分部积分法

ax c
dx
dv
1 ax c xd (e ) a
1 ( xe ax c e ax c dx ) a
这种类型通常是将指数函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（二）
P ( x) sin axdx
n
或
P ( x) cos axdx
e x sin x (e x cos x e x d cos x ) e x (sin x cos x ) e x sin xdx e x sin xdx
ex (sin x cos x ) C . 2
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
x ln xdx
x2 1 2 ln x x d (ln x) 2 2
x2 1 ln x x 2 C 2 4
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2 求下列不定积分
(1) x ln xdx
解： (2)
令
(2) arctan x dx
u arctanx,
2

x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x C
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（一）
Pn ( x) e ax c dx
其中
(a 0)
2 n
pn ( x) a0 a1 x a2 x an x
如
xe u


x arcsin x 1 x 2 C
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
训练题三 求下列不定积分
(1) ( x 1)e 2 x 1dx 1 (2 x 1)e 2 x 1 C
4
(2) ln xdx x(ln 2 x 2 ln x 2) C
解： 令 x t , dx 2tdt
e x dx 2 tet dt 2et (t 1) C
2e x ( x 1) C
或
e x dx
2 x e x d ( x )
2 x e
x
e xd( x)
2e x ( x 1) C
4.3 分部积分法
n
(a 0)
设为U
P ( x) arctan
n n
x dx
P ( x) arcsin x dx
即:这种类型通常是将幂函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
训练题二 求下列不定积分
2x dx (1) ln( 2 x 1)dx x ln( 2 x 1) 2x 1 1 x ln( 2 x 1) x ln( 2 x 1) C 2 x dx (2) arcsin xdx x arcsin x 2 1 x
2
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊例3 解： 求不定积分
e x sin xdx
出现循环, 怎么办?
e x sin xdx sin xde x e x sin x e x d (sin x ) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x

( x 2 e x 2 xe x dx )
( x 2 2 x 2)e x C
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2 求下列不定积分
(1) x ln xdx
解： (1) 令 u ln x,
(2) arctan x dx
1 xdx d ( x 2 ) dv 2 1 ln xd ( x 2 ) 2
经济数学
5.3
1. 分部积分法
分部积分法
形如
x cos xdx , x e x dx
用以往学过的方法能否解决
?
4.3 分部积分法
显然当被积函数是由两个不同类型函数
乘积时，直接积分和换元积分法不一定有效。
经济数学
1. 分部积分法
思考： 1. 导数运算与积分运算为互逆运算 2. 求两个不同类型函数之积的积分，能否从其导 数开始考虑？ 尝试解决的方法 利用两个连续可微函数乘积的求导法则.
uvdx uv uvdx,
(1) 不加积分常数 C ；
或
udv uv vdu
根据分部积分公式，关于 u, v 的选取原则：
v 要容易求得(通常要用凑微分法求得)，且由 dv 求 v 时，一般
(2) vdu 要比 udv 容易积出．
4.3 分部积分法
经济数学
经济数学
3. 分部积分公式应用
＊训练题三 求不定积分
e 2 x cos xdx
e cos xdx e 2 x d (sin x)
2x
e 2 x sin x 2 e 2 x sin xdx e 2 x sin x 2e 2 x cos x 4 e 2 x cos xdx

显然， , v u 选择不当，积分更难进行.
换之,若令
u x , cos xdx d (sin x) dv
x cos xdx xd (sin x) x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
4.3 分部积分法
经济数学
2. 分部积分公式
n
pn ( x)e ax dx ;
p ( x) sin bxdx;
n
i 0
pn ( x) arcsin xdx ;
pn ( x) ln axdx ;
p ( x) arctan xdx ;
n
e ax sin bxdx
4.3 分部积分法
设函数 u
u( x ) 和 v v ( x )具有连续导数,
uv uv uv,

uv uv uv ,
或
uvdx uv uvdx,
udv uv vdu
4.3 分部积分法
经济数学
2. 分部积分公式
设u,v是两个连续可微函数，则公式
uvdx uv uvdx,
分部积分法。
或
udv uv vdu

叫作分部积分公式。这种将被积函数的一部分积分先积出的方法叫做
它的作用在于把不易求的 udv 化为比较容易求出的 vdu 来计算. 应用分部积分公式的关键是：选择适当的u、dv

4.3 分部积分法
经济数学
x 2 e x 2 xe x dx ( x 2 2 x 2)e3 x C
(2)令 u
x 2 , sin xdx d (cosx) dv
－（ x２ cos x 2 x cos xdx )
则 x 2 sin xdx x d (cos x )
常见类型（四）
e sin bx dx
ax
或
e ax cos bx dx
(1) 需要分部积分两次,通过解积分方程完成计算; (2)
u, dv
的选取不影响计算积分的难易程度,但是
两次分部积分时
u, dv
的选取应相同.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
*
例4
求不定积分
e x dx
n
(a 0)
其中
pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
如
x u cos axdx dv
1 xd (sin ax ) a
这种类型通常是将三角函数先凑入微分号内.
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
训练题一 求下列不定积分
1 (1) x sin 2 xdx xd (cos 2 x) 2 1 ( x cos 2 x cos 2 xdx ) 2 1 1 x cos 2 x sin 2 x C 2 4 ( 2) x 2 e x dx x 2 d (e x )
3. 分部积分公式应用
例1 求不定积分 令

xe x dx
解：
u x , e x dx d (e x ) dv
x
思考:
(1) x 2 e x dx
(2) x 2 sin xdx
则 xe dx
xd (e
x
x
)
x
xe e dx
xe e C
x x
4.3 分部积分法
dx dv

x dx arctan xdx x arctan x 2 1 x
1 d (x2 ) x arctanx 2 1 x2 1 x arctan x ln(1 x 2 ) C 2
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
常见类型（三）
P ( x) ln ax dx
2. 分部积分公式
uvdx uv uvdx, 如 求积分 x cos xdx .
或
udv uv vdu

1 2 若令 u cos x , xdx dx dv 2 x2 x2 x cos xdx 1 cos xd ( x 2 ) cos x sin xdx 2 2 2
e2 x e cos xdx (sin x 2 cos x) C 5
2x
4.3 分部积分法
经济数学
3. 分部积分公式应用
课堂小结 1、合理选择 u, dv ，正确使用分部积分公式
2、常用分部积分法的有如下几种类型：
uvdx udv uv vdu
( pn ( x) ai x i )
经济数学
3. 分部积分公式应用
例2 解：（1）令 求下列不定积分
(1) x 2 e x dx
(2) x 2 sin xdx
u x 2 , e x dx d (e x ) dv
则 x 2 e x dx x 2 d (e x ) x 2e x e x d ( x 2 )