问题作业1. 如图，平行四边形AMBN 的周长为8，点M ，N 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)． (1) 求点A ，B 所在的曲线L 的方程；(2) 过L 上点C (－2,0)的直线l 与L 交于另一点D ，与y 轴交于点E ，且l ∥OA .求证：CD ·CEOA 2为定值．解析：(1) 因为四边形AMBN 是平行四边形，周长为8，所以A ，B 两点到M ，N 的距离之和均为4>23，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知，a ＝2，c ＝3，b ＝1.曲线L 的方程为x24＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 由已知可知直线l 的斜率存在．因为直线l 过点C (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入曲线方程x 24＋y 2＝1(y ≠0)，并整理得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 因为点C (－2,0)在曲线L 上，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－8k 2＋21＋4k2，4k 1＋4k 2，E (0,2k )， 所以CD ＝41＋k 21＋4k2，CE ＝21＋k 2. 因为OA ∥l ，所以设OA 的方程为y ＝kx ，代入曲线L 的方程，并整理得(1＋4k 2)x 2＝4. 所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，所以OA 2＝4＋4k 21＋4k2，化简得CD ·CE OA 2＝2，所以CD ·CE OA 2为定值．说明：本题考查用定义法求椭圆方程知识及直线与椭圆相交的有关线段的计算与证明．2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴是短轴的两倍，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2恰好构成等比数列． (1) 求椭圆C 的方程；(2) 试判断OA 2＋OB 2是否为定值．若是，求出这个值；若不是，请说明理由．解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.解析：(1) 由题意知a ＝2b 且3a 2＋14b 2＝1，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，m ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2且Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0.此时Δ＝16(2－m 2)>0，即m ∈(－2，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝±2m ，x 1x 2＝2m 2－2.又OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝34(x 21＋x 22)＋2＝34[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2＝5， 所以OA 2＋OB 2是定值，且为5.3.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 作斜率k ＝－1的直线交椭圆于A ，B 两点，且OA →＋OB →与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线．(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上任意一点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，证明：m 2＋n 2为定值． 解 (1)设AB ：y ＝－x ＋c ，直线AB 交椭圆于两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2y ＝－x ＋c⇒b 2x 2＋a 2(－x ＋c )2＝a 2b 2，(b 2＋a 2)x 2－2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0x 1＋x 2＝2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2， OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)与a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13共线，3(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＝0,3(－x 1＋c －x 2＋c )－(x 1＋x 2)＝0，即 x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝3b 2，c ＝a 2－b 2＝6a 3，e ＝c a ＝63.(2)证明：a 2＝3b 2，椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，设M (x ，y )为椭圆上任意一点，OM →＝(x ，y )，OM →＝mOA →＋nOB →，(x ，y )＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，点M (x ，y )在椭圆上，(mx 1＋nx 2)2＋3(my 1＋ny 2)2＝3b 2，即m 2(x 21＋3y 21)＋n 2(x 22＋3y 22)＋2mn (x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. ∴x 1＋x 2＝3c 2，a 2＝32c 2，b 2＝12c 2，x 1x 2＝a 2c 2－a 2b 2a 2＋b 2＝38c 2，∴x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(－x 1＋c )(－x 2＋c )＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0，将x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2代入得 3b 2m 2＋3b 2n 2＝3b 2，即m 2＋n 2＝1.3.在直角坐标系xOy 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线y ＝－14x 于点N ，若NA →＝mAM →，NB →＝nBM →，求证：m ＋n 为定值，并求出此定值. 解 (1)因为长轴长为8，所以2a ＝8，a ＝4， 又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形， 所以b ＝32a ＝23，由于椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N ⎝⎛⎭⎫x 0，－14x 0， 由NA →＝mAM →，得⎝⎛⎭⎫x 1－x 0，y 1＋14x 0＝m (1－x 1，3－y 1)，所以x 1＝m ＋x 0m ＋1，y 1＝3m －14x 0m ＋1，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m ＋x 0m ＋1，3m －14x 0m ＋1， 因为点A 在椭圆x 216＋y 212＝1上，所以得到⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 0m ＋1216＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m －14x 0m ＋1212＝1，得到9m 2＋96m ＋48－134x 20＝0；同理，由NB →＝nBM →，可得9n 2＋96n ＋48－134x 20＝0， 所以m ，n 可看作是关于x 的方程9x 2＋96x ＋48－134x 20＝0的两个根， 所以m ＋n ＝－969＝－323，为定值.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，－3)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．解析：(1) 设椭圆的焦距为2c .由椭圆经过点(0，－3)得b ＝ 3. ①由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a ＋c ＝a 2c －c . ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③由①②③可得a ＝2，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2) 法一：当直线l 的斜率为0时，则M (2,0)，N (－2,0)，设P (x 0，y 0)，则PM ·PN ＝|(x 0－2)(x 0＋2)|.因为点P 在椭圆外，所以x 0－2，x 0＋2同号，又PF 2＝(x 0－1)2，所以|(x 0－2)(x 0＋2)|＝(x 0－1)2，解得x 0＝52. 当直线l 的斜率不为0时，因为y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，PM ＝1＋m 2|y 1－y 0|，PN ＝1＋m 2|y 2－y 0|，PF ＝1＋m 2|y 0|.因为点P 在椭圆外，所以y 1－y 0，y 2－y 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋m 2)(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝(1＋m 2)[y 1y 2－y 0(y 1＋y 2)＋y 20]＝(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4， 代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋m 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 20＋6m3m 2＋4－93m 2＋4＝(1＋m 2)y 20，整理得y 0＝32m ，代入直线方程得x 0＝52.所以点P 在定直线x ＝52上．法二：当直线l ⊥x 轴，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，则PM ·PN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0－32⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋32.又PF 2＝y 20，所以PM ·PN ＝PF 2不成立，不合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，与椭圆x 24＋y 23＝1联立并消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为Δ＝64k 4－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16k 4＋108k 2＋108>0， 所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以PM ＝1＋k 2|x 1－x 0|，PN ＝1＋k 2|x 2－x 0|，PF ＝1＋k 2|x 0－1|. 因为点P 在椭圆外，所以x 1－x 0，x 2－x 0同号，所以PM ·PN ＝(1＋k 2)(x 1－x 0)(x 2－x 0)＝(1＋k 2)[x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2.代入PM ·PN ＝PF 2得(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 20－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝(1＋k 2)(x 20)(x 20－2x 0＋1)， 整理得x 0＝52，所以点P 在定直线x ＝52上．。
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
,
考法聚焦 讲练突破
1
2
考情预览 明确考向
3
所以|MN|=|
=|
-
- -
-
|
|
-( +) -( +)
=| (
-
+ +
)|
( +)- ( +)
+( + )+
( + ) -
2.[双曲线中的面积问题](2022 ·新高考Ⅰ卷)已知点 A(2,1)
-
在双曲线 C: -
=1(a>1)上,直线 l 交 C 于 P,Q 两点,直线
AP,AQ 的斜率之和为 0.
(1)求 l 的斜率;
1
2
考情预览 明确考向
3
-
解:(1)将点 A 的坐标代入双曲线方程得 4
故 x1+x2=-
,x1x2=
-
+
-
.
1
2
考情预览 明确考向
3
kAP+kAQ=
- - +- +-
+
=
- -
-
+
-
=0,
化简得 2kx1x2+(b-1-2k)(x1+x2)-4(b-1)=0,
所以 x1+x2=-
+
+
+
+
,x1x2=
,
由Δ>0 得 k<0,易知直线 AB 的斜率 kAB=
直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
联系了中点和直线的斜率，借用中点P公A式R即T 可1求得斜率． 2．根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
01
添加标题
遇到弦中点,两式减一减; 若要求弦长,韦达来帮忙.
线 段 的 中 点 ， 求 直 线 L 的 方 程 .
探究三 圆锥曲线中弦的中点问题
变 式 ： 求 直 线 L:x+2y-8=0被 椭 圆 x2y21所 截 得 的 36 9
线 段 的 中 点 P的 坐 标 .
处理中点弦问题常用的求解方法
1．点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相
y＝kx＋2， 联立方程组x92＋y2＝1， 解得 x2＋9(kx＋2)2＝9， 即(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0.
∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点，
∴Δ＝(36k)2－4×27(1＋9k2)＞0，即
9k2－3＞0，∴k＞
33或
k＜－
3 3 .(*)
设 A、B 两点的坐标是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－1＋369k2，x1·x2＝1＋279k2. 由于以 AB 为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0， 即 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
y(12=)若2p直x线: 与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交,
由
y=kx+ my2=2p
得:
故①△>0 相交 ②△=0 x 相切 A③x△2+<B0x+C相=离0
yy
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
第八节-直线与圆锥曲线的位置关系
由
y
2
4x,
y kx b,
消去y整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
考点突破
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Δ2=(2kb-4)2-4k2b2=16-16kb=0,即kb=1,
∴
b2 kb
2k 2 1.②
1,
①
由②得b= 1 ,代入①得 1 =2k2+1,
k
k2
即2k4+k2-1=0.
令t=k2,则2t2+t-1=0,
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所
在直线方程是 x0x - y0 y =1.
a2 b2
(3)双曲线 x2 - y2 =1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2-B2b2=
a2 b2
C2.
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3.抛物线的切线方程 (1)抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y=p(x+x0). (2)抛物线y2=2px(p>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦所在直线方 程是y0y=p(x+x0). (3)抛物线y2=2px(p>0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB2=2AC.
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2.直线y=
b a
x+3与双曲线
x a
2 2
-
y2 b2
=1的交点个数是
( A)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
答案 A 因为直线y= b x+3与双曲线的渐近线y= b x平行,所以它与双
直线与圆锥曲线的位置关系课件-2024届高考数学一轮复习
2
2
2. 椭圆 E ： 2 ＋ 2 ＝1（ a ＞ b ＞0）的左焦点为 F ， P 为椭圆上一点，
直线 PF 的倾斜角为θ.当点 P 在 x 轴上方时，｜ PF ｜＝
；当
−
点 P 在 x 轴下方时，｜ PF ｜＝
＋
得 y 2－8 ty ＋16＝0.由Δ＝（－8 t ）2－64＜0，得 t 2＜1.联立
＝ − ，
消去 x 、整理，得（ t 2＋2） y 2－4 ty －4＝0.设 A （ x 1， yຫໍສະໝຸດ ＋ = ，
1），B'（ x 2， y 2），则 y 1＋ y 2＝ + ， y 1 y 2＝－ + .所以｜AB'｜＝
＋
= ，
消去 y 、整理，
得（3＋4 k 2） x 2－8 k 2 x ＋4 k 2－12＝0.所以 x 1＋ x 2＝
， x 1 x 2＝
+
+）
−
（
+ ｜ x － x ｜＝
.所以｜
AB
｜＝
.同理，可得｜
1
2
+
+
+
（ +）
的离心率为（ C ）
A. 3
B.
6
2
C.
21
3
D. 7
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4. （多选）（RA选一P136练习第4题改编）已知抛物线 C ： y 2＝2 px
（ p ＞0）与圆 O ： x 2＋ y 2＝5交于 A ， B 两点，且｜ AB ｜＝4，直线 l 过
85-直线与圆锥曲线的位置关系省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
【分析】(1)因为直线过定点M,能够用点斜式设出直线方程, 联立椭圆方程,构成方程组,然后消元得到有关x旳一元二次 方程,利用根与系数旳关系及中点坐标公式,求得直线旳斜
高考第一轮复习用书·数学(理科)
第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
率,从而得所求旳直线方程.本题也能够用点差法来进行求 解,即设出弦两个端点旳坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入椭圆 旳方程,并对所得两式作差,得到一种弦旳中点坐标与弦所在 直线旳斜率有关旳式子,进而求得斜率,再用点斜式得到所求 直线旳方程.
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第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
变式训练1 (1)已知双曲线旳方程为x2- y2 =1,若过点P(1,1)旳
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直线l与双曲线只有一种公共点,则直线旳条数为 ( )
(A)4. (B)3. (C)2. (D)1.
(2)直线y=kx+2与椭圆 x2 + y2 =1至多一种交点旳充要条件是
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第八章 8.5 直线与圆锥曲线的位置关系
(2)求出抛物线旳焦点,设出直线方程,再联立方程组消元,然 后根据根与系数之间旳关系求解;
(3)数形结合,比较直线斜率k与渐近线旳斜率来建立a,b,k与e
之间旳不等关系即可求解.
【解析】(1)直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且定点在椭
(2)在抛物线y=x2上存在两个不同旳点M、N有关直线y=-kx+
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对称,则直线MN旳方程可设为y= 1k
x+b,代入抛物线方程中,
可知Δ>0,又线段MN旳中点在直线y=-kx+ 9上,由根与系数之
专题练 第26练 直线与圆锥曲线的位置关系
第26练 直线与圆锥曲线的位置关系1．(2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3,0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |等于( )A ．2B ．2 2C ．3D ．3 2 答案 B解析 方法一 由题意可知F (1,0)，抛物线的准线方程为x ＝－1.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0， 则由抛物线的定义可知|AF |＝y 204＋1.因为|BF |＝3－1＝2，所以由|AF |＝|BF |，可得y 204＋1＝2，解得y 0＝±2，所以A (1,2)或A (1，－2)． 不妨取A (1,2)， 则|AB |＝(1－3)2＋(2－0)2＝8＝2 2.方法二 由题意可知F (1,0)，故|BF |＝2， 所以|AF |＝2.因为抛物线的通径长为2p ＝4， 所以AF 的长为通径长的一半， 所以AF ⊥x 轴， 所以|AB |＝22＋22＝8＝2 2.2．(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( ) A.72 B ．3 C.52 D ．2 答案 B解析 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2， F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上， 故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4， 所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3.方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上， 且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 203＝1，x 20＋y 20＝2，解得|y 0|＝32.所以△PF 1F 2的面积为 12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3. 方法三 由二级结论焦点△PF 1F 2的面积 S ＝b 2tan θ2＝3tan 45°＝3.3．(2014·全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0， 因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.4．(2013·全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a 2，又k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.5．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点A (1,1)在抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上，过点B (0，－1)的直线交C 于P ，Q 两点，则( ) A ．C 的准线为y ＝－1 B ．直线AB 与C 相切 C ．|OP |·|OQ |>|OA |2 D ．|BP |·|BQ |>|BA |2 答案 BCD解析 如图，因为抛物线C 过点A (1,1)，所以1＝2p ，解得p ＝12，所以C ：x 2＝y 的准线为y＝－14，所以A 错误；因为x 2＝y ，所以y ′＝2x ，所以y ′|x ＝1＝2，所以C 在点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，又点B (0，－1)在直线y ＝2x －1上，所以直线AB 与C 相切，所以B 正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为y ＝kx －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝y 得x 2－kx ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝1，且Δ＝k 2－4>0，得k >2或k <－2， 所以|OP |·|OQ |＝x 21＋y 21·x 22＋y 22＝(x 21＋x 41)(x 22＋x 42)＝(1＋x 21)(1＋x 22)·x 1x 2＝1＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＋x 21x 22＝k 2>2＝|OA |2，所以C 正确；|BP |·|BQ |＝x 21＋(y 1＋1)2·x 22＋(y 2＋1)2＝x 21＋(x 21＋1)2·x 22＋(x 22＋1)2 ＝(x 41＋3x 21＋1)(x 42＋3x 22＋1)＝x 41x 42＋(3x 21x 22＋3)(x 21＋x 22)＋x 41＋x 42＋9x 21x 22＋1 ＝6(x 21＋x 22)＋x 41＋x 42＋11 ＝6(x 21＋x 22)＋(x 21＋x 22)2＋9＝6(k 2－2)＋(k 2－2)2＋9 ＝(k 2＋1)2＝k 2＋1>5＝|BA |2，所以D 正确．6．(2015·全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时11APF AF F F PF S S S ==△△△－ 7．(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3，代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1， 故|AB |＝4133. 8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A (2,1)在双曲线C ：x 2a 2－y 2a 2－1＝1(a >1)上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0. (1)求l 的斜率；(2)若tan ∠P AQ ＝22，求△P AQ 的面积．解 (1)将点A 的坐标代入双曲线方程得4a 2－1a 2－1＝1，化简得a 4－4a 2＋4＝0，得a 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 22－y 2＝1.由题易知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立直线l 与双曲线C 的方程，消y 整理得 (2k 2－1)x 2＋4kmx ＋2m 2＋2＝0， 故x 1＋x 2＝－4km2k 2－1，x 1x 2＝2m 2＋22k 2－1.k AP ＋k AQ ＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝kx 1＋m －1x 1－2＋kx 2＋m －1x 2－2＝0，化简得2kx 1x 2＋(m －1－2k )(x 1＋x 2)－4(m －1)＝0， 故2k (2m 2＋2)2k 2－1＋(m －1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 2k 2－1－4(m －1)＝0， 整理得(k ＋1)(m ＋2k －1)＝0， 又直线l 不过点A ，即m ＋2k －1≠0， 故k ＝－1.(2)不妨设直线P A 的倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 由题意知∠P AQ ＝π－2θ， 所以tan ∠P AQ ＝－tan 2θ＝2tan θtan 2θ－1＝22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22(舍去)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y 1－1x 1－2＝2，x 212－y 21＝1，得x 1＝10－423，所以|AP |＝3|x 1－2|＝43(2－1)3，同理得x 2＝10＋423，所以|AQ |＝3|x 2－2|＝43(2＋1)3.因为tan ∠P AQ ＝22， 所以sin ∠P AQ ＝223，故S △P AQ ＝12|AP ||AQ |sin ∠P AQ＝12×43(2－1)3×43(2＋1)3×223＝1629.9．(2022·赤峰模拟)若椭圆x 216＋y 29＝1的弦被点(2,1)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．9x ＋8y －26＝0答案 D解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1， 两式作差可得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－9×416×2＝－98＝k AB.即弦所在直线的斜率为－98，直线方程为y－1＝－98(x－2)，整理得9x＋8y－26＝0.10．抛物线y2＝4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分，则m与n的关系是() A．m＋n＝mn B．m＋n＝4C．mn＝4 D．无法确定答案 A解析抛物线的焦点F(1,0)，准线x＝－1，设焦点弦所在直线方程为y＝k(x－1)，把它代入y2＝4x得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设焦点弦与抛物线交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，由抛物线定义得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴m＋n＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝(x1＋x2)＋2，mn＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝(x1＋x2)＋2，∴m＋n＝mn.11．(多选)(2022·茂名模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，P是抛物线C上第一象限的点，|PF|＝5，直线PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是() A．点P的坐标为(4,4)B．|QF|＝5 4C．S△OPQ＝10 3D．过点M(x0，－1)作抛物线C的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，则直线AB的方程为x0x－2y＋2＝0答案ABD解析对于A，因为|PF|＝5，所以由抛物线的定义得y P＋1＝5，即y P＝4，所以x2P＝4y P＝16，且点P在第一象限，所以坐标为(4,4)，则A正确；对于B ，l PF 的直线方程为y ＝34x ＋1，由y ＝34x ＋1与x 2＝4y 联立得，Q ⎝⎛⎭⎫－1，14， 由两点间的距离公式得|QF |＝54，则B 正确；对于C ，S △OPQ ＝12|OF ||x P －x Q |＝12×1×5＝52，则C 错误；对于D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由x 2＝4y得，y ＝x 24，则y ′＝x2，MA 的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y －y 1＝x 12x －x 212，由x 21＝4y 1得，y ＝x 12x －y 1， 把点M (x 0，－1)代入y ＝x 12x －y 1得，x 0x 1－2y 1＋2＝0， 同理x 0x 2－2y 2＋2＝0，即A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点满足方程x 0x －2y ＋2＝0， 所以AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，则D 正确．12．(2022·玉林模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |·|BF |的最小值是( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2 答案 C解析 由题意知p ＝2，∵1|AF |＋1|BF |＝2p ＝1，∴1＝1|AF |＋1|BF |≥21|AF |·1|BF |， 得|AF |·|BF |≥4.13．(2022·杭州模拟)已知双曲线H 的两条渐近线互相垂直，过H 的右焦点F 且斜率为3的直线与H 交于A ，B 两点，与H 的渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝5，则|CD |＝______. 答案 3 5解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则其渐近线方程为y ＝±bax ，因为双曲线H 的两条渐近线互相垂直， 所以a ＝b ，所以渐近线方程为y ＝±x ， 所以双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，则右焦点F (2a ，0)，所以直线方程为y ＝3(x －2a )， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝3(x －2a )代入x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)化简得，8x 2－182ax ＋19a 2＝0，所以x 1＋x 2＝92a 4，x 1x 2＝19a 28，所以|AB |＝1＋9·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10×10a 216＝5，解得a 2＝4，即a ＝2， 所以直线方程为y ＝3(x －22)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3(x －22)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝3(x －22)，得⎩⎨⎧x ＝322，y ＝－322，所以|CD |＝⎝⎛⎭⎫32－3222＋⎝⎛⎭⎫32＋3222 ＝3 5.14．(2022·贵港模拟)已知斜率为k (k >0)的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点，过A ，B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，若△A 1BB 1与△ABA 1的面积之比为2，则k 的值为________． 答案 2 2解析 由抛物线C ：y 2＝4x 得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16(k 2＋1)>0，由根与系数的关系可得x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，由已知和抛物线定义知111A BB ABA S S △△＝12|BB 1|·|A 1B 1|12|AA 1|·|A 1B 1|＝|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2， 所以|BF |＝2|AF |，故由焦半径公式得x 2＋1＝2(x 1＋1)， 即x 2＝2x 1＋1，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1＋1，x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12，x 2＝2，k ＝22(负值舍去)．所以k 的值为2 2.15．(2022·无锡模拟)如图，A 1，A 2是双曲线x 29－y 23＝1的左、右顶点，B 1，B 2是该双曲线上关于x 轴对称的两点，直线A 1B 1与A 2B 2的交点为E .(1)求点E 的轨迹Γ的方程；(2)设点Q (1，－1)，过点Q 的两条直线分别与轨迹Γ交于点A ，C 和点B ，D .若AB ∥CD ，求直线AB 的斜率．解 (1)由题意知，A 1(－3,0)，A 2(3,0)． 设B 1(x 0，y 0)，B 2(x 0，－y 0)(x 0≠±3)，则x 209－y 203＝1， 则直线A 1B 1的方程为y ＝y 03＋x 0(x ＋3)，直线A 2B 2的方程为y ＝y 03－x 0(x －3)，两式相乘得y 2＝y 209－x 2(x 2－9)， 即y 2＝－13(x 2－9)，所以点E 的轨迹Γ的方程为 x 29＋y 23＝1(x ≠±3，x ≠0)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 设AQ →＝λQC →，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λ(x 3－1)，－1－y 1＝λ(y 3＋1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝1＋λ－x 1λ，y 3＝－(1＋λ)－y 1λ，代入椭圆方程，得[(1＋λ)－x 1]29λ2＋[(1＋λ)＋y 1]23λ2＝1，即4(1＋λ)29λ2－2(1＋λ)λ2⎝⎛⎭⎫x 19－y 13＋1λ2⎝⎛⎭⎫x 219＋y 213 ＝1，即4(1＋λ)29－2(1＋λ)⎝⎛⎭⎫x 19－y 13＝λ2－1，① 同理可得4(1＋λ)29－2(1＋λ)⎝⎛⎭⎫x 29－y 23＝λ2－1，② 由②－①，得x 19－y 13＝x 29－y 23，所以3(y 1－y 2)＝x 1－x 2，所以直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝13.16．(2022·玉林模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过M ⎝⎛⎭⎫1，32，N ⎝⎛⎭⎫3，12两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 (1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得⎩⎨⎧1a 2＋34b 2＝1，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝R 2，其中0<R <1， 设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，②因为OA →⊥OB →， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，③将①代入③并整理得(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 联立②得m 2＝45(1＋k 2)，④因为直线AB 和圆相切， 因此R ＝|m |1＋k 2，由④得R ＝255，所以存在圆x 2＋y 2＝45满足题意．当直线AB 的斜率不存在时，易得x 21＝x 22＝45， 由椭圆方程得y 21＝y 22＝45，显然OA →⊥OB →， 综上所述，存在圆x 2＋y 2＝45满足题意．当直线AB 的斜率存在时，由①②④得 |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1 ＝1＋k 216＋64k 2－16m 2(1＋4k 2)2＝455(1＋k 2)(1＋16k 2)(1＋4k 2)2＝45516k 4＋17k 2＋116k 4＋8k 2＋1＝4551＋9k 216k 4＋8k 2＋1 ＝4551＋916k 2＋1k2＋8，由16k 2＋1k 2≥8，得1<1＋916k 2＋1k2＋8≤54，即455<|AB |≤5， 当直线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝455， 所以455≤|AB |≤ 5.综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝45满足题意，且455≤|AB |≤ 5.[考情分析] 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查，难度为高档．一、弦长、面积问题 核心提炼判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断． 弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|， 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. 练后反馈题目 1 5 6 8 11 13 15 16 正误错题整理：二、中点弦问题 核心提炼解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法1．根与系数的关系法：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．2．点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量．练后反馈题目49正误错题整理：三、圆锥曲线中二级结论的应用核心提炼1．椭圆焦点三角形面积为b2tan α2(α为|F1F2|的对角)．2．双曲线焦点三角形面积为b2tan α2(α为|F1F2|的对角)．3．抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为直线l的倾斜角)．(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|AF|＋1|BF|＝2p.练后反馈题目2371012 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·亳州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为2a 2，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 B解析 如图所示，设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，因为以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F (c ，0)， 所以S △AF ′F ＝2a 2，且∠F ′AF ＝π2，根据双曲线焦点三角形面积公式12PF F S △＝b 2tan θ2得2a 2＝b 2， 结合c 2＝a 2＋b 2，得2a 2＝c 2－a 2⇒c 2＝3a 2⇒e 2＝3⇒e ＝ 3.2．[T3补偿](2022·新乡模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－1与x 轴交于点A ，F 为C 的焦点，B 是C 上第一象限内的点，则|AB ||BF |取得最大值时，△ABF 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．6 答案 A解析 由题意可知，－p2＝－1，所以p ＝2，则y 2＝4x ，A (－1,0)，F (1,0)．过点B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为D ，如图，由抛物线的定义可知，|AB ||BF |＝|AB ||BD |＝1sin ∠BAD，要使|AB ||BF |取得最大值，则sin ∠BAD 取得最小值，需直线AB 与C 相切． 由题意知，直线AB 的斜率一定存在， 故设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 可得，k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1， 因为B 是C 上第一象限内的点，所以k ＝1， 此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0为x 2－2x ＋1＝0， 则x ＝1，故B (1,2)，故S △ABF ＝12×|AF |×|y B |＝12×2×2＝2.3．[T4补偿](多选)(2022·梅州模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143，过点M (－2,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有( ) A ．椭圆的方程为x 29＋y 24＝1B ．椭圆的焦距为 5C ．椭圆上存在2个点Q ，使得QF 1―→·QF 2―→＝0 D ．直线l 的方程为8x －9y ＋25＝0 答案 AD解析 因为PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143，所以c ＝12|PF 2|2－|PF 1|2＝5，a ＝12(|PF 1|＋|PF 2|)＝3，则b ＝2， 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，椭圆的焦距为25，故A 正确，B 错误； 由QF 1―→·QF 2―→＝0知∠F 1QF 2＝90°， 所以点Q 在以F 1F 2为直径的圆上，因为c >b ，所以圆与椭圆有4个交点，故C 错误；因为过点M (－2,1)的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称， 所以点M (－2,1)为弦AB 的中点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)9＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49·x 1＋x 2y 1＋y 2＝89，所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0，故D 正确．4．[T9补偿](2022·运城模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，直线x －2y ＋b ＝0与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 的中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是________． 答案 －43解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，所以e ＝ca ＝1－b 2a 2＝33， 所以b 2a 2＝23，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 因为P ，Q 在椭圆上，所以⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0， 即y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2， 即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－23， 即k PQ ·k OE ＝－23， 所以k OE ＝－43. 5．[T16补偿](2022·重庆模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点F 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，是否存在直线l 与点P ，使得△ABP 恰好为等边三角形，若存在，求出△ABP 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)依题意得c a ＝63，c ＝2， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 26＋y 22＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，等边△ABP 不存在，故直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝k (x －2)，联立椭圆方程整理得(3k 2＋1)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 23k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－63k 2＋1， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝263k 2＋1(k 2＋1)． 记线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝6k 23k 2＋1，y 0＝－2k 3k 2＋1， 又x P ＝3，k MP ＝－1k， ∴|MP |＝1＋1k2|x 0－x P | ＝k 2＋1k 2·3(k 2＋1)3k 2＋1， 要满足题目要求，则需要|MP |＝32|AB |， 即k 2＋1k 2·3(k 2＋1)3k 2＋1＝32·263k 2＋1(k 2＋1)， ∴k ＝±1，经检验k ＝±1均符合题意． ∴|AB |＝6，S △ABP ＝332.。
高中数学课件-第一部分 专题五 第一讲 直线与圆锥曲线的位置关系
专题五
类型一
第一讲 直线与圆锥曲线的位置关系
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-22-
[解析] (1)设椭圆的方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，c 为半焦距， 由 c＝ 2得 a2－b2＝2，① ∵椭圆过点( 2，1)，∴a22＋b12＝1，② 由①②解得 a2＝4，b2＝2， 即所求椭圆的标准方程为x42＋y22＝1.
8.
专题五
类型一
第一讲 直线与圆锥曲线的位置关系
活用•经典结论
类型二
主观题•专项练 客观题·专项练
类型三
[感悟方法]
题型·综合练
专题•限时训练-25-
圆锥曲线的弦长是求解与面积有关的基础
(1)设斜率为 k(k≠0)的直线与曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2) |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2或
类型三
客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-6-
与弦中点有关的问题 突破点 中点与斜率的关系 [例 1] (本小题满分 12 分)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线 C： y2＝2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨 迹方程．
专题五
类型一
第一讲 直线与圆锥曲线的位置关系活用 Nhomakorabea经典结论
类型二
主观题•专项练
类型三
直线与圆锥曲线的位置关系问题
2．连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦 设直线 l：f(x，y)＝0，曲线 E：F(x，y)＝0，l 与 E 的两个 不同的交点 P、Q，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1，y1)，(x2，
f（x，y）＝0 y2)是方程组F（x，y）＝0的两组解，方程组消元后化为关于 x(或者 y)的一元二次方程 Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)．判别式 Δ＝B2 －4AC，应有 Δ>0，所以 x1、x2 是方程 Ax2＋Bx＋C＝0 的解．由 根与系数的关系(韦达定理)求得 x1＋x2＝－BA，x1x2＝CA，所以 P、 Q 两 点 间 距 离 为 |PQ| ＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝
＝16，
所以 xB2＝4＋16k2，
又 由 O→B ＝ 2 O→A ， 得
xB2
＝
4xA2
，
即
16 4＋k2
＝
1＋164k2，
解得 k＝±1，故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝
－x.
解法二：A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)， (xB，yB)，
由O→B＝2O→A及(1)知， O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上， 因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4，
(2)运用类比的手法可以推出，已知 PQ 是双曲 线xa22－by22＝1 的弦，中点 M(x0，y0)，则 kPQ＝ba22xy00； 已知抛物线 y2＝2px(p>0)的弦 PQ 的中点 M(x0，y0)， 则 kPQ＝yp0. 4．圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解 决此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在直
(1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，O→B＝2O→A，求直线 AB 的方程．
直线与圆锥曲线的位置关系专题训练
直线与圆锥曲线的位置关系专题训练一、选择题1．若过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1162．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 33．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 4．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．3 2B ．2 3 C.303 D.3265．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．56．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]7．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和 (x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,128．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该双曲线交于A ，B 两点，若OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C.43D ．39．已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613 B.22613 C.21313 D.4131310．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在该双曲线的右支上，且|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，PF 1→·PF 2→＝－6a 2，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C. 2 D. 6 二、填空题11．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →·PF→的取值范围为________． 12．已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，在抛物线AOB 这段曲线上有一点P ，则△APB 的面积的最大值为________．13．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________． 14．设P 为直线l ：x ＋y ＝4上任意一点，椭圆x 212＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，则l 与椭圆的位置关系是______，|PF 1|＋|PF 2|的最小值是________．三、解答题15．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．直线与圆锥曲线的位置关系专题训练答案一、选择题1．若过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－116解析：由y ＝2x 2，得x 2＝12y .其焦点坐标为F (0，18)，取直线y ＝18，则其与y ＝2x 2交于A (－14，18)，B (14，18)，∴x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－116.答案：D2．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝22(m ＝－22舍)． 答案：B3．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 解析：①斜率不存在时，方程为x ＝1符合．②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1，(4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条． 答案：A4．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．3 2B ．2 3 C.303 D.32 6解析：设y －1＝k (x －1)，∴y ＝kx ＋1－k . 代入椭圆方程，得x 2＋2(kx ＋1－k )2＝4. ∴(2k 2＋1)x 2＋4k (1－k )x ＋2(1－k )2－4＝0. 由x 1＋x 2＝4kk －12k 2＋1＝2，得k ＝－12，x 1x 2＝13.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4－43＝83.∴|AB |＝1＋14·263＝303.答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：由题，易得抛物线的焦点为(3,0)，∴双曲线的右焦点为(3,0)，∴b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，∴双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，即5x －2y ＝0，∴所求距离为d ＝|35|5＋4＝ 5.答案：A6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4] 解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理，得ky 2－8y ＋16k 2＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点，当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0，综上－1≤k ≤1.答案：C 8．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆(x ＋4)2＋y 2＝1和 (x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12解析：如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA |＋|PB |＝2a ＝10，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|PA |＋|PB |－2R ＝8；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|PA |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.答案：C8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，斜率为1的直线过双曲线C 的左焦点且与该双曲线交于A ，B 两点，若OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B.233C.43D ．3解析：由题意得直线方程为y ＝x ＋c ，代入双曲线的方程并整理可得(b 2－a 2)x 2－2a 2cx －a 2c 2－a 2b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2c b 2－a 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2c b 2－a 2，∴OA →＋OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c b 2－a 2，2b 2c b 2－a 2，又∵OA →＋OB →与向量n ＝(－3，－1)共线，∴2a 2c b 2－a 2＝3·2b 2c b 2－a 2，∴a 2＝3b 2，又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝233.故选B.答案：B9．已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613 B.22613 C.21313 D.41313解析：由题意可知，c ＝2，由e ＝c a ＝2a.可知e 最大时需a 最小．由椭圆的定义|PA |＋|PB |＝2a ，即使得|PA |＋|PB |最小，设A (－2,0)关于直线y ＝x ＋3的对称点D (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y －0x ＋2·1＝－1，0＋y 2＝－2＋x2＋3，可知D (－3,1)．所以|PA |＋|PB |＝|PD |＋|PB |≥|DB |＝12＋52＝26，即2a ≥26.所以a ≥262，则e ＝c a ≤2262＝22613.故选B.答案：B10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在该双曲线的右支上，且|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，PF 1→·PF 2→＝－6a 2，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．4 C. 2 D. 6解析：由双曲线的定义及已知可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝10a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ，则cos ∠F 1PF 2＝PF1→·PF 2→|PF 1→|·|PF 2→|＝－6a 26a ·4a ＝－14，设双曲线的焦距为2c (c >0)，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×(－14)，所以c 2＝16a 2，故双曲线的离心率为c a＝4.故选B.答案：B 二、填空题11．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →·PF→的取值范围为________． 解析：椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点为F (1,0)，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以x 0＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k 2，OP →＝⎝⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2k 2，k 1＋2k 2，所以OP →·PF→＝2k 21＋2k 22－k 21＋2k 22＝k 21＋2k 22＝k 21＋4k 2＋4k4，当k ＝0时，OP →·PF →＝0，当k ≠0时，OP →·PF →＝k 21＋4k 2＋4k4＝14＋1k2＋4k 2≤18，当且仅当k 2＝12时等号成立，且OP →·PF →>0.当直线AB 的斜率不存在时，F 与P 重合，所以OP→·PF →＝0. 综上，OP →·PF →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1812．已知直线l ：y ＝2x －4交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，在抛物线AOB 这段曲线上有一点P ，则△APB 的面积的最大值为________．解析：由弦长公式知|AB |＝35，只需点P 到直线AB 距离最大就可保证△APB 的面积最大．设与l 平行的直线y ＝2x ＋b 与抛物线相切，解得b ＝12.∴d ＝9510，∴(S △APB )max ＝12×35×9510＝274.答案：27413．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．解析：∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1，∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋nm ＋2.∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n .由题意可得m＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0，得m ＋2>2.∴0<1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12. 而0<e 1<1，∴22<e 1<1.答案：22<e 1<114．设P 为直线l ：x ＋y ＝4上任意一点，椭圆x 212＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，则l 与椭圆的位置关系是______，|PF 1|＋|PF 2|的最小值是________．解析：把x ＝4－y 代入椭圆方程并整理，得y 2－2y ＋1＝0，它有两个相等的根，∴l 与椭圆相切．如图，连接PF 1，与椭圆交于Q (由于P 在椭圆外，则Q 在P ，F 1之间)， 连接QF 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|PQ |＋|PF 2|≥|QF 1|＋|QF 2|＝2a ＝43，当且仅当Q 在线段PF 2上，即P 在椭圆上时取等号，∴|PF 1|＋|PF 2|的最小值是4 3.答案：相切 4 3 三、解答题15．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．(1)求过点O ，F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．解：(1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)． ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上．设M (－12，t )，则圆半径r ＝|(－12)－(－2)|＝32.由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝± 2.∴所求圆的方程为(x ＋12)2＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 代入x 22＋y 2＝1.整理，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根，如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1. ∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2.∵k ≠0，∴－12<x G <0.∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6＋4 2.(1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a ＋2c ＝6＋42，又椭圆的离心率为223，即c a ＝223，所以c ＝223a ，所以a ＝3，c ＝22，故b 2＝a 2－c 2＝1.椭圆M 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)方法1：不妨设直线BC 的方程为y ＝n (x －3)，(n >0)． 则直线AC 的方程为y ＝－1n(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝n x －3，x29＋y 2＝1，得(19＋n 2)x 2－6n 2x ＋9n 2－1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为3x 2＝81n 2－99n 2＋1，所以x 2＝27n 2－39n 2＋1.同理可得x 1＝27－3n 29＋n 2.所以|BC |＝1＋n 269n 2＋1，|AC |＝1＋n 2n 6n29＋n 2，S △ABC ＝12|BC ||AC |＝2n ＋1nn ＋1n2＋649.设t ＝n ＋1n≥2，则S ＝2t t 2＋649＝2t ＋649t≤38，当且仅当t ＝83时取等号．所以△ABC 面积的最大值为38.方法2：不妨设直线AB 的方程x ＝ky ＋m (m ≠3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋m ，x29＋y 2＝1，消去x ，得(k 2＋9)y 2＋2kmy ＋m 2－9＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝－2km k 2＋9，y 1y 2＝m 2－9k 2＋9.①因为以AB 为直径的圆过点C (3,0)，所以CA →·CB →＝0. 由CA →＝(x 1－3，y 1)，CB →＝(x 2－3，y 2)， 得(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝0.将x 1＝ky 1＋m ，x 2＝ky 2＋m 代入上式． 得(k 2＋1)y 1y 2＋k (m －3)(y 1＋y 2)＋(m －3)2＝0. 将①代入上式，解得m ＝125或m ＝3(舍)．所以m ＝125(此时直线AB 经过定点D (125，0)，与椭圆有两个交点)，所以S △ABC ＝12|DC ||y 1－y 2|＝12×35y 1＋y 22－4y 1y 2＝9525k 2＋9－14425k 2＋92.设t ＝1k 2＋9，0<t ≤19，则S△ABC＝95－14425·t2＋t.所以当t＝25288∈⎝⎛⎦⎥⎤0，19时，S△ABC取得最大值38.。
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直线与圆锥曲线的位置关系 规范答题示专题
典例 (12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a
2＋
y 2b 2
＝1(a >b >0)的离心率为
32
，
且点⎝
⎛⎭⎪⎫
3，12在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 2
4b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . ①求|OQ ||OP |
的值；②求△ABQ 面积的最大值．
审题路线图 (1)椭圆C 上点满足条件―→得到a ，b 的关系式――――――――――→已知离心率e ＝
3 2
a 2＝
b 2＋
c 2
基本量法求得椭圆C 的方程
(2)①P 在C 上，Q 在E 上――→P ，Q
共线设坐标代入方程―→求出|OQ |
|OP |
②直线y ＝kx ＋m 和椭圆E 的方程联立――→通法
研究判别式Δ并判断根与系数的关系―→用m ，k 表示S △OAB ―→ 求S △OAB 的最值
―――――――――――→利用①得
S △ABQ
和S △OAB
的关系
得S △ABQ 的最大值
(2)由(1)知椭圆E 的方程为
x 216＋y 2
4
＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ |
|OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．
因为x 20
4
＋y 20＝1，
又－λx 02
16
＋
－λy 0
2
4
＝1，即λ24⎝
⎛⎭
⎪⎫x 20
4
＋y 20
＝1，
所以λ＝2，即|OQ |
|OP |＝2.5分
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，
由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，(*)
则x 1＋x 2＝－8km
1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝
4
16k 2＋4－m 21＋4k 2
. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝
2
16k 2＋4－m 2|m |
1＋4k 2
＝
216k 2＋4－m 2
m 2
1＋4k 2
＝2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.8分 设
m 2
1＋4k
2
＝t ，将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程， 可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，
由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**)
由(*)(**)可知0<t ≤1，因此S ＝24－t t ＝2－t 2＋4t ，
故0<S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值
2
3.
由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.
12分
评分细则 (1)第(1)问中，求a 2－c 2＝b 2关系式直接得b ＝1，扣1分；
(2)第(2)问中，求|OQ |
|OP |时，给出P ，Q 的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处
扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．
跟踪演练7 (2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x 2
2
＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，
B 两点，点M 的坐标为(2,0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1.
由已知可得，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1，－22.
又M (2,0)，
所以AM 的方程为y ＝－22
x ＋2或y ＝
22
x － 2.
即x ＋
2y －2＝0或x －
2y －2＝0.
(2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°.
当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠OMA ＝∠OMB . 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为
y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1<
2，x 2<
2，直线MA ，MB 的斜率之和
k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2
x 2－2
.
由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，得 k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k
x 1－2x 2－2.
将y ＝k (x －1)代入x 2
2
＋y 2＝1，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，由题意知Δ>0恒成立， 所以x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－2
2k 2＋1.
则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝
4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k
2k 2＋1
＝0，
从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .。