《导数的概念及其几何意义》(北师大版选修)

【解析】选D.设P(x0,y0)，则f′(x0)
∵点P处的切线与直线y=4x-1平行，∴3x02+1=4 ∴x0=1或-1，则P点坐标为（1,0)或(-1,-4), ∴所求切线方程为y=4x-4或y=4x.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.曲线y= 9 x 在点（3,3）处的切线的倾斜角为________.
答案：-1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.（2010·漳州高二检测）求曲线y= 1 x3+x在点（1, 4 )处 3 3 的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解题提示】求切线的斜率k=f′(1) →求切线方程→求 切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积 .
【解析】
7.在曲线y= 4 上求一点P，使得曲线在该点处的切线满足下 x 2 列条件. （1）平行于直线y=x+1. (2)垂直于直线2x-16y+1=0. (3)倾斜角为135°.
【解析】
（1）∵切线与直线y=x+1平行，
∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即 ∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1). (2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直，
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
设切点坐标为（x0,y0),
=3x02+6x0,
∴3x02+6x0=-3. ∴x0=-1,∴切点坐标为（-1,1) ∴切线方程为y-1=-3(x+1)
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢 .应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
典型例题精析
【例2】某物体按照s(t)=3t2+2t+4的规律作直线运动，求物体运 动4 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.
2.（2010·河源高二检测）曲线y=4x-x3在点（-1，-3）处的 切线方程是（ (A)y=7x+4 (C)y=x-4 ） (B)y=7x+2 (D)y=x-2
【解析】
3.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则切线
方程为（
(A)y=4x (C)y=4x-8
）
(B)y=4x-4 (D)y=4x或y=4x-4
思路点拨：解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量
Δt,再利用公式求解，最后说明运动状况.
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（
（A ）6
）
（B）18 （C）54 （D）81
2.一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下
降，温度T（单位:℃）与时间t(单位:min）间的关系，由函数
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
8 x
3 0
=1,
∴有f′(x0)·( - 2 )=-1, -1 6 8 1 ∴ - 3 = -1 , ∴x0=1,y0=4,即P(1,4). x0 8 (3)∵切线倾斜角为135°, 8 ∴f′(x0)=tan135°=-1,∴ - 3 =-1, x 0 ∴x0=2,y0=1,即P(2,1).
【解析】
答案：
5.如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P
点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=__________.
【解析】由导数的几何意义知 f′(4)=-2, 由点P在切线y=-2x+9上知yP=-2×4+9=1. ∴点P的坐标为（4，1），∴f(4)=1, ∴f(4)+f′(4)=1+(-2)=-1.
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.函数在某一点的导数是（ ）
(A)该点的函数的改变量与自变量的改变量的比 (B)一个函数
(C)一个常数，不是变数
(D)函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【解析】选C.函数的导数是函数的平均变化率，当Δx→0时的 极限值，是无限接近的一个常数.
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）已知曲线f(x)=g(x)+x2, 曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为（ ）
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
即3x+y+2=0.
答案：3x+y+2=0
3.（5分）曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴，直线x=2所 围成的三角形的面积为_____. 【解析】
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4） ∴ S △=
0时，平均变化率
2.函数f(x)在x=x0处的导数与Δ x趋近于0的方式有关吗？ 提示：没有关系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ无论Δx从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0， 其导数值应相同.否则f(x)在该点处导数不存在,如函数 f(x)=|x|在x=0处导数不存在.
1.过曲线y=f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？ 提示：不一定.可能不存在，如y=|x|，在点（0，0）处无切线； 也可作多条，如图所示的曲线中，过点A可作两条切线.