单摆周期公式的一般性推导
初三物理知识点单摆周期公式推导
三一文库（）/初中三年级〔初三物理知识点单摆周期公式推导〕公式推导M = - m * g * l * Sin x.其中m为质量，g是重力加速度，l是摆长，x是摆角。
我们希望得到摆角x的关于时间的函数，来描述单摆运动。
由力矩与角加速度的关系不难得到，M = J * β。
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量，β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度。
于是化简得到x'' * l = - g * Sin x.我们对上式适当地选择比例系数，就可以把常数l与g约去，再移项就得到化简了的运动方程x'' + Sin x = 0.第1页共5页因为单摆的运动方程（微分方程）是x'' + Sin x = 0 (1)而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是x'' + x = 0 (2)相关解释我们知道（1）式是一个非线性微分方程，而（2）式是一个线性微分方程。
所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动。
不过，在x比较小时，近似地有Sin x ≈ x。
（这里取的是弧度制。
即当x -> 0时有Sin x / x = o（1）。
）因而此时（1）式就变为（2）式，单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动。
然后说一下为什么是10°。
由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事实上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一点几，是十分接近的。
在低精度的实验中，这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）。
但如果换成25°，误差高达百分之三，就不宜再看成是简谐振动了。
由于正弦函数的性质，这个近似是角度越小，越精确，角度25。
单摆知识点公式总结
单摆知识点公式总结一、单摆的基本知识点1. 单摆的定义单摆是由一个质点（称为挂点）和一根长度可忽略的细绳（或轻质横杆）组成的物体。
质点可以是实心球、铁球、小木块或其他形状的物体。
2. 单摆的运动规律单摆在无外力作用下，可以做匀速圆周运动。
当摆动幅度较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
3. 单摆的周期单摆的周期T与摆长L及重力加速度g有关，满足以下公式：T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），π为圆周率。
4. 单摆的频率单摆的频率f与周期T成反比关系，满足以下公式：f = 1/T5. 单摆的振幅单摆的振幅是指摆动过程中的最大角度。
当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
6. 单摆的能量转化单摆在振动过程中，动能和势能不断地进行转化。
当摆动到最高点或最低点时，动能为零，势能最大。
而在摆动过程中，动能最大时，势能为零。
单摆的总能量守恒。
7. 单摆的受力分析单摆在做简谐振动时，受到重力和张力的作用。
重力作用在摆绳上，向下，张力作用在质点上，与重力方向相反。
二、相关公式1. 单摆的周期公式T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度。
2. 单摆的频率公式f = 1/T其中，f为频率，T为周期。
3. 单摆的摆长计算公式在实际应用中，有时需要根据给定的周期或频率来计算摆长。
可以通过以上公式，将周期T或频率f代入，求解摆长L的值。
4. 单摆的振幅与周期的关系当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
这一关系可以通过实验或推导得到。
5. 单摆的能量转化公式在单摆的摆动过程中，动能和势能不断地进行转化。
可以通过动能和势能的公式进行计算，以研究能量转化的规律。
6. 单摆的受力分析公式单摆在简谐振动时，受到重力和张力的作用。
可以通过受力分析和牛顿定律，得到单摆的运动规律和力学性质。
三、单摆的应用1. 单摆的实验通过搭建单摆实验装置，可以观察和研究单摆的运动规律和特性，了解单摆的周期、频率、摆长等参数。
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
单摆周期原理及公式推导
1 关于单摆的回复力 ①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示. ②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G 分解到速度ｖ的方向
及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsin θ＝mg sin θＧ2＝G cos θ＝mg cos θ
③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mg sin θ提供了摆球摆动的回
复力.
单摆做简谐运动的条件
①推导：在摆角很小时，sin θ＝l
x 又回复力Ｆ＝mg sin θ Ｆ＝mg ·l x
（ｘ
表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长）
②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相
反，大小成正比，单摆做简谐运动.
③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线.
单摆周期公式推导
设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。
则 摆的角速度为θ’（ 角度θ对时间t 的一次导数）, 角加速度为θ’’（ 角度θ对时间t 的二次导数）。
对摆进行力学分析，
由牛顿第二运动定律，有
(m)*(l)* θ’’ = - mg*sin θ
即θ’’+ (g/l )*sin θ = 0
令 ω = (g/l)1/2 ,有
θ’’ + (ω2)*sin θ = 0
当 θ很小时， sin θ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因） 这时， 有
θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0
该方程的解为
θ = A*sin(ωt+φ)
这是个正弦函数，其周期为
T = 2π/ω = 2π*√(l/g)。
单摆周期公式的变形公式
单摆周期公式的变形公式
单摆周期公式T＝2π根号下（L/g），什么叫作单摆呢？首先单摆是一个能够产生往复摆动的一种装置，而将这种无重细杆悬浮在一个重力场内部的一个顶点，而另外一个点的顶端固定一个重球，然后这样其实就是构成了一个单摆，而小球只会在平面内沿着一个直线摆动。
单摆运动的近似周期公式为：T=2π√(L/g)。
其中，L为摆长，g为当地的重力加速度。
首先在研究白球沿着圆弧在运动的时候，不能考虑摆球运动方向垂直方向的力，只能是考虑沿着摆球运动方向的力，因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，所以在运动中我们可将重力G分解到速度ｖ的方向及垂直于ｖ的方向。
且Ｇ1＝Ｇsinθ＝mgsinθＧ2＝Gcosθ＝mgcosθ。
这种回复力说明了正是沿着运动方向的G1=mgsinθ提供了一个摆球摆动
的回复力，而这种单摆做的单件的运动的条件。
在摆动角θ很小的时候，回复力的一个方向是和摆球偏离的平衡位置的位移方向相反，大小是呈现出一个这个比，而单摆也是做一个简单运动。
简谐运动的图像是正弦的时候，如果摆角在很小的情况下，既然做出单摆的简谐运动，则它的震动图像也是正弦。
单摆简谐振动条件是θ小雨5°，位移的导数是一个速度，而以匀加速直线运动为例子的话，位移时间关系式x=v（初）t+1/2at平方，则x’＝v（初）+at，在带入一些表达式可以得出一个T=2π√(L/g)的公式。
单摆的周期是什么呢？在一个非常小的振幅或者是角度下的时候，单摆做简谐运动的周期是一个跟摆场的平方根呈现出一个正比，而跟重力加速度的平方根呈现出一个反比的状态，而跟振幅和摆球的质量是没有任何关系的。
以上就是单摆周期的公式以及其他的推导过程，要求学生掌握并且熟练运用求导方式。
单摆的周期公式推导
单摆的周期公式推导
角度小，看作简谐运动，简谐运动可用单位圆匀速圆周运动，上面点在直径上的投影就是
这是我自己的公式推导：
自己网上找了一下都是要用微积分推导的，自己算了半天终于搞定，没有用到一点超纲内容，分享下！
由简谐运动定义得F=-kx
由于计算周期，只需考虑最大位移处，即振幅，是标量（下同），得
F=kA
根据向心力公式F=mω^2r
由于此时半径为振幅，则F=mω^2A
代入定义式为kA=mω^2A
两边约去A，得k=mω^2
对此式变形ω^2=k/m
1/ω^2=m/k 1/ω=√(m/k)
通过对角速度公式ω=2π/T变形得
T=2π(1/ω)
代入前面计算的式子得T=2π√(m/k)
注意这个就是一般的简谐运动求周期公式，只是不教罢了，下面推出单摆公式老师上课说过，当摆角很小时可近似得出
sinθ=F/mg=x/l
变形得F=mgx/l
参照简谐运动定义式F=kx，一一对应
得k=mg/l
将k代入前面算出的一般简谐运动周期公式T=2π√(m/k)
得T=2π√(m/(mg/l))
L
约去m，化简得T=2π√(l/g)即T=
g
这就是单摆公式的推导。
等效思想的充分应用——单摆周期公式的分析与比较
重 力 和摆线 张力 作用 下 的单摆 的周期 公 式
√ 舌
产 生 的加 速 度． 下面举 两个 例 子试 说 明之．
㈩
Ｔ＝２Ｔ ／ ＝ １ —＝ —
中的重 力加 速度值 ｇ， 而得 到答 案 ． 里 的加 速 度 从 这 。 是指 除 摆线 的张 力外 ， 摆球 所 受 其 他力 的合 力 所
５
解： 车为 非惯性 平 动参考 系 ， 其相 对地 面沿斜 面
向下 的加 速 度 ａ ＝ｇ ｉ￣， ｓ ｎ 故
ｘ ＝ 一 ａ ｏ ￣ ＝ 一 ｇｓ ｎ ｃ ｓ ０ ｃ ｓ ｉ ｏ
ｏ ＝ 一 ａ ｉ ｐ ＝ 一 ｇｓ ｍｐ ｉ ￣ ｓｎ￣ ｉ ｓｎ
笔 者在 给 竞 赛 班 学 生 上课 时 ， 出了 平 动非 惯 给
性 参考 系 中单摆 周 期 公 式 的一 般性 推 导 ， 过 程 如 其
下：
如 图 １ 示． 所 这两 个 力 的合 力 所 产生 的加 速 度 即 为 等效 重 力 加 速度 ０ ＝ｇ＋Ｃ Ｉ ， 代替 （ ）中的 ｇ １ ， 即得此 单摆 的周 期 公式
地面 高 ， 端 套 着 一 个 细 环． 和 环 的质 量 均 为 上 棒 ｍ， 相互 间最 大静 摩 擦 力 等 于 滑 动摩 擦 力 ｋ （ ｍｇ ｋ＞
摩擦 力对 棒 及环 做 的 总功
Ｗ ＝ 一 ｋ ｇＬ ｍ
解得
． ：． ２ ｍ ， Ｗ － ｋ ｇＨ
一
１． ） …… 求 ： … （ ）从 断 开 轻绳 到 棒 和环 都 静 止 ， … ３ 摩 擦力 对环 及棒 做 的 总功 此 问若 把 棒 和 环 作 为 整体 ， “ 体 法 ”能 量守 恒 求 解 ， 过 程 和 解 法 会 用 整 使 大大简 化． 环相 对 棒滑 动距 离 为 Ｌ， 据 功能 关 系 设 根
单摆周期的精确公式
单摆周期的精确公式单摆是物理学中研究的一个重要的物理模型，它由一个质点通过一个轻细的不可伸长线连接到固定的支点上形成。
在单摆的运动中，质点在重力作用下来回摆动，这样的周期性运动可以通过一个精确的公式来描述。
本文将介绍单摆周期的精确公式，并对该公式进行推导和解释。
首先，我们需要明确一些基本的概念和符号。
将单摆的长度记为L，质点的质量记为m，摆动的角度记为θ，摆动的周期记为T。
在单摆的运动过程中，质点受到重力的作用，重力的大小为mg，其中g是重力加速度。
对于单摆的运动，我们需要根据牛顿第二定律建立起运动方程。
由于单摆的运动只发生在一个平面上，我们可以将角度θ用弧度制来表示。
在角度很小的情况下，可以将单摆的运动近似为简谐振动，简谐振动的运动方程可以表示为：mgLsinθ = mLθ'' (1)其中θ''表示角度关于时间的二阶导数。
我们可以对方程（1）进行一些简化处理。
首先，考虑到当角度很小时，sinθ可以近似为θ，即sinθ ≈ θ。
同时，由于摆动的角度很小，可以认为Lsinθ ≈ Lθ。
将这些近似代入方程（1）中，我们可以得到：mgLθ = mLθ'' (2)现在，我们可以对方程（2）进行求解，从而得到单摆周期的精确公式。
为了求解该方程，我们可以假设角度θ的解为θ = A*sin(ωt +φ)，其中A是摆动的最大角度，ω是角速度，t是时间，φ是初始相位角。
将这个解代入方程（2）中，我们可以得到：mgLA*sin(ωt + φ) = mLA*ω^2*sin(ωt + φ) (3)通过对方程（3）进行整理可以得到：g/L=ω^2(4)从方程（4）中，我们可以得到单摆的角速度ω与重力加速度g以及摆动长度L的关系。
角速度ω与周期T存在如下关系：ω=2π/T。
因此，我们可以将方程（4）改写为：g/L=(2π/T)^2(5)通过对方程（5）进行变形可以得到：T=2π√(L/g)(6)方程（6）就是单摆周期的精确公式。
单摆周期公式的数学推导
单摆周期公式的数学推导
一、单摆周期公式：
单摆周期仅摆长L相关，与L的平方根成正比。
公式如下： g是重力加速度，一般取9.8m/ss
二、采用牛顿第二定律推导：
如下图，摆长为l,重物受力为：重力mg和绳子的张力T。
取如图所示的二维坐标系，张力T可以分解为垂直和水平方向的二个力。
L与垂线的夹角为θ。
根据牛顿第二运动定律，F=ma，可以列出重物在x和y二个方向上的运动方程：
这二个微分方程相当难解，所以只能采用一种“小角度近似”的方法进
行处理，
解的物理意义很明确，A是最大振幅，ω是角速度，φ是初相角（视初始条件而定）。
三、采用机械能守恒定律推导：
重物的机械能，可以分为动能和势能：ME=KE+u（ME为总机械能，KE为动能，u为势能）。
在重物摆动过程中，其机械能保持不变，为一恒定常数。
而动能KE=1/2 mvv（m为重物质量，v为速度，这里用二个v表示平方）；势能u=mgy（设下图中x坐标线为0势能，则任意点P处重物高度为y）。
推导过程和解微分方程是微积分学的知识，高中知识是无法推导的。
从上述二个推导过程看，均采用了小角度近似方法，似乎对结论有一定影响。
但最终的结果中，周期与角度θ是无关的，因而该公式即为理论推导结果。
单摆周期公式的来源和推导
¨》磐椰扎ｉｎ秒。２０。２｝ｓｉｎ０２０』Ｒ代
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这个推导方法用的是伽利略的等末速度假设和简 单的微积分，未用到牛顿第二定律和微分方程。与通 常普通物理教材中的推导过程相比，也许更接近惠更 斯当时的推导方式。
可得速度ｖ－、ｆ４辞ｌ蜘：｛譬卜ｓｌｎ！ｆ：】。
・
１２４・
据此我们很容易推出ａ＝ｇｓｉｎ ０，
・
１２３・万方数据ຫໍສະໝຸດ 第２０卷学习交流
基于因子分析的学生成绩综合评价方法研究
王民川
（郑州广播电视大学４５０００７）
本文采用多元统计中的因子分析对本校计算科学 专业２００９级的５８名同学两学期１６门成绩进行具体 实例分析，找出影响该专业学生知识和能力的主要方 面网子，确定决定性丙素，分别为数学专业能力、记 忆概括能力、数学基础能力、英语能力、体育能力五 个冈子。根据网子得分对学生成绩做出一个客观、综 合的评价，清楚地反映每个学生各方面的差异。 一引言 ｉ年大学生活的学习成绩是每个大学生学习生活 的记录，这些记录基本反映了该生四年的学习情况， 但在大部分高校教学管理中，需要科学的对学生成绩 进行综合评价。在目前综合评价学生成绩的方法中， 大多数学校都用加权平均成绩作为评价标准。该方法 都存在两个缺点：一是掩盖了学生的个性；二是不能 对学生做出客观评价。因此研究一种科学合理的方法 非常必要，而多元统计分析中的因子分析恰恰符合要 求。 二因子分析方法 因子分析是指研究从变量群中提取共性凶子的统 计技术。最早由英国心理学家Ｃ．Ｅ．斯皮尔曼提出。他 发现学生的各科成绩之间存在着一定的相关性，一科
ｆ３】
０
中学物理中与惠更斯有关的内容还有弹性碰撞理 论、向心力理论、光的波动说。从方法上看，惠更斯 沿着伽利略开创的实验与逻辑推理相结合的道路继续 前进。和伽利略在物理研究中所采用的相对简单的数 学工具相比较，惠更斯把无穷小几何方法带进了力学 领域。 三单摆周期公式的简单推导 如今，普通物理教材中单摆周期公式的推导是根 据牛顿第二定律和微分方程知识得出的，但惠更斯推 导单摆周期公式时（１ ６５９年），牛顿第二定律还未发 表，惠更斯尚未学会莱布尼兹式的微积分，他使用的 是旧的无穷小几何方法。我们能否也用较简单原始的 方法推出单摆周期公式呢？让我们尝试一下。 思路一：单摆周期公式是在小振幅条件下得出的。 而圆弧越来越小就越来越接近一段直线，那么能否用 一段圆上的弦代替圆弧，从而简化为物体沿光滑斜面 下滑的运动？当时伽利略已提出了等末速度假设：静 止的物体不论是沿竖直方向自由下落还是沿不同倾斜 度的斜面从同一高度下落，它们到达末端时具有相同 的速度。这实质上相当于机械能守恒定律。另外由伽 利略的斜面实验可知物体沿斜面下滑的运动和自由落 体运动都是匀变速直线运动。
单摆周期公式的来源和推导
据此我们很容易推出ａ＝ｇｓｉｎ ０，
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万方数据
第２０卷
学习
交流
基于因子分析的学生成绩综合评价方法研究
王民川
（郑州广播电视大学４５０００７）
本文采用多元统计中的因子分析对本校计算科学 专业２００９级的５８名同学两学期１６门成绩进行具体 实例分析，找出影响该专业学生知识和能力的主要方 面网子，确定决定性丙素，分别为数学专业能力、记 忆概括能力、数学基础能力、英语能力、体育能力五 个冈子。根据网子得分对学生成绩做出一个客观、综 合的评价，清楚地反映每个学生各方面的差异。 一引言 ｉ年大学生活的学习成绩是每个大学生学习生活 的记录，这些记录基本反映了该生四年的学习情况， 但在大部分高校教学管理中，需要科学的对学生成绩 进行综合评价。在目前综合评价学生成绩的方法中， 大多数学校都用加权平均成绩作为评价标准。该方法 都存在两个缺点：一是掩盖了学生的个性；二是不能 对学生做出客观评价。因此研究一种科学合理的方法 非常必要，而多元统计分析中的因子分析恰恰符合要 求。 二因子分析方法 因子分析是指研究从变量群中提取共性凶子的统 计技术。最早由英国心理学家Ｃ．Ｅ．斯皮尔曼提出。他 发现学生的各科成绩之间存在着一定的相关性，一科
０也是恒定的。而圆弧上各点的倾角
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是各点不同的，则臼很小时ａ＝ｇｓｉｎ ０ｔ，０＝。～Ｒ 也各点不同，近似与弧长１成正比。所以不能把物体 沿短圆弧的运动近似看作沿斜面的运动。 思路二：我们直接来求物体沿网弧运动的时间。 据伽利略的等末速度假设（实即机械能守恒定律），
¨》磐椰扎ｉｎ秒。２０。２｝ｓｉｎ０２０』Ｒ代
单摆振动周期公式应用与拓展
单摆振动周期公式应用与拓展首先，我们来探讨一下单摆振动周期公式的基本原理。
单摆是一个能够满足简谐振动条件的物体，例如一根绳子上挂着的一个质点。
当质点被拉到一侧后，它会开始作周期性的来回摆动。
振动周期就是质点从一个极点到另一个极点所需要的时间。
根据实验结果和物理推导，可以得到单摆振动周期公式为：T=2π√(L/g)其中，T表示振动周期，L表示单摆的长度，g表示重力加速度。
从公式中可以看出，振动周期与单摆的长度和地球重力加速度有关，当长度增加或重力加速度减小时，振动周期增加，即摆动速度减慢。
单摆振动周期公式的应用非常广泛。
一个典型的应用是在建筑物的抗震设计中。
建筑物的抗震设计是非常重要的，可以保证建筑物在地震中的稳定性和安全性。
在抗震设计中，需要考虑建筑物的振动特性，以及地震力的作用。
单摆振动周期公式可以用于计算建筑物的自由振动周期，从而帮助工程师选择合适的结构参数，使得建筑物在地震中具有较好的抗震性能。
另一个应用是在钟表制作中。
钟表的摆钟是一种应用了单摆原理的装置，它的精确度和稳定性与单摆的振动周期有关。
根据单摆振动周期公式，可以通过调节摆钟的长度，使得摆钟的振动周期达到所需的精确值。
这样一来，摆钟就能够以非常准确的频率进行摆动，从而实现钟表的正常计时功能。
此外，单摆振动周期公式还可以应用到其他一些领域。
例如，在物理实验中，可以通过改变单摆的长度和重力加速度，来研究对振动周期的影响。
在工程计算中，可以根据单摆振动周期公式，计算一些动态系统的振动周期，例如桥梁的自由振动周期。
在天文学中，单摆振动周期公式可以用于计算天体的周期运动，例如行星的公转周期。
除了对单摆的普通振动，单摆振动周期公式还可以拓展到一些特殊情况下。
例如，当单摆受到阻尼力或驱动力的作用时，振动周期公式需要进行修正。
在阻尼振动中，振动周期随着阻尼系数的增加而减小。
在驱动振动中，振动周期与外力的频率相同或其整数倍相关。
在非线性振动中，单摆振动周期公式也需要进行修正。
单摆简谐振动周期公式的两种推导方法
单摆简谐振动周期公式的两种推导方法
陈洪武
【期刊名称】《中学物理（高中版）》
【年(卷),期】2011(029)010
【摘要】单摆做简谐振动的周期公式T=2π√l/g,笔者在从事物理教学时发现这个
公式是直接给出的,对该公式的推导不作要求,但很多学生对该结论饶有兴趣,但作为教师应该知道该公式的推导过程,只有这样才能对单摆做简谐运动有更清晰全面的
理解.笔者试着利用高等数学数学方法从机械能守恒和受力两个角度推导该公式.【总页数】1页(P48)
【作者】陈洪武
【作者单位】宜阳县第一高级中学河南宜阳471600
【正文语种】中文
【相关文献】
1.对气轨上简谐振动周期测量公式的修正
2.一种荧光式单摆简谐振动图像描绘仪及其实验方法
3.点电荷场中的重力单摆及简谐振动
4.从机械能守恒的角度推导单摆
简谐振动的周期5.将问题导学法融入科学探究教学中——以“单摆是否简谐振动”探究为例
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高中单摆周期公式推导
高中单摆周期公式推导
单摆的周期公式是T=2π√(L/g)。
这个公式T=2∏√L/g是根据弹簧振子的周期公式T=2∏√m/k推导出来的，因为单摆做简谐运动时的比例系数（F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2∏√m/k即得T=2∏√L/g。
单摆的周期公式是T=2∏√L/g。
这个公式T=2∏√L/g是根据弹簧振子的周期公式T=2∏√m/k推导出来的，因为单摆做简谐运动时的比例系数（F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2∏√m/k即得T=2∏√L/g。
单摆的周期公式：
是T=2π√（L/g),只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆长的平方根成正比，与当地重力加速度的平方根成反比。
这个公式T=2π√（L/g)是根据弹簧振子的周期公式T=2π√（m/k)推导出来的，因为单摆做简谐运动时的比例系数（F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2π√（m/k)即得T=2π√（L/g).证明：摆球的摆动轨迹是一个圆弧。
设摆角（摆球偏离竖直方向的角度）为θ，则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ．设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l,则当摆角很小时。
可以认为sinθ＝x/l.所以，单摆的回复力为F=-mgx/l.对于系统而言，m、g、l 均为定值，故可认为k=mg/l,则F=-kx.因此在单摆很小的情况下，单摆做简谐运动。
关于单摆的周期
情景变化感悟——关于单摆的周期【基本问题】单摆的构成：轻绳系一重的小球（质心在球心；空阻不计）单摆的回复力：F=mgsin θ单摆简谐振动的条件：当θ＜5°时，回复力F=mgsin θ≈mgx/L即满足F= -kx单摆的振动在θ＜5°时是简谐振动。
单摆简谐振动的周期公式：T=g l2T 与m 、A 无关【变化系列】1． 单摆悬点正下方L/2处有一钉，恰能挡住细线，使单摆在振动过程中的摆长发生变化。
求这种摆的振动周期（设偏角不超过5°）2．两根细线悬挂一小球，组成双线摆，则当小球作微小振动时，其周期分别是多少？3．求一下几种情况下单摆的周期。
（已知摆球质量m 、摆长L ，斜面光滑、倾角为θ）4．质量分别为M 、m 的小球由图示位置同时释放，则最先到达最低点O 的是哪个球？ （已知圆弧轨道光滑，半径为R ，且弧长L ＜＜R ；斜面轨道光滑，斜面倾角30°，斜面长S=R/4）5． 光滑弧形轨道半径为R=80米，与水平地面相切。
已知球与地面间的摩擦系数μ=0.2。
现将小球从弧形轨道高度为10厘米处释放，它在水平面上滑行一段后停下。
求小球运动的总时间。
6． 一小球从半径为R 的光滑圆槽中离最低点O 距离为L （L ＜＜R ）处释放。
与此同时另一小球从O 点的正上方H 高度处开始做自由落体运动。
则：两小球恰好相遇的条件是什么？7．可以用单摆测当地重力加速度。
实验原理？需测量的物理量？在实际操作时，容易出现圆锥摆运动现象。
圆锥摆的周期公式是怎样的？这时测量是否准确？。
单摆周期公式理解及应用专题
单摆周期公式理解及应⽤专题单摆周期公式理解及的应⽤专题1、准确把握摆长的概念。
2014-11-9(2特优)如图1所⽰，摆球运动的轨迹是⼀个圆弧，所以单摆做的是⼀个⾮完整的圆周运动，⽽摆长则为该圆周运动的轨道半径。
即：“L”为质点到圆⼼的距离。
【例1】⼀个在夏天⾛时很准的钟，若到冬天，则⾛时是变慢还是变快？【例2】【例2】在以下三个问题中均不计空⽓阻⼒：（1）如图2所⽰，长为L的轻绳⼀端固定于天花板上的O点，另⼀端系⼀⼩球（可看成质点），在悬点的正下⽅L/3处有⼀钉⼦，今将⼩球拉离平衡位置（摆⾓很⼩）由静⽌释放，求⼩球摆动的周期。
（2）如图3所⽰，两根长为L的轻绳⼀端分别固定于天花板上的A点和B点，另⼀端共同系⼀⼩球（可看成质点），平衡时，两绳与⽔平的夹⾓均为θ。
今将⼩球沿垂直纸⾯向外拉离平衡位置（摆⾓很⼩）由静⽌释放，求⼩球摆动的周期。
（3）如图4所⽰，三绳长均为L，上⾯两绳⼀端固定在天花板上，拉直时与⽔平成θ⾓，今将⼩球沿垂直纸⾯向外拉离平衡位置（摆⾓很⼩）由静⽌释放，求⼩球摆动的周期。
【例3】在光滑的⽔平导轨上有⼀个滚轮A，质量为2m，轴上系⼀根长为L的轻质细线，下端悬⼀质量为m的摆球B，A、B的直径均远⼩于L，如图5所⽰。
今将B球稍微拉离竖直位置后释放，摆球作⼩幅度的振动，不计空⽓阻⼒，求其振动周期。
2、准确把握重⼒加速度的概念。
根据公式2T=可知，单摆的周期与重⼒加速度有关，同时在教学中，我们也带领学⽣通过实验测定了本地的重⼒加速度的数值，然⽽不同地点的重⼒加速度值是有差异的，所以即使是同⼀个完全相同的单摆，在不同的地点摆动时，周期也存在差异。
【例4】⼀个在⼴州⾛时很准的摆钟，若到了莫斯科，则⾛时是变慢还是变快？【例5】⼀个在⼭脚下⾛时很准的摆钟，若到⼭顶上，则⾛时是变慢还是变快？【例6】⼀个在地球表⾯上⾛时很准的摆钟，若到了⽉球表⾯上，则⾛时是变慢还是变快？3、单摆周期公式等效思想在单摆和类单摆问题中的应⽤。
单摆周期公式推导
高中物理选修3-4《机械运动》相关内容 为什么单摆的周期是g l π2T =？ 阿基米道 2020年4月18日
如图所示，小球所在位置所受合力与摆线垂直，等于重力垂直于摆线的分力，θsin mg F =合
以平衡位置（虚线小球）为初位置，小球的位移
θsin l x = （此式在θ角较小时成立）
由上面两式得x l
mg -F =合 （加负号是考虑合力的方向与x 相反，x 向右，合力向左）
由牛顿第二定律可得x l
ma mg -=，化简得x l a g -= ① 设小球的位移x 与时间t 的函数关系为x(t)
因为速度)(')(t x dt
t dx v == 加速度dt dv a = 所以加速度a 是x(t)对t 求两次导，)(''t x a =
①式可写成)(g -)(''t x l
t x = ② 满足这个关系的函数只有正弦函数，既上式解得)sin()(x C Bt A t += ③ 上式中A 、B 、C 是常量，因为sin 后面是角度，所以把B 理解为角速度ω，把C 理解为初相位ϕ
所以③式写成)sin()(x ϕω+=t A t
)(x -)(Asin -)(''2
2t t t x a ωϕωω=+== 对比②式)(g -)(''t x l t x =，可得 l
g 2=ω 所以g l l g ππωπ222T =÷==
该文档视频讲解可在哔哩哔哩搜索“跟阿基米道老师学物理”，2020年4月18日发的视频。
单摆的周期与频率的计算
单摆的周期与频率的计算单摆是一种简单的物理实验装置，由一个质点通过细绳或细杆与一个固定点相连而构成。
单摆的周期和频率是研究单摆运动规律的重要参数。
本文将介绍单摆的周期与频率的计算方法，帮助读者深入了解和应用这些概念。
1. 单摆的基本概念单摆由一个质点和一个不可伸长的轻细绳（或细杆）构成，质点在重力的作用下沿着一个垂直平面做简谐运动。
单摆的周期是指质点从一个极端位置运动到另一个极端位置所需要的时间，通常用符号T表示。
频率则表示单位时间内发生的周期数，用符号f表示，单位是赫兹（Hz）。
2. 单摆的周期计算单摆的周期与摆长、重力加速度以及摆角的大小有关。
根据单摆摆动的动能和重力势能相互转化的特点，我们可以推导出单摆的周期公式为：T = 2π√(L/g)其中，T表示周期，L表示摆长，g表示重力加速度（在地球上约为9.8 m/s²）。
通过这个公式，我们可以计算出单摆的周期。
3. 单摆的频率计算频率是周期的倒数，可以表示每秒钟发生的周期数。
因此，单摆的频率计算公式为：f = 1/T其中，f表示频率，T表示周期。
通过这个公式，我们可以计算出单摆的频率。
4. 举例演示假设一个单摆的摆长为1.2米，重力加速度为9.8 m/s²，我们可以通过上述公式来计算它的周期和频率。
首先，计算周期：T = 2π√(L/g)≈ 2π√(1.2/9.8)≈ 2π√(0.122)≈ 2π×0.349≈ 2.194秒然后，计算频率：f = 1/T≈ 1/2.194≈ 0.456 Hz所以，这个单摆的周期约为2.194秒，频率约为0.456 Hz。
5. 应用拓展单摆的周期和频率不仅可以用于理论计算，还可以应用于实际生活和实验中。
比如可以通过测量不同摆长的单摆的周期来验证周期与摆长的关系，也可以通过调整振动角度来研究周期与振动角度的关系。
此外，单摆的周期和频率还可以与其他物理规律结合，例如与阻尼振动、双摆运动等相关。
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单摆周期公式的一般性推导
平动非惯性参考系中单摆的周期问题在一些竞赛题中经常考到，学生们多是运用等效的物理思想，求得等效重力加速度a'，代替惯性参考系中在只有重力和摆线张力作用下的单
摆的周期公式2
T=中的重力加速度值g，从而得到答案。
这里的加速度a'是指除摆
线的张力外，摆球所受其他力的合力所产生的加速度。
下面举两个例子试说明之：
例1以加速度a向上加速的电梯顶上挂一摆线长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为？
图1
解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力mg和竖直向下的惯性力ma，如图1所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度，为a g a
'=+，代替上
式中的g
，即得此单摆的周期2
T=。
例2以加速度a向右加速运动的小车顶上挂一摆长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为？
图2
解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力mg和水平向左的惯性力ma，
如图2
所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度，为a'=
a
a
a
a
替上式中的g
，即得此单摆的周期2T =
上述两例均是从等效原理出发，找到等效重力加速度代入公式即得。
但很多时候学生往往不能接受这种等效处理方式，认为有些牵强。
而且这种做法也的确是机械的代公式求答案，对学生思维能力的提高并没有提供很好的帮助。
笔者在给竞赛班学生上课时给出了平动非惯性参考系中单摆周期公式的一般性推导，其过程如下：
如图3所示，K x o y -为惯性参考系，K x o y ''''-为
相对于K 系以加速度000()a x i y
j =+
运动的非惯性平动参考系，其中00(,)x y 为o '在惯性参考系中的坐标。
在K '系中，摆球受重力mg
，摆线张力T F 及惯性力00()f m x i y
j =-+ 惯三个力的作用。
如图3，设摆球在平衡位置时偏离竖直方向0θ角，摆球在平衡位置时切向力为零
则有方程 0000()sin cos (1)mg my
mx θθ+= 又因为 2
200sin cos 1 (2)θθ+=
解(1)(2)得
0sin θ=
0cos (4)θ=
x
y
x '
图3
如图4所示，在K '系中，假设摆球任一时刻相对于平衡位置的摆角为θ
摆球受重力mg
，摆线张力T F 及惯性力00()f m x i y j =-+ 惯三个力的作用。
切向力与
角位移反号，促使小球返回平衡位置。
设θ
为摆角角加速度，则沿摆球运动切向有方程 00000sin()sin()cos() (5)mg my mx ml θθθθθθθ+++-+=-
整理有
0000()sin()cos() (6)g y x
l θθθθθ++-+=- 即
000000()(sin cos cos sin )(cos cos sin sin ) (7)g y x
l θθθθθθθθθ++--=- 亦即
[][]00000000()sin cos cos ()cos sin sin (8)g y x g y x l θθθθθθθ+-+++=-
把(3)(4)代入上式，因为θ角很小，故取sin θθ≈，cos 1θ≈，则有
(9)l θ=-
0 (10)θ
+=
令
2
ω=
则
22T π
π
ω=
=
x '
y '
图4
o
上式即为平动非惯性参考系中单摆的周期公式。
可以验证利用上式解例1、例2所得到的结果和用等效处理所得到的结果是一致的。
我们再看一道例题：
例3 如图5所示，在倾角为ϕ的固定光滑斜面上有一从静止开始下滑的小车，车厢顶上有
一摆长为l 的单摆，摆球质量为m ，求此摆的周期。
解：车为非惯性平动参考系，其相对地面沿斜面向下的加速度sin a g ϕ=，故
0cos sin cos x a g ϕϕϕ=-=- ，0sin sin sin y
a g ϕϕϕ=-=- 代入(11)式有
22T ==我们再来用求等效重力加速度的方法求解此题：如图6所示
摆球所受的摆线张力以外的其它力为向下的重力mg 和沿斜面向上的惯性力
sin f g ϕ=惯。
这两个力的合力所产生的等效重力加速度a '可由余弦定理求得
cos a g ϕ'=
=
a =图5
sin ϕ
'ϕ
- 图6
T==
故周期22
可见，两种方法所得到的结果是一致的。
虽然公式(11)的导出稍显麻烦，但其推导过程更令学生信服，其结果更具说服力和一般性。
我们在竞赛教学中不仅要注意给学生灌输一定的物理思想，更要注意借助一定的数学推导求出一般的定量的结论。
当然最好是这两者结合起来才能收到事半功倍的效果。