线性代数及其应用术语要点中英对照
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Chapter 1‐Review
1. 线性方程组 Systems of Linear Equations (Linear System) 未知数（或变元） 有 m 个方程 n 个未知数(x1,x2,…xn)的线性方程组可表示为： 1) 2) 3) 4) ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi (1 ≤ i≤ m) x1a1 + x2a2 + … + xnan = b (a1,a2,…an, b 为 m 维列向量) Ax=b (A 是 m× n 矩阵；x，b 为 m 维列向量) Augmented matrix(增广矩阵) -
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Then vector y is called a linear combination of the vectors v1, v2,…vp 注：与线性方程组结合 b = x1a1 + x2a2 + … + xnan (a1,a2,…an, b 为向量; x1, x2,…xp 为标量) 有解 ≡ b 是 a1,a2,…an 的线性组合 8. 线性无关/ 相关（Linear Independent / Dependent） [P65]
关键词： m 维空间 [P28]; subset of spanned (or generated) by v1, v2,…vp 由 v1, v2,…vp 张成(或生成的)的 的子空间[P35]; 中的每一个向量 b， 线性方程组 Ax = 1) For each b in , the system Ax = b has a solution.对于 b 都有一个解 2) Each b in is a linear combination of the columns of A. 中的每一个向量 b 都是矩阵 A 的 列向量的线性组合 3) The columns of A span 矩阵 A 的列向量生成 4) The matrix A has a pivot position in every row. 矩阵 A 每一行都有一个主元位置 注：1）- 3）根据定义显然成立；4）可用定理 2 采用反证法 10. 补充齐次方程组基础解系定理（ Additional Theorem of basic solutions of a homogenous linear system） 关键词：basic solutions (基础解系) [讲义 P17 定理 5.3]
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[P50]
free variable 至少有一个自由变量 注：结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！ Additionally, 此外：if r = #{pivot positions}, p = #{free variables}, n = #{variables} then r+p = n, #{} - number of {ζ} （ζ 的个数） 注：看简化阶梯形 6. 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构 定 理 （ Structure of Solution Set of Nonhomogeneous System） 关键词：nonhomogeneous system 非齐次线性方程组[P50]; Let v0 be a solution of a nonhomogeneous system Ax = b. Let H be the set of general solutions of the corresponding homogeneous system Ax = 0. Suppose the solution set of Ax = b is S Then S = H + v0 如果 v0 是非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解，H 是对应齐次线性方程组 Ax = 0 的通解。 （Ax = 0 也称为 Ax = b 的导出组） 则 Ax = b 的通解是 S = H + v0
[P3 ]
关键词： coefficient 系数[P2]; constant term 常数 （项） [讲义‐P1]; linear equation 线性方程 [P2]； variable
(其中第 j(1 ≤ j ≤n)列是变元 xj 的系数) 2. 1) 2) 线性方程组解的情况（Solution Status） No solution 无解 Has Solution 有解 a) Exactly one solution (unique solution) b) Infinitely many solutions 无穷多解 阶梯形（Echelon Forms） [P4]
1 1
~
[P24]
解的存在性与唯一性定理 （Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem）
关键词：pivot column 主元列[P16]; echelon form 阶梯形[P16]；
No [0 0 … 0 | b ] b ≠ 0 ≡ Has solution
i i
No free variables ~ unique solution ≥1 free variable ~ infinitely many solutions 5. 齐次线性方程组非零解的条件（ Condition of Homogeneous System Having Non-Trivial Solution） 关键词：homogeneous system 齐次线性方程组[P50] ; Ax = 0[P50]; non-trivial solutions 非零解/ 非平凡解[P51]; free variable 自由变量[P20] ; Homogeneous system has non-trivial solutions 齐次线性方程组有非零解 ~ at least one
注：Proof
[P53]
h∈ H, (h+ v0) ∈ S ; so, H S; （ 1） Now, v ∈ S, v- v0 ∈ H, since A (v- v0) = Av - Av0 = b-b = 0; Because v- v0 + v0 ∈ H + v0 Consequently: v ∈ H + v0 and thus S H （2） Given (1) and (2), we now have S = H. Apparently, E.g.: (Examples 5.1 and 5.2) Ax = 0:
2)
The leading entry of each nonzero row is 1 每一非零行的先导元素都是 1 Each leading 1 is the ONLY nonzero entry of its column 先导元素是其所在列唯一非零元 素 注：与线性方程组结合：
~
4.
■
H= Ax = b:
V0 =
S = v0 + H = 7. 线性组合（Linear Combination） [P32] 关键词：vectors 向量 v1, v2,…vp[P32]; scalar 标量 c1, c2,…cp [P29]; If y = c1v1 + c2v2+…+cpvp
关键词： trivial solutions 非零解/非平凡解[P51]; m 维空间 [P28]; 1) Definition [P65] Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent if x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 has only the trivial solution. (x1 x2 …xn are all 0) 如果方程组 x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 只有零解 (x1 x2 …xn 全是 0)，则 a1 , a2 ,…an 线性无关。 Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear independent if x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 if x1 x2 …xn are not all 0. （x1 x2 …xn 不全是 0） ， 则向量组 a1 , a2 ,…an 线性相关。 若方程组 x1a1 + x2a2 + … + xnan 有非零解 2) Theorem 7 Characterization of Linearly Dependent 定理 7 线性相关和线性组合的关系定理 [P68] Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent ~ Exist vector ai (1 ≤ i≤ n), which is a linear combination of the other vectors 向量组{a1 , a2 ,…an } 线性相关 ~ 存在某向量 ai (1 ≤ i≤ n)是其它向量的线性组合 注： 由线性相关定义 x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0， x1 x2 …xn 不全是 0 则线性相关。 设 xi ≠ 0 (1 ≤ i≤ n), 把 xiai 移到等式另一边 xiai = -（x1a1 + x2a2 + … + xnan） ，然后两边除以 xi （因为 xi ≠ 0） 即得证向量 ai (1 ≤ i≤ n)是其它向量的线性组合（还不懂？看线性组合定义 100 遍☺） 。 3) Theorem 8 Determine Linearly Dependency by Investigating Vector Dimension and Number 由向量个数与维数判断相关性定理[P68] is linear dependent if n > m r ai (1 ≤ i≤ n), which is a linear Vector set {a1 , a2 ,…an } in combination of the other vectors 如果向量组中向量个数 n 大于向量的维数 m,则向量组线性相关。 注：不知如何证明？看本表第 5 项 100 遍☺ 。 4) Theorem 9 Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent if there exists ai= 0（1 ≤ i≤ n) {a1 , a2 ,…an } ， ai= 0（1 ≤ i≤ n) {a1 , a2 ,…an }线性相关 注：还是不知如何证明？看本格上面的定义 100 遍☺ 。 9. 等价定理（Theorem 4） [P43]
唯一解 [P14]
3.ห้องสมุดไป่ตู้
关键词：leading entry 先导元素 [P14]; pivot position 主元位置[P16]; 1) 3 conditions of echelon form matrix 阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）: a) A zero row is not above on any nonzero row 所有非零行都在零行上部 b) Each leading entry of a row is on the right of the leading entry of the previous row 每行的先 导元素都在上一行先导元素的右边 In each column, an entry below the leading entry is 0 与先导元素同列且在其下部的元素全 为0 2 additional conditions of Reduced Echelon Forms 简化阶梯形的额外两个性质： c) a) b)
1. 线性方程组 Systems of Linear Equations (Linear System) 未知数（或变元） 有 m 个方程 n 个未知数(x1,x2,…xn)的线性方程组可表示为： 1) 2) 3) 4) ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi (1 ≤ i≤ m) x1a1 + x2a2 + … + xnan = b (a1,a2,…an, b 为 m 维列向量) Ax=b (A 是 m× n 矩阵；x，b 为 m 维列向量) Augmented matrix(增广矩阵) -
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Then vector y is called a linear combination of the vectors v1, v2,…vp 注：与线性方程组结合 b = x1a1 + x2a2 + … + xnan (a1,a2,…an, b 为向量; x1, x2,…xp 为标量) 有解 ≡ b 是 a1,a2,…an 的线性组合 8. 线性无关/ 相关（Linear Independent / Dependent） [P65]
关键词： m 维空间 [P28]; subset of spanned (or generated) by v1, v2,…vp 由 v1, v2,…vp 张成(或生成的)的 的子空间[P35]; 中的每一个向量 b， 线性方程组 Ax = 1) For each b in , the system Ax = b has a solution.对于 b 都有一个解 2) Each b in is a linear combination of the columns of A. 中的每一个向量 b 都是矩阵 A 的 列向量的线性组合 3) The columns of A span 矩阵 A 的列向量生成 4) The matrix A has a pivot position in every row. 矩阵 A 每一行都有一个主元位置 注：1）- 3）根据定义显然成立；4）可用定理 2 采用反证法 10. 补充齐次方程组基础解系定理（ Additional Theorem of basic solutions of a homogenous linear system） 关键词：basic solutions (基础解系) [讲义 P17 定理 5.3]
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[P50]
free variable 至少有一个自由变量 注：结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！ Additionally, 此外：if r = #{pivot positions}, p = #{free variables}, n = #{variables} then r+p = n, #{} - number of {ζ} （ζ 的个数） 注：看简化阶梯形 6. 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构 定 理 （ Structure of Solution Set of Nonhomogeneous System） 关键词：nonhomogeneous system 非齐次线性方程组[P50]; Let v0 be a solution of a nonhomogeneous system Ax = b. Let H be the set of general solutions of the corresponding homogeneous system Ax = 0. Suppose the solution set of Ax = b is S Then S = H + v0 如果 v0 是非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解，H 是对应齐次线性方程组 Ax = 0 的通解。 （Ax = 0 也称为 Ax = b 的导出组） 则 Ax = b 的通解是 S = H + v0
[P3 ]
关键词： coefficient 系数[P2]; constant term 常数 （项） [讲义‐P1]; linear equation 线性方程 [P2]； variable
(其中第 j(1 ≤ j ≤n)列是变元 xj 的系数) 2. 1) 2) 线性方程组解的情况（Solution Status） No solution 无解 Has Solution 有解 a) Exactly one solution (unique solution) b) Infinitely many solutions 无穷多解 阶梯形（Echelon Forms） [P4]
1 1
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[P24]
解的存在性与唯一性定理 （Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem）
关键词：pivot column 主元列[P16]; echelon form 阶梯形[P16]；
No [0 0 … 0 | b ] b ≠ 0 ≡ Has solution
i i
No free variables ~ unique solution ≥1 free variable ~ infinitely many solutions 5. 齐次线性方程组非零解的条件（ Condition of Homogeneous System Having Non-Trivial Solution） 关键词：homogeneous system 齐次线性方程组[P50] ; Ax = 0[P50]; non-trivial solutions 非零解/ 非平凡解[P51]; free variable 自由变量[P20] ; Homogeneous system has non-trivial solutions 齐次线性方程组有非零解 ~ at least one
注：Proof
[P53]
h∈ H, (h+ v0) ∈ S ; so, H S; （ 1） Now, v ∈ S, v- v0 ∈ H, since A (v- v0) = Av - Av0 = b-b = 0; Because v- v0 + v0 ∈ H + v0 Consequently: v ∈ H + v0 and thus S H （2） Given (1) and (2), we now have S = H. Apparently, E.g.: (Examples 5.1 and 5.2) Ax = 0:
2)
The leading entry of each nonzero row is 1 每一非零行的先导元素都是 1 Each leading 1 is the ONLY nonzero entry of its column 先导元素是其所在列唯一非零元 素 注：与线性方程组结合：
~
4.
■
H= Ax = b:
V0 =
S = v0 + H = 7. 线性组合（Linear Combination） [P32] 关键词：vectors 向量 v1, v2,…vp[P32]; scalar 标量 c1, c2,…cp [P29]; If y = c1v1 + c2v2+…+cpvp
关键词： trivial solutions 非零解/非平凡解[P51]; m 维空间 [P28]; 1) Definition [P65] Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent if x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 has only the trivial solution. (x1 x2 …xn are all 0) 如果方程组 x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 只有零解 (x1 x2 …xn 全是 0)，则 a1 , a2 ,…an 线性无关。 Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear independent if x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 if x1 x2 …xn are not all 0. （x1 x2 …xn 不全是 0） ， 则向量组 a1 , a2 ,…an 线性相关。 若方程组 x1a1 + x2a2 + … + xnan 有非零解 2) Theorem 7 Characterization of Linearly Dependent 定理 7 线性相关和线性组合的关系定理 [P68] Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent ~ Exist vector ai (1 ≤ i≤ n), which is a linear combination of the other vectors 向量组{a1 , a2 ,…an } 线性相关 ~ 存在某向量 ai (1 ≤ i≤ n)是其它向量的线性组合 注： 由线性相关定义 x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0， x1 x2 …xn 不全是 0 则线性相关。 设 xi ≠ 0 (1 ≤ i≤ n), 把 xiai 移到等式另一边 xiai = -（x1a1 + x2a2 + … + xnan） ，然后两边除以 xi （因为 xi ≠ 0） 即得证向量 ai (1 ≤ i≤ n)是其它向量的线性组合（还不懂？看线性组合定义 100 遍☺） 。 3) Theorem 8 Determine Linearly Dependency by Investigating Vector Dimension and Number 由向量个数与维数判断相关性定理[P68] is linear dependent if n > m r ai (1 ≤ i≤ n), which is a linear Vector set {a1 , a2 ,…an } in combination of the other vectors 如果向量组中向量个数 n 大于向量的维数 m,则向量组线性相关。 注：不知如何证明？看本表第 5 项 100 遍☺ 。 4) Theorem 9 Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent if there exists ai= 0（1 ≤ i≤ n) {a1 , a2 ,…an } ， ai= 0（1 ≤ i≤ n) {a1 , a2 ,…an }线性相关 注：还是不知如何证明？看本格上面的定义 100 遍☺ 。 9. 等价定理（Theorem 4） [P43]
唯一解 [P14]
3.ห้องสมุดไป่ตู้
关键词：leading entry 先导元素 [P14]; pivot position 主元位置[P16]; 1) 3 conditions of echelon form matrix 阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）: a) A zero row is not above on any nonzero row 所有非零行都在零行上部 b) Each leading entry of a row is on the right of the leading entry of the previous row 每行的先 导元素都在上一行先导元素的右边 In each column, an entry below the leading entry is 0 与先导元素同列且在其下部的元素全 为0 2 additional conditions of Reduced Echelon Forms 简化阶梯形的额外两个性质： c) a) b)