10压杆稳定3稳定条件_安全因数法
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材料力学10压杆稳定_3稳定条件_安全因数法
d 25mm
[例3] 如图，已知 AB 杆的直径 d = 40 mm，长 l = 800 mm；材料为
Q235钢；AB 杆规定的稳定安全因数 nst = 2 ，试根据 AB 杆的稳定 条件确定构架的许可载荷 [F ]。
解： 1）计算 AB 杆所受轴向压力
如图， 由 MC = 0 得
FAB 2.27F
2）计算 AB 杆柔度
查表得 Q235 钢的柔度界限值
p 100
AB 杆柔度
s 61.4 l 80
i
3）计算 AB 杆临界力Байду номын сангаас
由于 s < < p ，AB 杆属于中长杆，
故采用直线公式计算其临界力
cr a b 214 MPa
Fcr Acr 268 kN
第七节 提高压杆稳定性的措施
一、从材料着手 1. 大柔度杆 结论：应提高弹性模量 E。因此，改变钢材的品牌型号对于提高 大柔度压杆的稳定性没有意义。
2. 中柔度杆 结论：选择高强度钢材有利于提高中柔度压杆的稳定性。
二、从柔度着手
降低压杆柔度 将显著提高压杆的稳定性 1）加固压杆两端约束，减小长度因数
2）减小杆长 l
3）采用合理的截面形状，使压杆在各个方向上的柔度 大致相等
[例1] 千斤顶如图，已知丝杠长度 l = 375 mm，有效直径 d = 40 mm，
材料为45 钢，所受最大轴向压力 Fmax = 80 kN，规定的稳定安全系数 为 nst = 4，试校核丝杠的稳定性。
解： 1）计算丝杠柔度
第五节 压杆的稳定计算·安全因数法
一、压杆的稳定条件
F ≤ Fcr ns t
压杆稳定(10年)解析PPT课件
(3)当增大P至某一值 Pcr 时: 小的横向干扰 就会使杆失稳;
Pcr: 临界载荷（critical load)
扰动的种类：小的横向力；杆件表面凹坑； 杆件初始曲率等。
扰动是失稳的外因，杆件在外载作用下处于临界状态是内因。
2020年9月28日
14
P
P
压杆的实验观察
横向扰动
横向扰动
测试二
(1)将杆加粗或变短， 杆不容易失稳。
P Pcr 理想压杆曲线 B
实际压杆实验曲线
O
2020年9月28日
ymax
24
讨论
4. 精确微分方程
y
M
(1
y2
3
)2
EI
P
P Pcr
P Pcr
精确微分方程
P1.01P5cr
B
近似微分方程
实际压杆实验曲线
③稳定性 外力—?—稳定性条件
失去稳定性 后果更严重!
2020年9月28日
12
稳定性: 指平衡状态的稳定性 1.稳定平衡与不稳定平衡
不稳定平衡
2020年9月28日
稳定平衡
13
压杆的实验观察
测试一
P
(1) P=0或为拉时: 小的横向干扰不会使杆
离开起初始平衡位置(或失稳);
横向扰动 (2)增大P: 小的横向干扰仍不会使杆失稳;
2020年9月28日
1
第15章 压杆稳定
15.1 压杆稳定的概念 15.2 两端铰支细长压杆的临界力 15.3 两端约束不同时的临界力 15.4 临界力、经验公式、临界力总图 15.5 压杆的稳定校核 15.6 压杆稳定计算的折减系数法 15.7 提高压杆稳定性的措施
材料力学-10-压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
工程力学压杆稳定
4
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
压杆稳定的概念及三种平衡状态-PPT
cr s
a s
b
令
2
a s
b
2 (小柔度杆)
cr s
令 1
2E p
目录
表 1 直线公式的系数 a 和 b
材料 低碳钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
a(MPa) 304 461 578
980.7 332.2
373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
(a)
(b)
平衡的三种状态
稳定平衡状态
随遇平衡状态
不稳定平衡状态
平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：
稳定平衡 —— 凹面上，刚球回到原位置； 随遇平衡 —— 平面上，刚球在新位置上平衡； 不稳定平衡 —— 凸面上，刚球不回到原位置，
压杆的稳定校核 已知拖架D处承受载荷 例题F=10kN。AB杆外径D=50mm， 内径d=40mm，材料为Q235钢， E[=n2st0]0=G3P。a，校核A=B1杆01 0的，稳定性。
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
l 1
dx
x l, v
B
Ak 0
Asin kl B coskl
cos kl 0
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
F
(2n
1)2
(2l)2
2 EI
取 n=1, 得：
第十章压杆稳定ppt课件
2E 0.56 S
②s < 时： cr s
临界应力的特点
•它的实质： 象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数就是稳定中的应力极限
•同作为常数的比例极限、屈服极限不同，变化 的临界应力依赖压杆自身因素而变
例102 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
Fcr
2 EImin
l2
此公式的应用条件：
•理想压杆
•线弹性范围内
•两端为球铰支座
§10-3 不同杆端约束下细长压杆 临界力的欧拉公式
其它端约束情况，分析思路与两端铰支的相同, 并得出了临界力公式
Fcr
2 EImin (l)2
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数） l—相当长度
•求临界力有两种途径：实验测定及理论计算。
•实验以及理论计算表明：压杆的临界力，与压杆 两端的支承情况有关，与压杆材料性质有关，与 压杆横截面的几何尺寸形状有关，也与压杆的长 度有关。
压杆一般称为柱，压杆的稳定也称为柱的稳 定，压杆的失稳现象是在纵向力作用下，使 杆产生突然弯曲的，在纵向力作用下的弯曲， 称为纵弯曲。
AB杆 l
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i
I A
D4 d4 4 64 D2 d2
D2 d 2 16mm 4
得
1 1.7 3 2 1 03
16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求
压杆稳定条件及计算
压杆 稳定 条件 及计 算
【例10-3】 某锰钢架其尺寸、受力如图１０-7（a)所 示。已知AB杆、BC杆都为圆截面钢杆，AB杆直 径d=60 mm，BC杆直径d=50 mm，许用应力为 σ=160 MPa，求构架能承受的最大荷载P。
压杆 稳定 条件 及计 算
压杆 稳定 条件 及计 算
【解】按强度条件估算最大荷载P。
（1）外力分析。B点受力图如图10-7（b）
所示，列平衡方程以求两根杆所受的外力。
∑Fix=0
FAB－FBCcos 30°=0
∑Fiy=0
FBCsin 30°－P=0
求得FAB=1.732P，FBC=2P。
（2）内力分析。
杆AB轴力为压力：FNAB=FAB=1.732P 杆BC轴力为拉力：FNBC = FBC =2P
压杆 稳定 条件 及计 算
压杆 稳定 条件 及计 算
【例10-2】 如图10-6所示为一两端铰支的矩形截面 木梁，杆端作用轴向压力F，已知F=48 kN， σ=10 MPa，截面尺寸为120 mm×180 mm， 折减系数φ=0.19，试校核该压杆的稳定性。
压杆 稳定 条件 及计 算
压杆 稳定 条件 及计 算
（10-8）
为了简化校核计算，将稳定许用应力σw与强度
许用应力σ的比值定义为折减系数，并用φ表示，
即
，则
（10-9）
压杆 稳定 条件 及计 算
折减系数φ是一个小于1的系数，φ值取决于压 杆的柔度λ和材料。几种常用材料的φ值见表10-3。 这样，压杆的稳定安全条件可以写成
（10-11） 式（10-11）称为压杆稳定条件，利用稳定条件 可进行稳定校核、截面设计及求许可荷载等三个方面 工作。
压杆稳定条 件及计算
材料力学第十章压杆稳定
π2
200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N
85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy
Iz
bh3 12
60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b
压杆的稳定计算
故稳定安全因数nst一般大于强度安全因数n。
二、稳定性计算步骤
(a)、确定压杆的长度因数、截面的惯性半径i， 计算杆件的柔度；
μ, i = I λ = μl
A
i
(b)、确定压杆的材料系数s以及p；
λp
π2E σp
λs
a
- σs b
(c)、根据杆件的与材料的常数p和s比较，确定
杆件的类型，并选择对应公式计算临界应力，并确定
σ
=
F A
σcr nst
= [σcr ]
n=
Fcr F
[nst ]
注意：对于局部有截面削弱的压杆，按没削弱的截面 尺寸计算稳定性，对削弱截面进行强度校核。
三、三类问题的分析计算
(a)、临界压力的计算：先确定柔度，判断属于哪 一类压杆，选择合适的公式计算临界压力。切忌乱用 公式，否则结果偏于危险。
σ = F 80103 63.66MPa
A π 0.042
4 螺杆的工作稳定安全因数为
n
=
σcr σ
=
218.88 =3.44 63.66
nst
=
3
故千斤顶的螺杆是稳定的。
(b)、稳定性计算：对于结构，首先确定压杆压力， 计算工作安全系数，由稳定条件判断是否满足稳定性 设计准则。
(c)、设计压杆横截面尺寸：采用试算法，先由欧 拉公式确定截面尺寸，再检查是否满足欧拉公式的适 用条件。
例：一螺旋式千斤顶，材料为Q235钢。若螺杆旋出的
最大长度l=38cm，内径d0=4cm。最大起重量F=80kN， 规定的稳定安全系数nst=3，试校核螺杆的稳定性。
临界载荷。
p：大柔度杆，欧拉公式：
π2E σcr = λ2
压杆稳定
材料力学
Fcr n nst FN 2
柔度:
l 2 1 0 .6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
151.47 KN
二、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
材料力学
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
FBx Fp
材料力学
y
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为 d2y EI 2 M ( x) Fp y dx Fp y d2y 2 dx EI Fp 2 设k , 则 EI
二、压杆的稳定条件:
P A
材料力学
例
杆的 AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa 直径 d = 0.3m，试此杆的容许压力 解：折减系数法
B
①最大柔度
T1 T2
x y面内， =1.0
A
y W
xy
1 6 4 80 i 0.3
L
z y面内， =2.0
l2 y(x)=a sin nx l —欧拉公式
F cr =
材料力学
2EI
l2
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
• 分析
1）、I 如何确定 ？
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h b
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？ （绕哪个轴转动）
Fcr n nst FN 2
柔度:
l 2 1 0 .6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
151.47 KN
二、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
材料力学
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
FBx Fp
材料力学
y
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为 d2y EI 2 M ( x) Fp y dx Fp y d2y 2 dx EI Fp 2 设k , 则 EI
二、压杆的稳定条件:
P A
材料力学
例
杆的 AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa 直径 d = 0.3m，试此杆的容许压力 解：折减系数法
B
①最大柔度
T1 T2
x y面内， =1.0
A
y W
xy
1 6 4 80 i 0.3
L
z y面内， =2.0
l2 y(x)=a sin nx l —欧拉公式
F cr =
材料力学
2EI
l2
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
• 分析
1）、I 如何确定 ？
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h b
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？ （绕哪个轴转动）
压杆稳定ColumnStability
为得到压杆变形方程，回忆M与挠曲线的关系
M
EI
1
y 1 ( y)2
3/2
y
由2式得到压杆变形微分方程
y Py 0 EI
§15.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P x
P
y M P y EI EI
S 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
P
x
P
y
M P
y
P
x
y x
x
P
M
P
横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下 M Py 要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程 M P( y)
a ( s ps ) /( p 0 ) b ( p s 0 ps ) /( p 0 )
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
0
P
L
i
例 两端铰支杆长L=1.5m，由两根 56568 等边A3角
M
EI
1
y 1 ( y)2
3/2
y
由2式得到压杆变形微分方程
y Py 0 EI
§15.2 两端铰支压杆的临界力 图示横向干扰力产生的初始变形,在轴力作用下
要保持平衡,截面必然有力矩 M
①力矩
②挠曲线近似微分方程
P x
P
y M P y EI EI
S 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限
cr
S
cr ab
③临界应力总图
P
2E
cr
2
s s a
b
P 2E
P
L
i
2.抛物线型经验公式
①P < < s 时： cr a1b12
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
c 时，由此式求临界应力
干扰力使受压杆产生横向变形后，就从柱上撤 走了，但它产生的变形还在，若这种变形：
1、还能保留，即 随遇平衡 或 不稳定平衡 2、不能保留，即 稳定平衡
y
P
x
P
y
M P
y
P
x
y x
x
P
M
P
横向干扰力产生2种初始变形,在轴力作用下 M Py 要保持平衡,截面有力矩 M ,得到同一方程 M P( y)
a ( s ps ) /( p 0 ) b ( p s 0 ps ) /( p 0 )
cr
S
cr a b
P
2E
cr
2
0
P
L
i
例 两端铰支杆长L=1.5m，由两根 56568 等边A3角
知识点10：压杆稳定
知识点10：压杆稳定一、弹性平衡稳定性的概念１．弹性体保持初始平衡状态的能力称为弹性平衡的稳定性。
２．受压杆件保持初始直线平衡状态的能力称为压杆的稳定性。
二、压杆的临界力１．两端铰支细长压杆欧拉〔Euler 〕临界力公式为22lEIF cr π=。
欧拉临界力公式只适用于小变形、线弹性范围内。
２．在临界状态两端铰支细长压杆的弹性曲线方程为一个半波正弦方程：x lC y πsin=。
由此利用“形状比较法〞可求得不同约束下细长压杆的临界力。
３．杆端约束对临界力的影响：〔１〕不同杆端约束的压杆的临界力，可用解压杆的挠曲线近似微分方程或用形状比较法求得。
〔２〕不同杆端约束细长压杆临界力的欧拉公式为22)(l EIF cr μπ=，式中μl 称为计算长度〔或有效长度〕，μ称为支座系数〔或长度系数〕。
当压杆在两个惯性平面内的μ值不同时，计算临界力应取较大的μ值。
〔３〕几种常见杆端约束的支座系数： ４．临界应力与柔度：细长压杆的临界应力公式为22λπσE cr =，式中il μλ=称为压杆的柔度，和压杆的长度、约束情况、截面形状及尺寸相关。
三、压杆的分类与临界应力总图１．柔度的分界值PP Eσπλλ22)(=；ba ss σλλ-=)(1式中a ，b 是与材料性质相关的常数，单位为ＭＰa 。
２．压杆的分类压杆根据其柔度的大小而分类，计算压杆临界应力时应先判断是何类压杆，然后选择相应的临界应力公式。
压杆可分为以下三类：〔１〕细长杆〔λ≥λP 〕：计算临界应力用欧拉公式22λπσEcr =〔欧拉双曲线公式〕； 〔２〕中长杆〔λs ＜λ＜λP 〕：计算临界应力用经历公式σcr ＝a －b λ〔雅辛斯基直线公式〕； 〔３〕粗短杆〔λ≤λs 〕：计算临界应力用压缩强度公式σcr ＝σs 〔或σb 〕。
３．临界应力总图临界应力总图如图10－1所示。
四、压杆稳定性的校核１．进展压杆稳定性的校核时，通常用平安系数法。
在建筑等行业常用折减系数法。
材料力学第九章-压杆稳定
Iy Iz
按照 Iy计算临界压力。
工程力学
例 按照 Iy计算临界压力。
F b z
h l
π 2 EI π 2 200 10 3 48 10 4 Fcr N 2 2 ( l ) (2 2500 )
37860N 37.86kN
若
y
h b 60mm
bh3 60 4 Iy Iz mm 108 10 4 mm 12 12
工程力学
三、其它支承情况下细长压杆的临界力 不同约束形式 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。 但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l
F
F
一端固定，一端自由， 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2l的 压杆的挠曲线的上半部 分相同。则临界压力:
工程力学
二、稳定性问题的分类 1.压杆的稳定性。2.板壳的稳定性。 本课程只讨论压杆的稳定性。
三、压杆的稳定与失稳 1．压杆的稳定性： 压杆维持其原有直线平衡状态的能力
2．压杆的失稳： 压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
工程力学
四、压杆失稳的原因 1)杆轴线本身不直(有初曲率)； 2)加载偏心； 3)压杆的材质不均匀；
4)外界干扰力。 五、失稳现象的特点 1.多样性。（如扭转、弯曲失稳，板、壳、柱） 2.整体性。构件失稳引起受力重新分配。整体失效、 整体分析。 3.破坏的突然性。应力在弹性范围，类似脆性破坏。
工程力学
• 1907年加拿大
魁北克大桥在 剪彩前突然坍 塌，600米长， 19000吨重的大
桥和86名建桥
3、中柔度杆的经验公式 对于 < p的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉 公式已经不适用。
按照 Iy计算临界压力。
工程力学
例 按照 Iy计算临界压力。
F b z
h l
π 2 EI π 2 200 10 3 48 10 4 Fcr N 2 2 ( l ) (2 2500 )
37860N 37.86kN
若
y
h b 60mm
bh3 60 4 Iy Iz mm 108 10 4 mm 12 12
工程力学
三、其它支承情况下细长压杆的临界力 不同约束形式 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。 但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l
F
F
一端固定，一端自由， 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2l的 压杆的挠曲线的上半部 分相同。则临界压力:
工程力学
二、稳定性问题的分类 1.压杆的稳定性。2.板壳的稳定性。 本课程只讨论压杆的稳定性。
三、压杆的稳定与失稳 1．压杆的稳定性： 压杆维持其原有直线平衡状态的能力
2．压杆的失稳： 压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
工程力学
四、压杆失稳的原因 1)杆轴线本身不直(有初曲率)； 2)加载偏心； 3)压杆的材质不均匀；
4)外界干扰力。 五、失稳现象的特点 1.多样性。（如扭转、弯曲失稳，板、壳、柱） 2.整体性。构件失稳引起受力重新分配。整体失效、 整体分析。 3.破坏的突然性。应力在弹性范围，类似脆性破坏。
工程力学
• 1907年加拿大
魁北克大桥在 剪彩前突然坍 塌，600米长， 19000吨重的大
桥和86名建桥
3、中柔度杆的经验公式 对于 < p的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉 公式已经不适用。
材料力学-10-压杆的稳定问题
其中a和b为与材料有关的常数，单位为MPa （P247） 。
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
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=2
i I d 10 mm A 4
p 100
l
s 60
2 375 s 75 P iБайду номын сангаас10
所以，丝杠属于中柔度杆
2）计算临界力 采用直线公式，查表得 a = 461 MPa、b = 2.568 MPa 丝杠的临界应力 丝杠的临界力 3）稳定性校核 丝杠的工作安全因数
第五节 压杆的稳定计算·安全因数法
一、压杆的稳定条件
F≤
Fc r ns t
或
n
Fcr F
≥ ns t
其中，nst 为规定的稳定安全因数，一般应高于强度安全因数 n 为实际的工作安全因数 说明： 1）对于等截面压杆，满足稳定条件一定满足强度条件。 2）压杆局部截面的削弱不会影响其整体的稳定性，但需补充对削 弱截面进行强度校核。
[例1] 千斤顶如图，已知丝杠长度 l = 375 mm，有效直径 d = 40 mm， 材料为45 钢，所受最大轴向压力 Fmax = 80 kN，规定的稳定安全系数 为 nst = 4，试校核丝杠的稳定性。
解： 1）计算丝杠柔度
丝杠可简化为一端固定、一端自由的压杆 长度因数 截面惯性半径 查表得 丝杠柔度
第七节 提高压杆稳定性的措施
一、从材料着手 1. 大柔度杆 结论：应提高弹性模量 E。因此，改变钢材的品牌型号对于提高
大柔度压杆的稳定性没有意义。
2. 中柔度杆
结论：选择高强度钢材有利于提高中柔度压杆的稳定性。
二、从柔度着手 降低压杆柔度 将显著提高压杆的稳定性 1）加固压杆两端约束，减小长度因数 2）减小杆长 l 3）采用合理的截面形状，使压杆在各个方向上的柔度 大致相等
FAB 2.27 F
2）计算 AB 杆柔度 查表得 Q235 钢的柔度界限值
p 100
AB 杆柔度
s 61.4
l
i 80
3）计算 AB 杆临界力
由于 s < < p ，AB 杆属于中长杆，
故采用直线公式计算其临界力
cr a b 214 MPa
E = 210 GPa，稳定安全因数 nst = 6 ，试确定活塞杆的直径。
解： 活塞杆承受的轴向压力
πD 2 F p 3980 N 4 活塞杆两端可视为铰支，假
设活塞杆为细长杆，则由欧 拉公式得其临界力
Fcr
π EI
2
l
2
π Ed 64l 2
3
4
D
p
d
F
根据压杆稳定条件
cr a b 268.4 MPa
Fcr cr A 337.1 kN
Fcr 337.1103 N n 4.21 nst 4 3 Fmax 80 10 N
所以，丝杠稳定性满足要求。
[例2] 液压装置的活塞杆如图，已知液压缸内径 D = 65 mm，油压 p = 1.2 MPa，活塞杆长度 l = 1250 mm，材料为 35 钢，p = 220 MPa，
Fcr π3 Ed 4 n ≥ nst 6 2 F 64l F
得活塞杆直径 d = 24.6 mm
故初步选取
此时，活塞杆柔度 35 钢柔度界限值
d 25mm
l
i
200
E 97
p π
p
由于 > p，故假设成立，计算有效，即可取
d 25mm
[例3] 如图，已知 AB 杆的直径 d = 40 mm，长 l = 800 mm；材料为 Q235 钢；AB 杆规定的稳定安全因数 nst = 2 ，试根据 AB 杆的稳定 条件确定构架的许可载荷 [ F ]。 解： 1）计算 AB 杆所受轴向压力 如图， 由 MC = 0 得
Fcr A cr 268 kN
4）确定许可载荷 根据压杆稳定条件 得
Fcr 268 103 N n ≥ nst 2 FAB 2.27 F
F ≤ 59.0 kN
所以，该构架的许可载荷
[ F ] 59.0 kN