高中数学常用思想方法

高中数学常用的思想方法

在高中数学里，思想方法是数学学科的灵魂，应用在教学内容里，体现在解决问题中，是知识和能力连接的桥梁。学生若能掌握一些常用的思想方法，在问题处理上将变被动为主动，积极探索，引领着步入数学的王国。下面总结一些常见的数学方法，以例题来进一步领会探究。

一、函数的思想

函数的思想，是用运动和变化的观点分析和研究数学的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系和构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决，经常利用的函数性质有单调性、奇偶性、周期性、对称性、最大值和最小值以及图像的变换等。

例1：已知函数f（x）=kx，g（x）= ，若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围。

分析：由f（x）≥g（x）可知k≥恒成立，转化为求k大于等于函数f（x）= 的最大值。

解：由题意可得 k≥在区间（0，+∞）上恒成立，令f（x）= 又f’（x）= 令f’（x）=0得x=

∴函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，当x= 时，函数f（x）有最大值，且最大值为。

∴k的取值范围为k≥

二、方程的思想

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析转化问题，使问题得以解决，方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。

例2：已知成等差数列的四个数之和为26，而第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列。

分析：常规方法利用已知求出a1与 d ，再求这四个数，此方法计算复杂，由于四个数的和已知，不如设这四个数依次为a-3d，a-d，a+d，a+3d.这样列方程求a和d会更简单，但应注意公差为2d。解：设成等差数列的这四个数依次是：a-3d，a-d，a+d，a+3d。由题设可知

（a-3d）+（a-d）+（a+d）+（a+3d）=26（a-d）（a+d）=40

解得a= d= 或a= d=-

∴这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2

函数思想和方程思想是密切相关的。函数问题可以转化方程问题来解决，而方程问题也有时可以转化为函数问题加以解决。如函数y=f（x）与函数y=g（x）的交点问题可转化为方程f（x）=g（x）的解的问题，而方程f（x）=0 是否有实根，有几个实根可转化为求函数y=f（x）是否有零点，有几个零点的问题。

例3：已知函数f（x）=x1nx，g（x）=-x2+ax-2，若函数y=f（x）与y=g（x）的图像恰有一个公共点，求a实数的值。

解：由题意，函数y=f（x）与y=g（x）的图像恰有一个公共点等价于f（x）- g（x）=x1nx+x2-ax+2=0在（0，+∞）上有且仅有一个根，即a=lnx+x+ 在（0，+∞）上有且仅有一个根，令h（x）=lnx+x+ ，则h’（x）= +1- = = （x+2）（x-1）

易知h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增

∴a= h（x）min=h（1）=3

三、数形结合思想

数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的思想方法。通过“以形助数，以数助形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

例4：把半径为1的四个球垒成两层放在桌面上，下层放三个，上层放一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的距离。

分析：四个小球的球心是成一个正四面体

解：因四个小球两两相切，球心连线恰好构成一个正四面体，如图：

因正四边形的棱长为2，作de⊥平面abc，则e是△abc的中心，易求得ec= ，de= =

所以小球最高点离桌面的距离为 +2（注意不要忘了再加2）

四、分类讨论思想

分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要

把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解决，实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。注意讨论时一定要做到不重不漏。

例5：已知函数f（x）=a1nx-ax-3 （a∈r）求函数f（x）的单调区间；

分析：先对f（x）求导，再根据a的取值范围求出f（x）的单调区间。

解：根据题意知，f（x）= （x>0）

当a>0时，f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）

当a<0时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）

当a=0时，f（x）不是单调函数。