高中数学简单复合函数的求导法则

二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x)' [ f ( x) g ( x)]' f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' f ( x) f ( x)' g ( x) f ( x) g ( x)' [ ]' 2 g ( x) [ g ( x)]
a
1 x ln a
1 特别地(ln x) ; x 5.若y sin x, 则y / cos x;
/
6.若y cos x, 则y / sin x; 1 / 7.若y tan x, 则y ; 2 cos x 1 / 8.若y cot x, 则y 2 . sin x
u 0.05 x 1
(3) y sin( x ) 其中 , 均为常数.
yx ' yu ' ux ' (sin)' ( x )' cos u cos( x )
练习：求下列函数的导数 1 3 2 (1) y (2) y ax bx c 4 (1 3x)
2u , ux 3, 从而 yx y 则 yu u ux 18 x 12
练习:指出下列函数是怎样复合而成的. 1 3 （1） y sin (1 ) （2） y (1 sin 2 x)4 x （3） y cos ln( x 1)
2
（4） y ae
§5 简单复合函数的求导法则
一、基本初等函数的求导公式
1.若y c(c是常数),则y / 0; 2.若y x (是实数),则y / x 1; 3.若y a x (a 0, a 1),则y / a x ln a 特别地(e x ) / e x ; 4.若y log x(a 0, a 1),则y /
想一想 ???
1). 求函数y=(3x-2)2的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?
复合函数
一般地 , 对于两个函数 y f (u ) 和 u g ( x) , 如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函数 y f (u ) 和 u g ( x) 的复合函数,记作 y f ( g ( x))
12 y' (1 3x)5
2 1 y ' (ax 2 bx c) 3 (2ax b) 3
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(3) y e
ax2 bx
(4) y 1 ln 2 x
2
y ' (2ax b) eax
bx
y'
ln x x 1 ln 2 x
复合函数 y f ( g ( x)) 的导数和函数 y f (u ) , u g ( x) 的导数间的关系为 yx ' yu ' ux ' , 即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2,
2 x2 1
例：求下列函数的导数 (1) y (2 x 3)2
yx ' yu ' ux ' (u 2 )'(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e
0.05 x 1
yx ' yu ' ux ' (eu ) '(0.05x 1) ' 0.05e 0.05e