九年级数学试题

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广东广雅中学2024~2025学年九年级上学期开学考试数学试题(解析版)

2024学年第一学期九年级综合素质评估试卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，共25小题，满分120分，考试用时120分钟．注意事项：1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．第一部分选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式以及二次根式的性质，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式或因数，进行判断即可．【详解】解：AB=C=，不是最简二次根式，不符合题意；D故选：A．2. 一组数据5，4，5，6，5，3，4的众数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】此题考查众数的定义，根据众数的概念，找到该组数据中出现次数最多的数即可选出正确答案．【详解】解：数据5出现了3次，最多，所以众数为5，故选：C ．3. 下列各组数据中，是勾股数的是（）A.B. 6，7，8C. 1，2，3D. 9，12，15【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理逆定理，两条较短线段的平方和等于较长线段的平方．根据勾股定理逆定理判断即可．【详解】解：A 、222+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；B 、222678+≠，不能组成直角三角形，不符合题意；C 、123+=，不能组成三角形，不符合题意；D 、22291215+=，能组成直角三角形，符合题意；故选：D ．4. 甲、乙、丙、丁四人参加射击比赛，经过几轮初赛后，他们的平均数相同，方差分别为：22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙．如果要从这四人中选取成绩稳定的一人参加决赛，你认为最应该派去参加决赛的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义，根据方差的定义进行判断即可得出答案．【详解】解：∵22220.34,0.21,0.4,0.5s s s s ≡===甲乙丁丙， 2222s s s s ∴<<<乙甲丁丙， ∴乙的成绩更加稳定，故选：B ．5. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确的是（）A. 若AB BC ⊥，则ABCD 是菱形B. 若AC BD ⊥，则ABCD 是正方形C. 若AC BD =，则ABCD 是矩形D. 若AB AD =，则ABCD 是正方形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了矩形和正方形以及菱形的判定，熟练掌握矩形和正方形以及菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形和正方形以及菱形的判定定理逐项判断，即可解答．【详解】解：A 、邻边互相垂直的平行四边形不一定是菱形，故A 错误，不符合题意；B 、因为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 错误，不符合题意；C 、若AC BD =，则ABCD 是矩形，故C 正确，符合题意；D 、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故D 错误，不符合题意；故选：C ．6. 已知方程2210kx x +−=有实数根，则k 的取值范围是（）A. 1k ≥−B. 1k ≥C. 1k ≤且0k ≠D. 1k ≥−且0k ≠ 【答案】A【解析】【分析】本题考查了根的判别式．讨论：当0k =时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当0k ≠时，根据根的判别式的意义得到224(1)0k ∆=−×−≥，解得1k ≥−且0k ≠，然后综合两种情况得到k 的取值范围．【详解】解：当0k =时，方程化为210x −=，解得12x =；当0k ≠时，则224(1)0k ∆=−×−≥，解得1k ≥−且0k ≠，综上所述，k 取值范围为1k ≥−．故选：A ．7. 如图，矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，E 为AD 的中点，F 为CD 边上任意一点，G ，H 分别为EF，的BF 的中点，则GH 的长是（）A. 6B. 5.5C. 6.5D. 5【答案】D【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出12GH BE =，由勾股定理求出BE 的长．连接BE ，由矩形的性质得到90A ∠=°，由勾股定理求出10BE，由三角形中位线定理得到152GH BE ==．【详解】解：连接BE ，∵四边形ABCD 是矩形，90A ∴∠=°，12AD =∵，E 为AD 中点，162AE AD ∴==， 8AB = ，10BE ∴=，∵G ，H 分别为EF ，BF 中点，GH ∴是BEF △的中位线，152GH BE ∴==．故选：D ．8. 已知直线1l ：y kx b =−+与直线2l ：3y kx b =−在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，数形结合是本题的关键．根据两个一次函数的图象逐一分析系数符号即可解决．【详解】解：A 、直线1:l y kx b =−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k >，0b <，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；B 、直线1:l y kx b =−+中0k <，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 、b 的取值一致，故本选项符合题意；C 、直线1:l y kx b =−+中0k >，0b >，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，k 的取值相矛盾，故本选项不符合题意；D 、直线1:l y kx b =−+中0k <，0b <，2:3l y kx b =−中0k <，0b >，b 的取值相矛盾，故本选项不符合题意．故选：B ．9. 在平面直角坐标系中，以方程组1y x m y x =−+ =−的解为坐标的点位于第三象限，则m 的取值范围是（） A. 1m <−B. 1m <C. 1m >D. 11m −<<【答案】A【解析】【分析】此题考查了解不等式组、解二元一次方程组，利用了消去的思想，消去的方法有：加减消去法与代入消元法，还考查了点的坐标．先求出方程组1y x m y x =−+ =−的解．根据以方程组的解为坐标的点位于第三象限列出不等式组求解即可；【详解】解：解方程组1y x m y x =−+ =− 得：1212m x m y + = − =， ∵以方程组1y x m y x =−+ =− 的解为坐标的点位于第三象限， ∴102102m m + < − <，解得：1m <−，故选：A ．10. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，10AE AD ==，6CD =，作AF DE ⊥于点G ，交CCCC 于F ，则CCCC 的长是（）A. 103B. 83C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】根据题意，10AD BC AE ===，6AB CD ==，可得8BE =，这样得2EC BC BE =−=，设CF x =，则6FE DF x ==−，利用勾股定理计算即可．本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵矩形 ABCD ，10AD AE ==，6CD =，∴10AD BC AE ===，6AB CD ==，90B C ∠=∠=°，∴8BE =，∴2EC BC BE =−=，∵10AD AE ==，AF DE ⊥，∴直线AF 是线段DE 的垂直平分线，∴FE FD =，设CF x =，则6FE DF x ==−，则()2264x x −=+，解得83x =，故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11. 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________．【答案】3x ≥【解析】【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案．【详解】解：由题意得30x −≥，解得3x ≥，故答案为：3x ≥．【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 12. 已知()211350mm x x +−+−=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______．【答案】1−【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x 的最高次幂为2，得出m 的值进而得出答案．【详解】解：由题意知：212m +=且10m −≠，解得1m =−，故答案为：1−．13. 已知正比例函数的图象过点()2,1A −，则该函数的解析式为______．【答案】12y x =−【解析】【分析】本题考查的是求解正比例函数的解析式，直接利用待定系数法求解函数解析式即可．【详解】解：设正比例函数解析式为y kx =，∵正比例函数的图象过点()2,1A −21k ∴−=，解得：12k =−， ∴该函数的解析式为12y x =−；故答案为：12y x =− 14.已知1x =，1y =−，则22x y −的值为____________．【答案】【解析】【分析】先将22x y −因式分解，然后将1x =+、1y =−代入计算即可．详解】解：()())221111x y x y x y −=+−+++=−+故答案为键．15. 若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根分别为13x =，22x =−，则方程()()2(1)100a x b x c a −+−+=≠的两根分别为______．【答案】14x =，21x =−【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，根据一元二次方程的解即可求得结果．关键是把方程()()22230a x b x ++++=中的2x +看成一个新的未知数，则关于2x +的方程的解等于关于x 的一元二次方程230ax bx ++=的解．【详解】解：由题意得：关于1x −的方程()()2(1)100a x b x c a −+−+=≠的解为：13x −=，12x −=−，【解得：14x =，21x =−，故答案为：14x =，21x =−．16. 如图，点()03B ，，A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到.AC 连接.OC 当OC 取最小值时，点A 的坐标是_______________．【答案】302 −，【解析】【分析】本题考查了直线与图形的变化，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题；如图，在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，在OB 上取一点D ，使得OD OA =．证明点C 在直线3y x =−上运动，根据垂线段最短即可解决问题．【详解】解：在x 轴的正半轴上取一点H ，使得3OH OB ==，在OB 上取一点D ，使得OD OA =．OB OH = ，OD OA =，BD AH ∴=，90HAC OAB ∠+∠=° ，90OAB ABO∠+∠=°， HAC DBA ∴∠=∠，BA AC = ，()SAS BDA AHC ∴ ≌，AHC ADB ∴∠=∠，OD OA = ，90AOD ∠=°，45ADO ∴∠=°，135AHC ADB ∴∠=∠=°，45CHx ∴∠=°，设直线CH 的解析式为y x b =+，()30H ，，∴直线CH 的解析式为3y x =−，∴点C 在直线3y x =−上运动，作OP CH ⊥于点P ，OP = 此时点3322P − ，，即3322C −，，设()0A m ，， AB AC = ，222233322m m ∴+=−+，解得32m =−， ∴点302A −，故答案为：3,02 −．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. ()03π1−−．【答案】3−【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．先算乘除法和零次幂，并化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．()03π1+−1= 261=−+3=−18. 如图，在ABCD 中，E ，F 分别是,AB CD 的中点．求证：AF CE =．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，线段中点的有关计算，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质和线段中点的有关计算，证明四边形AECF 是平行四边形，进而即可证明．【详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，E ，F 分别是ABCD 的边AB ，CD 上的中点， ∴12CF CD =，12AE AB =， ∴CF AE =，CF AE ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF CE =．19. 如图，已知CD AB ⊥，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】ABC 是直角三角形，理由见解析【解析】【分析】根据勾股定理分别求出2BC ，2AC ，再根据勾股定理逆定理，即可得出结论．【详解】解：ABC 是直角三角形．理由：CD AB ⊥ ，垂足为D ，1BD =，2CD =，4=AD ．22222125BC BD CD ∴=+=+=，222224220AC AD CD =+=+=．415AB AD BD =+=+= ，22225205AB AC BC ∴==+=+．ABC ∴ 是直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．20. （1）化简：24211326x x x x −+ −÷ ++；（2）若x 是一元二次方程2320x x −+=的解，请求出上面化简后的代数式的值．【答案】（1）21x −；（2）2 【解析】【分析】本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．（1）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子即可；（2）根据因式分解法解一元二次方程，可以得到x 的值，然后将使得原分式有意义的x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）24211326x x x x −+ −÷ ++ 234(1)32(3)x x x x +−−÷++ 212(3)3(1)x x x x −+×+− 21x =−；（2）解方程：2320x x −+=∴(1)(2)0x x −−=∴121,2x x ==， ∵1x =时分式无意义∴当xx =2 时，原式2221=−． 21. 某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示：根据录用程序，学校组织200名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率（没有弃权，每位同学只能推荐1人）如扇形统计图所示，每得一票记1分．（1）分别计算三人民主评议的得分；（2）根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按4:3:3的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？【答案】（1）甲50，乙80，丙70；（2）丙．【解析】【分析】本题考查了加权平均数、扇形统计图等知识点，熟记相关公式是解题关键．（1）分别用200乘以三人的得票率，求出三人民主评议的得分各是多少即可．（2）根据加权平均数的计算方法列式计算，分别求出三人的得分各是多少；然后比较大小，判断出三人中谁的得分最高即可．小问1详解】解：甲民主评议得分是：20025%50×=（分）；乙民主评议的得分是：20040%80×=（分）；丙民主评议的得分是：20035%70×=（分）．【小问2详解】解：甲的成绩是：()()7549335034337291072.9×+×+×÷++=÷=（分），乙的成绩是：()()8047038034337701077×+×+×÷++=÷=（分），丙的成绩是：()()9046837034337741077.4×+×+×÷++=÷=（分），【的∵77.47772.9>>，∴丙的得分最高．22. 如图，在平面直角坐标中，直线26y x =−+与x 轴相交于点B ，与直线2y x =相交于点A ．（1）求AOB 的面积；（2）点P 为y 轴上一点，当PA PB +取最小值时，求点P 的坐标，【答案】（1）92（2）()0,2P【解析】【分析】本题考查两直线相交问题，一次函数的性质以及轴对称−最短线路问题，解题的关键是掌握待定系数法．（1）先求出点B 的坐标，联立两直线解析式构成方程组，得262y x y x=−+= ，解方程组求出3,32A 即可求解；（2）直线26y x =−+与y 轴的交点()3,0B ，作点B 关于y 轴的对称点(3,0)B ′−，连接,AB PB ′，交x 轴于点P ，利用待定系数法求出AB ′的解析式并令函数值为0即可求出点P 的坐标．【小问1详解】解： 026B x =−+， ∴3B x =，即()3,0B ，联立262y x y x =−+ =，解得：323x y = = ，∴点A 的坐标为3,32， ∴AOB 的面积为：11933222A OB y ⋅=××=；【小问2详解】解：作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′，交y 轴于点P ，PB PB ′= ，PB PA PB PA ′∴+=+，此时，,,B P A ′三点共线，PB PA +有最小值，()3,0B ，3,32A， (3,0)B ′∴−设直线AB ′的解析式为y k x b ′′=+，代入(3,0)B ′−，3,32A ，的坐标得03332k b k b ′′′=−+ =+，解得：223b k ==′′， ∴直线AB ′的解析式为223yx =+，令0x =，得2y =， ∴点()0,2P 使PB PC +最小．23. 为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元．经过市场调研发现，每台售价为35万元时，年销售量为550台；每台售价为40万元时，年销售量为500台．假定该设备的年销售量y （单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于60万元，如果该公司想获得8000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？【答案】（1）10900y x =−+ （2）50万元【解析】【分析】（1）设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，根据点的坐标，利用待定系数法即可求解；（2）设此设备的销售单价为m 万元/台，则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其小于60的值即可得出结论．【小问1详解】解：设年销售量y 与销售单价x 的函数关系式yy =kkxx +bb (kk ≠0)，将()35,550，()40,500代入解析式，得：3555040500k b k b += +=，解得：10900k b =− =， ∴年销售量y 与销售单价x 的函数关系式为10900y x =−+；【小问2详解】设此设备的销售单价为m 万元/台，则每台设备的利润为()30m −万元，销售数量为()10900m −+台，根据题意得：()()30109008000m m −−+=，整理得：212035000m m −+=，解得：150m =， 270m =，此设备的销售单价不得高于60万元，50m ∴=，则该设备的销售单价应是50万元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．24. 某条城际铁路线共有A ，B ，C 三个车站，每日上午均有两班次列车从A 站驶往C 站，其中D 1001次列车从A 站始发，经停B 站后到达C 站，G 1002次列车从A 站始发，直达C 站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．列车运行时刻表车次A 站B 站C 站发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻D 10018：00 9：30 9：50 10：50 G 1002 8：25 途经B 站，不停车10：30 请根据表格中的信息，解答下列问题：（1）D 1001次列车从A 站到B 站行驶了______分钟，从B 站到C 站行驶了______分钟；（2）记D 1001次列车的行驶速度为1v ，离A 站的路程为1d ；G 1002次列车的行驶速度为2v ，离A 站的路程为2d ．①12v v =______； ②从上午8：00开始计时，时长记为t 分钟（如：上午9：15，则75t =），已知1240v =千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G 1002次列车的行驶过程中()25150t ≤≤，若1260d d −=，求t 的值．【答案】（1）90，60（2）①56；②75t =或125 【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．（1）直接根据表中数据解答即可；（2）①分别求出D 1001次列车、G 1002次列车从A 站到C 站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；②先求出2v ， A 与B 站之间的路程，G 1002次列车经过B 站时，对应t 的值，从而得出当90110t ≤≤时，D 1001次列车在B 站停车． G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车，然后分2590t ≤<，90100t ≤≤，100110t <≤，110150t <≤讨论，根据题意列出关于t 的方程求解即可．【小问1详解】解：D 1001次列车从A 站到B 站行驶了90分钟，从B 站到C 站行驶了60分钟，故答案为：90，60；【小问2详解】解：①根据题意得：D 1001次列车从A 站到C 站共需9060150+=分钟，G 1002次列车从A 站到C 站共需356030125++=分钟，∴12150125v v =， ∴1256v v =，故答案为：56； ②14v = （千米/分钟），1256v v =， 2 4.8v ∴=（千米/分钟）．490360×= ，∴A 与B 站之间的路程为360．360 4.875÷=， ∴当100t =时，G 1002次列车经过B 站．由题意可如，当90110t ≤≤时，D 1001次列车在B 站停车．∴G 1002次列车经过B 站时，D 1001次列车正在B 站停车．ⅰ．当2590t ≤<时，12d d >，1212d d d d ∴−=−，()4 4.82560t t ∴−−=，75t =（分钟）；ⅱ．当90100t ≤≤时，12d d ≥，1212d d d d ∴−=−，()360 4.82560t ∴−−=，87.5t =（分钟），不合题意，舍去； ⅲ．当100110t <≤时，12d d <，1221d d d d ∴−=−，()4.82536060t ∴−−=，112.5t =（分钟），不合题意，舍去；ⅳ．当110150t <≤时，12d d <，1221d d d d ∴−=−，()()4.825360411060t t ∴−−+−=，125t =（分钟）．综上所述，当75t =或125时，1260d d −=． 25. 如图，等边ABD △中，8AB =．（1）尺规作图：在图1中作点A 关于BD 的对称点C ，连接BC DC ，，并证明四边形ABCD 是菱形；（2）在（1）的条件下，点O 是四边形ABCD 对角线交点，动点E ，F ，G 分别在线段CD AC BC ，，上，且满足EF AD EG EF ⊥∥，，H 是FG 中点；①当OH AB ∥时，求证12OH DE =； ②当OH BC ⊥时，求OH 长度．【答案】（1）作图见解析，证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作；由等边ABD △，可得AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =，进而可证四边形ABCD 是菱形；（2）①由题意证，EF CE =，如图2，作EP CF ⊥，则EP BD ∥，由EF CE =，可得P 是CF 的中点，如图2，连接PH ，则PH CG ∥，由OH AB ∥，AB CD ∥，可得30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，则OH PH =，如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，证明四边形ODQH 是平行四边形，证明四边形MEPH 是平行四边形，证明MEQ △是等边三角形，则QE ME PH ==，由2DE DQ QE OH PH OH =+=+=，可得12OH DE =；②由题意求2BP =，6CP =，2CE CG =，如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，QE PG PQ EG ==，，设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，PQ EG =，12HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，证明()AAS FHQ GHP ≌，则12QH PH PQ ===，由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，由勾股定理得，2FQ a b =−，则OQ =OH =，由QH OQ OH =++，可求a b =，则3a b ==，进而可求OH 的长．【小问1详解】解：作BAD ∠的平分线，交BD 于O ，截取OC OA =，点C 即为所作； ∵等边ABD △，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥，OD OB =，又∵OC OA =，∴四边形ABCD 菱形；【小问2详解】①证明：∵菱形ABCD ，∴30DAC DCA BAC BCA ∠=∠=∠=∠=°，60CDB ∠=°，120ADC ∠=°，BD AC ⊥，AB CD ∥，∵EF AD ∥，∴EFC DAC DCA ∠=∠=∠，120FEC ADC ∠=∠=°，60DEF ∠=°， ∴EF CE =，如图2，作EP CF ⊥，则EP BD∥，是图2∵EF CE =，∴P 是CF 的中点，如图2，连接PH ，∵H 是FG 中点，∴PH CG ∥，∴30OPH ACB ∠=∠=°， ∵OH AB ∥，AB CD ∥，∴30POH BAC OPH ∠=∠=°=∠，OH CD ∥，∴OH PH =，如图2，作HQ EP ∥交EF 于M ，则HQ OD ∥，∴四边形ODQH 是平行四边形，60CQH CDB ∠=∠=°， ∴DQ OH =，∵120EPH EPF OPH ∠=∠+∠=°，1602FEP CEF ∠=∠=°， ∴180EPH FEP ∠+∠=°，∴PH ME ∥，∴四边形MEPH 是平行四边形，∴PH ME =，∵60QEM MQE ∠=°=∠，∴MEQ △是等边三角形， ∴QEME PH ==， ∴2DE DQ QE OH PH OH =+=+=， ∴12OH DE =； ②解：∵菱形ABCD ，8AB =， ∴11422OB BD AB ===， ∵60DBC ∠=°，OHBC ⊥，∴30BOP ∠=°，∴2BP =，6CP =，∵60BCD ∠=°，90EGC FEG ∠=∠=°，∴30CEG ∠=°，∴2CE CG =，如图3，作EN CF 于H ，连接HN ，延长OH ，交BC 于P ，交EF 于Q ，则四边形EGPQ 是矩形，图3∴QE PGPQ EG ==，，由①可知，EF CE =，HN CG ∥，12HN CG =， ∴90OHN QPC ∠=∠=°，30ONH BCA ∠=∠=°，设CG a PG b ==，，则2EF CE a ==，PQ EG =，12HN a =，QE PG b ==，2FQ EF QE a b =−=−，6a b +=，∵90FQH GPH ∠=°=∠，FHQ GHP ∠=∠，FH GH =， ∴()AAS FHQ GHP ≌，∴12QH PH PQ ===，由题意知，2OF OQ =，2ON OH =，由勾股定理得，2FQ a b =−，解得，OQ =，同理，OH =， ∵QHOQ OH =+，a ，解得，a b =，∴3a b ==，∴OH =∴OH 【点睛】本题考查了作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握作角平分线，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，中位线，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°的直角三角形，勾股定理是解题的关键．。

辽宁省铁岭市开原市2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题(含答案)

2024—2025学年度上学期随堂练习九年数学（一）北师大一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列说法正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线相等的平行四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是菱形3．关于的方程的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根4．关于的方程是一元二次方程，则的值是（）A ．B ．1C ．D ．05．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点的坐标是，点的坐标是，点在轴上，则点的坐标是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，矩形中，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（）A ．B ．C．D ．21x y -=223x x+=2240x y -+=2210xx -+=x 2441x x -=-x ()()11110m m x m x ++--+=m 1-1±ABCD B ()6,2D ()0,2A x C ()3,2()3,3()3,4()2,4ABCD BD =AB x A 1-A AC x M M ()2()1,0()1,0()7．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，、则的长为（）A ．4B ．3C．D ．8．摩拜共享单车计划2023年第三季度（8，9，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（）A ．B ．C ．D ．9．在长为30m ，宽为20m 的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程（）A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（）个．（1）；（2）；（3）；（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8．ABCD O M AB OM 6AC =8BD =OM 5232x ()23000112000x +=()()2300013000112000xx +++=()23000112000x -=()()23000300013000112000x x ++++=2468m ()m x ()()30220468x x --=()()20230468x x --=302023020468x x ⨯-⨯-=()()3020468x x --=ABCD O AC OMNP AB BC E F BO BE BF +=14OMNPOEBF S S=矩形四边形222AE FC EF +=4EF =EFA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．12．如图，在菱形中，，点、分别是线段、上的动点，连接、，若，，则图中阴影部分的面积是_________．13．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过离地面的高度（单位：m ）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间约为_________s （结果保留整数）．14．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为18，则_________．15．如图，，，，，点为的中点，点在的延长线上，将绕点顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为_________．x 210ax x ++=a ABCD 60A ∠=︒E F AB BC DE DF 60EDF ∠=︒2AB =()10m /s s x 210 4.9x x -x ABCD AC BD O D DE AB ⊥E OE 9AC =ABCD OE =Rt Rt ABC DEF △≌△90C F ∠=∠=︒2AC =4BC =D AB E AB DEF △D α()0180α<<DE F '△BDE '△AE '三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解方程：（1）；（2）17．（8分）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；（2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出将向左平移4个单位后得到的图形；（2）画出将绕点按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状；（3）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．19．（8分）如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．2680x x -+=2310x x -+=x ()220x n x n +++=2x =-xOy ABC △()3,2A ()0,1B ()1,1C -ABC △111A B C △ABC △C 180︒22A B C △22A B AB D A B C D D ABCD P AB A B CP CD =P PQ CP ⊥AD Q CQ BPC AQP ∠=∠（1）求证：四边形是矩形；（2）当，时，求的长．20．（9分）如图，在中，，过点的直线，为边上点，过点作交直线与，垂足为，连接，．（1）求证：；（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；21．（10分）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有，两个系列，系列产品比系列产品的售价低5元，100元购买系列产品的数量与150元购买系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．（1）系列产品和系列产品的单价各是多少？（2）为了使系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求系列产品的实际售价应定为多少元/件？22．（10分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm ，宽16cm 的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）（1）若剪去的正方形的边长为2cm ，则纸盒底面长方形的长为_________cm ，宽为_________cm ；（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．ABCD 3AP =9AD =AQ Rt ABC △90ACB ∠=︒C MN AB ∥D AB D DE BC ⊥MN E F CD BE CE AD =D AB CDBE A B A B A B B B A B B B 2240cm 2412cm23．（12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形；且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点．【特例感知】（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_________；【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度．九上数学北师大（一）参考答案与试题解析一．选择题1-5．DCABC ． 6-10. CCDAB ．二．填空题11. a≤14且a≠0． 12.13. 2． 14．2． 15. 5或35．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）(每题4分)解：（1）x 2﹣6x +8＝0，因式分解得，（x ﹣2）（x ﹣4）＝0，x ﹣2＝0，x ﹣4＝0，解得，x 1＝4，x 2＝2；（2）x 2﹣3x +1＝0∵a ＝1，b ＝﹣3，c ＝1，∴b 2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴，ABCD ()090B αα∠=︒<≤︒O 'AC O 'A C O Ck AC'=O 'A B C O ''''A B C O ''''ABCD A B AB ''=B B ∠'=∠A B C O ''''O 'O A ''BC E O C ''CD F 90α=︒12k =CE CF BC 60α=︒CE CF +k O B '7O B '=75CF =CE x ==∴，17．（8分）（1）证明：∵在一元二次方程x 2+（n +2）x +n ＝0中，a ＝1，b ＝n +2，c ＝n ，∴Δ＝b 2﹣4ac ＝（n +2）2﹣4n ＝n 2+4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵x ＝﹣2是该方程的一个解，∴（﹣2）2﹣2（n +2）+n ＝0，解得n ＝0，∴该方程为x 2+2x ＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝0，∴方程的另一个根为x ＝0．18．（10分）【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．3分（2）如图，△A 2B 2C 即为所求． 5分由旋转得，BC ＝B 2C ，AC ＝A 2C ，∴四边形A 2B 2AB 为平行四边形．（3）如图，点D 1，D 2，D 3均满足题意，∴满足题意的点D 的坐标为（2，4）或（4，0）或（﹣2，﹣2）．19．（8分）（1）证明：∵∠BPQ ＝∠BPC +∠CPQ ＝∠A +∠AQP ，∠BPC ＝∠AQP ，∴∠CPQ ＝∠A ，∵PQ ⊥CP ，∴∠A ＝∠CPQ ＝90°，∴平行四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠CPQ ＝90°，在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中，，∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ （HL ），∴DQ ＝PQ ，设AQ ＝x ，则DQ ＝PQ ＝9﹣x ，在Rt △APQ 中，AQ 2+AP 2＝PQ 2，∴x 2+32＝（9﹣x ）2，解得：x ＝4，∴AQ 的长是4．20．（9分）（1）证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，1x =2x =CQ CQCD CP=⎧⎨=⎩∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由如下：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD＝AB ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形；21．（10分）解：（1）设A 系列产品的单价是x 元/件，则B 系列产品的单价是（x +5）元/件，根据题意得：，解得：x ＝10，经检验，x ＝10是所列方程的解，且符合题意，∴x +5＝10+5＝15（元）．答：A 系列产品的单价是10元/件，B 系列产品的单价是15元/件；（2）设B 系列产品的实际售价应定为y 元/件，则每天可以卖50+10（15﹣y ）＝（200﹣10y ）件，根据题意得：y （200﹣10y ）＝960，整理得：y 2﹣20y +96＝0，解得：y 1＝8，y 2＝12，又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y ＝8．答：B 系列产品的实际售价应定为8元/件．22．（10分）解：（1）26，12；（2）设剪去的正方形的边长为x cm ，根据题意得：（30﹣2x ）（16﹣2x ）＝240，解得：x 1＝20（不符合题意，舍去），x 2＝3，答：剪去的正方形的边长为3cm ；（3）设剪去的正方形的边长为y cm ，根据题意得：，解得：y 1＝﹣17（不符合题意，舍去），y 2＝2，答：剪去的正方形的边长为2cm ．23．（12分）解：（1）CF +CE ＝BC ；（2）如图2，过点O ′作O ′G ∥AB ，交BC 于G ，∵四边形ABCD 和四边形A ′B ′C ′O ′是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，α＝60°，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝A ′B ′＝B ′C ′＝C ′O ′＝O ′A ′＝8，∠B ＝∠D ＝∠B ′＝∠A ′O ′C ′＝60°，121001505x x =+2303016224122yy ⨯--⋅=∴△ABC 、△ACD 均为等边三角形，∴∠BAC ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°，AC ＝AB ＝8，∵O ′G ∥AB ，∴∠CO ′G ＝∠BAC ＝60°＝∠O ′CG ，∴△O ′CG 是等边三角形，∴O ′G ＝CG ＝O ′C ＝k •AC ＝8k ，∵∠EO ′G +∠CO ′E ＝∠CO ′E +∠CO ′F ′＝60°，∴∠EO ′G ＝∠CO ′F ，∴△O ′EG ≌△O ′FC （ASA ），∴EG ＝CF ，∵CE +EG ＝CG ，∴CE +CF ＝8k ；（3）连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°，∴OC＝AC ＝BC ＝4，∴，当点O ′在线段AO 上时，如图2，过点O ′作O ′H ⊥BC 于H ，则O ′C ＝OO ′+OC ＝1+4＝5，∴，由（2）知：CE +CF ＝8k ，∴CE +CF ＝8×＝5，∵CF ＝，∴CE ＝5﹣＝；当点O ′在线段OC 上时，如图3，则O ′C ＝OC ﹣OO ′＝4﹣1＝3，∴，∴CE +CF ＝8×＝3，∴CE ＝3﹣＝；综上所述，CE 的长度为或．1212OB ===1OO '===58O C k AC '==58757518583O C k AC '==38758518585。

陕西省西安市交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

A ．B ．．． 2．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为框宽度忽略不计），其中较小的内角为A ．4B ．3．一元二次方程的根的情况为（A ．有两个不相等的实数根D ．无法确定3223210x x --=A ．25．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为A ．B ．13A ．10．点在二次函数A ．最大值二．填空题（本大题共14．如图，在矩形段上移动，并与意一点，连接90︒(),A m n 4-ABCD EF EF ,AN CM三．解答题（本大题共1115．计算：(1)；(2)18．已知：如图，点为对角线点，．求证：．19．为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代赛，九年级（2）班的王伟和孙莉两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了()0π3128-+--2cos30tan60sin45cos45︒-︒+︒O ABCD Y E F DE BF =21．西安丰庆公园是现代生态景观与历史文化景观融为一体的皇家园林，园内的最高建筑．某数学活动小组想测量怡心阁的高度心阁的高度：小明沿后退到F 恰好看到标杆顶端22．类比一次函数的研究思路，九年级“励志”行探究．下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)列表：下表是与的几组对应值，则的值为01654210BD x y m x ⋅⋅⋅5-4-3-2-1-y ⋅⋅⋅m(3)函数的图象和直线的交点坐标是______．23．如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线．(1)求证：；(2)若，求的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点．(1)求经过三点的抛物线的表达式；(2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．|1|y x =-2y =ABCD O e BD D AC AD BC 、E DF O e CDF EDF ∠=∠2DF EF ==AD A ()4,2OA OA O 90︒A B ,,B O A L L x L 'L 'D ,,,B O A D图2图3【详解】解：观察图形可得，其主视图是3．A【分析】本题考查了根的判别式，根据题意算出根的判别式即可得；掌握根的判别式即可得．【详解】解：，23210x x --=在Rt ACD中，tan C故选B．【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．7．C【分析】根据二次函数的性质判断出【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，9．B【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，∠的圆周角相等得到ADC=【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，每个内角都相等．13．48【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．1求得相似比为，利用相似比求得∵平行于轴，∴轴，∴，∵，∴，AC x BAC ∠BD x ⊥BAC BDO ∽△△2OC BC =13BC BA BO BD ==18．详见解析【分析】根据平行四边形的性质得出，再证明线段的差得出，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，OEA OFC ∠=∠AOE ≌△△AD AE BC CF -=-ABCD依题意，∴，∵，∴，∴，设，2, 1.5,EM FD MD EF MN ====3 1.5 1.5CM CD MD =-=-=CM AN ∥CME ANE V V ∽CM EM AN EN=AN x =；（3）解：把代入中得：，解得：或，∴函数的图象和直线的交点坐标是：23．(1)见详解(2)【分析】（1）由“直径所对的圆周角等于”和圆周角定理可得2y =|1|y x =-|1|2x -==1x -3x =|1|y x =-2y =390︒设与交于点，∵是等腰直角三角形，AB OD M (),D m n BOA △（2）如图所示，连接AC、（3）如图所示，过点D作DH⊥。

江苏省徐州市邳州市2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷(含答案)

2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学试题注意事项1．本卷共6页，满分140分，考试时间100分钟。

2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写本卷和答题卡的指定位置。

3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．方程的解是（）A ．，B ．C ．，D ．，2．的半径长为4，若点P 到圆心的距离为3，则点P 与的位置关系是（）A ．点P 在内B ．点P 在上C ．点P 在外D ．无法确定3．方程的两根为、，则（）A ．6B ．－6C ．3D ．－34．下列函数的图象与的图象形状相同的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，A 、B 、C 、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为（）A ．7B ．8C ．9D ．10（第5题）6．如图，在半径为5的中，弦，点C 是弦AB 上的一动点，若OC 长为整数，则满足条件的点C 有（）240x x -=12x =-22x =4x =10x =24x =14x =-24x =O e O e O e O e O e 2261x x -=1x 2x 25y x =22y x=252y x =-+251y x x =++51y x =-20ADB ∠=︒O e 8AB =（第6题）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．为响应“坚持绿色低碳，建设一个清洁美丽的世界”的号召，已知某市一共有285个社区，第一季度已有60个社区实现垃圾分类，第二、三季度实现垃圾分类的小区个数较前一季度平均增长率为x ，要在第三季度将所有社医都进行垃圾分类，下列方程正确的是（）A ．B ．C ．D ．8．当时，函数的最小值为1，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．0或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解题过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）9．一元二次方程的根是______．10．请在横线上写一个常数，使得关于x 的方程有两个相等的实数根．11．若是一元二次方程的一个根，则______．12．如图，是的内切圆，若，，则______°．（第12题）13．已知二次函数的图像经过点、，则______（填“>”“<”或“＝”）．14．如图，将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108°，半径为12cm 的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______cm．()2601285x +=()2601285x -=()()2601601285x x +++=()()260601601285x x ++++=1a x a -≤≤221y x x =-+213x -=26______0x x -+=1x =20x mx n --=2024m n ++=O e ABC △60ABC ∠=︒50ACB ∠=︒BOC ∠=()()210y a x c a =-+<()11,y -()24,y 1y 2y（第14题）15．平面直角坐标系中，若平移二次函数的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为______．16．已知如图，二次函数的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，连接BC ，点M 是BC 上一点，射线MN 与以A 为圆心，1为半径的相切于点N ，则线段MN 的最小值是______．（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时写出相应文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程：（1）；（2）．18．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程．求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）如图，AB 是的直径，弦AD 平分，，垂足为E ．试判断DE 与的位置关系，并说明理由．（第19题）()()202420254y x x =--+2y =+A e 2420x x --=()()323x x x +=+210x mx m ++-=O e BAC ∠DE AC ⊥O e20．（本题8分）某小区有一块矩形绿地，长为20m ，宽为8m ．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少a m ，宽增加a m ，改造后的面积比原来增加，求a 的值．21．（本题10分）已知y 是x 的函数，下表中给出了几组x 、y 的对应值：x …－2－1.5－101 4.55…y…3m－2－31.3753…（1）建立直角坐标系，以表中各对对应值为坐标描出各点，用平滑曲线顺次连接，由图像可知，它是我们学过的哪类函数？求出函数表达式，并直接写出m 的值；（2）结合图像回答问题：当x 的取值范围是____________时，．（第21题）22．（本题10分）如图，在中，，以AB 为直径作，分别交AC 、BC 于点D 、E ．（1）求证：；（2）当时，求的度数；（3）过点E 作的切线，交AB 的延长线于点F ，当时，求图中阴影部分面积．（第22题）23．（本题10分）商场将进货价为40元每件的某商品以50元售出，平均每月能售出700件，调查表明：售价在50元至100元范围内，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为元．（1）该商场平均每月可售出______件商品（用含x 的代数式表示）；（2）商品售价定为多少元时，每月销售利润最大？227m 0y ≥ABC △AB AC =O e BE CE =40BAC ∠=︒ADE ∠O e 2AO BE ==()50100x x <<（3）该商场决定每销售一件商品就捐赠a 元利润给希望工程，通过销售记录发现，每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小，求a 的取值范围．24．（本题10分）（1）如图①，点A 、B 、C 、D 在上，，则______°：（2）如图②，A 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，是的外接圆，利用直尺和圆规在第一象限内作出一点P ，使，且；（保留作图痕迹）（3）如图③，已知线段AB 和直线l ，利用直尺和圆规在l 上作出点P ，使；（保留作图痕迹）（4）如图④，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为，过点B 作轴，轴，垂足分别为A 、C ，若点P 在线段AB 上滑动（点P 可以与点A 、B 重合），使得的位置有两个，则m 的取值范围为______．（第24题）25．（本题10分）如图，二次函数的图像与x 轴交于点、，与y 轴交于点C ．连接AC 、BC ．（1）填空：______，______；（2）如图①，若点D 是此二次函数图像的第一象限上一点，设D 点横坐标为m ，当四边形OCDB 的面积最大时，求m 的值；（3）如图②，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当时，求点P 的坐标．（第25题）()1a ≥O e 35BAC ∠=︒BOC ∠=C e AOB △OPA OBA ∠=∠OP AP =30APB ∠=︒()2,m AB y ⊥BC x ⊥45OPC ∠=︒212y x bx c =-++()1,0A -()4,0B b =c =45CAQ CBA ∠=∠+︒2024~2025学年度第一学期期中检测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案CACBCCDD二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）9．，10．911．202512．12513．>14．3.615．向下平移4个单位长度16三、解答题（本大题共9小题，共84分）17．（本题10分）解：（1）移项，得配方，得即直接开平方，得∴（2）移项，得因式分解，得∴或∴，18．（本题8分）解：∵，，∴∵不论m 为何值∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．19．（本题8分）解：DE 与相切理由是：连接OD∵∴∵AD 平分∴∴∴∵∴∴DE 与相切．12x =22x =-242x x -=24424x x -+=+()226x -=2x -=12x =+22x =()()3230x x x +-+=()()230x x -+=20x -=30x +=12x =23x =-1a =b m =1c m =-()2²4411b ac m m -=-⨯⨯-²44m m =-+()22m =-()220m -≥O e OD OA =ODA OAD∠=∠BAC ∠OAD CAD ∠=∠ODA CAD ∠=∠AC OD ∥DE AC ⊥OD DE ⊥O e（第19题）20．（本题8分）解：根据题意得：即：解得：，答：a 的值为3或9．21．（本题10分）（1）描点、连线如图是二次函数，设函数的表达式为：把点，，代入得解得：∴函数得表达式为（2）或．22．（本题10分）（1）证明：连接AE∵AB 是直径∴∴∵∴()()20820827a a -+-⨯=212270a a -+=13a =29a =()20y ax bx c a =++≠()1,0-()0,2-()1,3-023a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩213222y x x =--1.375m =1x ≤-4x ≥O e 90AEB ∠=︒AE BC ⊥AB AC =BE CE=（第22题）（2）解：∵，∴∵四边形ABED 是的内接四边形∴∴．（3）解：连接OE 则∵∴∴是等边三角形∴∵EF 是切线∴∴∴∴∴阴影部分的面积．23．（本题10分）（1）（2）设每月销售利润为y 元则∵，∴当时，y 有最大值16000答：商品售价定为80元时，每月销售利润最大；（3）设每月销售利润为y 元则∴对称轴为直线∵∴当时，y 随x 得增大而减小∵每件商品销售价格大于85元时，扣除捐款后每天的利润随x 增大而减小∴解得：∵∴a 的取值范围是．24．（本题10分）（1）35，702分AB AC =40BAC ∠=︒180180407022BAC ABC ︒-∠︒-︒∠===︒O e 180ADE ABC ∠+∠=︒180********ADE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒OE OA OB==2OA BE ==OA OB BE ==OBE △60BOE ∠=︒O e OE EF ⊥30F ∠=︒24OF OE ==EF ===2160π222π23603OEF BOE S S ⨯=-=⨯⨯=-扇形△101200x -+()()()224010120010160048000108016000y x x x x x =--+=-+-=--+100-<50100x <<80x =()()()24010120010160010480001200y x a x x a x a=---+=-++--()160010802102a a x +=-=+⨯-100-<802ax >+80852a+≤10a ≤1a ≥110a ≤≤（2）如图（3）如图（4）25．（本题10分）（1），2（2）∵点D 横坐标为m ，且点D 在二次函数的图像上∴点D 坐标为对于二次函数，当时，∴设BC ：则解得：∴BC ：21m ≤<32213222y x x =-++213,222m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213222y x x =-++0x =2y =()0,2C y kx b =+402k b b +=⎧⎨=⎩122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩122y x =-+过点D 作轴，交BC 于点E 则∴∴到DE 的距离到DE 的距离（C 到DE 的距离到DE 的距离）∵，∴当时，有最大值8∴．（3）∵，，∴，，∴∴设，则∵∴∴DE y ∥1,22E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2213112222222DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭OBC BCD OCDB S S S =+四边形△△OBC CDE BDES S S =++△△△1122OC OB DE C =⨯⨯+⨯⨯12DE B +⨯⨯112422DE =⨯⨯+⨯⨯B +1442DE =+⨯⨯214222m m ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭244m m =-++()()22804m m =--+<<10a =-<04m <<2m =OCDB S 四边形2m =()1,0A -()4,0B ()0,2C 25AC =220BC =225AB =222AC BC AB +=90ACB ∠=︒ABC x ∠=90CAB x∠=︒-45CAQ CBA ∠=∠+︒45CAQ x ∠=+︒()()180459045PAB x x ∠=︒-+︒-︒-=︒设直线AP 交y 轴于F则∴设AP ：则解得：∴AP ：设∵点P 在二次函数的图象上∴解得：，（舍去）当时，∴点P 的坐标为．1OF OA ==()0,1F -y kx b =+01k b b -+=⎧⎨=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--()(),10P n n n -->213222y x x =-++2132122n n n -++=--16n =21n =-6n =17n --=-()6,7-。

2023-2024学年湖北省武汉市东湖高新区九年级上学期期末数学试卷

武汉市东湖高新区2023—2024学年度第一学期期末考试九年级数学试题说明：本卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，全卷共6页，三大题，满分120分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共30分）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上涂选．1．下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．2．事件①任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯．下列说法正确的是（）． A ．事件①和②都是随机事件B ．事件①是随机事件，事件②是必然事件C ．事件①和②都是必然事件D ．事件①是必然事件，事件②是随机事件3．若关于x 的一元二次方程230x x a -+=的一个根为2x =，则a 的值为（） A ．2B ．－2C ．4D ．－44．在平面直角坐标系中，以点()4,3为圆心，4为半径的圆与坐标轴的位置关系为（）． A ．与x 轴相切B ．与x 轴相离C ．与y 轴相切D ．与y 轴相交5．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，试问：阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x 步，则可列出方程（）． A ．()6864x x -= B ．()12864x x -= C ．()6864x x +=D ．()12864x x +=6．已知△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，A ，B ，C ，P 四点均在格点上，则点P 叫做△ABC 的（）A ．垂心（三边高线的交点）B ．重心（三边中线的交点）C ．外心（三边垂直平分线的交点）D ．内心（三内角平分线的交点）7．已知抛物线22y x x c =-+经过点()11,P y -和点()2,Q m y ．若12y y <，则m 的取值范围（） A ．13m -<<B ．13m <<C ．1m <-或3m >D ．1m <-或2m >8．从不透明的袋子中进行摸球游戏，这些球除颜色外其它都相同，小红根据游戏规则，作出如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（）A ．随机摸出一个球后放回,再随机摸出1个球B ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出1个球C ．随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球D ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出3个球 9．如图，点P 在O 的直径AB 上，作正方形PCDE 和正方形PFGH ，其中D ，G 两点在AB 所在直线上，C ，E ，F ，H 四点都在O 上，若两个正方形的面积之和为16，OP =，则DG 的长是（）．A ．B ．C ．7D ．10．已知抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，将此抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线与x 轴两个交点问的距离是（）．A ．4B ．5C ．8D ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请在答题卡上填写）11．在平面直角坐标系中，点()3,4P -关于原点对称的点的坐标是______．12．若1x m =，2x n =是一元二次方程2250x x --=的两个实数根，则mn m n --=______． 13．如图是可以自由转动的三个转盘，请根据下列情形回答问题（不考虑指针落在分界线上）。

2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末达标测试试题(含解析)

2023-2024学年北京市九年级数学第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M= y 1=y 2.下列判断： ①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x=" 1" .其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（）A．B ．C ．D ．3．下列说法正确的是（）A ．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上。

B ．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大。

C ．某彩票中奖率为，说明买100张彩票，有36张中奖。

D ．打开电视，中央一套正在播放新闻联播。

4．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（）21y x 4x =-+2y 2x =()11452x x -=()11452x x +=()145x x -=()145x x +=36%A ．B ．C ．D ．5．下列图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为（）A ．1 cmB ．7cmC ．3 cm 或4 cmD ．1cm 或7cm 7．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（）A ．B ．C ．D ．8．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（）A．B ．C ．D ．9．下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．y ＝4xB ．＝3C ．y ＝﹣D ．y ＝x 2﹣110．如图，⊙O 的直径长10，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（）A ．3≤OM≤5B ．4≤OM≤5C ．3＜OM ＜5D ．4＜OM ＜511．如图所示的工件的主视图是（）22y x =4y x =3y x =-3y x=-x 2cos 0x α+=α15 30 45 601325122542512y x 1xA ．B ．C ．D ．12．若△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为（）A ．2：1B ．1：2C ．4：1D ．1：4二、填空题（每题4分，共24分）13．若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为．14．因式分解：_______；15．如图，在平面直角坐标系中，已知经过点，且点O 为坐标原点，点C 在y 轴上，点E 在x 轴上，A (-3，2)，则__________．16．矩形ABCD 中，AB=6，BC=8.点P 在矩形ABCD 的内部，点E 在边BC 上，满足△PBE ∽△DBC ，若△APD 是等腰三角形，则PE 的长为数___________.17．已知关于的方程的一个根为-2，则方程另一个根为__________．18．在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，有一个斜坡，坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为，求坡面的长度.20．（8分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”．()()2a b b a ---=A E B O C 、、、tan OBC ∠=x 230x mx m ++=ABC ∆AC BC =90C ∠=︒ABC ∆M MA MB ⊥AMC ∠AB B BC AB 25AB（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，若Rt △ABC 是“匀称三角形”．①请判断“匀称中线”是哪条边上的中线，②求BC ：AC ：AB 的值．（2）如图②，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＞AC ，∠BAC ＝45°，S △ABC ＝，将△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△ADE ，点B 的对应点为D ，AD 与⊙O 交于点M ，若△ACD 是“匀称三角形”，求CD 的长，并判断CM 是否为△ACD的“匀称中线”．21．（8分）某班为推荐选手参加学校举办的“祖国在我心中”演讲比赛活动，先在班级中进行预赛，班主任根据学生的成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了不完整的两种统计图表．请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）a 的值为；（2）求C 等级对应扇形的圆心角的度数；（3）获得A 等级的4名学生中恰好有1男3女，该班将从中随机选取2人，参加学校举办的演讲比赛，请利用列表法或画树状图法，求恰好选中一男一女参加比赛的概率．22．（10分）如图，在中，，，，将线段绕点按逆时针方向旋转到线段.由沿方向平移得到，且直线过点.ABC 90C ∠=︒10AB =8AC =AB A 90︒AD EFG ABC CB EF D（1）求的大小；（2）求的长.23．（10分）如图，把Rt △ABC 绕点A ．逆时针旋转40°，得到在Rt △ABʹCʹ，点Cʹ恰好落在边AB 上，连接BBʹ，求∠BBʹCʹ的度数．24．（10分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+ 1．（1）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是_______；（2）若从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，25．（12分）（1）计算: （2）化简：26．已知抛物线的顶点坐标为（1，2），且经过点（3，10）求这条抛物线的解析式．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】试题分析：∵当y 1=y 2时，即时，解得：x=0或x=2，1∠AE 201224((18--+-⨯--2291(1)693x x x x -⋅+-++2x 4x 2x -+=∴由函数图象可以得出当x ＞2时， y 2＞y 1；当0＜x ＜2时，y 1＞y 2；当x ＜0时， y 2＞y 1．∴①错误．∵当x ＜0时， -直线的值都随x 的增大而增大，∴当x ＜0时，x 值越大，M 值越大．∴②正确．∵抛物线的最大值为4，∴M 大于4的x 值不存在．∴③正确；∵当0＜x ＜2时，y 1＞y 2，∴当M=2时，2x=2，x=1；∵当x ＞2时，y 2＞y 1，∴当M=2时，，解得．∴使得M=2的x 值是1或．∴④错误．综上所述，正确的有②③2个．故选B ．2、A 【分析】先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x （x-1）场，再根据题意列出方程为．【详解】解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为，故选：A ．本题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．3、B【解析】A 、掷一枚硬币的试验中，着地时反面向上的概率为，则正面向上的概率也为，不一定就反面朝上，故此选项错误；B 、从1，2，3，4，5中随机取一个数，因为奇数多，所以取得奇数的可能性较大，故此选项正确；C 、某彩票中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖，不一定，概率是针对数据非常多时，趋近的一个数并不能说买100张该种彩票就一定能中36张奖，故此选项错误；D 、中央一套电视节目有很多，打开电视有可能正在播放中央新闻也有可能播放其它节目，故本选项错误.故选B ．4、B【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．【详解】解：A 、为二次函数表达式，故A 选项错误；B 、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B 选项正确；21y x 4x =-+2y 2x =()221y x 4x x 24=-+=--+2x 4x 2-+=12x 2x 2=+=-2+()11452x x -=()11452x x -=12120k >22y x =4y x=0k >C 、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C 选项错误；D 、为一次函数表达式，故D 选项错误．故答案为B ．本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．5、C【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.【详解】A 选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；B 选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；C 选项中，是中心对称图形，故该选项正确；D 选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.故选C本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.6、D【分析】分AB 、CD 在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB 与CD 的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可.【详解】当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD ，垂足为F ，交AB 于点E ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∵AB=8cm ，CD=6cm ，∴AE=4cm ，CF=3cm ，∵OA=OC=5cm ，∴EO=3cm ，OF=4cm ，∴EF=OF-OE=1cm ；当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，反向延长OE 交AD 于点F ，连接OA ，OC ，∵AB ∥CD，3y x=-0k <3y x =-∴OF ⊥CD ，∵AB=8cm ，CD=6cm ，∴AE=4cm ，CF=3cm ，∵OA=OC=5cm ，∴EO=3cm ，OF=4cm ，∴EF=OF+OE=7cm ．故选D ．本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．7、D【分析】根据一元二次方程根的判别式等于零，求出的值，进而即可得到答案．【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴∆=，解得：，∴=．故选D ．本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，是解题的关键．8、A【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．【详解】解：画树状图如图：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，∴小李获胜的概率为；故选A ．cos αx 2cos 0x α-+=2(41cos 0α-⨯⨯=1cos 2α=α60 1325本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．9、C【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．【详解】A 、y ＝4x 是正比例函数；B 、＝3，可以化为y ＝3x ，是正比例函数；C 、y ＝﹣是反比例函数；D 、y ＝x 2﹣1是二次函数；故选：C ．本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．10、A【详解】解：的直径为10，半径为5，当时，最小，根据勾股定理可得，与重合时，最大，此时，所以线段的的长的取值范围为，故选A ．本题考查垂径定理，掌握定理内容正确计算是本题的解题关键．11、B【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选B ．12、B【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出结论．【详解】解：∵∽，相似比为1：1，∴与的周长的比为1：1．故选：B ．此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、1．【分析】根据扇形的弧长公式计算即可，【详解】∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，∴，即4π=，则扇形的半径r=1．y x1x O OM AB ⊥OM 3OM =OM OA OM 5OM =OM 35OM ≤≤ABC A B C '''V ABC A B C '''V r l 180n π=90•180r π故答案为1考点：弧长的计算．14、（a-b ）（a-b+1）【解析】原式变形后，提取公因式即可得到结果．【详解】解：原式=(a -b )2+(a -b )=(a -b )(a -b +1)，故答案为：(a -b )(a -b +1)此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．15、【解析】分别过A 点作x 轴和y 轴的垂线，连接EC ，由∠COE =90°，根据圆周角定理可得：EC 是⊙A 的直径、，由A 点坐标及垂径定理可求出OE 和OC ，解直角三角形即可求得．【详解】解：如图，过A 作AM ⊥x 轴于M ，AN ⊥y 轴于N ，连接EC ，∵∠COE =90°，∴EC 是⊙A 的直径，∵A (−3，2)，∴OM =3，ON =2，∵AM ⊥x 轴，AN ⊥y 轴，∴M 为OE 中点，N 为OC 中点，∴OE =2OM =6，OC =2ON =4，∴=．本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、垂径定理和锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．16、3或1.2【分析】由△PBE ∽△DBC ，可得∠PBE=∠DBC ，继而可确定点P 在BD 上，然后再根据△APD 是等腰三角形，分DP=DA 、AP=DP 两种情况进行讨论即可得.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，23∠=∠OBC CEO tan OBC ∠tan OBC ∠42tan 63∠===OC CEO OE∵△PBE ∽△DBC ，∴∠PBE=∠DBC ，∴点P 在BD 上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=2：10，∴PE ：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP 时，此时P 为BD 中点，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=1：2，∴PE ：6=1：2，∴PE=3；综上，PE 的长为1.2或3，故答案为1.2或3.本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P 在线段BD 上是解题的关键.17、1【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：，解方程得：．故答案为：1．本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．24120x x --=122,6x x =-=18、、【分析】由，可知A 、C 、B 、M 四点共圆，AB 为圆的直径，则是弦AC 所对的圆周角，此时需要对M 点的位置进行分类讨论，点M 分别在直线AC 的两侧时，根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形对角互补可得两种结果．【详解】解：∵在中，，，∴∠BAC =∠ACB =45°，∵点在外，且，即∠AMB =90°∵∴A 、C 、B 、M 四点共圆，①如图，当点M 在直线AC 的左侧时，,∴；②如图，当点M 在直线AC 的右侧时，∵，∴，故答案为：135°或45°．本题考查了圆内接四边形对角互补和同弧所对的角相等，但解题的关键是要先根据题意判断出A 、C 、B 、M 四点共圆．三、解答题（共78分）19、米【分析】根据坡度的定义可得，求出AB ，再根据勾股定理求135︒45︒90C ∠=︒MA MB ⊥AMC ∠ABC ∆AC BC =90C ∠=︒M ABC ∆MA MB ⊥180∠+∠=︒AMB C 180∠+∠=︒AMC ABC 180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AMC ABC AC AC =45∠=∠=︒AMC ABC 25BC AC =AB =【详解】∵坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为即, ∴米由勾股定理得答：坡面的长度为米.考核知识点：解直角三角形应用.把问题转化为解直角三角形是关键.20、（1）① “匀称中线”是BE ，它是AC 边上的中线，②BC ：AC ：AB；（2）CDa ，CM 不是△ACD 的“匀称中线”．理由见解析.【分析】（1）①先作出Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，然后利用匀称中线的定义分别验证即可得出答案；②设AC ＝2a ，利用勾股定理分别把BC,AB 的长度求出来即可得出答案.（2）由②知：AC ：AD ：CD ，设AC ，则AD ＝2a ，CD ，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H，利用的面积建立一个关于a 的方程，解方程即可求出CD 的长度；假设CM 是△ACD 的“匀称中线”，看能否与已知的定理和推论相矛盾，如果能，则说明假设不成立，如果不能推出矛盾，说明假设成立.【详解】（1）①如图①，作Rt△ABC 的三条中线AD、BE 、CF ，∵∠ACB ＝90°，∴CF ＝，即CF 不是“匀称中线”．又在Rt △ACD 中，AD ＞AC ＞BC ，即AD 不是“匀称中线”．∴“匀称中线”是BE ，它是AC 边上的中线，②设AC ＝2a ，则CE ＝a ，BE ＝2a ，在Rt △BCE 中∠BCE ＝90°，∴BC ，在Rt △ABC 中，AB ，∴BC ：AC ：AB （2）由旋转可知，∠DAE ＝∠BAC ＝45°．AD ＝AB ＞AC ，B BC AB 2525BC AC =2025AC =50AC =AB ==AB :2:7:2ABC 12AB AB ≠==:2:2a =∴∠DAC ＝∠DAE +∠BAC ＝90°，AD ＞AC ，∵Rt △ACD 是“匀称三角形”．由②知：AC ：AD ：CD设AC，则AD ＝2a ，CD ，如图②，过点C 作CH⊥AB ，垂足为H ，则∠AHC ＝90°，∵∠BAC ＝45°，∴ ∵解得a ＝2，a ＝﹣2（舍去），∴判断：CM 不是△ACD 的“匀称中线”．理由：假设CM 是△ACD 的“匀称中线”．则CM ＝AD ＝2AM ＝4，AM ＝2，∴又在Rt △CBH 中，∠CHB ＝90°，CH ，BH ＝4，∴即这与∠AMC ＝∠B相矛盾，∴假设不成立，2CH AH ===11222ABC S AB CH a ==⨯= CD ==tan AC AMC AM ∠===tan tan CH B AMC BH ===≠∠B AMC∠≠∠∴CM 不是△ACD 的“匀称中线”．本题主要为材料理解题，掌握匀称三角形和匀称中线的意义是解题的关键.21、（1）8 ；（2）；（3）【分析】（1）根据D 等级的人数除以其百分比得到班级总人数，再乘以B 等级的百分比即可得a 的值；（2）用C 等级的人数除以班级总人数即可得到其百分比，用360°乘以其百分比得到其扇形圆心角度数；（3）画树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．然后根据概率公式求解即可【详解】解：（1）班级总人数为人，B 等级的人数为人，故a 的值为8；（2）∴C 等级对应扇形的圆心角的度数为．（3）画树状图如图：(画图正确）由树状图可知，共有12种均等可能结果，恰好选中一男一女的有6种．∴P （一男一女）答：恰好选中一男一女参加比赛的概率为．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A的概率为．也考查了统计图．22、（1）；（2）【分析】（1）根据旋转的性质可求得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）根据平移的性质及同角的余角相等证得∠DAE=∠CAB ，进而证得△ADE ∽△ACB ，利用相似的性质求出AE 即可．【详解】解：（1）∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∵△EFG 是由△ABC 沿CB 方向平移得到，∴AB ∥EF ，∴∠1=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE ∥CG ，∴∠EAC=180°－∠C=90°，144︒121230%40÷=4020%8⨯=16360144 40⨯︒=︒ 144︒61122==12m n45︒12.5AE =∴∠EAB+∠BAC=90°，由（1）知∠DAB=90°，∴∠DAE+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠CAB ，又∵∠ADE=∠ADB+∠1=90°，∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB ，∴△ADE ∽△ACB ，∴，∵AC=8，AB=AD=10，∴AE=12.5.本题为平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合考查，熟练掌握基础的性质与判定是解题的关键.23、20°【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得∠ABBʹ，再根据直角三角形两锐角互余可得解.【详解】解：由旋转可知：∠BABʹ=40°，AB=ABʹ．∴∠ABBʹ=∠ABʹB ．∴∠ABBʹ==70°．∴∠BBʹCʹ=90°－70°=20°．本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键.24、（1）；（2）【分析】(1)直接根据概率公式计算可得；(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解： (1) 因为7， 11， 19， 23共有4个数，其中素数7只有1个，所以从7， 11， 19， 23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是，故答案为. (2)由题意画树状图如下：AD AE AC AB=00180402-14231414由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两个素数之和大于等于30的结果有8种，故所求概率本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．25、（1）1；（2）【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可；（2）根据分式的运算法则计算即可.【详解】解：（1）原式=2+ =1；（2）.本题考查了实数的混合运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.26、y ＝1（x ﹣1）1+1．【分析】根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，代入（3，10）求解即可．【详解】解：根据题意设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）1+1，把（3，10）代入得a （3﹣1）1+1＝10，解得a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝1（x ﹣1）1+1．本题考查了抛物线的问题，掌握抛物线的性质以及解析法、待定系数法是解题的关键．82123P ==43x x +-201222()(18--++⨯--11--1442291(1)693x x x x -⋅+-++()()()2334•33x x x x x +-+=+-43x x +=-。

2024年北京朝阳区初三九年级上学期期末数学试题和答案

张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。

重庆市巴蜀中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

数学一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．若数a 的平方等于16，那么数a 可能是（）A ．2B ．－4C ．D ．2．如图，该几何体由5个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知一次函数，y 随着x 的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D ，若矩形OABC 的面积为12，则k 的值为（）（5题图）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，在中，，若，，则为（）4±8±325x x x +=32x x x-=326x x x ⋅=32x x x÷=y kx b =+0kb <()0,0ky k x x=≠>ABC △DE BC ∥:1:2ADE BDE S S =△△3ADE S =△ABC S △（6题图）A ．9B ．12C ．24D ．277．平面直角坐标系中，A 、B 、C 三点坐标分别为，，，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．如图，过上一点P 的切线与直径AB 的延长线交于点C ，点D 是圆上一点，且，则的度数为（）（8题图）A ．32°B ．33°C ．34°D ．35°9．菱形ABCD ，，E ，F 分别是CB ，CD 上两点，连接AE ，AF ，EF ，且，如果，则下列说法错误的是（）（9题图）A ．B ．C ．D ．10．对于以下式子：，，，，下列说法正确的有（）（1）如果，则无论y 取何常数，A ，B ，C ，D 调整顺序后可组成一列数，这列数后项减去前项的差均相等；（2）代数式一定是非负数；（3）如果A 为第1项，B 为第2项，C 为第3项，第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项，第2项()0,0()0,4-()3,3-O e 29BDP ∠=︒C∠60B ∠=︒60EAF ∠=︒BAE α∠=CEF α∠=60FAD α∠=︒-60EFC α∠=︒-90AFD α∠=︒-A x y =+B x y =-2C x y =-D xy =0x =222A B C D ⋅--与第3项的和减去第4项的结果为第5项，……，依此类推，则第2024项为.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.11______．12．一个正多边形的内角和是1080°，则这个正多边形有______条边．13．已知当时，整式的值等于10，则当时，则的值为______．14．某次车展活动设计了一种有奖竞猜游戏，游戏规则如下：在5个相同商标牌中，有3个商标牌的背面贴有一个笑脸，其余2张商标牌的背面贴一张哭脸，每个人每次翻两张牌，只有两张都是笑脸才得奖，则观众每次获奖的概率是______．15．如图，已知，，，B 、D 、E 在同一直线上，则的度数为______．（15题图）16．如图，扇形AOB ，点O 为圆心，半径OB 长为2，，再以点B 为圆心，OB 为半径作弧，交弧AB 于点C ，则阴影部分的面积是______．（16题图）17．若整数a 使关于x 的不等式组无解，且使关于y 的分式方程有非负整数解，则满足条件的a 的值之和为______．18．一个四位正整数M ，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M 为“共进退数”，并规定等于M 的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，等于M 的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果，那么M 各数位上的数字之和为3032x y +0122⎛⎫--= ⎪⎝⎭2x =35bx cx +-2x =-37bx cx ++AB AC =AD AE =52BAC DAE ∠=∠=︒BEC ∠90AOB ∠=︒232x a x a ->⎧⎨-<-⎩5355ay y y -=---()F M ()G M ()60F M =______；有一个四位正整数（，，，且为整数）是一个“共进退数”，且是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N 是______．三．解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（本小题满分8分）计算：（1）（2）20．（本小题满分10分）如图：正方形ABCD 中，直线经过点D ，与AB 交于点E ，（1）用直尺和圆规作图：过点C 作DE 的垂线，垂足为G ，交AD 于点F ，（请保留作图痕迹，不要求写作图过程）（2）同学们作图完成后，通过测量发现，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明：如图：已知正方形ABCD 中，DE 、CF 分别是直线，直线被一组对边截得的线段，当时，求证：.证明：∵正方形ABCD ，∴，∴，∴，∵，∴，∴ ② ，∴，在和中，1101100010N x y z =+++08x ≤≤09y ≤≤08z ≤≤()F N ()7G N ()()()212141a a a a -+--211121xx x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭1l 2l DE CF =1l 2l DE CF ⊥DE CF =AD DC =90EAD CDF ∠=∠=︒90+∠=︒AED ①DE CF ⊥90FGD ∠=︒AED DFG ∠=∠DAE △CDF △，∴，∴.同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段④．21．（本小题满分10分）为了激发同学们对古诗词学习的兴趣，2023年9月我市某中学开展了“课外古诗词赏析比赛”．为了解学生课外古诗词的学习情况，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的比赛成绩（成绩为百分制，学生得分均为整数且用x 表示，）进行整理、描述和分析，并将其共分成四组：A ：，B ：，C ：，D ：）下面给出了部分信息：七年级10名学生的比赛成绩是：84，85，86，88，89，95，96，99，99，99．八年级10名学生的比赛成绩在C 组中的数据是：90，94，94．七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表年级七年级八年级平均数9292中位数92b 众数c100根据以上信息，解答下列问题：（1）______，______，______；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生古诗词掌握得较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有1420名学生、八年级有1300名学生参加了此次“课外古诗词赏析比赛”，请估计参加此次比赛成绩不低于90分的学生人数是多少？22．列方程解应用题（本小题满分10分）中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分．为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋，EAD CDF AED DFG⎧∠=∠⎪⎨⎪∠=∠⎩③DAE CDF △≌△DE CF =85x <8590x ≤<9095x ≤<95100x ≤≤a =b =c =（1）从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？（2）由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？23．（本小题满分10分）如图，平行四边形ABCD 中，，，连接AC ，，动点P 以每秒1个单位的速度从点C 出发沿折线运动，设点P 运动时间为x 秒，的面积为，（1）请直接写出关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；（3）的函数图象如图所示，当时请直接写出x 的取值范围．（结果保留一位小数，误差小于0.2）24．（本小题满分10分）今年10月“愉悦创造营”的同学们积极参加劳动实践，在校园“耕读园”里播种了近百粒萝卜种子．某周日下午返校时涵涵和静静约好一起去“耕读园”看看萝卜的生长情况．如图，已知“耕读园”在点A 处，涵涵家位于点A 正南方一条东西走向的街道BD 上，且在耕读园西南方向800米的C 处；静静家位于点D 正北方米且位于“耕读园”南偏西60°方向上的点E 处，图中点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，（1）求静静家离耕读园的距离是多少？（结果保留根号）7:133AB =5BC =90BAC ∠=︒C A D →→ABP △1y 1y 24y x=12y y ≥（2）涵涵周日下午5:40出门，先以80米/分钟的速度从C 出发，往正西方向走到点D 处后再向正北方向到静静家楼下两人碰面，然后两人以此速度一起前往“耕读园”，请问她们能在5:55前到达耕读园吗？（参考数据：，结果精确到十分位）25．（本小题满分10分）如图1：平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点和点B ，与y轴交于点C ，点是抛物线上一点，图1图2 图3（1）求抛物线表达式；（2）如图2：点是y 轴上一点，连接AD ，点P 是直线AD 上方抛物线上一个动点，过点P 作轴交直线AD 于点E ，在射线ED 上取一点F ，使得，求周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）如图3：将原抛物线沿射线AD 方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与x 轴交于点N ，射线AD 上有一点G ，连接GN ，过点G 作GN 的垂线与抛物线交于点M ，连接MN ，若，请直接写出点M 的坐标．26．（本小题10分）已知，中，，，交BC 于点D ，．图1 图2 图3（1）如图1，将BD 绕点B 逆时针旋转得线段BE ，且点E 在DA 的延长线上，求BE 的长．（2）如图2，在（1）的条件下，连接CE ，F 为AB 上一点，且满足：，作于点G ，求证：．（3）如图3，在（1）的条件下，P 、Q 分别为线段BA 、EB 上的两个动点，且满足，当1.414≈ 2.449≈292y ax bx =++()A -()()0,3D PE y ∥PE PF =PEF △292y ax bx =++1y 1y 30GMN ∠=︒ABC △AB AC =120BAC ∠=︒AD AB ⊥6AD =BEF AFG ∠=∠FG CE ⊥CG =BP EQ =PD QD+最小时，M 为平面内一动点，将沿EM 翻折得，请直接写出的最大值．BEM △B EM '△PB '参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1-5：CADAB6-10：DAADB二、填空题（每题4分，共32分）19．计算：（1）解：原式．（2）解：原式．20．①②③④互相垂直，那么这两条线段相等21．（1）40，94，99；（2）解：八年级学生的古诗词掌握得较好．从平均数看，七年级平均分92分＝八年级平均分92分，从中位数看，七年级92分＜八年级中位数94分，所以八年级学生的古诗词掌握得较好．（3）（人）答：估计参加本次比赛成绩不低于90分的学生约为1620人．22．解：（1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要x 天．答：从开始加工到完成这批布艺红包袋．一共需要18天．()()()212141a a a a -+--224141a a a a =--+=-211121xx x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭2(1)11x x x x x+=⨯=++ADE ∠90ADE DFG ∠+∠=︒AD CD =571420130016201010⨯+⨯=()()3603603204160003604x ++-=-⨯⎡⎤⎣⎦18x =（2）设甲车间每天生产7m 个，乙车间每天生产13m 个布艺红包袋．（个）经检验：是原分式方程的解，且符合题意．∴改进后甲每天产量：（个）．答：改进工艺后，甲车间每天生产1120个布艺红包袋．23．（1）（2）当时，随x 增大而减小，当时，随x 增大而增大．（3）或（结果保留一位小数，误差不超过0.2）．24．解：（1）过E 作于H ，，，∵中，，，∴，∴，∴，∴∵，EDBH 为矩形．∴，，∵，，，∴（米），答：静静家离耕读园距离为米．（2）∵，，∴∵矩形EDBH ，，∴，16000360472802-⨯=7280728010713m m+=160m =160m =16071120⨯=()()360426244955x x y x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩04x <<1y 49x <<1y 0.8 3.2x ≤≤ 4.79.0x ≤≤EH AB ⊥90EHA BHE ∠==︒800AC =ABC △90B ∠=︒45BAC ∠=︒9045ACB BAC BAC ∠=︒-∠=︒=∠BA BC =222AC AB BC =+AB BC ==90D B BHE ∠=∠=∠=︒ED =HE BD =ED HB ==90AHE ∠=︒60EAH ∠=︒AH =cos AH AE EAH ===∠90AHE ∠=︒60EAH ∠=︒AE =sin EH AE EAH =⋅∠==BD EH ==CD BD BC =-=-∴总用时：（分），∵5:50－5:40＝15（分），∴，∴她们能在5:55前到达耕读园．25．解：（1），代入，，∴．（2）过P 作于点H ，则，设，，，∴，，∴，∴，∴PE最大时，最大，直线AD ：，，，，开口向下，对称轴直线，，∴时，，．14.4814.580CD DE EA ++=≈≈14.515<()A -()927029362a a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩12a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩21922y x =-+PH EF ⊥90PHE ∠=︒219,22P p p ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∠=∠PHE DOA EPH DAO ∠=∠EPH DAO △∽△PH AO PE AD ==PH PE =()(22PEF C PE PH PE =+=+△PEF C △3y x =+3E p p ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭212526PE p ⎛=-++ ⎝102-<x =0p -<<x =PEF C △356P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（3），，．26．解：（1）．（2）延长EF 至M ，使得，连接BM 、CM 、CF ，，∴，∴，，∴，，，∴，，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴（3）1223M ⎫⎪⎪⎭)2M ()316M --12BE =EM CM =BEF AFG ∠=∠AFE EBF BEF EFG AFG ∠=∠+∠=∠+∠30EBF EFG ∠=∠=︒FG CE ⊥60FEG ∠=︒EM CM BEM DEC EB EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BEM DEC △≌△BM CD =120EAM EDC ∠=∠=︒180EBM AEB ∠+∠=︒BM AE ∥CD AD AE ==BM AE =()ASA AEF BMF △≌△FE FM =CF EM ⊥30FCG ∠=︒CG =()max 12PB '=+-。

九年级数学试题及答案

九年级数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 圆答案：B2. 一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 4B. -4C. 2D. -2答案：A3. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 下列哪个选项不是实数？A. 3.14B. -2C. √2D. 0/0答案：D5. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A6. 一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 3D. A和B答案：D7. 一个数的立方是-8，那么这个数是：A. 2B. -2C. 4D. -4答案：B8. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是：A. 3B. -3C. 1/3D. 3/1答案：A9. 一个数的平方是25，那么这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C10. 一个数的平方根是3，那么这个数的立方根是：A. 9B. -9C. 27D. 3答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方是16，这个数是_________。

答案：±412. 一个数的立方是-27，这个数是_________。

答案：-313. 一个数的倒数和它的相反数相等，这个数是_________。

答案：-114. 一个数的平方根是5，这个数的平方是_________。

答案：2515. 一个数的绝对值是4，这个数是_________。

答案：±4三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(6²+8²) = √(36+64) =√100 = 10。

17. 已知一个数的平方是36，求这个数。

答案：这个数是±6，因为6²=36且(-6)²=36。

江苏省徐州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

2023-2024学年度第一学期期末抽测九年级数学试题一、选择题（每题3分，共24分）1．若⊙O的半径为8cm，点P到圆心的距离为7cm，则点P与⊙O的位置关系（）A．P在⊙O内B．P在⊙O上C．P在⊙O外D．无法确定2．若△ABC∽△A’B’C’，且相似比为1:2，则△ABC与△A’B’C’的面积比为（）A．1:2 B．1:4 C．2:1 D．4:13．已知A样本的数据如下：72,73,76,76,77,78,78,78，B样本的数据为A样本的每个数据都加2，则A，B两个样本具有相同的（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差4．若关于x的一元二次方程x²-3x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．―94B．94C．-9 D．95．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，那么sinB的值是（）A．43B．34C．45D．356．将函数y=x²的图象向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y=（x-1）² B．y=x²-1 C．y=（x+1）² D．y=x²+17．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．y有最小值B．当-1＜x＜2时，y＜0 C．a+b+c＞0 D．当x＜-1时，y随x的增大而减小8．如图，A，B，C为圆形纸片圆周上的点，AC为直径，将该纸片沿AB折叠，使AB与AC交于点D，若BC 的度数为35°，则AD的度数为（）A．108° B．110° C．120° D．145°二、填空题：（每题4分，共32分）9．若x2=y3，则xy=．10．两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，均出现正面向上的概率是．11．二次函数y=（x-2）²+1的图象的顶点坐标是．12．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”指两条边呈直角的曲尺ABC，“偃矩以望高”的意思是用仰立放的“矩”可测量物体的高度，如图点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC交于点D，若AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ= m．13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为3cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面半径r为cm．14．某招聘考试分笔试和面试两种，小明笔试成绩90分，面试成绩为80分，若笔试成绩、面试成绩按3:2计算，则小明的平均成绩为分．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE-∠COD= °．16．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB 的延长线于点G，若AF=2，FB=1，则MG= ．三、解答题：（本大题共9小题，共84分）17．（10分）（1）计算：20230―（―1）2024+12―tan60°（2）解方程：3x2―2x―1=0 18．（8分）如图，将下列4张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为2的概率为；（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌上的数字相同的概率．19．（8分）某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：cm）数据统计如下：A．16名学生身高：162，163,163，165，166,166,166,167,167,168,169,169,171,173,173,176；B．16名学生身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数167．75m n（1）m= ，n= ；（2）对于不同组的学生，如果一组学生身高的方差越小，则认为改组舞台呈现效果越好，据此推断，下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是；（填“甲组”后“乙组”）甲组身高163166166167167乙组身高162163165166176（3）该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169,169,173，他们身高的方差为32．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的方差9，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的平均数尽可能大，则选出的另小于329外两名学生身高分别为和．20．（10分）已知函数y=―x2+bx+c的图象经过点A（-1,0），B（0,3）．（1）求该函数的表达式；（2）在所给的方格纸中，画该函数的图象；（3）该函数图象上到x轴距离等于3的点，共有个．21．（10分）如图，学校计划围一个矩形花园，它的一边是墙（长度大于10m），其余三边利用长为10m的围栏，试确定其余三边的长度，使其分别满足下列条件：（1）花园的面积为12㎡；（2）花园的面积最大．22．（8分）如图，在△ABC中，AC=4，∠B=66°，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，E为ACD上一点，且∠EDC=40°．（1）求CE的长；（2）若∠DCE=74°，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．23．（10分）如图，位于大同街的钟鼓楼曾是民国时期徐州的最高建筑，某校综合实践小组利用测角仪测量钟鼓楼的高度AO，测角仪的目镜距离地面1m，他们在地面B处测得钟鼓楼顶部A的仰角为30°，然后沿地面前进28m至点D处，测得点A的仰角为75°，已知BC=DE=OH=1m．（1）求AC的长（结果保留根号）；（2）求钟鼓楼的高度AO（结果精确到1m）．（参考数据：2≈1．41，3≈1．73）24．（8分）如图，P是⊙O外一点，用两种不同的方法过P作⊙O的一条切线．要求：（1）用无刻度的直尺和圆规作图；（2）保留作图痕迹，不写作法．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx经过点A（3，-3），对称轴是直线x=2．（1）求a，b的值；（2）已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1，过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E，在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使以B，C，D，E为顶点的四边形面积为3若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．22023~2024学年度第一学期期末抽测九年级数学参考答案题号12345678答案A B D B C A C B 9． 10． 11． 12．613．1 14．86 15．36 1617．（1）原式（4分）． 5分（2）法一：．．6分（7分）（8分）．即． 10分法二：,（7分）或,（8分）．10分18．（1）； 3分（2）列表或画树状图（略）． 6分共有12种等可能的结果（7分），其中2种符合题意．． 8分19．（1）167,166;（4分）（2）甲组；（6分）（3）171,173． 8分20．（1）将和代入,得 2分解得．（3分）∴函数表达式为． 4分（2）列表（略），（6分）函数图象如图； 8分（3）4． 10分21．（1）设其余三边的长度分别为． 1分2314(2,1)11=-+-=3,2,1a b c ==-=-224(2)43(1)16b ac -=--⨯⨯-=x =246±==1211,3x x ==-(1)(31)0x x -+=(1)0x -=(31)0x +=1211,3x x ==-1221126P ∴==()1,0-()0,32y x bx c =-++10,3.b c c --+=⎧⎨=⎩2b =223y x x =-++m,m,(102)m x x x -由题意，得．3分解得． 4分答：其余三边的长度分别为或． 5分（2）设其余三边的长度分别为．花园的面积为． 6分由题意，得． 7分整理，得． 8分∴当时，y有最大值． 9分答：其余三边的长度分别为时，花园的面积最大． 10分22．（1）连接．． 1分∵直径,∴半径． 2分∴弧的长为． 3分（2）与相切． 4分．，． 5分，． 6分，． 7分，即．与相切． 8分23．（1）如图，过点E 作于点F ． 1分在中，，．．(102)12x x -=121,3x x ==2m,2m,6m 3m,3m,4m m,m,(102)m x x x -2m y (102)y x x =-2525222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭52x =25255m,m,5m 22OE 280COE EDC ∠=∠=︒4AC =2OC OE ==CE 808223609ππ⨯⨯=AB O ,OC OE OCE OEC =∴∠=∠ 80COE ∠=︒ 50OCE ∴∠=︒74DCE ∠=︒ 24ACB DCE OCE ∴∠=∠-∠=︒66B ∠=︒ 90B ACB ∴∠+∠=︒90BAC ∴∠=︒OA AB ⊥AB ∴O EF AC ⊥Rt CFE △30FCE ∠=︒28CE BD ==sin 30,cos30EFCFCE CE ︒=︒=（2分），．3分在中，． 4分． 5分． 6分（2）在中，．． 7分（8分）．9分答：钟鼓楼的高度为．10分24．（两种方法，各4分）参考解法：法一：如图①，利用“直径所对的圆周角等于”法二：如图②，利用“三角形全等的性质”法三：如图③，利用“三角形中位线的性质” 图① 图② 图③25．（1）由题意，得（2分）解得 4分（2）由（1）得抛物线为．当时，;当时，．∴点． 5分设对应的函数表达式为,把代入得;对应的函数表达式为,∴点． 6分①当时，如图①，过点D 作于点F ,则．此时． 8分sin 3014EF CE ∴=⋅︒=cos30CF CE =⋅︒=Rt AFE △753045FAE AEH ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒45,14ACB DCE AF EF ∴∠=∠=︒∴==14AC CF AF ∴=+=Rt ACH△30,14ACH AC ∠=︒=sin 30,sin 307AH AH AC AC︒=∴=⋅︒=+8AO AH OH ∴=+=20≈20m 90︒933,2.2a b b a+=-⎧⎪⎨-=⎪⎩1,4.a b =⎧⎨=-⎩24y x x =-x t =24y t t =-1x t =+22(1)4(1)23y t t t t =+-+=--()()22,4,1,23B t t t C t t t -+--OA y kx =(3,3)-33,1k k -=∴=-OA ∴y x =-(,),(1,1)D t t E t t -+--23t <<DF CE ⊥1DF =()()2222()43,23[(1)]2BD t t t t t CE t t t t t =---=-+=----+=--由．解得． 9分②当时，点B 与D 重合，四点B 、C 、D 、E 不构成四边形．③当时，如图②，过点D 作于点H ,则．此时．． 10分解得（舍），（舍）． 11分综上所述，． 12分图① 图②注：以上各题如有另解，请参照本评分标准给分．()22113()321222DBEC S BD CE DF t t t t =+⋅=-++--⋅=四边形52t =3t =3t >DH CE ⊥1DH =()()22224()3,23[(1)]2BD t t t t t CE t t t t t =---=-=----+=--()22113()321222BDEC S BD CE DH t t t t =+⋅=-+--⋅=四边形113t =+<213t =<52t =。

湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)

2024～2025学年度上学期学情监测九年级数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔。

一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A.B. C. D.2.一元二次方程根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.两根互为相反数3.如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（）A. 60°B. 120°C. 144°D. 180°4.如图，是的直径，，则的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.若是方程的一个根，则的值为（）A. 2024B. C. D. 10156.用配方法解方程时，配方正确的是（）2210x x --=AB O e 30CDB ∠=︒ABC ∠x m =2210090x x --=2246m m -+2012-1003-2840x x --=A. B. C. D.7.函数和函数（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.B. C. D.8.小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（）A. B. C. D.9.如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（）A. 8m 或5mB. 4m 或2.5mC. 8mD. 5m 10.如图，开口向上的抛物线（）与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④当时，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论是（）A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①②④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.12.抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的图象解析式为______.13.如图，是的直径，弦于点E ，，，则的长为______cm.()2412x -=()2420x -=()2868x -=()2860x -=y ax a =+221y ax x =--+0a ≠()292616y x =-+8cm AB =4cm DE =CE 13cm 12cm 15cm 9cm12m 6m 220m 1m BC 2y ax bx c =++0a ≠()4,01x =a c b +>20a b +=0x <m a b c >++2ax bx c m ++=()2,3-()2234y x =-+AB O e CD AB ⊥16cm CD =4cm BE =OC14.已知关于x 的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______.15.如图，的半径为2，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且，与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A ，点B 关于原点O 对称，则的最小值为______.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知二次函数.（1）写出该函数图象的开口方向；（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 满足什么条件时，y 随x 增大而减小？18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出关于原点O 成中心对称的；（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的.19.（8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m 的值.20.（8分）如图，已知抛物线和直线相交于点和.()23230x k x k -+++=4a =M e ()3,4M e PA PB ⊥PA PB AB 2240x x --=23100x x --=247y x x =-+-()2,0A ()1,1B ()4,2C ABC △111A B C △ABC △()0,1Q -222A B C △()222110x m x m -++-=1x 2x 22124x x +=21y x bx c =-++21522y x =+()1,A m -(),4B n（1）求m 和n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）结合图象直接写出满足的x 的取值范围.21.（8分）如图，为的直径，点C ，D 为直径同侧圆上的点，且点D 为的中点，过点D 作于点E ，交于点G ，延长，交于点F .图① 图②（1）如图①，若，求证：；（2）如图②，若，，求的半径.22.（10分）我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克。

九年级数学试题库及答案

九年级数学试题库及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = ax^2 + bx + cB. y = ax^3 + bx^2 + cx + dC. y = ax^2 + bx + c + dD. y = ax^2 + bx + c - d2. 一个数的平方根是它本身的数有几个？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 以下哪个选项表示的是正比例关系？A. y = 3xB. y = 3/xC. y = x^2D. y = 1/x4. 如果一个角的补角是它的两倍，那么这个角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长是多少？B. 13C. 16D. 186. 下列哪个选项是不等式的基本性质？A. 如果a > b，那么a + c > b + cB. 如果a > b，那么ac > bcC. 如果a > b，那么a/c > b/cD. 如果a > b，那么a^2 > b^27. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米8. 下列哪个选项是完全平方数？A. 16B. 18C. 20D. 229. 一个数的立方根是它本身的数有几个？A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是多少？B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题3分，共30分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标是（______，______）。

2. 如果一个角的余角是它的一半，那么这个角的度数是______。

3. 正比例函数y = kx的图象是一条经过原点的______。

4. 一个角的补角是180°减去这个角的度数，那么一个角的补角是它的三倍，这个角的度数是______。

江苏省常州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

常州市教育学会学业水平监测九年级数学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器．2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂好答题卡上的考生信息．3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．tan45°的值是（）A ．1BCD ．2．方程的根是（）A ．B ．C ．D ．3．已知圆弧所在圆的半径是12，所对的圆心角是60°，则这条弧的长是（）A ．3元B ．4元C ．6元D ．8元4．用一根长22cm 的铁丝围成面积是30cm 2的矩形．假设矩形的一边长是x cm ，则可列出方程（）A ．x （22－x ）=30B ．x （11－x ）=30C ．x （22－2x ）=30D ．2x （22－x ）=305．在2023年杭州第19届亚运会的跳水男子1米板决赛中，中国跳水队的王宗源摘金，六跳的成绩分别是79.50分、69.00分、76.80分、83.30分、69.30分、81.60分，则这六跳成绩的中位数是（）（）A ．78.15分B ．79.50分C ．80.05分D ．83.30分6．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图像，如图是一个微距拍摄成像的示意图．若拍摄60mm 远的物体AB ，其在底片上的图像的宽是36mm ，焦距是90mm ，则物体AB 的宽是（）（第6题）A ．6mmB ．12mmC ．24mmD ．30mm122(1)4x +=121x x ==121,1x x ==-123,5x x ==121,3x x ==-A B ''7．如图，将圆周六等分，B 、D 是其中两个等分点，点A 、C 分别在优弧、劣弧上，则∠BAD ：∠BCD的值是（）（第7题）A ．1：2B ．2：3C ．2：5D ．3：58．随着科技的进步，机器人在各个领域的应用越来越广泛，如图为正方形形状的擦窗机器人，其边长是28cm ．在某次擦窗工作中，PM 、PN 为窗户的边缘，擦窗机器人的两个顶点A 、B 分别落在PM 、PN 上，PA =14cm ，将擦窗机器人绕中心O 逆时针旋转一定的角度，使得，则旋转角度是（）（第8题）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．若，则______．10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．11．某班选10名学生参加电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数如下表：录入汉字/个132133134135136137参赛学生/人014122则参赛学生比赛成绩的众数是______个．12．如图，小明在周末爬山锻炼身体，他从山脚下的点A 出发，沿着一条坡角是30°的坡道向上走了120m 到达点B ，则此时小明距离山脚的垂直高度BC 是______m ．BD BD AD PM ∥12a b =a b a+=x 220x x k -+=k（第12题）13．如图，在用配方法解一元二次方程x 2+6x =40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x +6）、宽是x 、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m 的值是______．（第13题）14．如图，DE 是△ABC 的中位线，FG 是△BDE 的中位线．设△DFG 的面积是S 1，△ABC 的面积是S 2，则=______．（第14题）15．在如图的正方形区域内任意取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率是_______．（第15题）16．如图，在Rt 中，，垂足为，以CD 为直径的交BC 于点，连接AE ，交于点，连接DF ．已知，则______．12S S ABC △90,ACB CD AB ∠=︒⊥D O E O F 3tan ,44DFE CE ∠==AC =（第16题）三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17、25题每题10分，第18、20题每题6分，第19题5分，第21、24题每题7分，第22题9分，第23题8分）17．（1）解方程：（2）计算．18．红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，园内的“红梅阁”、“文笔塔”、“屠一道根艺藏珍馆”是其中的3个知名景点．小林游玩红梅公园时，准备从这3个景点中选择2个景点游玩（假设每个景点被选择的可能性相同），求小林选择“红梅阁”与“文笔塔”游玩的概率．19．如图，网格中每个小正方形的边长均是1，点O 、线段AB 的端点均在格点上，根据下列要求画图：（第19题）（1）以点O 为位似中心，在网格中把线段AB 按相似比2：1放大，得线段；（2）在网格中以（1）中的为边画Rt ，其中点C 在格点上，，且．20．阳湖水蜜桃是常州特产，有“太湖仙果”的美誉．某农场2022年种植水蜜桃20亩，平均亩产量是1000kg ．2023年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到33800kg ．已知种植面积的增长率与平均亩产量的增长率相同，求平均亩产量的增长率．21．如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD =60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD =37°，求调整后的楼梯AC 的长（精确到0.1m ，参考数据：sin37≈0.60，cos37≈0.80，tan37≈0.75）．2230x x +-=2cos 3045+︒︒A B ''A B ''A B C ''△90B A C ''∠=︒1tan 2A CB ''∠=1.73≈ 1.41≈（第21题）22．目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．下图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩．（1）填表并判断：______的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）；人员平均数方差甲71乙7______（2）在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度．（3）把函数中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本；样本．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果．23．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，点D 在OC 的延长线上，且∠CAD =∠B ．12n x x x 、、x ()121n T x x x x x x n=-+-++- 21y x =+12:,n A x x x 、、12:n B y y y 、、2y S 2x S（第23题）（1）判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠D =∠B ，⊙O 的半径是4，求AD 的长．24．如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，0线与x 轴重合，90°线与y 轴重合，OA 、OB 、OC 对应的度数分别是75°、x °、15°（15<x <75），过点B 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0）．（1）cos x °=______（用含m 的代数式表示）；（2）通过该图形分析，判断cos75°、cos x °、cos15°的大小关系：______（用“<”连接）；（3）请借助该图形，求cos15°－cos75°的值．（第24题）25ABC 是⊙O 的内接三角形，D 是上一点（点D 与点B 、C 不重合），AD 、BC 相交于点E ．（1）∠ADB =______°，⊙O 的半径为_______；（2）当AD =4时（点O 在AD 的下方）．①求BD 的长；②点F 、G 分别在射线DC 、线段AD 上，△FDG ∽△CDE ．若DG 的长．（第25题）（备用图）BC AF参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．A 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．3　10．k <1　11．134　12．60　13．3　14．　15．　16．三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17、25题每题10分，第18、20题每题6分，第19题5分，第21、24题每题7分，第22题9分，第23题8分）17．解：（1）（2）原式．18．解：记“红梅阁”为A，“文笔塔”为B ，“屠一道根艺藏珍馆”为C ，则列表如下（列表或画树状图均可）：第二个游玩景点结果第一个游玩景点A B C A（A ，B ）（A ，C ）B（B ，A ）（B ，C ）C （C ，A ）（C ，B ）一共6种等可能的结果，其中选择A 、B 的有2种．∴P （小林选择“红梅阁”与“文笔塔”游玩）．答：小林选择“红梅阁”与“文笔塔”游玩的概率是．19．解：（1）画图正确．（2）画图正确．20．解：设平均亩产量的增长率为x ，由题意得20（1+x ）×1000（1+x ）=33800．11644π-2532214x x ++=2(1)4x +=12x +=±121,3x x ==-2=+314=+74=2163==13解得x 1=0.3，x 2=－2.3（舍）．答：平均亩产量的增长率为30%．21．解：在Rt 中，．．在Rt 中，．．答：调整后的楼梯的长约为．22．解：（1）甲；4．（2）；．且由（1）可得甲的成绩更稳定，一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大）．（3）．23．解：（1）相切．理由如下：∵AB 是直径，∴∠ACB =90°．∴∠B +∠BAC =90°．∵∠CAD =∠B ，∴∠CAD +∠BAC =90°，即∠OAD =90°，OA ⊥AD ．又∵OA 是半径，∴AD 与⊙O 相切．（2）∵∠CAD =∠B ，∠D =∠B ，∴∠CAD =∠D ．∴AC =CD ．∵∠OAD =90°，∴∠D +∠DOA =90°，∠CAD +∠OAC =90°∴∠DOA =∠OAC ．∴OC =AC ．∴OC =CD ．∴OD=2OC =8．24．解：（1）m ．（2）cos75°<cos x °<cos15°．（3）如图，过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，过点C 作CI ⊥y 轴，垂足为I ，AH 、CI 相交于点Q ．则四边形OHQI 是矩形，cos75°=OH ，cos15°=cos ∠OCI =CI ．∴cos15°－cos75°=CI －OH =CI －IQ =CQ ．∵OA =OC ，又∵∠AOC =75°－15°=60°，∴△AOC 是等边三角形．∴AC =OA =1，∠CAQ =60°－15°=45°．∵∠AQC =90°，．ABD △sin AD ABD AB∠=sin 4sin 60AD AB ABD ∴=⋅∠=︒=ACD △sin AD ACD AC∠= 5.8sin AD AC ACD ∴==≈≈∠AC 5.8m 12(|97||67||77||77||77||67|)63T =-+-+-+-+-+-=甲15(|37||67||87||87||87||97|)63T =-+-+-+-+-+-=乙T T < 甲乙∴224y x S S =AD ∴==sin 45CQ AC ∴=⋅︒=cos15cos 75-︒︒25．解：（1）．（2）①作，垂足为．则．②作，垂足为．或．∵△FDG ∽△CDE ，∴∠DFG =∠DCE =∠DA B ．∵∠FDG =∠ADB ，∴△DFG ∽△DAB ．当时，，解得；当时，，解得．综上所述，的长是或．AH BD ⊥H cos 602,sin 60DH AD AH AD =⋅︒==⋅︒=1BH ∴==3BD DH BH ∴=+=AI DC ⊥IAC AC = 60ADC ABC ∴∠=∠=︒sin 60cos 602AI AD DI AD ∴=⋅︒==⋅︒=AF = 32FI ∴===37222DF ∴=+=31222DF =-=. DG DF DB DA∴=72DF =7234DG =218DG =12DF =1234DG =38DG =DG 21838。

数学九年级下试题及答案

数学九年级下试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. 0.33333（无限循环）C. √2D. 0.5答案：C2. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都不是答案：A4. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. -2D. -3答案：A5. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是：A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A6. 以下哪个是二次方程？A. x + 2 = 0B. x^2 + 3x + 2 = 0C. x^3 - 4 = 0D. 2x - 1 = 0答案：B7. 一个数的立方根是2，这个数是：A. 8B. -8C. 4D. -4答案：A8. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ = 0，那么这个方程：A. 有一个实数解B. 有两个相同的实数解C. 没有实数解D. 有无穷多个解答案：B9. 以下哪个是等腰三角形的特征？A. 至少有两个边相等B. 至少有一个角是直角C. 至少有一个角是钝角D. 至少有一个角是锐角答案：A10. 一个数的绝对值是5，这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是______。

答案：512. 如果一个数的平方是25，那么这个数是______或______。

答案：5 或 -513. 一个数的立方是-27，这个数是______。

答案：-314. 一个三角形的内角和等于______度。

答案：18015. 如果一个直角三角形的斜边长是13，一条直角边长是5，那么另一条直角边长是______。

答案：12三、解答题（每题10分，共50分）16. 解方程：2x - 5 = 7x + 3。

2023年人教版九年级数学(下册)期末试题及答案(各版本)

2023年人教版九年级数学(下册)期末试题及答案（各版本）班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．2的倒数是（）A ．2B ．12C ．12-D ．-22．已知25523y x x =-+--，则2xy 的值为（）A ．15-B ．15C ．152-D ．1523．关于x 的一元一次不等式≤﹣2的解集为x ≥4，则m 的值为（）A ．14B ．7C ．﹣2D ．24．已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（）A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形5．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x = 6．已知二次函数y=x 2﹣x+14m ﹣1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是（）A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞27．如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB=3，AD=4，则ED 的长为（）A ．32B ．3C ．1D ．438．如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（）A ．8B ．10C ．11D ．139．扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯ B ．()()130********x x --=⨯⨯ C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 10．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（）A．25394+B．25392+C．18253+D．253182+二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．计算：205-=__________．2．分解因式：3244a a a-+=__________．3．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．4．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为__________．5．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是__________（结果保留π）三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：33122xx x -+=--2．先化简代数式1﹣1xx-÷2212xx x-+，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入求值．3．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？4．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？5．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？6．去年在我县创建“国家文明县城”行动中，某社区计划将面积为23600m的一块空地进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的1.8倍，如果两队各自独立完成面积为2450m区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．甲队每天绿化费用是1.05万元，乙队每天绿化费用为0.5万元．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积（单位：2m）的绿化；（2）由于场地原因，两个工程队不能同时进场绿化施工，现在先由甲工程队绿化若干天，剩下的绿化工程由乙工程队完成，要求总工期不超过48天，问应如何安排甲、乙两个工程队的绿化天数才能使总绿化费用最少，最少费用是多少万元？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、A3、D4、C5、D6、A7、A8、A9、D10、A二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）12、2(2)a a -；3、84、 45、706、8﹣2π三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x=12、-11x +，-14． 3、（1）y=3x ﹣30；（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；（3）5月份上网35个小时．4、（1） 1.8(015)2.49(15)x x x x ＞≤≤⎧⎨-⎩（2）该用户二、三月份的用水量各是12m 3、28m 3 5、（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元．6、（1）甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是90m 2、50m 2；（2）甲队先做30天，乙队再做18天，总绿化费用最少，最少费用是40.5万元．。

九年级数学圆试题及答案

九年级数学圆试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列说法正确的是（）A. 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离B. 圆的直径是圆心到圆上任意一点的线段C. 圆的周长是圆的直径与π的积D. 圆的面积是圆的半径的平方与π的积答案：A2. 已知圆的半径为5cm，那么圆的周长是（）A. 10π cmB. 15π cmC. 20π cmD. 25π cm答案：C3. 圆的面积公式为（）A. πr²B. 2πrC. πdD. 2πr²答案：A4. 圆心角为60°的弧长是圆的周长的（）A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：A5. 圆的直径是半径的（）A. 2倍B. 1/2倍C. 1/4倍D. 1/3倍答案：A6. 圆的半径增加1倍，圆的面积增加（）A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍答案：D7. 圆的周长与直径的比值是（）A. πB. 2πC. 4πD. 6π答案：A8. 一个圆的半径是2cm，那么它的直径是（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm答案：A9. 圆的周长公式为（）A. πr²B. 2πrC. πdD. 2πr²答案：B10. 圆的半径为3cm，圆心角为90°的弧长是（）A. 3π cmB. 4.5π cmC. 6π cmD. 9π cm答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆的周长公式为C=____，面积公式为S=____。

答案：2πr；πr²2. 圆的直径是半径的____倍。

答案：23. 圆心角为120°的弧长是圆的周长的____。

答案：1/34. 已知圆的半径为4cm，那么圆的周长为____cm。

答案：8π5. 圆的面积是半径的平方与π的____。

答案：积三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知圆的半径为7cm，求圆的周长和面积。

答案：周长为14π cm，面积为49π cm²。

北京市东城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

北京市东城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．3x =是关于x 的方程220x x m --=的一个根，则m 的值是（）15-．3-3．关于二次函数21)2y =+，下列说法正确的是（）．当1x =时，有最小值为2．当1x =时，有最大值为．当=1x -时，有最小值为2．当=1x -时，有最大值为．在下列事件中，随机事件是（）．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球．通常情况下，自来水在10℃结冰．投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2．如图，正方形ABCD 的边长为6，且顶点B ，C ，D 都在）A ．3B ．6326．北京2022年冬奥会以后，冰雪运动的热度持续．某地滑雪场第一周接待游客人，第三周接待游客8470人．设该地滑雪场游客人数的周平均增长率为A ．2m 10π8．如图，O 是ABC 半径为2，6AB =，A ．123B ．24二、填空题9．将抛物线22y x =向下平移310．若一元二次方程261x x +-为．11．为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表：种子个数n 550发芽种子个数m44415．如图1，一名男生推铅球，铅球的运动路线近似是抛物线的一部分，铅球出手位置的高度为5m 3，当铅球行进的水平距离为y （单位：m ）与水平距离过原点的水平直线为式为2112y x =-．若以过出手点且与地面垂直的直线为建立如图3所示的平面直角坐标系16．某单位承担了一项施工任务，完成该任务共需施工要求如下：①先完成工序A ，B ，②完成工序A 后方可进行工序③完成工序D 后方可进行工序④完成各道工序所需时间如下表所示：工序AB三、解答题作法：①作边AB 的垂直平分线，交AB ②以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．则O 为所求作的圆．(1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：连接OC ．由作图可知，12OB OA AB ==∴点B 在O 上，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，12OC ∴=（）（填推理依据）．OC OA ∴=．∴点C 在O 上．ACB ∴ 的三个顶点都在O 上．19．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数(3)当03x <<时，对于x 的每一个值，都有2kx x bx >+，直接写出k 的取值范围．20．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A ，B ，C ，D ，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事．(1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果；(2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．21．如图，AB 是O 的弦，半径OD AB ⊥于点C ，若16AB =，2CD =，求O 的半径的长．22．已知关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m -++-=．(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求m 的取值范围；(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值．23．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，O ，B 为格点（每个小正方形的顶点叫做格点），3OA =，4OB =，且150AOB ∠=︒，线段OA 关于直线OB 对称的线段为OA '，将线段OB 绕点O 逆时针旋转45︒得到线段OB '．(1)画出线段OA '、OB '；(2)将线段OB 绕点O 逆时针旋转()4590αα︒<<︒得到线段OC '，连接A C '．若5A C ''=，(1)求证：直线DE 是O (2)若30BAC ∠=︒，BC =25．食用果蔬前，适当浸泡可降低农药的残留．某小组针对同种果蔬研究了不同浸泡方式对某种农药去除率的影响．方式一：采用清水浸泡．记浸泡时间为t 分钟，农药的去除率为t （分）5810()1%y 305057方式二：采用不同浓度的食用碱溶液浸泡相同时间．记食用碱溶液的浓度为x ()%x 257(2)利用方式一的函数关系可以推断，降低该种农药残留的最佳浸泡时间约为______分钟；(3)利用方式一和方式二的函数关系可以推断，用食用碱溶液浸泡含该种农药的这种果蔬时，要想不低于清水浸泡的最大去除率，食用碱溶液的浓度%x 中，x 的取值范围可以是_____．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)c 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设该抛物线的对称轴为直线x t =．(1)求t 的值；(2)已知()11,M x y ，()22,N x y 是该抛物线上的任意两点，对于11m x m <<+，212m x m +<<+，都有12y y <，求m 的取值范围．27．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 上一点，连接DA ，将线段DA 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ．(1)如图1，当点D 与点B 重合时，连接AE ，交BC 于点H ，求证：AE BC ⊥；(2)当BD CD ≠时（图2中BD CD <，图3中BD CD >），F 为线段AC 的中点，连接EF ．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题：①依题意，补全图形．②猜想AFE ∠的大小，并证明．(1)在点1(3,0)P ，2(1,2)P -，3(4,1)P -(2)若P 是直线3y x =-+上的动点，(3)已知点(0,3)A ，A 的半径为1线36y x =+的“和距离”d 的取值范围．。

数学九年级下试题及答案

数学九年级下试题及答案第一部分：选择题1. 一个多边形的内角和等于多少？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度2. 下列几个数中，哪个是无理数？A. 2B. 3C. -4D. √53. 已知一个立方体的边长为3cm，求其体积。

A. 9cm³B. 18cm³C. 27cm³D. 36cm³4. 已知两条直线垂直交叉，其中一条直线斜率为2，那么另一条直线的斜率为多少？A. -2B. 0C. 1/2D. -1/25. 小明有24支铅笔，其中1/3支是红色的，剩下的都是黑色的。

那么红色铅笔有几支？A. 8支B. 12支C. 16支D. 24支6. 在一个三角形中，若两边的边长分别为3cm和4cm，那么第三条边的边长范围是多少？A. (1, 7)B. (1, 6)C. (1, 5)D. (1, 4)7. 若两条直线互相平行，那么它们的斜率分别是多少？A. 相等B. 互为相反数C. 乘积为-1D. 无法确定8. 已知甲、乙、丙三人合作承包工程，甲、乙合作完成工程需30天，乙、丙合作完成工程需20天，甲、丙合作完成工程需36天。

那么甲、乙、丙三人一起合作完成工程需要多少天？A. 5B. 8C. 10D. 129. 在直角坐标系中，一个点的坐标为(2, 3)，那么这个点在第几象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 某公司去年的利润是200万元，今年的利润是去年利润的120%。

今年的利润是多少？A. 240万元B. 220万元C. 2400万元D. 2200万元第二部分：解答题1. 计算以下各式的值：(2x-1)(x+3)-2x(x-5)解答：首先用分配律展开括号，得到2x²+6x-x-3-2x²+10x。

合并同类项，得到8x-3。

2. 在一个平面直角坐标系中，已知三点A(1,1)，B(4,5)，C(6,3)，判断三角形ABC的形状。

浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

慈溪市2023学年度第一学期期末测试卷九年级数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（）A ．向上B ．向下C ．向左D ．向右2．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（）A ．5B ．8C ．10D ．153．已知，则下列比例式成立的是（）A．B ．C ．D ．4．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（）第4题图A ．1B ．3C ．9D ．275．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中抽取件数（件）501001502005008001000合格频数4898144193489784981次品的件数大约是（）A ．12B ．24C ．1188D ．11766．小明沿着坡比为的山坡向上走了，则他升高了（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，，的度数是（）第7题图2y x =AB AB ()250x y y =≠25x y =25x y =52x y =52x y=ABCD A B C D ''''O :1:3OA OA ='ABCD A B C D ''''1:210m 5m 10mO 30A ∠=︒ABA ．B ．C ．D ．8．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，下列说法正确的是（）第8题图A ．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是B ．小球飞行时飞行高度为，之后继续上升C ．小球从飞出到落地要用D ．小球的飞行高度可以达到9．二次函数（为常数）的图象过，四个点，下列说法一定正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形．连结，设，．若，，则矩形与矩形的面积比为（）图1图2第10题图A．B ．C ．D ．二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果两个相似多边形的相似比为，那么它们的面积之比是______．12．有两辆车按1，2编号，张、李两位老师任意选坐一辆车，那么这两位老师同坐一辆车的概率是______．13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是______米．30︒60︒90︒120︒40m /s 30︒h m t s 2205h t t =-15m 1s 3s 15m 4s25m2241y x x m =+++m ()()()1234,,2,,1,A y B y C y --()44,D y 120y y >340y y >140y y >230y y >340y y <120y y >230y y <140y y >AHD CFB △△≌ABE CDG △△≌EFGH ABCD CH CHG α∠=CDG β∠=2BC AB =2tan tan βα=EFGH ABCD 133471715348171:2O O O AB O C C AB图1图2第13题图14．在中，．若，则的值是______．15．如图，抛物线经过点和点．作射线，是线段上的动点，将射线绕点逆时针旋转得射线．若射线与抛物线只有一个公共点，则点的横坐标的取值范围为______．第15题图16．如图，内接于，高相交于点，若，，，则的半径为______，的长为______．第16题图三、解答题（第17～19题各6分，第20～21题各8分，第22～23题10分，第24题12分，共66分）17．计算：．18．在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同．（1）求从袋中摸出一个球是红球的概率．（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球颜色不相同的概率（要求画树状图或列表）．19．如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按Rt ABC △90C ∠=︒3tan 4A =sin B 2y ax bx =+()2,0A ()1,3B --BA P BA P 90︒B A ''B A ''2y ax bx =+P x ABC △O ,AD CE F AF AO =5CF=BC =O AB 22sin60cos 30tan60tan45︒︒+︒+-︒86⨯ABC △下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）图1图2第19题图（1）将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出（点与点是对应点）．（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段找一点，使．20．如图1是一种可折叠单面字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板、支架（可绕点转动）和活动杆（均为可转动支点）组成．该展架是通过改变的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，不得小于．现测得，，．图1 图2 图3第20题图（1）求支架底端张开的最大距离．（2）工作人员转动支点，使与垂直后并固定（如图3），请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．（参考数据：，，，，，）21．如图，是的内接三角形，是的直径，．ABC △A 90︒11AB C △11AB C △1B B AB P 34AP PB =A BC OA O DFE ,,D E F DFE ∠AOB ∠30︒60cm OD OE ==40cm AD BE ==15cm DF EF ==,A B FD OA sin280.47︒≈cos280.88︒≈tan280.53︒≈sin140.24︒≈cos140.97︒≈tan140.25︒≈ABC △O AD O 60ABC ∠=︒第21题图（1）求的度数．（2）若的半径为1，求图中阴影部分的面积．22．【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒．怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？【建立模型】如图1，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为．任务1 请你写出关于的函数表达式．【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积随的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．0 2.557.51012.51501562.51687.5312.5②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内随的增大而增大，在一定范围内随的增大而减小．任务3 利用函数图象回答：当为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？图1图2第22题图23．已知二次函数．（1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）．（2）点在该二次函数图象上，其中．①当时，求的取值范围．②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．24．如图1，以的直角边为直径画，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结．CAD ∠O 30cm cm x 3cm y y x y x xyy x y x x 222y x tx t t =-+-t (),P m n 21t m t -≤≤+2t =n n t t ABC Rt △AB O A AC O D CD O E AB F BE图1图2第24题图（1）求证：．（2）如图2，当是等腰直角三角形时．①求的正切值；②求的值．（3）若，设，求关于的函数表达式．慈溪市2023学年度第一学期期末测试卷九年级数学学科参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案ADCCBADCDB二、填空题（每小题4分，共24分）（注：第15题、、均得2分；16题每空2分）三、解答题（本大题有8小题，共66分）17．．解：原式18．解：（1）有1个红球、1个白球和1个黑球，从袋中摸出一个球是红球的概率为．（2）画树状图如下：ACD EBC ∠=∠ABC △BCD ∠CEBE 1AB =,CECD x y EF==y x 11x -<<11x -≤≤11x -<≤22sin60cos 30tan60tan45︒︒+︒+-︒23721144=++=+= ∴13共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不同的结果有6种，两次摸出的球颜色不同的概率为．19．图1 图220．解：（1）当时即得到张开的最大距离，，．，而，，即，．（2）连结，∴6293=180DFE ∠=︒,A B 60cm OD OE == 40cm AD BE ==15cm DF EF ==606040OD OEOA OB ∴==+DOE AOB ∠=∠DOE AOB ∴△△∽DE OE AB OB ∴=3060100AB =50cm AB ∴=OF，，，，．在中，，，，不符合规范使用的要求．（方法不唯一，合理即可）21．解：（1）连结，是直径，．．，．．（2）连结．，．的半径为1，，．22．解：任务1：；任务2：①2000，1000；②描点；③连线任务3：当时，容积取得最大值，最大值为．23．解：（1），顶点坐标为；OD OE = OF OF =DF EF =ODF OEF ∴△△≌DOF EOF ∴∠=∠RtODF △151tan 604DOF ∠==14.1DOF ∴∠≈︒28.228.5DOE ∴∠=︒<︒∴CD AD 90ACD ∴∠=︒AC AC = D B ∴∠=∠60ABC =︒∠ 60D ∴∠=︒30CAD ∴∠=︒OC 60B ∠=︒ 120AOC ∴∠=︒O 21AOC S ∴==△2120ππ13603S ∴=⨯⨯-=-阴影()2302y x x =-5x =32000cm ()2y x t t =-- ∴(),t t -（2）①当时，，，当时取到最大值，当时取到最小值，；②不变，理由如下：，对称轴为直线，，当时取到最大值，当时取到最小值，，不变，定值为4．24．解：（1）．，．（2）①设圆的半径为，过作的垂线，垂足为，连结．是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形．是正方形．，；②设圆的半径为，，，过作的垂线，垂足为．．，，而，，．．另解1：可证明，．另解2：过作的垂线，垂足为．利用第一问的正切值和等腰直角即可求得（3）连结，是直径，，而，，．2t =03m ≤≤()222y x =--0m =2n =2m =2n=-22n ∴-≤≤21t m t -≤≤+ x t =10a =>∴2m t =-4n t =-m t =n t =-()44t t ∴--=-∴AE AE = D ABE ∴∠=∠90DAC ABC ︒∠==∠ ACD EBC ∴∠=∠r O BC G OD ABC △90DAC ∠=︒AOD ∴△BODG ∴,2DG BG r BC r ∴===1tan 3BCD ∴∠=r AD =AC =E BC H 1tan tan 2EBC ACD ∠=∠=2BH EH ∴=BE =1tan 3BCD ∠=3HC EH ∴=CE =CE BE ∴==AEC CEB △△∽CE ACBE BC∴==B CD M BEM △AE AB 90AEB DAC ︒∴∠==∠ADC ABE ∠=∠ABE CDA ∴∽△△AC CDx AE AB∴==，，．．FAE FCA ∠=∠ AFE CFA∠=∠FAE FCA ∴∽△△FC FA ACxFA FE AE∴===222FC FA x FE FE ∴==21CE y x EF∴==-。

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考生注意：2018 学年奉贤区调研测试
九年级数学201904 （满分150 分，考试时间100 分钟）
1．本试卷含三个大题，共25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分）
1．下列各数中，最小的数是（▲）
（A）- - 2 ；（B）(- 2)2 ；（C）-(- 2) ；（D）(- 2)0 .
2．电影《流浪地球》从2 月5 日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3 月底，中国电影票房高达4559000000 元．数据4559000000 用科学记数法表示为（▲）
（A）45.59 ⨯108 ；（B）45.59 ⨯109 ；（C）4.559 ⨯109 ；（D）4.559 ⨯1010 ．
3．关于反比例函数y = - 4
，下列说法正确的是（▲）
x
（A）函数图像经过点（2，2）；（B）函数图像位于第一、三象限；
（C）当x > 0 时，函数值y 随着x 的增大而增大；（D）当x > 1时，y < - 4 ．4．学校环保小组的同学随机调查了某小区10 户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9．利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200 户家庭一周内共需要环保方便袋约（▲）
（A）200 只；（B）1400 只；（C）9800 只；（D）14000 只．
5．把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图1 所示），那么Ð1的度数是（▲）
（A）75°；（B）90°；（C）100°；（D）105°．
6．如图2，已知△ABC，点D、E 分别在边AC、AB 上，∠ABD=∠ACE，下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（▲）
（A）AE=AD；（B）BD=CE；（C）∠ECB=∠DBC ；（D）∠BEC=∠CDB．
A
E D
B C
图1 图2
1
图 5
α
二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）
7．计算： m 3 ¸ (- m )2 = ▲ ．
8．不等式组ìïí
x - 1> 0, 的整数解是 ▲ ．
ïî
2x < 5
9．方程 x g x - 1 = 0的根是 ▲ ．
10．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等边三角形和等腰三角形．如果从中任
意抽取 2 张卡片，那么这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的概率是 ▲ ． 11．如果正比例函数 y =（k - 3)x 的图像经过第一、三象限，那么 k 的取值范围是 ▲ ．
12．如果关于 x 的方程 x 2 + 4x + 2k = 0 有两个相等的实数根，那么 k 的值是 ▲
．
13．下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含最小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是 ▲ .
14．已知△ABC ，AB =6，AC= 4，BC= 9，如果分别以 AB 、AC 为直径画圆，那么这两个圆
的位置关系是 ▲ ．
15．如图 3，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD ，坝顶宽 AD 是 6 米，坝高 4 米，背水坡 AB
和迎水坡 CD 的坡度都是 1:0.5，那么坝底宽 BC 是 ▲ 米.
16．已知△ABC ，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上，DE//BC ， DE =
1
BC ．如果设 AB = a ，
3
DE = b ，那么 AC = ▲ ．（用向量 a 、b 的式子表示）
17．在证明“勾股定理”时，可以将 4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方
形（如图 4 所示）．如果小正方形的面积是 25，大正方形的面积为 49，直角三角形中较小的锐角为α，那么 tan α的值是 ▲ ．
18．如图 5，矩形 ABCD ，AD = a ，将矩形 ABCD 绕着顶点 B 顺时针旋转，得到矩形 EBGF ，
顶点 A 、D 、C 分别与点 E 、F 、G 对应（点 D 与点 F 不重合）．如果点 D 、E 、F 在同一条直线上，那么线段 DF 的长是 ▲ ．（用含 a 的代数式表示）
A
D
D
C
B
C
A
B
图 3
图 4
分数段 18 分以下 18: 22分 22: 26分 26: 30分 30 分人数
3
7
9
13
8
2 ⎩ 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分）
先化简，再求值： x
x 2 - 6x + 9 - ¸ x -
3 ，其中
x = ． x - 1 x 2
- 1 x + 1
20．（本题满分 10 分）
⎧x + y = 6,
解方程组： ⎨x 2 - 3xy + 2 y 2
= 0.
21．（本题满分 10 分，每小题 5 分）
A
D 如图 6，已知梯形 ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=90°，BC =2AB =8， E
对角线 AC 平分∠BCD ，过点 D 作 DE ⊥AC ，垂足为点 E ，交边 AB 的延 B C
长线于点 F ，联结 CF ．（1）求腰 DC 的长；（2）求∠BCF 的余弦值．
F
图 6
22．（本题满分 10 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分）
E-learning 即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了 A 、B 两种在线学习的收费方式．A 种：在线学习 10 小时（包括 10 小时）以内，收取费用 5 元，超过 10 小时时，在收取 5 元的基础上，超过部分每小时收费 0.6 元（不足 1 小时按 1 小时计）；B 种：每月的收费金额 y （元）与在线学习时间是 x （时）之间的函数关系如图 7 所示．（1）按照 B 种方式收费，当 x ³ 5时，求 y 关于 x 的函数关系式． y (元)
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照 A 种方式支付了 20 元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照 B 种方式付费，那么他需要多付多少元？
23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分）
30 25 20 15 10
5
O
5
10 15 20 25 30 x ( 时 )
图 7
已知：如图 8，正方形 ABCD ，点 E 在边 AD 上，AF ⊥BE ，垂足为点 F ，点 G 在线段
BF 上，BG=AF ．
（1）求证：CG ⊥BE ；
（2）如果点 E 是 AD 的中点，联结 CF ，求证：CF=CB ．
图 8
D C
E F
G
A
B
2 A
B
C
24．（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分）
如图 9，已知平面直角坐标系 xOy ，抛物线 y =
ax 2 + bx + 2 与 x 轴交于点 A (-2，0)和点
B (4，0) ．
（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；
（2）点 C 在线段 OB 上，过点 C 作 CD ⊥ x 轴，垂足为点 C ，交抛物线与点 D ，E 是 BD
中点，联结 CE 并延长，与 y 轴交于点 F ． ①当 D 恰好是抛物线的顶点时，求点 F 的坐标；
y
②联结 BF ，当△DBC 的面积是△BCF 面积的 3
时，
2 求点 C 的坐标．
A
O B x
图 9
25．（本题满分 14 分，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 5 分，第(3)小题满分 5 分）
如图 10，已知△ABC ，AB = ， BC = 3，∠B =45°，点 D 在边 BC 上，联结 AD ，以点 A 为圆心，AD 为半径画圆，与边 AC 交于点 E ，点 F 在圆 A 上，且 AF ⊥AD ．（1）设 BD 为 x ，点 D 、F 之间的距离为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果 E 是 D »F 的中点，求 BD : CD 的值；
（3）联结 CF ，如果四边形 ADCF 是梯形，求 BD 的长．
F
A
E
B
D C
图 10
备用图。