《导数的概念及其几何意义》(北师大版选修)
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【优质课件】北师大版选修11高中数学3.2导数的概念及其几何意义优秀课件.ppt
解析: ������������������
������x →0
������(1+������)-������(1) 3������
=13
lim
Δ ������ →0
f(1+������x)-f(1) ������x
=13f'(1).
答案:C
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
������变式训练 1������求 y=f(x)=1������在 x=3 处的导数.
解:Δy=3+1Δ������
−
1 3
=
33-((33++ΔΔ������������))=-3(3Δ+������Δ������),
∴ΔΔ������������=-9+13Δ������.
∴f'(3)= lim Δ ������ →0
义,需适当变形.
探究一
探究二
探究三
首页
X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
正解:������(������0)-���2���(Δ���������0���+2Δ������)=-������(������0+22ΔΔ������������)-������(������0), 由 f'(x0)=a 知当 Δx 趋于 0 时,������(������0+ΔΔ������������)-������(������0)趋于 a, 又因为当 Δx 趋于 0 时,2Δx 也趋于 0,
北师大版高中数学选择性必修第二册2.2 导数的概念及其几何意义【课件】
点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
点A
线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四 导数的几何意义
函 数 y ＝ f(x) 在 x0 处 的 导 数 ， 是 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的
切线的斜率
_____________．
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 ，它是过A(x0，f(x0))和
∆
斜率
B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝
f(x)在点A处的一条割线．
要点三 切线的定义
点A
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕
Δy 2 Δx 2 +16Δx
∴ ＝
＝2Δx＋16.
Δx
Δx
Δy
当Δx趋于0时， ＝16，∴f′(3)＝16.
Δx
题型三 求曲线在某点处的切线方程
1 3 4
例3 已知曲线C：y＝ x ＋ ，求曲线C上的横坐标为2的点处的切
3
3
线方程．
解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
Δy
要点一 导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，
−
∆
+∆ −(0 )
−
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝
.
∆
∆
固定的值
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，
高中数学 第2章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修22
(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0＋1 Δx－x10 Δx
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0－x0＋ΔxΔx Δx
＝Δlxi→m 0 1＋x0x－0＋1Δx＝1－x120，
又∵g′(x0)＝34，∴1－x102＝34， ∴x20＝4，∴x0＝2或－2.
利用导数求切线方程
已知曲线y＝
1 3
通常分三步：
(1)计算函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值ΔΔyx；
(3)计算上述增量的比值在Δx→0时的极限，就是该函数在
x0点的导数，即f′(x0)＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0源自fx0＋Δx－fx0 Δx
.这
三步简称为：一差，二比，三极限．
1．已知函数f(x)在x＝a处可导，则 hl→ima
fh－fa h－a
等于
高中数学 第二章 §2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修22
1 －2＋Δx
＝－12，
∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－
12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?
x1－x0 ＝
Δx
，当x1趋于x0，即Δx趋于0
时，如果平均变化率趋于一个 固定的值 ，那么这个值就是
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率 为函数y＝f(x)在x0点的导数．
2．记法：函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 fx1－fx0
f′(x0)表示，记作 fx0＋Δx－fx0
[一点通] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝ f′(x0)·(x－x0)．
4．已知f(x)＝x2，曲线y＝f(x)在点(3,9)处的切线的斜率 为________． 解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)， 则割线PQ的斜率为kPQ＝3＋ΔΔxx2－9＝6＋Δx. 当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在 点P(3,9)处的切线的斜率为6.
又∵f′(1)＝6，∴2a＋2＝6，∴a＝2.
3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx， ΔΔxy＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx， ∴Δlixm→0 ΔΔxy＝Δlixm→0 1＋1＋1Δx＝2， 从而f′(1)＝2.
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义
例2 已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
解
lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
21＋Δx2－2×12 Δx
4Δx＋2Δx2
＝ lim Δx→0
Δx
＝lim (4＋2Δx)＝4， Δx→0
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程.
解 点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设 f2－f1＝ 2－1
a，则下列不等式正确的是 A.f′(1)<f′(2)<a
√B.f′(1)<a<f′(2)
C.f′(2)<f′(1)<a
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的 值及切点坐标.
D.a<f′(1)<f′(2)
解析 由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越
来越大，
f2－f1
∵
＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2).
2－1
(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积 为 16，则a＝__±_1__.
导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修
等
控制系统：通 过导数计算， 实现自动控制， 如汽车自动驾 驶系统、机器 人控制系统等
信号处理：通 过导数计算， 实现信号处理， 如图像处理、
音频处理等
力学分析：通 过导数计算， 实现力学分析， 如流体力学、
固体力学等
导数在科学计算中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于求解函数极限、导数、积分等问题 物理：导数用于描述物理量随时间的变化率，如速度、加速度、力等 工程：导数用于求解工程问题，如电路分析、流体力学、热力学等 经济：导数用于描述经济变量随时间的变化率，如价格、需求、供给等
感谢观看
汇报人：
导数在经济学中的应用
边际分析：通过 导数计算边际成 本、边际收益等
弹性分析：通过 导数计算价格弹 性、需求弹性等
优化问题：通过 导数求解最优化 问题，如利润最 大化、成本最小 化等
动态分析：通过 导数分析经济系 统的动态变化， 如经济增长、通 货膨胀等
导数在工程学中的应用
优化设计：通 过导数计算， 找到最优解， 如桥梁设计、 建筑结构设计
导数与函数图像的变化趋势Biblioteka 导数是函数在某一点的切线斜 率
导数可以反映函数在某一点的 变化率
导数可以预测函数图像的变化 趋势
导数可以帮助我们理解函数的 极值和拐点
导数与极值点的关系
导数等于零的点是函数在该 点处的极值点
导数大于零的点是函数在该 点处的递增点
极值点是函数在某一点处的 最大值或最小值
导数小于零的点是函数在该 点处的递减点
导数的概念及其 几何意义
,
汇报人：
单击添加目 录标题
导数的概念
导数的几何 意义
导数的应用
添加章节标题
控制系统：通 过导数计算， 实现自动控制， 如汽车自动驾 驶系统、机器 人控制系统等
信号处理：通 过导数计算， 实现信号处理， 如图像处理、
音频处理等
力学分析：通 过导数计算， 实现力学分析， 如流体力学、
固体力学等
导数在科学计算中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于求解函数极限、导数、积分等问题 物理：导数用于描述物理量随时间的变化率，如速度、加速度、力等 工程：导数用于求解工程问题，如电路分析、流体力学、热力学等 经济：导数用于描述经济变量随时间的变化率，如价格、需求、供给等
感谢观看
汇报人：
导数在经济学中的应用
边际分析：通过 导数计算边际成 本、边际收益等
弹性分析：通过 导数计算价格弹 性、需求弹性等
优化问题：通过 导数求解最优化 问题，如利润最 大化、成本最小 化等
动态分析：通过 导数分析经济系 统的动态变化， 如经济增长、通 货膨胀等
导数在工程学中的应用
优化设计：通 过导数计算， 找到最优解， 如桥梁设计、 建筑结构设计
导数与函数图像的变化趋势Biblioteka 导数是函数在某一点的切线斜 率
导数可以反映函数在某一点的 变化率
导数可以预测函数图像的变化 趋势
导数可以帮助我们理解函数的 极值和拐点
导数与极值点的关系
导数等于零的点是函数在该 点处的极值点
导数大于零的点是函数在该 点处的递增点
极值点是函数在某一点处的 最大值或最小值
导数小于零的点是函数在该 点处的递减点
导数的概念及其 几何意义
,
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单击添加目 录标题
导数的概念
导数的几何 意义
导数的应用
添加章节标题
高中数学北师大版选修1-1 导数的概念及其几何意义 课件 (37张)
1.导数的概念 (1)y′|x＝x0 表示函数 y 关于自变量 x 在 x0 处的导数． (2)在数学上，把函数在点 x0 处的变化率称为函数在点 x0 处的导数，在自然科学及科学技术领域内，只要遇到有关函数 变化率的问题，如化学反应速度、物体温度变化率、电流强度 等等都需要应用导数．
(3)导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改变量 Δy 与自变 Δy 量的改变量 Δx 之比的极限， 它是一个局部性的概念， 若 lim Δx→0 Δx 存在，则函数 y＝f(x)在点 x0 处就有导数，否则就没有导致，即 Δy lim 存在表示是一个定数，函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一 Δx→0 Δx 个定数．
[答案] B
[解析] ∵y＝x3， x＋Δx3－x3 Δx3＋3x· Δx2＋3x2·Δx ∴y′＝ lim ＝ lim Δx Δx Δx→0 Δx→0
2 2 2 ＝ lim [(Δ x ) ＋ 3 x ·Δ x ＋ 3 x ] ＝ 3 x . → Δx 0
令 3x2＝3，得 x＝± 1，∴点 P 的＝2 时，Δy＝(2＋Δx)2＋
[方法规律总结]
用导数定义求函数在某一点处的导数的
第三章
变化率与导数
第三章
§2 导数的概念及其几何意义
课前自主预习
1.理解导数的概念和意义，了解导函数的概念，通过函数 图像直观地理解导数的几何意义．
2 ．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处
的切线方程.
导数的概念
Δy 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率是 lim ＝ lim Δx→0 Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 .我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数， 记作 Δx f ′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ， 即 fx0＋Δx－fx0 lim Δx _____________________. Δx→0 f ′(x0) ＝ lim →
《导数的概念及其几何意义》PPT 北师大版选修PPT课件
5、位移的导数是速度；速度的导数是加速度。
五、曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
g
g
当△t→0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g
在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于 在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度 当△t→0的极限，
v li m s lig m 6 t 3 g 2.4 9 m /s
t 0 t t 02
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
=0.305g(m)
所以 v1 st1 10.3 0.10 g 53.0g 5(m/s)
同 理
v2 st220.00.031 g030.050g(m 5/s)
v3 s t3 30 .00 .0 00 3 g1 03 .0 00 0 g(m 0 5/s5 )
例1是计算了[3，3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
处的切线方程。
→深化拓展
• （08湖北高考文T17）
② 已知函f数 (x)x32x24x1,若斜率
为5的直线是曲 y线 f (x)的切线，求 此直线方. 程
合作探究，理性升华
③.已知函数 f (x) x3 3x8.求曲线y f (x)过点（ 2，6）处的切线方程。
学而不思则罔
五、曲线在某一点处的切线的定义
设曲线C是函数y=f(x)的图象，
y=f(x) 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一
y
Q
点Q(x0+△x,y0+△y),过P,Q两点作割
△y 线，当点Q沿着曲线无限接近于点P
T 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极
P △x o
g
g
当△t→0时，物体的速度趋近于一个确定的值3g
在 t=3s 这一时刻的瞬时速度等于 在 3s 到 (3+△t)s 这段时间内的平均速度 当△t→0的极限，
v li m s lig m 6 t 3 g 2.4 9 m /s
t 0 t t 02
一般结论
设物体的运动方程是 s=s(t),
=0.305g(m)
所以 v1 st1 10.3 0.10 g 53.0g 5(m/s)
同 理
v2 st220.00.031 g030.050g(m 5/s)
v3 s t3 30 .00 .0 00 3 g1 03 .0 00 0 g(m 0 5/s5 )
例1是计算了[3，3+△t]当 t=0.1,t=0.01,t=0.001时的平均速度。 上面是计算了△t>0时的情况 下面再来计算△t<0时的情况
处的切线方程。
→深化拓展
• （08湖北高考文T17）
② 已知函f数 (x)x32x24x1,若斜率
为5的直线是曲 y线 f (x)的切线，求 此直线方. 程
合作探究，理性升华
③.已知函数 f (x) x3 3x8.求曲线y f (x)过点（ 2，6）处的切线方程。
学而不思则罔
高中数学 3.2.12.2 导数的概念 导数的几何意义课件 北师大版选修11
由直线的点斜式方程可得 y－9＝9(x－3)， 所求切线的方程为 9x－y－18＝0.
1. 求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，可得切线的斜 率 k＝f′(x0)．
2. 根据直线的点斜式方程，可得切线方程 y－y0＝f′ (x0)(x－x0)．
求曲线 y＝f(x)＝2x－x 1在点(1，1)处的切线方程．
(3)函数 f(x)在 x0 点的瞬时变化叫什么？ 【提示】 (1)先求运动员在(t0，t0＋Δt)间平均速度 v， 当Δt 趋于 0 时，平均速度就趋于运动员在 t0 时刻的瞬时速度． (2)当Δx 趋于 0 时，x0＋Δx 就无限接近于点 x0，这样(x0， x0＋Δx)上的平均变化率就可以看作点 x0 处的瞬时变化率． (3)函数 f(x)在 x0 点的导数．
3．情感、态度与价值观：通过具体实例，感受和体会导 数在实际问题中的作用，提高学习兴趣，感受导数在物理学、 解析几何中的应用．
●重点难点 重点：导数的概念． 难点：导数的几何意义的理解． 引导学生从学习过的瞬时变化率过渡到导数的学习，理 解导数的概念，结合初中学习过的圆的切线通过画图来认识 导数的几何意义．
设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)
变到
f(x1) ， 函 数 值
y
关于
x
的
平
均
变
化
率
为
Δ Δ
y x
＝
f（x1）x1－－fx（0 x0）＝f（x0＋Δ Δx）x－f（x0）.当 x1 趋于 x0，即Δ x
趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值
§2 导数的概念及其几何意义 2．1 导数的概念
2．2 导数的几何意义
1. 求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，可得切线的斜 率 k＝f′(x0)．
2. 根据直线的点斜式方程，可得切线方程 y－y0＝f′ (x0)(x－x0)．
求曲线 y＝f(x)＝2x－x 1在点(1，1)处的切线方程．
(3)函数 f(x)在 x0 点的瞬时变化叫什么？ 【提示】 (1)先求运动员在(t0，t0＋Δt)间平均速度 v， 当Δt 趋于 0 时，平均速度就趋于运动员在 t0 时刻的瞬时速度． (2)当Δx 趋于 0 时，x0＋Δx 就无限接近于点 x0，这样(x0， x0＋Δx)上的平均变化率就可以看作点 x0 处的瞬时变化率． (3)函数 f(x)在 x0 点的导数．
3．情感、态度与价值观：通过具体实例，感受和体会导 数在实际问题中的作用，提高学习兴趣，感受导数在物理学、 解析几何中的应用．
●重点难点 重点：导数的概念． 难点：导数的几何意义的理解． 引导学生从学习过的瞬时变化率过渡到导数的学习，理 解导数的概念，结合初中学习过的圆的切线通过画图来认识 导数的几何意义．
设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)
变到
f(x1) ， 函 数 值
y
关于
x
的
平
均
变
化
率
为
Δ Δ
y x
＝
f（x1）x1－－fx（0 x0）＝f（x0＋Δ Δx）x－f（x0）.当 x1 趋于 x0，即Δ x
趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值
§2 导数的概念及其几何意义 2．1 导数的概念
2．2 导数的几何意义
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
2.2 导数的概念及几何意义 课件(北师大版选修2-2)
ℎ →0
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
= lim
Δy
导.学. 固. 思
问题3
函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在
Δy Δx
= lim x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)= Δlim x →0 Δ x Δ x →0
f( x 0 +Δ x )-f(x 0 )
.
相应的切线方程是: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
【解析】由已知得: lim lim
f( x 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ h →0
f (x 0 -4h )-f (x 0 ) h
f (x 0 +h )-f (x 0 ) h
h →0
.
=2,
当 h→0,2h→0,-4h→0,
h →0
= ������������������
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
= lim
Δy
导.学. 固. 思
问题3
函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在
Δy Δx
= lim x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)= Δlim x →0 Δ x Δ x →0
f( x 0 +Δ x )-f(x 0 )
.
相应的切线方程是: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
【解析】由已知得: lim lim
f( x 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ h →0
f (x 0 -4h )-f (x 0 ) h
f (x 0 +h )-f (x 0 ) h
h →0
.
=2,
当 h→0,2h→0,-4h→0,
h →0
= ������������������
高中数学北师大版选修2-2 导数的概念和几何意义
求平均变化率 已知函数 f(x)＝3x＋1 和 g(x)＝2x2＋1，分别计算在下列 区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率． (1)[－3，－1]； (2)[1，1＋d]．
【解】 (1)①对于 f(x)＝3x＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，
f(－1)－f(－3) ＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6， 所以f（－1）－d f（－3）＝62＝3， 即函数 f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为 3. ②对于 g(x)＝2x2＋1 在区间[－3，－1]上， 因为 d＝－1－(－3)＝2，g(－1)－g(－3) ＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，
1．当自变量从 x0 变到 x1 时函数值的增量与相应自变量的增量 之比是函数( ) A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在 x0 处的变化率 C．在 x1 处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 答案：A
2．已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，d＝0.1 时，f(x＋d)－
【解】 因为 f(x0＋d)－f(x0)＝(2x0－7)d＋d2， 所以f（x0＋d）d－f（x0）＝2x0－7＋d. 当 d 趋于 0 时，f（x0＋d）d－f（x0）趋于 2x0－7， 所以 f(x)在 x＝2 和 x＝6 时的瞬时变化率分别为－3 和 5. 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3 °C/h 的速度下降；在 第 6 h 附近，原油温度大约以 5 °C/h 的速度上升．
利用导数定义求导数，“三步法”的模式是固定的，关键是要注 意在求f（x0＋d）d－f（x0）时，分式的通分，无理式的分子有 理化等常用技巧的使用．
求函数 y＝x2＋ax＋b(a，b 为常数)在 x＝1 处的 导数． 解：令 f(x)＝y＝x2＋ax＋b，
3.2导数的概念及其几何意义(北师大版选修1-1)
导数的概念及其几何 意义（2）
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2
北师版数学选修1-1课件：第3章 §2 2-1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
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利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤： 1求函数的增加量 Δy＝fx0＋Δx－fx0； fx0＋Δx－fx0 Δy 2求平均变化率Δx：＝ ； Δx Δy 3求 f′x0＝ lim Δx. Δx→0
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[再练一题] 1． 一质点的运动路程 s(单位： m)是关于时间 t(单位： s)的函数： s＝－2t＋3， 求 s′(1)，并解释它的实际意义．
阶 段 一
§2
导数的概念及其几何意义 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
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1．理解函数在某点处的导数定义及其几何意义．(重点、难点) 2．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．(难点)
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[基础· 初探] 教材整理 1 导数的概念 阅读教材 P60“例 1”以上部分，完成下列问题． 设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)变到 f(x1)，函数 Δy fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 值 y 关于 x 的平均变化率为Δx＝ ＝ .当 x1 趋于 x0，即 Δx Δ x x1 －x0 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个__________，那么这个值就是函数 y＝f(x) 在 x0 点的__________． 在数学中， 称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0 点的________， 通常用符号 f′(x0)表示， 记作 f′(x0)＝________________＝__________________.
【解析】 ∵f′(1)＝k＝－1， ∴切线方程为：y－2＝－(x－1)，即 x＋y－3＝0.
高中数学北师大选修1-1课件：第3章 §2 2.1 2.2 导数的概念 导数的几何意义
x x0
x0
1 x
yx1 x
【拓展提升】 1.利用定义求导数的三个步骤 (1)求自变量的改变量Δx及函数值的改变量Δy. (2)求平均变化率 (3)使Δx→0，求导数
y .
x
f
x0
lim
x0
f
x
0
x
x
f
x
0
.
2.利用定义求导数需要注意的问题 求解时不能给出自变量的改变量Δx的具体值，否则求出的 是平均变化率，而不是瞬时变化率，即不是导数值，求解的 关键是第二步对 的变形，使分子、分母能约去一个Δx.
在点A处_____，称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线.
3.几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点 x
(x0,f(x0))处的切线的_____.
相切
直线l
斜率
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f(x)在x0处可导，则必存在切线；若函数f(x)在x0 处不可导，则一定不存在切线.（ ） (2)可以利用导数求过圆上某点的切线方程.（ ） (3)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.
1.设函数y=f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0) =aΔx+b(Δx)2(a,b为常数)，则( )
A.f′(x)=a
B.f′(x)=b
C.f′(x0)=a
D.f′(x0)=b
2.求函数y=x- 在x=1处的导数.
1 x
【解题探究】 1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是在哪一点的改变量？ 2.题2中函数值的改变量是什么？ 探究提示： 1.题1中式子f(x0+Δx)-f(x0)表示的是函数f(x)在点(x0,f(x0)) 处的函数值的改变量. 2.题2中函数值的改变量为
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2.（2010·河源高二检测）曲线y=4x-x3在点（-1，-3）处的 切线方程是（ (A)y=7x+4 (C)y=x-4 ） (B)y=7x+2 (D)y=x-2
【解析】
3.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则切线
方程为（
(A)y=4x (C)y=4x-8
）
(B)y=4x-4 (D)y=4x或y=4x-4
【解析】
答案：
5.如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P
点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=__________.
【解析】由导数的几何意义知 f′(4)=-2, 由点P在切线y=-2x+9上知yP=-2×4+9=1. ∴点P的坐标为（4，1），∴f(4)=1, ∴f(4)+f′(4)=1+(-2)=-1.
8 x
3 0
=1,
∴有f′(x0)·( - 2 )=-1, -1 6 8 1 ∴ - 3 = -1 , ∴x0=1,y0=4,即P(1,4). x0 8 (3)∵切线倾斜角为135°, 8 ∴f′(x0)=tan135°=-1,∴ - 3 =-1, x 0 ∴x0=2,y0=1,即P(2,1).
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.函数在某一点的导数是（ ）
(A)该点的函数的改变量与自变量的改变量的比 (B)一个函数
(C)一个常数，不是变数
(D)函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【解析】选C.函数的导数是函数的平均变化率，当Δx→0时的 极限值，是无限接近的一个常数.
即3x+y+2=0.
答案：3x+y+2=0
3.（5分）曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴，直线x=2所 围成的三角形的面积为_____. 【解析】
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4） ∴ S △=
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）已知曲线f(x)=g(x)+x2, 曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为（ ）
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
设切点坐标为（x0,y0),
=3x02+6x0,
∴3x02+6x0=-3. ∴x0=-1,∴切点坐标为（-1,1) ∴切线方程为y-1=-3(x+1)
答案：-1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.（2010·漳州高二检测）求曲线y= 1 x3+x在点（1, 4 )处 3 3 的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解题提示】求切线的斜率k=f′(1) →求切线方程→求 切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积 .
【解析】
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢 .应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
典型例题精析
【例2】某物体按照s(t)=3t2+2t+4的规律作直线运动，求物体运 动4 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.
0时，平均变化率
2.函数f(x)在x=x0处的导数与Δ x趋近于0的方式有关吗？ 提示：没有关系.无论Δx从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0， 其导数值应相同.否则f(x)在该点处导数不存在,如函数 f(x)=|x|在x=0处导数不存在.
1.过曲线y=f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？ 提示：不一定.可能不存在，如y=|x|，在点（0，0）处无切线； 也可作多条，如图所示的曲线中，过点A可作两条切线.
思路点拨：解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量
Δt,再利用公式求解，最后说明运动状况.
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（
（A ）6
Байду номын сангаас
）
（B）18 （C）54 （D）81
2.一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下
降，温度T（单位:℃）与时间t(单位:min）间的关系，由函数
【解析】选D.设P(x0,y0)，则f′(x0)
∵点P处的切线与直线y=4x-1平行，∴3x02+1=4 ∴x0=1或-1，则P点坐标为（1,0)或(-1,-4), ∴所求切线方程为y=4x-4或y=4x.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.曲线y= 9 x 在点（3,3）处的切线的倾斜角为________.
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
7.在曲线y= 4 上求一点P，使得曲线在该点处的切线满足下 x 2 列条件. （1）平行于直线y=x+1. (2)垂直于直线2x-16y+1=0. (3)倾斜角为135°.
【解析】
（1）∵切线与直线y=x+1平行，
∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即 ∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1). (2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直，
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x