单摆周期公式的一般性推导

单摆周期公式的一般性推导

平动非惯性参考系中单摆的周期问题在一些竞赛题中经常考到，学生们多是运用等效的物理思想，求得等效重力加速度a'，代替惯性参考系中在只有重力和摆线张力作用下的单

摆的周期公式2

T=中的重力加速度值g，从而得到答案。这里的加速度a'是指除摆

线的张力外，摆球所受其他力的合力所产生的加速度。下面举两个例子试说明之：

例1以加速度a向上加速的电梯顶上挂一摆线长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为？

图1

解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力mg和竖直向下的惯性力ma，如图1所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度，为a g a

'=+，代替上

式中的g

，即得此单摆的周期2

T=。

例2以加速度a向右加速运动的小车顶上挂一摆长为l的单摆，摆球质量为m，则单摆的周期为？

图2

解：摆球所受的除摆线张力之外的力只有竖直向下的重力mg和水平向左的惯性力ma，

如图2

所示，这两个力的合力所产生的加速度即为等效重力加速度，为a'=

a

a

a

a

替上式中的g

，即得此单摆的周期2T =

上述两例均是从等效原理出发，找到等效重力加速度代入公式即得。但很多时候学生往往不能接受这种等效处理方式，认为有些牵强。而且这种做法也的确是机械的代公式求答案，对学生思维能力的提高并没有提供很好的帮助。

笔者在给竞赛班学生上课时给出了平动非惯性参考系中单摆周期公式的一般性推导，其过程如下：

如图3所示，K x o y -为惯性参考系，K x o y ''''-为

相对于K 系以加速度000()a x i y

j =+

运动的非惯性平动参考系，其中00(,)x y 为o '在惯性参考系中的坐标。在K '系中，摆球受重力mg

，摆线张力T F 及惯性力00()f m x i y

j =-+ 惯三个力的作用。

如图3，设摆球在平衡位置时偏离竖直方向0θ角，摆球在平衡位置时切向力为零

则有方程 0000()sin cos (1)mg my

mx θθ+= 又因为 2

200sin cos 1 (2)θθ+=

解(1)(2)得

0sin θ=

0cos (4)θ=

x

y

x '

图3

如图4所示，在K '系中，假设摆球任一时刻相对于平衡位置的摆角为θ

摆球受重力mg

，摆线张力T F 及惯性力00()f m x i y j =-+ 惯三个力的作用。切向力与

角位移反号，促使小球返回平衡位置。设θ

为摆角角加速度，则沿摆球运动切向有方程 00000sin()sin()cos() (5)mg my mx ml θθθθθθθ+++-+=-

整理有

0000()sin()cos() (6)g y x

l θθθθθ++-+=- 即

000000()(sin cos cos sin )(cos cos sin sin ) (7)g y x

l θθθθθθθθθ++--=- 亦即

[][]00000000()sin cos cos ()cos sin sin (8)g y x g y x l θθθθθθθ+-+++=-

把(3)(4)代入上式，因为θ角很小，故取sin θθ≈，cos 1θ≈，则有

(9)l θ=-

0 (10)θ

+=

令

2

ω=

则

22T π

π

ω=

=

x '

y '

图4

o

上式即为平动非惯性参考系中单摆的周期公式。

可以验证利用上式解例1、例2所得到的结果和用等效处理所得到的结果是一致的。我们再看一道例题：

例3 如图5所示，在倾角为ϕ的固定光滑斜面上有一从静止开始下滑的小车，车厢顶上有

一摆长为l 的单摆，摆球质量为m ，求此摆的周期。

解：车为非惯性平动参考系，其相对地面沿斜面向下的加速度sin a g ϕ=，故

0cos sin cos x a g ϕϕϕ=-=- ，0sin sin sin y

a g ϕϕϕ=-=- 代入(11)式有

22T ==我们再来用求等效重力加速度的方法求解此题：如图6所示

摆球所受的摆线张力以外的其它力为向下的重力mg 和沿斜面向上的惯性力

sin f g ϕ=惯。这两个力的合力所产生的等效重力加速度a '可由余弦定理求得

cos a g ϕ'=

=

a =图5

sin ϕ

'ϕ

- 图6

T==

故周期22

可见，两种方法所得到的结果是一致的。虽然公式(11)的导出稍显麻烦，但其推导过程更令学生信服，其结果更具说服力和一般性。我们在竞赛教学中不仅要注意给学生灌输一定的物理思想，更要注意借助一定的数学推导求出一般的定量的结论。当然最好是这两者结合起来才能收到事半功倍的效果。