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指数函数

指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小

例 1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x

f c 的大小关系是_____．

分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x

x

b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．

∴函数()f x 在(]1-，

∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则3

21x

x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；

若0x <，则321x

x

<<，∴(3)(2)x x

f f >． 综上可得(3)(2)x

x

f f ≥，即()()x

x

f c f b ≥．

评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2

321(25)

(25)x

x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．

分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2

2

25(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x

y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >

．∴x 的取值范围是14⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题

例3 求函数y =

解：由题意可得2

16

0x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，

∞．

令2

6

x t -=，则y =

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2

061x -<≤，即01t <≤．

∴011t -<≤，即01y <≤．

∴函数的值域是[)01，

． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例4 函数221(01)x

x y a

a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．

分析：令x

t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x

t a =，则0t >，函数221x

x y a

a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．

∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，

∴

1x a a a ≤≤，即1

t a a

≤≤． ∴当t a =时，2

max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；

当01a <<时，∵[]11x ∈-，，

∴1x a a a ≤≤

，即1

a t a

≤≤， ∴ 1t a =时，2

max 11214y a ⎛⎫

=+-= ⎪⎝⎭

，

解得13a =

或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13

． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例5 解方程2

23

380x x +--=．

解：原方程可化为2

9(3)80390x x

⨯-⨯-=，令3(0)x

t t =>，上述方程可化为2

98090t t --=，解得9t =或

19

t =-（舍去）

，∴39x

=，∴2x =，经检验原方程的解是2x =．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数935x

y =⨯+的图象，可以把函数3x

y =的图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数935x y =⨯+转化为2

35x t +=+，再利用图象的平移规律进行判断．

解：∵2

9353

5x

x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可

得到函数935x

y =⨯+的图象，故选（C ）．

评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题

1、比较下列各组数的大小：

（1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较

与 ；

（4）若 ，且 ，比较a 与b ； （5）若

，且

，比较a 与b ．

分析：设 均为正数，则 ，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与1的大小．掌握指

数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对

；

对 ．用语言叙述即在y 轴右侧，底越大其图象越远离x 轴；在y 轴左侧，底越大，其图象越接近x 轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于1时，底越大，其图象越接近y 轴；当底均小于1时，底越小，其图象越接近y 轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，则其图象接近y 轴．当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）与（5）．

解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．

（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．

（3）由 ，因 ，故

．又 ，故 ．从而 ．