《误差理论与数据处理(第6版)》费业泰 习题及答案,网上最完整的

《误差理论与数据处理》(第六版)
习题及参考答案
费业泰主编
2012-07
第一章 绪论
1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o
00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：
绝对误差等于： 相对误差等于：
1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。

%
108.66 %
1002.31
1020 100%
max
max 4
-6
-⨯=⨯⨯=
⨯=测得值绝对误差相对误差
1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？
%
5.22%100%100
2100%
<=⨯=
⨯=
测量范围上限
某量程最大示值误差
最大引用误差
该电压表合格
1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。

测得值各为50.004mm ，80.006mm 。

试评定两种方法测量精度的高低。

相对误差
L 1:50mm 0.008%100%5050
004.501=⨯-=I L 2:80mm 0.0075%100%80
80
006.802=⨯-=
I
21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射
21802000180''=-'''o o %
000031.010*********.0064800206601802180
2≈='
''''
'⨯⨯'
'=
''＝
o
击精度高? 解：
射手的相对误差为：
多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为
m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。

其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差
0.01%110111±=±
=mm m I μ 0.0082%11092±=±=mm m I μ %008.0150123±=±
=mm
m I μ
123I I I <<第三种方法的测量精度最高
第二章 误差的基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。

试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

168.41168.54168.59168.40168.50
5
x ++++=
168.488()mA =
)(082.01
55
1
2
mA v i i
=-=∑
=σ
0.037()x mA σ=
=
=
或然误差：0.67450.67450.0370.025()x R m A σ==⨯= 平均误差：0.79790.79790.0370.030()x T m A σ==⨯=
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm ）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。

若测量值服从正态分布，试以
99%的置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.0011
5
x ++++=
20.0015()mm =
0.00025σ=
=
正态分布 p=99%时，t 2.58= lim x x t δσ=±
2.58=±⨯
0.0003()mm =±
测量结果：lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±
2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差mm 004.0=σ，若要求测量结果的置信限为mm 005.0±，当置信概率为
99%时，试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时，t 2.58=
lim x t
δ=±
2.580.004 2.064
0.0054.265
n n ⨯=
===取
2－9 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm ，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ，而置信概率P 为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有
0015.0≤±=±n
t
t x
σσ
根据题目给定得已知条件，有
5.1001
.00015.0=≤n t
查教材附录表3有
若n ＝5，v ＝4，α＝0.05，有t ＝2.78，
24.1236
.278.2578.2===n t
若n ＝4，v ＝3，α＝0.05，有t ＝3.18，
59.12
18.34
18.3==
=
n
t
即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa ）为102523.85，102391.30，102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288
1
8
1Pa p x p x i i
i i
i ==
∑
∑
== )(95.86)18(8
1
8
1
2
Pa p v p i i
i xi
i x
≈-=
∑∑
==σ
2-13测量某角度共两次，测得值为6331241'
''=
α，''24'13242
=α，其
标准差分别为8.13,1.321'
'=''=σσ，试求加权算术平均值及其标准差。

961:190441
:
1
:2
2
2
1
21==
σσp p
''35'1324961
19044'
'4961''1619044''20'1324
=+⨯+⨯+
=x
''0.3961
1904419044''1.32
1
≈+⨯
==∑
=i i
i
x x p p i
σ
σ
2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得
值如下：
;
5127,0227,5327,037,0227:'''''''''''''''
甲α
;5427,0527,0227,5227,5227:'''''''''''''''
乙α
试求其测量结果。

甲：20"60"35"20"15"
72'72'30"5
x ++++=+
=
甲
σ
=
甲
18.4"=
x 8.23"σσ=
==甲
乙：25"25"20"50"45"
72'72'33"5
x ++++=+
=
乙
σ=
=
乙
13.5"=
x 6.04"σ=
=
=乙
2
2
2
2
x x
1
1
11::
:
3648:67738.23
6.04
p p σσ=
=
=乙
乙甲甲
364830"677333"
72'36486773
p x p x x p p +⨯+⨯=
=
+++
甲乙
乙甲乙
甲72'32"=
78.46773
3648364832.8''=+⨯''=+=乙
甲甲
甲
p p p x x
σ
σ
''15''32'273±=±=
x x X σ
2-16重力加速度的20次测量具有平均值为2
/811.9s m 、标准差为
2
/014.0s m 。

另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ，标准差为
2
/022.0s m 。

假设这两组测量属于同一正态总体。

试求此50次测量的平均
值和标准差。

147:24230022.01:
20014.011
:
1
:2
2
2
2
2122
21
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=
x
x
p p σσ
)/(9.808147
2429.802
1479.8112242
s m x ≈+⨯+⨯=
）
（2
m/s 0.0025147
24224220
014.0≈+⨯
=
x
σ
2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。

96.14=x
按贝塞尔公式 2633.01=σ
按别捷尔斯法0.2642)
110(10253.110
1
i 2≈-⨯
=∑
=i
v σ
由
u +=11
2σσ 得 0034.011
2=-=
σσu
67.01
2=-<
n u 所以测量列中无系差存在。

2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH ）： 50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。

试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。

使用秩和检验法：
排序：
T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14=-T 30=+T +>T T 所以两组间存在系差
解：
x y i 203)2
)
1((
211=++=n n n a ；474)12
)
1((
2121=++=n n n n σ求出：
1.0-=-=
σ
a
T t
现取概率295.0)(=t φ，即475.0)(=t φ，查教材附表1有96.1=αt 。

由于αt t ≤，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。

第三章 误差的合成与分配
3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由四块量块研合
而成，它们的基本尺寸为mm l 401=，mm l 122=，mm l 25.13=，
mm l 005.14=。

经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为m l μ7.01-=∆,m l μ5.02+=∆,m l μ3.03-=∆,
,
20.0,25.0,35.0,1.03lim 2lim 1lim 4m l m l m l m l μδμδμδμ±=±=±=+=∆m l μδ20.04lim ±=。

试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量
带来的测量误差。

修正值=)(4321l l l l ∆+∆+∆+∆- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4
3
2
1
lim 2
lim 2
lim 2
lim 2
l l l l δ
δ
δ
δ
+++±
=2
2
2
2
)20.0()20.0()25.0()35.0(+++±
=)(51.0m μ±
3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，
mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=∆，mm b 8.0-=∆，mm c 5.0=∆，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，
mm
b 5.0±=δ，
mm
c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abc V = ),,(c b a f V =
2.115.446.1610⨯⨯==abc V
)(44.805413mm =
体积V 系统误差V ∆为：
c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆
)(74.2745)(744.27453
3mm mm ≈=
立方体体积实际大小为：)(70.7779530mm V V V =∆-=
2
22
22
2lim )(
)(
)(
c b a V c
f b
f a
f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±=
2
2
2
22
2
)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293
mm ±=
测量体积最后结果表示为:
V V V V lim 0δ+∆-=3
)11.372970.77795(mm ±=
3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ，V
U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P
σ。

UI P =5.226.12⨯=)(5.283mw =
),(I U f P =I U 、 成线性关系 1=∴UI ρ
I
u I
U
P
I
f U
f I
f U
f σ
σσ
σσ
))(
(
2)(
)(
222
2∂∂∂∂+∂∂+∂∂=
I
U I
U U I I
f
U
f σ
σσ
σ+=∂∂+
∂∂=
5.06.121.05.22⨯+⨯=
)(55.8mw =
3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积，若已知r 约为2cm ，h 约为20cm ，要使体积的相对误差等于1％，试问r 和h 测量时误差应为多少? 解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
3
2
2
2.25120214.3cm h r V =⨯⨯=⋅⋅=π
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
%1=V
σ
即51.2%12.251%1=⨯=⋅=V σ 现按等作用原则分配误差，可以求出 测定r 的误差应为：
cm hr
r
V r 007.021
41.151.2/1
2==
∂∂=
πσσ
测定h 的误差应为：
cm r
h
V h 142.01
41.151.2/1
22
=⋅=
∂∂=
πσσ
3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位g)为428.6，429.2，426.5，430.8。

已知测量的已定系统误差,6.2g -=∆测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。

若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

4
8
.4305.4262.4296.428+++=
x
)(8.428)(775.428g g ≈=
最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=∆-=
∑
∑
==∂∂+
∂∂±
=3
1
2
22
2
5
1
)(
4
1)(
i i i
i i i
x x f e x f δδ
)(9.4g ±≈
测量结果表示为:x x x δ+∆-=g )9.44.431(±=
第四章 测量不确定度
4—1 某圆球的半径为r ，若重复10次测量得r ±σr =(3.132±0.005)cm ，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。

解：①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度
已知圆球的最大截面的圆周为：r D ⋅=π2 其标准不确定度
应
为
：
()2
2
2
222
005.0141
5
9
.342⨯⨯==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=
r r
r D u σπσ ＝0.0314cm
确定包含因子。

查t 分布表t 0.01（9）＝3.25，及K ＝3.25
故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：
U ＝Ku ＝3.25×0.0314＝0.102 ②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：3
34r V ⋅⋅=
π
其标准不确定度应为：
()616
.0005
.0132
.314159
.31642
4
2
22
2
22
=⨯⨯⨯=⋅⋅=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=
r
r
r r V u σ
πσ
确定包含因子。

查t 分布表t 0.01（9）＝3.25，及K ＝3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U ＝Ku ＝3.25×0.616＝2.002
4-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R 在20C
时为Ω±Ωμ129000742.10（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。

由校准证书说明给定
∴属于B 类评定的不确定度
R 在[10.000742Ω-129μΩ，10.000742Ω+129μΩ]范围内概率为
99%，不为100%
∴不属于均匀分布，属于正态分布 129a =当p=99%时， 2.58p K = ∴12950()2.58
R p
a U K μ==
=Ω
4-5在光学计上用52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：
140l mm
=，
210l mm
=，
3 2.5l m m
=，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过
0.45m μ±、0.30m μ±、0.25m μ±（取置信概率P=99.73%的正态分布），
求该量块组引起的测量不确定度。

52.5L m m = 140l mm =
210l mm = 32.5l m m =
123L l l l ∴=++ 99.73%p = 3p K ∴= 10.450.15()3l p a U m k μ=
== 20.300.10()3
l p
a U m k μ=
==
30.250.08()3
l p
a U m k μ=
==
321l l l L U U U U ++=
=
0.20()m μ=
第五章 线性参数的最小二乘法处理
5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

误差方程为123
2.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+⎧⎪
=--⎨⎪=--⎩
列正规方程11121111
212221
11n
n n
i i i i i i i i i n n n i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪
+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑代入数据得
14513.4
514 4.6x y x y -=⎧⎨-+=-⎩解得 ⎩⎨
⎧==015
.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式123
2.9(30.9620.015)0.001
0.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-⨯+=-⎧⎪
=--⨯=-⎨⎪=-⨯-⨯=⎩
测量数据的标准差为0.038σ=
=
=
求解不定乘数 11
1221
22d d d d ⎡⎤⎢
⎥
⎣⎦111211122122212214515140
1450
5141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩ 解得 082.02211==d d x 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y
σ
σ
5-7不等精度测量的方程组如下：1233 5.6,148.1,220.5,3
x y p x y p x y p -=-=⎧⎪
+==⎨⎪-==⎩
试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

列误差方程11223
35.6(3),1
8.1(4),20.5(2),3
v x y p v x y p v x y p =---=⎧⎪
=-+=⎨⎪=--=⎩
正规方程为3
33
11121111
333212221
11i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======⎧+=⎪⎪⎨⎪
+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑
代入数据得
4562.2
1431.5x y x y -=⎧⎨-+=⎩解得 ⎩
⎨
⎧==352.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得⎪⎩⎪
⎨⎧-===016.0012.0022
.03
21v v v
则测量数据单位权标准差为039.02
33
1
2
=-=
∑
=i i
i v p σ
求解不定乘数 11
1221
22d d d d ⎡⎤⎢
⎥
⎣⎦1112111221222122451140
450
141
d d d d d d d d -=⎧⎨
-+=⎩-=⎧⎨
-+=⎩ 解得 ⎩⎨⎧==072
.0022
.02211d d
x 、y 的精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y
σ
σ
第六章 回归分析
6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。

对某种材料试验的数据如下：
假设正应力的数值是正确的，求
（1）抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

（2）当正应力为24.5Pa 时，抗剪强度的估计值是多少？ （1）设一元线形回归方程
bx b y +=∧
0 12=N
⎪
⎩⎪⎨⎧
-==
x
b y b l l b xx xy 0 047.43=∴xx l 533.29-=xy l 69.0047
.43533.29-=-=
=
xx
xy l l b ()x y
b y x 69.069.42ˆ69.4297.2569.077.2477
.242.29712
197
.256.31112
10-==⨯--=∴=⨯=
=⨯=
（2）当X=24.5Pa
)(79.255.2469.069.42ˆPa y
=⨯-=
6-10 用直线检验法验证下列数据可以用曲线x y ab =表示。

()x b a y ab
y x
log )log()log(+-=-⇒=
)l o g (1y Z -= x Z =2
取点做下表
以Z 1与Z 2画图
所得到图形为一条直线，故选用函数类型x
ab y =合适。