算法案例---辗转相除法与更相减损术

淄博五中高一级部数学学案

孙天军

编号：课题：1.3.1 算法案例（1）--辗转相除法与更相减损术

授课人：备课时间：授课时间：课型：新授课

学案内容

〖学习目标〗

1．通过算法的典型案例，经历设计算法解决问题的全过程，感受算法解决问题的重要作用；

2．理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析,设计出这两种算法的程序框图并写出它们的算法程序；熟练运用这两种算法求最大公约数．

3．进一步体会算法的基本思想，发展有条理地思考与解决问题的能力，提高逻辑思维能力．

〖重点难点〗随记

重点：掌握辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法．

难点：对辗转相除法与更相减损术的算法的基本思想的理解.

〖导学过程〗

板块一：课前自学

1 ．回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑

结构）、程序语言（五种基本语句）．

2．回顾求两个数的最大公约数的方法．

①24与30的最大公约数．

②求较大的两个数210与462的最大公约数．

板块二：新知探究

1 ．问题提出：当两个数公有的质因数（如8251与6105）

较大时，用原来的显然困难，须改进算法，用什么方法好？

2 ．点拨：辗转相除法是解决上述问题的有效方法之一，

此算法是欧几里得在公元前300左右首先提出的，因而，又

叫欧几里得算法．

3．师生探究：

例1．用辗转相除法求8251与6105的最大公约数．

探究1：用辗转相除法求两个正数225和135的最大公约数．

探究2：辗转相除法算法步骤如何？其蕴含的数学原理是什么？

请画出用辗转相除法求两个数的最大大公约数的程序框图，并编写程序？

4．问题提出：除了用上述算法求两个数的最大公约数之外还有没有别的算法？

5．点拨：用“更相减损术”：更相减损术，是我国数学家刘徽的专著《九章算术》中记载的．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．翻译出来为：

第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．

6．师生再探：

例2 ．用更相减损术求91与49的最大公约数．

探究3:怎样用更相减损术求182与98的最大公约数?

探究4:用更相减损术求80与36的最大公约数，并用辗转相除法检验结果．探究5:“更相减损术”蕴含的数学原理是什么？

思考: “辗转相除法”与“更相减损术”的区别是什么？

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显．

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为则得到，而更相减损术则以减数与差而得到．

板块三：知识拓展

问题提出：如何求三个正整数的最大公约数？

例3．求三个数175、100、75的最大公约数．

板块四：课堂总结

1．“辗转相除法”与“更相减损术”都是求最大公约数有的效方法；

2．计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到．

3．求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三数的最大公约数来求得．

板块五：当堂反馈

1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）A．2 B．3 C．4 D．5

2．两个整数228和1995的最大公约数是（）

A．38 B．57 C．76 D．171

3．用更相减损术求得78与36 的最大公约数为( )

A．24 B．18 C．12 D．6

4．是我国古代数学专著《》中介绍的一种求两数最大公约数的方法．

5．求三个数324、243、135的最大公约数．

6．求四个数84、108、132，156的最大公约数．

7．利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数．

板块六：分层作业：A层做1—3题；B层做1—2题．

1．（1）36与182的最大公约数为；

（2）1978与2008的最大公约数为；

（3）1624与899的最大公约数为；

（4）204与85的最大公约数为；

2．用辗转相除法求下列两数的最大公约数，并用更相减损术检验你的结果（1）300，2007；（2）5280，12155．

3．求三个数168、56、264的最大公约数．

思考题：请设计用“更相减损术”求两个数的最大大公约数的程序．

板块七：课后学习反思：