二阶常微分方程的数值求解
二阶常微分方程的数值求解 ppt课件
zk 1
zk
h 6
( L1
2 L2
2 L3
L4 ),
K1 zk , L1 f ( xk , yk , zk ),
K
2
zk
h 2
L1 ,
h
h
h
L2 f ( xk 2 , yk 2 K1 , zk 2 L1 ),
Байду номын сангаас
K3
zk
h 2
L2 ,
h
h
h
L3 f ( xk 2 , yk 2 K 2 , zk 2 L2 ),
%***** R-K4 Method*****% K1=RK_z(i); L1=rightf_sy二s1阶(x常(i微),分R方K程_y的(数i),值R求K解_z(i)); K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;
% K1 and L1
L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); % K2 and L2
clc;clear; h=0.1; a=0;b=2; x=a:h:b; y(1)=1; z(1)=-1; for i=1:length(x)-1
y(i+1)=y(i)+h*z(i); z(i+1)=z(i)+h*y(i); end plot(x,y,'r+',x,exp(-x),'k-'); xlabel('Variable x'); ylabel('Variable y');
二阶常微分方程的数值求解
二阶常微分方程的数值求解
一. 教学要求
求常微分方程的数值解
求常微分方程的数值解一、背景介绍常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是描述自然界中变化的数学模型。
常微分方程的解析解往往难以求得，因此需要寻找数值解来近似地描述其行为。
求解常微分方程的数值方法主要有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等。
二、数值方法1. 欧拉法欧拉法是最简单的求解常微分方程的数值方法之一。
它基于导数的定义，将微分方程转化为差分方程，通过迭代计算得到近似解。
欧拉法的公式如下：$$y_{n+1}=y_n+f(t_n,y_n)\Delta t$$其中，$y_n$表示第$n$个时间步长处的函数值，$f(t_n,y_n)$表示在$(t_n,y_n)$处的导数，$\Delta t$表示时间步长。
欧拉法具有易于实现和理解的优点，但精度较低。
2. 改进欧拉法（Heun方法）改进欧拉法又称Heun方法或两步龙格-库塔方法，是对欧拉法进行了精度上提升后得到的一种方法。
它利用两个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
改进欧拉法的公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\Delta t,y_n+k_1\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{2}(k_1+k_2)\Delta t$$改进欧拉法比欧拉法精度更高，但计算量也更大。
3. 龙格-库塔法（RK4方法）龙格-库塔法是求解常微分方程中最常用的数值方法之一。
它通过计算多个斜率来近似函数值，并通过加权平均来计算下一个时间步长处的函数值。
RK4方法是龙格-库塔法中最常用的一种方法，其公式如下：$$k_1=f(t_n,y_n)$$$$k_2=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_1\Delta t}{2})$$ $$k_3=f(t_n+\frac{\Delta t}{2},y_n+\frac{k_2\Delta t}{2})$$ $$k_4=f(t_n+\Delta t,y_n+k_3\Delta t)$$$$y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\Delta t$$三、数值求解步骤对于给定的常微分方程，可以通过以下步骤求解其数值解：1. 确定初值条件：确定$t=0$时刻的函数值$y(0)$。
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程
微分方程数值解使用数值方法求解微分方程微分方程是描述自然现象中变化的数学模型，它是数学和科学研究中的重要工具。
然而，许多微分方程并没有精确的解析解，因此需要使用数值方法来近似求解。
本文将介绍一些常用的数值方法来求解微分方程，包括欧拉方法、改进的欧拉方法和龙格-库塔方法。
一、欧拉方法欧拉方法是最简单、最基础的数值方法之一。
它基于微分方程解的定义，通过离散化自变量和因变量来逼近解析解。
假设我们要求解的微分方程为dy/dx = f(x, y)，初始条件为y(x0) = y0。
将自变量x分割成若干个小区间，步长为h，得到x0, x1, x2, ..., xn。
根据微分方程的定义，我们可以得到递推公式 yn+1 = yn + h*f(xn, yn)。
用代码表示即为：```def euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*fnx.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```二、改进的欧拉方法欧拉方法存在着局部截断误差，即在每个小区间上的误差。
改进的欧拉方法是对欧拉方法的改进，可以减小截断误差。
它的递推公式为yn+1 = yn + h*(f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1))/2。
用代码表示即为：```def improved_euler_method(f, x0, y0, h, n):x = [x0]y = [y0]for i in range(n):xn = x[i]yn = y[i]fn = f(xn, yn)xn1 = xn + hyn1 = yn + h*(fn + f(xn1, yn + h*fn))/2x.append(xn1)y.append(yn1)return x, y```三、龙格-库塔方法龙格-库塔方法是一种更加精确的数值方法，它通过计算多个递推式的加权平均值来逼近解析解。
常微分方程数值解法2线性多步法
03
常见的线性多步法
欧拉方法
总结词
欧拉方法是常微分方程数值解法中最简单的一种方法，它基于线性近似，通过已知的函 数值来估计新的函数值。
详细描述
欧拉方法的基本思想是利用已知的函数值来估计下一个点的函数值。具体来说，假设我 们有一个函数 (y = f(x))，在已知 (x_0) 处的函数值 (y_0 = f(x_0)) 的情况下，欧拉方法 通过线性插值来估计 (x_1) 处的函数值 (y_1)，即 (y_1 = y_0 + h f(x_0))，其中 (h) 是
05
线性多步法的优缺点
优点
稳定性好
线性多步法在处理常微分方程时具有较好的数值稳定性， 能够有效地抑制数值振荡，提高计算结果的精度。
01
易于实现
线性多步法的计算过程相对简单，易于 编程实现，适合于大规模数值计算。
02
03
精度可调
通过选择不同的步长和线性多步法公 式，可以灵活地调整计算结果的精度， 满足不同的数值模拟需求。
改进方法的收敛性
研究收敛性条件
深入研究线性多步法的收敛性条件，了解哪些情况下方法可能不收 敛，并寻找改进措施。
优化迭代算法
通过优化迭代算法，提高方法的收敛速度和精度，减少迭代次数， 提高计算效率。
引入预处理技术
利用预处理技术对线性系统进行预处理，改善系统的条件数，提高方 法的收敛性。
拓展应用领域
在工程问题中的应用
控制系统设计
在工程领域中，线性多步法可以用于控制系统设计，通过 建立控制系统的数学模型，设计控制算法和控制器，实现 系统的稳定性和性能优化。
常微分方程数值解
常微分方程数值解常微分方程数值解是数学中的一门重要学科，主要研究如何求解常微分方程，在科学计算中有着重要的应用。
常微分方程模型是自然界中广泛存在的现象描述方法，有着广泛的应用领域。
比如，在物理学中，运动中的物体的位置、速度和加速度随时间的关系就可以通过微分方程描述；在经济学中，经济变化随时间的变化也可以用微分方程来描述。
而常微分方程数值解的求解方法则提供了一种快速、高效的计算手段。
一、常微分方程数值解的基本概念常微分方程就是一个描述自变量（通常是时间）与其导数之间关系的方程。
其一般形式如下：$\frac{dy}{dt} = f(y,t)$其中 $f(y,t)$ 是一个已知的函数。
常微分方程数值解就是对于一个常微分方程，对其进行数字计算求解的方法。
常微分方程数值解常使用数值积分的方法来求解。
由于常微分方程很少有解析解，因此数值解的求解方法显得尤为重要。
二、常微分方程数值解的求解方法常微分方程数值解的求解方法很多，以下介绍其中两种方法。
1.欧拉法欧拉法是最简单的一种数值算法，其思想是通过将一个微分方程转化为一个数值积分方程来求解。
其数值积分方程为：$y_{i+1}=y_i+hf(y_i,t_i)$其中 $h$ 为步长，可以理解为每次计算的间隔。
欧拉法的主要缺点是其精度比较低，收敛速度比较慢。
因此，当需要高精度的数值解时就需要使用其他的算法。
2.级数展开方法级数展开法是通过将一个待求解的微分方程进行Taylor级数展开来求解。
通过对Taylor级数展开的前若干项进行求和，可以得到微分方程与其解的近似解。
由于级数展开法的收敛速度很快，因此可以得到相对较高精度的数值解。
但是，当级数过多时，会出现截断误差。
因此，在实际应用中需要根据所需精度和计算资源的限制来选择适当的级数。
三、常微分方程数值解的应用常微分方程数值解在现代科学技术中有着广泛的应用。
以下介绍其中两个应用领域。
1.物理建模常微分方程的物理建模是常见的应用领域。
二阶代数精度的证明
二阶代数精度的证明一、引言在数值计算中，代数精度是评估数值方法误差的一个重要指标。
对于一个数值方法而言，如果它能够以二阶代数精度逼近解析解，那么我们可以说该方法具有较高的精度。
本文将探讨二阶代数精度的证明，包括定义、推导和具体例子。
二、定义2.1 代数精度代数精度是指数值方法逼近解析解的误差大小。
对于一个数值方法，如果它以二阶代数精度逼近解析解，那么它的误差可以表示为：|E(ℎ)|=C⋅ℎ2其中，E(ℎ)是数值方法的误差，ℎ是步长，C是一个常数。
2.2 步长步长ℎ是指在数值方法中，自变量的取值间隔。
对于微分方程求解问题，步长即是网格点之间的距离。
较小的步长可以提高数值方法的精度，但也会增加计算量。
三、推导3.1 泰勒展开为了证明一个数值方法具有二阶代数精度，我们需要使用泰勒展开。
泰勒展开可以将一个函数在某一点的附近用多项式表示，具体形式如下：f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ℎ22f″(x)+O(ℎ3)其中，f′(x)和f″(x)分别表示函数f(x)在点x处的一阶和二阶导数。
3.2 数值方法的逼近误差假设我们有一个数值方法，用于求解微分方程。
我们将步长ℎ取得很小，那么在每个网格点处，数值方法的逼近误差可以表示为：E i(ℎ)=u(x i)−u i其中，u(x i)是解析解在网格点x i处的值，u i是数值方法在网格点x i处的值。
3.3 利用泰勒展开推导逼近误差我们可以利用泰勒展开推导数值方法的逼近误差。
以一阶导数为例，将f(x+ℎ)展开到二阶项，可以得到：f(x+ℎ)=f(x)+ℎf′(x)+ℎ22f″(x)+O(ℎ3)将上式中的f(x)替换为u(x)，f′(x)替换为u′(x)，f″(x)替换为u″(x)，得到：u(x+ℎ)=u(x)+ℎu′(x)+ℎ22u″(x)+O(ℎ3)将上式中的x替换为x i，ℎ替换为ℎi，得到：u(x i+ℎi)=u(x i)+ℎi u′(x i)+ℎi22u″(x i)+O(ℎi3)将上式左边的u(x i+ℎi)替换为u i，得到：u i=u(x i)+ℎi u′(x i)+ℎi22u″(x i)+O(ℎi3)将上式两边的u(x i)相减，得到：E i(ℎi)=ℎi u′(x i)+ℎi22u″(x i)+O(ℎi3)将上式整理，得到：E i(ℎi)=C1ℎi+C2ℎi2+O(ℎi3)其中，C1=u′(x i)，C2=12u″(x i)。
二阶常微分方程的数值求解省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
一. 教学要求
掌握利用降阶把二阶常微分方程转化为一阶微分 方程组，再利用Euler措施数值求解,并能利用MATLAB 软件进行数值计算和符号运算。
二. 教学过程
考虑如下旳二阶微分方程初值问题
d2y dx2 f ( x, y, y ') , y(a) y0 , y '(a) y1, x [a, b]
数值解与真解如下图
例2：利用4阶R-K措施求解例1，并与Euler措施 进行比较。
解 当 h=0.1，即 n=20 时，R-K措施旳Matlab 源程序见
RK_sys1.m，数值成果见下图
rightf_sys1.m
function w=rightf_sys1(x,y,z) w=y;
RK_sys1.m
zk 1
zk
h 6
( L1
2L2
2L3
L4
),
K1 zk , L1 f ( xk , yk , zk ),
K
2
zk
h 2
L1 ,
hh
h
L2 f ( xk 2 , yk 2 K1, zk 2 L1),
K3
zk
h 2
xk 2 , yk 2 K2 , zk 2 L2 ),
>> syms x y >> S=dsolve('D2y=cos(2*x)-y','y(0)=1','Dy(0)=0','x')
则能够得到如下旳成果
S=
4/3*cos(x)-1/3*cos(2*x)
注意：只有极少一部分微分方程（组）能求出解析解。 大部分微分方程（组）只能利用数值措施求数值解。
二阶常微分方程边值问题数值方法
其中 p( x),q( x)为,r已( x知) 函数，则由常微分方程的理论知，通过
变量替换总可以消去方程中的 项，不妨y设 变换后的方程为
y( x) q( x) y( x) r( x)
y(a) ,
y(b)
则近似差分方程成离散差分方程为
yi 1
2 yi h2
yi 1
qi
yi
ri
其中 qi q( xi ), ri r( xi ), i 1,2, , n. y0 ,
第一边界问题：
y0 , yn1
(8.9)
第二边界问题：
y1 y0 h , yn1 yn h
(8.10)
第三边界问题：
y1 (1 0h) y0 1h,
(1 0h) yn1 yn 1h
(8.11)
若 f ( x, y,是y) 的y线, y性 函数时，f 可写成
f (x, y, y) p(x) y( x) q( x) y(x) r( x)
以
y
为待定参数。
0
对第三类边界问题，仍可转化为考虑初值问题(8.5)，取
y0 ,
y0 1 0 y0 ，以 y为0 待定参数。
8.2 有限差分法
将区间[a,b]进行等分：
h
ba, n1
xi
a ih, i 0,1,
,n 1,
设在
x xi , i 0,1, , n 1处的数值解为 。 yi 用中心差分近似微分，即
而且还有误差估
计：
Ri
y( xi )
yi
M 24
h2
(
xi
a)(b xi )
其中 M max y(4。) ( x)
x[a ,b]
6.5 常微分方程数值求解0217
专题六数值微积分与方程求解6.5 常微分方程数值求解☐常微分方程数值求解的一般概念☐常微分方程数值求解函数☐刚性问题1．常微分方程数值求解的一般概念求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程：y'=f(t,y)，t 0≤t≤by(t 0)=y 0所谓其数值解法，就是求y(t)在离散结点t n 处的函数近似值y n 的方法，y n ≈y (x n )。
这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。
相邻两个结点之间的距离称为步长。
☐单步法：在计算yn+1时只用到前一步的yn,因此在有了初值之后就可以逐步往下计算，其代表是龙格-库塔（Runge-Kutta）法。
☐多步法：在计算yn+1时,除了用到前一步的值yn之外,还要用到yn-p（p=1，2，…，k，k＞0）的值,即前面的k步。
其代表就是亚当斯(Adams)法。
2．常微分方程数值求解函数MATLAB提供了多个求常微分方程初值问题数值解的函数，一般调用格式为：[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解。
solver为求常微分方程数值解的函数。
filename是定义f(t，y)的函数名，该函数必须返回一个列向量。
tspan形式为[t0，tf]，表示求解区间。
y0是初始状态列向量。
Option是可选参数，用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值RelTol( 默认值是10-3)和绝对误差值AbsTol(默认值是10-6)。
常微分方程数值求解函数的统一命名格式：odennxx其中，ode是Ordinary Differential Equation的缩写，是常微分方程的意思；nn是数字，代表所用方法的阶数；xx是字母，用于标注方法的专门特征。
例1 求解微分方程初值问题，并与精确解y (t )= 进行比较。
，0≤t ≤10y (0)=2)1t (42t y 'y 2+--=11++t f=@(t,y) (y^2-t-2)/4/(t+1);[t,y]=ode23(f,[0,10],2);y1=sqrt(t+1)+1;plot(t,y,'b:',t,y1,'r');例2 已知一个二阶线性系统的微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧==>=+1)0('0)0(0,022x x a ax dt x d ，⎪⎩⎪⎨⎧==-==1)0(0)0(''122112x x ax x x x ，取a=2，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。
高斯白噪声激励下的二阶常微分方程的解法
一、概述高斯白噪声是一种特殊的随机过程，它具有均匀分布的频谱特性，被广泛应用于信号处理、控制系统和通信领域。
在工程和科学研究中，常常会遇到高斯白噪声激励下的二阶常微分方程，解决这类问题对于系统分析和设计具有重要意义。
本文将探讨高斯白噪声激励下的二阶常微分方程的解法。
二、二阶常微分方程的基本形式二阶常微分方程一般可以写成如下形式：$$m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+c\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=f(t)$$其中，m、c、k分别代表质量、阻尼系数和弹簧刚度，f(t)为外力或激励项。
三、高斯白噪声激励下的二阶常微分方程在实际工程问题中，系统往往会受到高斯白噪声的激励，此时外力可以表示为高斯白噪声过程。
二阶常微分方程可以写成如下形式：$$m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+c\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=G(t)$$其中，G(t)为高斯白噪声激励项。
四、高斯白噪声的特性高斯白噪声具有如下特性：1. 平稳性：在任意时刻，高斯白噪声的统计特性不随时间变化。
2. 独立性：在不同时刻，高斯白噪声的取值相互独立。
3. 均匀分布的频谱特性：高斯白噪声在各个频率上具有均匀分布的能量。
五、高斯白噪声激励下二阶常微分方程的解法针对高斯白噪声激励下的二阶常微分方程，可以采用如下方法进行解法：1. 转化成随机微分方程：利用随机微分方程理论，将二阶常微分方程转化成随机微分方程。
2. 应用伊藤公式：利用伊藤公式，将随机微分方程转化成随机积分方程，进而求解。
3. 求解随机积分方程：根据随机积分方程的特性，采用适当的数值方法或解析方法求解。
六、数值模拟示例为了验证所提方法的有效性，我们进行了如下数值模拟实例：1. 给定二阶常微分方程的参数和初始条件。
2. 生成高斯白噪声激励项G(t)。
3. 将二阶常微分方程转化成随机微分方程。
4. 应用伊藤公式，将随机微分方程转化成随机积分方程。
二阶常微分方程的解法
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一六届）题目：二阶常微分方程的解法院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：潘陆学号08120146指导教师：刘陆军南京师范大学泰州学院教务处制摘要：本文主要是介绍了二阶常微分方程众多解法中的三种，分别为特征方程法，拉普拉斯变换法和常数变易法，研究并讨论了二阶常微分方程在特征方程法中特征方程根为实根，复根和重根的情形。
我们选用了弹簧振子系统的振子运动，用这三种不同的方法来解决该问题。
关键词：二阶常微分方程；特征根法；常数变易法；拉普拉斯变换Abstract:The main purpose of this paper is the second-order ordinary many differential equation solution of three, respectively as the characteristic equation method, Laplace transform method and variation of constants method, study and discuss the second-order often differential equation in the characteristic equation of the roots of the characteristic equation for real roots, complex roots and root weight. We choose the spring oscillator the oscillator motion, these three different methods to solve the problem.Keywords: second order ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform目录1 绪论 (3)1.1 二阶常微分方程的起源和发展史 (3)1.2 二阶常微分方程的介绍 (3)1.3 研究二阶常微分方程的目的与意义 (4)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (5)2.1 特征方程法 (5)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (5)2.1.2 特征根有重根的情形 (6)2.2 常数变易法 (7)2.3 拉普拉斯变换法 (9)3 二阶常微分方程解法的应用（分析例题） (11)3.1 特征方程法 (11)3.2 常数变易法 (13)3.3 拉普拉斯变换法 (14)4 结论和启示 (16)谢辞 (18)参考文献 (19)1 绪论1.1 二阶常微分方程的起源和发展史既然说到了微分方程，就不能不提到海王星的故事，它的发现是人类智慧的硕果，微分方程在其中扮演了重要的角色，并且在其中也包含数学演绎法的作用。
riccati方程解法
Riccati方程的解法有多种，其中包括变量替换法、数值方法和初等积分法等。
1.变量替换法：将Riccati方程转化为线性二阶常微分方程。
例如，通过变换
y = -v'/v，可以将Riccati方程转化为二阶常微分方程v'' - (b - 1/2)v + (c - 1/4)v^3 = 0。
然后，可以使用常见的线性二阶常微分方程的解法来求解。
2.数值方法：使用数值方法求解Riccati方程。
数值方法可以通过将微分方程
转化为差分方程，然后使用数值迭代方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法等）进行逐步计算来获得数值解。
3.初等积分法：如果知道Riccati方程的一个特解，可以使用初等积分方法求
出通解。
设Riccati方程一个特解y∗=y1，令y=z+y1，则Riccati方程转化为dzdx=[2P(x)y1+Q(x)]z+P(x)z2。
这是一个伯努利方程，可求出通解，再代入y=z+y1即可。
以上是Riccati方程的三种常见解法，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
数值解常微分方程的方法和技巧
数值解常微分方程的方法和技巧在科学和工程领域，我们经常遇到一些复杂的常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs），这些方程往往很难用解析方法得到精确解。
而数值解常微分方程的方法和技巧提供了一种有效的途径来近似求解这些方程。
本文将介绍一些常用的数值解ODEs的方法和技巧。
一、欧拉方法（Euler Method）欧拉方法是最简单的数值解ODEs的方法，它利用初始条件和微分方程的导数来计算下一个点的近似值。
具体来说，假设我们要求解的ODE为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知函数，初始条件为x0 = x(0)，y0 = y(0)。
欧拉方法的迭代公式为：y[i+1] = y[i] + h * f(x[i], y[i])其中，h是步长，x[i]表示第i个点的x坐标，y[i]表示对应的y坐标。
二、龙格-库塔方法（Runge-Kutta Method）龙格-库塔方法是一族常用的数值解ODEs方法，其基本思想是通过计算不同阶数的导数来提高求解的精度。
最常用的龙格-库塔方法是四阶龙格-库塔方法，也称为RK4方法。
它的迭代公式如下：k1 = h * f(x[i], y[i])k2 = h * f(x[i] + h/2, y[i] + k1/2)k3 = h * f(x[i] + h/2, y[i] + k2/2)k4 = h * f(x[i] + h, y[i] + k3)y[i+1] = y[i] + 1/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)其中，k1、k2、k3、k4是中间变量，h是步长。
三、改进的欧拉方法（Improved Euler Method）改进的欧拉方法是对欧拉方法的改进，它通过使用导数的平均值来提高求解的精度。
其迭代公式为：k1 = h * f(x[i], y[i])k2 = h * f(x[i] + h, y[i] + k1)y[i+1] = y[i] + 1/2 * (k1 + k2)其中，k1、k2是中间变量，h是步长。
第六章常微分方程的数值解法
第六章常微分方程的数值解法第六章常微分方程的数值解法在自然科学研究和工程技术领域中，常常会遇到常微分方程的求解问题。
传统的数学分析方法仅能给出一些简单的、常系数的、经典的线性方程的解析表达式，不能处理复杂的、变系数的、非线性方程，对于这些方面的问题，只能求诸于近似解法和数值解法。
而且在许多实际问题中，确确实实并不总是需要精确的解析解，往往只需获得近似的解或者解在若干个点上的数值即可。
在高等数学课程中介绍过的级数解法和逐步逼近法，能够给出解的近似表达式，这一类方法称为近似解法。
还有一类方法是通过计算机来求解微分方程的数值解，给出解在一些离散点上的近似值，这一类方法称作为数值方法。
本章主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，包括Euler 方法、Runge-Kutta 方法、线性多步法以及微分方程组与高阶微分方程的数值解法。
同时，对于求解常微分方程的边值问题中比较常用的打靶法与有限差分法作了一个简单的介绍。
§1 基本概念1.1 常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求解满足如下条件的函数，，b x a x y ≤≤)(=<<=α)(),(a y bx a y x f dxdy， (1.1) 其中),(y x f 是已知函数，α是给定的数值。
通常假定上面所给出的函数),(y x f 在给定的区域},),{(+∞<≤≤=yb x a y x D 上面满足如下条件：(1) 函数),(y x f 在区域D 上面连续；(2) 函数),(y x f 在区域D 上关于变量y 满足Lipschitz(李普希茨)条件：212121,),(),(y y b x a y y L y x f y x f ?≤≤?≤?，， (1.2)其中常数L 称为Lipschitz(李普希茨)常数。
由常微分方程的基本理论可以知道，假如(1.1)中的),(y x f 满足上面两个条件，则常微分方程初值问题(1.1)对于任意给定的初始值α都存在着唯一的解，，b x a x y ≤≤)(并且该唯一解在区间[a,b]上是连续可微的。
二阶常微分方程边值问题的数值解法
摘要本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。
对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。
关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；ABSTRACTThis article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；目录第一章引言................................................................................................................... - 1 -第二章二阶线性常微分方程.................................................................................. - 2 -2.1试射法（“打靶”法） ............................................................................................ - 3 -2.1.1简单的试射法............................................................................................ - 3 -2.1.2 基于叠加原理的试射法........................................................................... - 4 -2.2 有限差分法......................................................................................................... - 10 -2.2.1 有限差分逼近的相关概念...................................................................... - 11 -2.2.2 有限差分方程的建立............................................................................. - 13 -2.2.3 其他边值条件的有限差分方程............................................................. - 14 -2.2.4 有限差分方程的解法............................................................................. - 16 -第三章二阶非线性微分方程........................................................ 错误!未定义书签。
二阶常微分方程的解法及其应用.
目录1 引言 (1)2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1)2.1 特征方程法 (1)2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2)2.1.2 特征根有重根的情形 (2)2.2 常数变异法 (4)2.3 拉普拉斯变化法 (5)3 常微分方程的简单应用 (6)3.1 特征方程法 (7)3.2 常数变异法 (9)3.3 拉普拉斯变化法 (10)4 总结及意义 (11)参考文献 (12)二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。
应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIALEQUATION AND ITS APPLICATIONAbstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect.Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是数学分析里大部分思想和理论的根源。
常微分方程数值解法
常微分方程数值解法常微分方程是研究函数的导数与自变量之间的关系的数学分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域的建模与分析。
在实际问题中，我们常常遇到无法通过解析方法求得精确解的常微分方程，因此需要利用数值解法进行求解。
本文将介绍几种常用的常微分方程数值解法。
一、欧拉方法(Euler's Method)欧拉方法是最基本的数值解法之一。
它的思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近解的方式求得数值解。
具体步骤如下：1. 将微分方程转化为差分方程：根据微分方程的定义，可以得到差分方程形式。
2. 选择步长：将自变量范围进行离散化，确定步长h。
3. 迭代计算：根据差分方程递推公式，利用前一步的数值解计算后一步的数值解。
二、改进的欧拉方法(Improved Euler's Method)改进的欧拉方法通过使用欧拉方法中的斜率来进行更准确的数值计算。
具体步骤如下：1. 计算欧拉方法的斜率：根据当前节点的数值解计算斜率。
2. 根据斜率计算改进的数值解：将得到的斜率代入欧拉方法的递推公式中，计算改进的数值解。
三、龙格-库塔方法(Runge-Kutta Method)龙格-库塔方法是一类常微分方程数值解法，其中最著名的是四阶龙格-库塔方法。
它通过计算各阶导数的加权平均值来逼近解，在精度和稳定性方面相对较高。
具体步骤如下：1. 计算每一步的斜率：根据当前节点的数值解计算每一步的斜率。
2. 计算权重：根据斜率计算各个权重。
3. 计算下一步的数值解：根据计算得到的权重，将其代入龙格-库塔方法的递推公式中，计算下一步的数值解。
四、多步法(多步差分法)多步法是需要利用多个前面节点的数值解来计算当前节点的数值解的数值方法。
常见的多步法有Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。
具体步骤如下：1. 选择初始值：根据差分方程的初始条件，确定初始值。
2. 迭代计算：根据递推公式，利用前面节点的数值解计算当前节点的数值解。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题的数值解法在实际应用中，对于某些微分方程，我们并不能直接给出其解析解，需要通过数值方法来求得其近似解，以便更好地理解和掌握现象的本质。
常微分方程初值问题（IVP）即为一种最常见的微分方程求解问题，其求解方法有多种，本文将对常微分方程初值问题的数值解法进行较为详细的介绍。
一、欧拉法欧拉法是最基本的一种数值解法，它采用泰勒级数展开并截断低阶项，从而获得一个差分方程近似求解。
具体来讲，设 t 为独立变量，y(t) 为函数 y 关于 t 的函数，方程为：$$y'(t) = f(t, y(t)), \qquad y(t_0) = y_0$$其中 f(t,y(t)) 为已知的函数，y(t_0) 为已知的初值。
将函数 y(t) 进行泰勒级数展开：$$y(t+h) = y(t) + hf(t, y(t)) + O(h^2)$$其中 h 表示步长，O(h^2) 表示其他高阶项。
为了使误差较小，一般取步长 h 尽可能小，于是我们可以用欧拉公式表示数值解：$$y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n), \qquad y_0 = y(t_0)$$欧拉法的优点是容易理解和实现，但是由于截取低阶项且使用的单步法，所以误差较大，精度较低，在具体应用时需要慎重考虑。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种多步法，比欧拉法更加精确。
龙格-库塔法的主要思想是使用不同的插值多项式来计算近似解，并且将时间步长分解，每次计算需要多次求解。
以下简要介绍二阶和四阶龙格-库塔法。
二阶龙格-库塔法将时间步长 h 分解成两步 h/2，得到近似解表达式：$$\begin{aligned} k_1 &= hf(t_n, y_n)\\ k_2 &= hf(t_n+h/2,y_n+k_1/2)\\ y_{n+1} &= y_n+k_2+O(h^3)\\ \end{aligned}$$四阶龙格-库塔法四阶龙格-库塔法是龙格-库塔法中应用最为广泛的一种方法，其需要计算的中间值较多，但是具有更高的精度。
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利用Euler方法求解上述方程组可得如下数 值格式
zk y(a ) y0 , y '(a ) z0 yk yk 1 hzk , zk 1 hf ( xk , yk , zk ), k 1, 2 xk xk 1 h.
其中yk 是y( xk )的近似，zk 是y '( xk )的近似
下的特解，并画出解函数的图形。
>> y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') >> ezplot(y);
例6
d2 y 2 cos( 2 x ) y 求二阶常微分方程 dx 的通解 y(0) 1, y '(0) 0
若令
z y'
, 则上述初值问题可以转化为如下一
阶微分方程组初值问题
x [a , b] y '( x ) z ( x ), z '( x ) f ( x , y( x ), z( x )), x [a , b] z (a ) y z , y(a ) y 1 0 0
当 h=0.1，即 n=20 时，Matlab 源程序见 RK_sys2.m, 数值结
果如下图
rightf_sys1.m
function w=rightf_sys2(x,y,z) w=-y+2*exp(-x)*(x-1);
RK_sys2.m clc;clear; h=0.1; a=0;b=2; x=a:h:b; Euler_y(1)=1; Euler_z(1)=1; RK_y(1)=1; RK_z(1)=1; for i=1:length(x)-1 %**** Euler Method ****% Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i); Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*rightf_sys2(x(i),Euler_y(i),Euler_z(i)); %***** R-K4 Method*****% K1=RK_z(i); L1=rightf_sys2(x(i),RK_y(i),RK_z(i)); % K1 and L1
作业 利用Euler方法和R-K方法求解一个 二阶常微分初值问题，并比较数 值结果，计算数值解和解析解的 误差。 利用dsolve函数求解一些微分方程 的通解
数值解与真解如下图
例2：利用4阶R-K方法求解例1，并与Euler方法 进行比较。
解 当 h=0.1，即 n=20 时，R-K方法的Matlab 源程序见
RK_sys1.m，数值结果见下图
rightf_sys1.m
function w=rightf_sys1(x,y,z) w=y;
RK_sys1.m clc;clear; h=0.1; a=0;b=2; x=a:h:b; Euler_y(1)=1; Euler_z(1)=-1; %初值 RK_y(1)=1; RK_z(1)=-1; %初值 for i=1:length(x)-1 %**** Euler Method ****% Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i); Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*Euler_y(i);
二阶常微分方程的数值求解
一. 教学要求
掌握利用降阶把二阶常微分方程转化为一阶微分 方程组，再利用Euler方法数值求解,并能利用MATLAB 软件进行数值计算和符号运算。
二. 教学过程
考虑如下的二阶微分方程初值问题
d2 y f ( x , y , y ') , y(a ) y0 , y '(a ) y1 , x [a , b] 2 dx
利用四阶R-K方法求解上述方程组可得如下 数值格式
h yk 1 yk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ), 6 h zk 1 zk ( L1 2 L2 2 L3 L4 ), 6 K1 zk , L1 f ( xk , yk , zk ), K 2 zk h L1 , L2 f ( xk h , yk h K1 , zk h L1 ), 2 2 2 2 h h h h K 3 zk L2 , L3 f ( xk , yk K 2 , zk L2 ), 2 2 2 2 K 4 zk hL3 , L4 f ( xk h, yk hK 3 , z k hL3 ).
利用dsolve 函数求微分方程解析解
dsolve 的调用格式
y=dsolve('eq1','eq2', ... ,'cond1','cond2', ... ,'v') 其中 y 为输出， eq1、eq2、...为微分方程，cond1、 cond2、...为初值条件，v 为自变量，如果不指定v作为自变 量，则默认t为自变量。
如果省略初值条件，则表示求通解； 如果省略自变量，则默认自变量为
dsolve('Dy=2*x','x'); dsolve('Dy=2*x');
t
％ dy/dx = 2x ％ dy/dt = 2x
若找不到解析解，则返回其积分形式。
例 5：求微分方程 xy ' y e x 0 在初值条件 y(1) 2e
%***** R-K4 Method*****% K1=RK_z(i); L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i)); K2=RK_z(i)+0.5*h*L1;
% K1 and L1
L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); % K2 and L2 K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); % K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); end plot(x,Euler_y,'r+',x,exp(-x),'k-',x,RK_y,'b*'); xlabel('Variable x'); ylabel('Variable y');
dy x2 2 xy xe 例 4：求微分方程 的通解，并验证。 dx
>> syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x^2) >> y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')
几点说明
微分方程中用 D 表示对 自变量 的导数，如： Dy y'； D2y y''； D3y y'''
K2=RK_z(i)+0.5*h*L1; L2=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); % K2 and L2 K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys2(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); % K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rightf_sys2(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); end plot(x,Euler_y,'r+',x,cos(x)+x.*exp(-x),'k-',x,RK_y,'b*'); xlabel('Variable x'); ylabel('Variable y');
clc;clear; h=0.1; a=0;b=2; x=a:h:b; y(1)=1; z(1)=-1; for i=1:length(x)-1 y(i+1)=y(i)+h*z(i); z(i+1)=z(i)+h*y(i); end plot(x,y,'r+',x,exp(-x),'k-'); xlabel('Variable x'); ylabel('Variable y');
x [0, 2] y '( x ) z ( x ), x [0, 2] z '( x ) y( x ), z (0) 1 z , y(0) 1. 0