二重积分定义的函数求导
国开电大 工程数学(本) 形考任务1-5答案 (2)
国开电大工程数学(本) 形考任务1-5答案任务1答案在工程数学中，任务1通常包括对于给定的函数或方程求解、求导或求积分等基本运算。
以下是对任务1的答案：1.1 求解方程对于给定的方程，求解意味着找到使方程成立的变量的值。
解方程的一般步骤如下：1.将方程移项，整理为标准形式；2.根据运算法则，对方程进行简化；3.通过合适的代数运算，解出变量的值。
例如，对于方程2x+5=15，我们可以按照以下步骤求解：1.将方程移项得到2x=15−5；2.简化方程为2x=10；3.通过除法运算解出x的值，得到 $x = \\frac{10}{2}= 5$。
因此，方程2x+5=15的解为x=5。
1.2 求导求导是对给定函数的导数进行计算。
函数的导数反映了函数在每个点上的变化率。
求导的一般步骤如下：1.根据导数的定义，写出函数的导数表达式；2.使用导数的基本运算法则，对函数进行求导。
例如，对于函数x(x)=3x2+2x+1，我们可以按照以下步骤求导：1.写出函数x(x)的导数表达式为x′(x)=6x+2；2.使用导数的基本运算法则得到x′(x)=6x+2。
因此，函数x(x)=3x2+2x+1的导数为x′(x)=6x+2。
1.3 求积分求积分是对给定函数的积分进行计算。
函数的积分表示了函数在指定区间上的面积或曲线长度。
求积分的一般步骤如下：1.根据积分的定义，写出函数的积分表达式；2.使用积分的基本运算法则，对函数进行积分。
例如，对于函数x(x)=3x2+2x+1，我们可以按照以下步骤求积分：1.写出函数x(x)的积分表达式为 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx}$；2.使用积分的基本运算法则得到 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$，其中x为常数。
因此，函数x(x)=3x2+2x+1的积分为 $\\int{(3x^2 +2x + 1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$。
二重积分
z y 1 yx , x
z x y ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y yx x ln x y x ln x y y ln x
x y x y 2z.
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原结论成立．
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
我们已经知道，一元函数的定义域是数轴上的点集,而一元 函数的图形是平面上的点集（通常表现为一条平面曲线）。 我们也已经知道，二元函数的定义域是平面上的点集，那么， 二元函数的图形又是怎样的呢？
设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D ，对于任意 取定的 ( x, y) D ，对应的函数值为 z f ( x , y ) ， 这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐标、 z 为竖坐标 在空间就确定一点 M ( x , y , z ) ，当( x ,y)取遍 D 上 一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D}，所以说二元 函数的图形是空间的点集。通常表现为空间一 张曲面。
1 y y z ( 2 ) 2 2 y 2 x x y (1， 0) 0. 1 ( ) x x 1 y z ( )y (把x看成常量, 对y求导) y 2 x y 1 ( ) x 1 1 x z 2 2 y 2 x x y (1， 0) 1. 1 ( ) y x
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类似地可定义:
函数z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对y的偏导数 f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim lim y 0 y y 0 y z f 记作 | x x0 , | x x0 , z y | x x0 , f y ( x0 , y0 ). y y y 0 y y y 0 y y0 yz
大专高数知识点总结
大专高数知识点总结一、函数与极限1、函数的概念与性质函数关系的概念：若对于集合A中的每一个元素x, 通过一个确定的法则f，到达集合B中的唯一的一个元素y，则称y是关于元素x的函数，并记作y=f(x)。
其中，元素x称为自变量，元素y称为因变量，而f称为函数的解析式。
集合A称为函数的定义域，集合B称为函数的值域。
函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性。
2、极限的概念与性质极限的概念：当自变量x的取值无限接近于某一确定值时，因变量f(x)的取值趋于一个确定的值L，那么称f(x)当x趋于某一确定值时的极限为L，记作lim f(x) = L。
极限的性质：唯一性、保序性、极限的四则运算、无穷小量的性质。
3、导数的概念及计算导数的概念：函数y=f(x)在x_0处的导数定义为lim(x→x_0){f(x)-f(x_0)}/(x-x_0)。
导数的物理意义是函数图像在某一点的切线斜率。
导数的计算：基本导数公式、导数运算法则、高阶导数的计算。
4、微分的概念及应用微分的概念：对于函数y=f(x)，在点x_0处的微分dy=f'(x_0)dx。
微分的物理意义是函数在某一点处的局部线性近似。
微分的应用：微分中值定理、泰勒公式、误差估计。
5、函数的图像基本初等函数图像、函数的性质与图像。
二、不定积分与定积分1、不定积分的概念及计算不定积分的概念：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数F(x)称为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C。
不定积分的计算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数积分、三角函数积分、定积分的概念及计算。
2、定积分的概念及计算定积分的概念：将函数f(x)在区间[a,b]上的取值的“有向长度”累加起来，得到的数，称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫(a,b)f(x)dx。
定积分的计算：定积分的性质、变量代换法、分部积分法、定积分中值定理、定积分的应用。
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
二重积分的计算小结
二重积分的计算小结在数学中，二重积分是一种用来计算平面上曲线下的面积的方法。
它是定积分的扩展，可以用于计算更加复杂的形状的面积，例如圆形、椭圆形和弧形等。
在本文中，我们将详细介绍二重积分的计算方法，并提供一些重要的应用案例和技巧。
同时，我们还将讨论二重积分的性质以及它与其他数学概念的关系。
设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的实函数，将闭区域 $D$ 分成许多小的矩形区域，其中第 $i$ 个小矩形的面积为 $\Delta A_i$，选择任意一点 $(x_i^*, y_i^*)$ 作为该矩形的代表点，则二重积分的近似值可以表示为：$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*, y_i^*) \Delta A_i$$其中，$n$ 是划分区域时小矩形的个数，$\Delta A_i$ 是第 $i$ 个小矩形的面积。
当划分的小矩形越来越小，并且代表点 $(x_i^*, y_i^*)$ 在每个小矩形内部时，这个近似值将趋近于一个常数，即二重积分的值。
我们用符号 $\iint_D f(x,y) dA$ 表示二重积分的值，其中 $dA$ 表示对面积的微元。
接下来，我们将介绍几种计算二重积分的方法。
一、二重积分的计算方法1. 矩形法（Riemann和）：将区域 $D$ 划分为若干个小的矩形区域，计算每个矩形的面积和函数值，并将它们相加得到近似值。
2. 二次积分法（Fubini定理）：根据 Fubini 定理，我们可以将二重积分转化为两个一重积分的乘积：$$\iint_D f(x,y) dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy\right) dx$$3. 极坐标法：当区域 $D$ 的形状具有旋转对称性时，使用极坐标计算二重积分可以更加简便。
通过转化为极坐标系，并利用极坐标下的Jacobian 行列式，可以将原二重积分转化为对一重积分的积分。
4. 线性代换法：对于不规则区域，我们可以通过线性代换将其转换为规则区域，然后再进行计算。
8月5日二重积分+无穷级数[1]
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cos x) dx = 1.
建议 02 cos xdx = 02 sin xdx = 1
要背下来.
例(19xf ( y )dy = baf ( x) (b x)dx
证法一 交换积分次序,本来先积
I=
10dx
2 x
xf (x,y)dy.
例(1997年专升本试题)
交换二重积分
I=
10dx
fx2
0
(
x,
y
)
dy
+
12dx
2 0
xf ( x,y)dy
的积分次序.
23
12dy y2f ( x,y) dx = f ( x, y)dxdy D
= 12dx 1xf ( x, y )dy
故应选C.
例(1994年专升本试题)
D
= lim f ( 0 i=1
i,
i)
i.
2. 二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是
柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是
2
如果在 D 上，f (x,y) = 1, 且 D 的面
积
为 ,则
= 1d = d .
D
D
性质 4 对区域具有可加性,如果
D=D1+D2, 则
f (x,y)d = f (x,y)d + f (x,y)d .
解 根据后积先定限可知, 在 D
上, 1 y 2, 再根据限内一条
线,在D上,
y x 2, 于是 D 的图形如图所
示. 对积分交换顺序即得
21
根据后积先定限,限内一条线可知
D1 :
0 0
y x
y1; D2 :
高数一公式-自己的笔记
第一章 极限连续五种基本初等函数：（缺少定义域） 1．幂函数为实数）μμ(x y = 2．指数函数)1,0(≠>=a a a y x 3．对数函数 )1,0(log ≠>=a a x y a4．三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ====== 5．反三角函数x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====一、函数的极限：f(x)在x 0处极限存在的充分必要条件是f(x)在点x 0处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。
是否有极限与在x 0处有无定义无关。
两个重要极限公式:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=→∞→→e x e x x x x x x x x )11(lim ,)1(lim 1sin lim 100 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--→∞→∞nm n m n m ba b x b x b a x a x a x Q x P m m m n n n x x ,,0,......lim ,)()(lim 00110110可利用公式对于二、无穷小量：零可以作为无穷小量的唯一的数。
无穷小之商不一定无穷小。
无穷小量比较：设0lim ,0lim 0==→→βαx x x x。
不能在加减运算中使用除中使用注意：只能在乘存在，则且时性质：当时，当。
记为为等价无穷小量与时为同阶无穷小量。
与时则称在若为低阶无穷小量。
较时则称在若记为为高阶无穷小量较时则称在若,! ''limlim ''lim ,'~,'~~1,2~cos 1,~)1ln(,~tan ,~sin 0~,1A ,,0A lim ,,lim )(,,,0lim00000002000βαβαβαββααβαβαβαβαβαβαβοαβαβαx x x x x x xx x x x x x x x xe x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→=→--+→=→≠=→∞==→=三、函数连续的三要素1〉f(x)在x 0处有定义；2〉0x x →时f(x)有极限；3〉极限值等于该点的函数值。
重积分运算的常用解法
重积分运算的常⽤解法积分运算的常⽤⽅法Warren K引⾔：本学期课程的⼀⼤重点在于重积分的运算、利⽤重积分解决实际问题的微元法以及线⾯积分及其应⽤。
这⾥根据⾃⼰学习的⼀些⼼得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结⼀些积分运算的常⽤⽅法。
⼀、⼆重积分（1）、化为累次积分公式==bax y x y dcy x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f )(2)(1)(2)(1)(),(),(),(例1:计算??)(s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域.解将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得855])2[(5.02142212)(2=-+==--+dy y y y xydx dyxyds y s y 如果⽤直线把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。
先对y 后对x 积分得--+=412)(xx x xs xydy dx xydy dx xyds由上式可以得出同样的结果，但这种⽅法显然要⿇烦⼀些。
从这也可以看到，计算⼆重积分时，选取适当的积分顺序是⼀个值得注意的问题。
如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的⿇烦，⽽且可能导致积分⽆法算出。
（2）、化为极坐标若积分域（S ）与被积函数f(x,y)⽤极坐标表⽰更为简便，则应考虑将其化为极坐标的⼆重积分来计算。
为此，建⽴极坐标系，令极点与xOy 直⾓坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。
利⽤直⾓坐标与极坐标的转换公式),20,0(sin ,cos π?ρ?ρ?ρ≤≤+∞≤≤==y x将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为).sin ,cos (),(?ρ?ρf y x f =接下来就是把⾯积微元由极坐标表⽰出来，.?ρρ??≈?s从⽽==βα?ρ?ρρρ?ρ?ρ??ρρ?ρ?ρ)()(21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f ss=??ba d f d )()(21)sin ,cos (ρ?ρ??ρ?ρ?ρρ例2：)0()(41022222>+-=??-+--a dy y x a dx I ax a a x解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算.a d a d I a 224sin 2022-=-=??--πρρρθπθ（3）、曲线坐标下⼆重积分的计算法 1.正则变换⼆重积分??)(),(s ds y x f作变换.)(),()(),(),,(),,(22R s v u R s y x y x v v y x u u ?'∈?∈==若以下三个条件满⾜,则称上变换为⼀正则变换. a 、函数));((,)1(σC v u ∈b 、Jacobi ⾏列式);(),(,0),(),(σ∈?≠=??y x v u v u y x v u yyx x c 、此变换将域)(σ⼀⼀对应地映射为).(σ'2.x0y 坐标系下的⼆重积分与uOv 坐标系下⼆重积分之间的关系为σσσσ'??='d v u y x v u y v u x f d y x f ),(),()],(),,([),()( 例3：求-=σσd x y I )(，其中)(σ是由直线53,973,3,1+-=+-y x y x y x y 所围成的区域。
高数导数和积分大全
-1
1 6
区域
y y y2(x)
D {( x, y) | y1( x) y y2( x), a x b }
D
称为 X – 型区域
y y1( x)
oa
bx
定理
设 f ( x, y)在 X- 区域 D 上连续，y1( x ) ,
y2( x ) 在 [ a, b ] 连续，则
f ( x, y)d x d y
一、基本初等函数导数公式
(C) 0 (sin x) cos x (tan x) sec2 x (sec x) sec xtanx
(x ) x1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc xcotx
( a x ) a x ln a
(loga
1
xdx
2 (x2 1)dx
0
0
1
1 2
x2
|10
(1 3
x3
x)
|12
23 6
四、 定积分的换元法和 分部积分法
定理 （定积分的换元公式）
设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续；函数 x (t)
在 [ , ] 上单值且有连续导数；当 t
时，有 (t) [a,b]，且 ( ) a, ( ) b
dy 1 du u
du sin v dv
dv ex dx
dy 1 ( sin v )ex 1 (sinex )ex
dx u
cos ex
练习：求下列函数的导数
1、y ex3 2、y 2x sin x 3、y ln tan x
2 4、y xex
5、y 2x 1 sin x
6、y 3x e x 7、y x2 x 3 8、y 5x4 3x2 1
高等数学基本知识点大全
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质；换元积分法与分部积分法；有理函数的积分；定积分的概念与性质；微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）；定积分的换元法和分部积分法；反常积分（无穷限的反常积分、无界函数的反常积分）
5
多元函数微分学
多元函数的概念及性质；复合函数求导（链式求导规则）；全导数、全微分形式不变性；隐函数求导法；多元函数的极值与最值问题（条件极值与拉格朗日乘数法、无条件极值）；多元函数的泰勒公式
高等数学基本知识点大全
序号
知识点类别
具体内容
1
函数与极限
函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性等）；反函数、复合函数及函数的运算；初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）；极限的定义及性质（数列极限、函数极限）；求极限的方法（单调有界准则、夹逼准则、洛必达法则等）；无穷小与无穷大的概念与性质
2
导数与微分
导数的定义及几何意义（切线斜率）；可导与连续的关系；求导的方法（导数定义法、基本公式法、四则运算法、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、对数求导法等）；高阶导数的定义及运算法则；微分的概念，基本初等函数的微分公式与微分运算法则；微分在近似计算中的应用
3
微分中值定理与导数的应用
微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等）；洛必达法则（用于求解未定式极限）；泰勒公式（函数在某点的泰勒展开式）；导数的应用（函数的单调性、曲线的凹凸性、函数的极值与最值、函数图形的描绘、曲率等）
6ห้องสมุดไป่ตู้
重积分
二重积分的概念与性质；二重积分的计算（直坐标系与换序、极坐标系与换序）；二重积分的应用（面积、体积、质量、质心坐标、转动惯量等）；三重积分的概念与计算；三重积分的应用
二重积分求导公式
二重积分求导公式二重积分的定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则D上存在积分∬D f(x,y)dA=lim_{n->∞}∑_{i=1}^{n}∑_{j=1}^{m}f(x_{ij},y_{ij})△A_{ij}其中(x_{ij},y_{ij})是D中随意选取的点，△A_{ij}表示D中与这个点对应的小矩形面积。
我们知道，对于一重积分，求导公式是导数和原函数的关系，即∫f'(x)dx=f(x)+C。
类似地，对于二重积分，我们可以利用二重积分与原函数的关系来推导求导公式。
设函数F(x,y)是f(x,y)的一个原函数，那么根据二重积分的定义，有∬Df(x,y)dA=F(x,y)，_D其中F(x,y)，_D表示F(x,y)在D上的定积分。
我们可以利用定积分的求导方法来推导二重积分的求导公式。
首先，我们来考虑二重积分的上限函数。
设函数G(y)=F(b,y)，其中F(x,y)是f(x,y)的一个原函数。
则根据定积分的求导公式，有d/dy ∫_{a}^{b} F(x,y)dx=G'(y)即∫_{a}^{b} ∂f(x,y)/∂y dx=G'(y)将该结果代入二重积分的定义中，有d/dy ∬_{D} f(x,y)dA=∫_{a}^{b} ∂f(x,y)/∂y dx根据混合偏导数的对称性定理，可以将偏导数的求导顺序颠倒，得到d/dy ∬_{D} f(x,y)dA=∬_{D} ∂f(x,y)/∂y dA类似地，我们可以推导出对x的求导公式。
设函数H(x)=F(x,d)，其中F(x,y)是f(x,y)的一个原函数。
则根据定积分的求导公式，有d/dx ∫_{c}^{d} F(x,y)dy=H'(x)即∫_{c}^{d} ∂f(x,y)/∂x dy=H'(x)将该结果代入二重积分的定义中，有d/dx ∬_{D} f(x,y)dA=∫_{c}^{d} ∂f(x,y)/∂x dy根据混合偏导数的对称性定理，可得到d/dx ∬_{D} f(x,y)dA=∬_{D} ∂f(x,y)/∂x dA综上所述，我们得到了二重积分的求导公式：d/dy ∬_{D} f(x,y)dA=∬_{D} ∂f(x,y)/∂y dAd/dx ∬_{D} f(x,y)dA=∬_{D} ∂f(x,y)/∂x dA这个公式说明，对于二重积分而言，可以将求导符号和积分符号交换位置。
考研数学公式大全
考研数学公式大全数学是考研的核心科目之一，而掌握必要的数学公式则是取得好成绩的关键。
以下是一份考研数学公式大全，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计中的重要公式，希望能对备考研究生入学考试的同学有所帮助。
一、高等数学1、求导法则本文1)链式法则：f(u)f'(u)=f'(u)du本文2)乘积法则：f(u)g(u)=f'(u)g(u)+f(u)g'(u)本文3)指数法则：f(u)^n=nu'f(u)/(n-1)!2、求极值本文1)极值条件：f'(x)=0本文2)极值定理：f(x)在x=a处取得极值，则f'(a)=03、积分公式本文1)牛顿-莱布尼茨公式：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F'(x)=f(x)本文2)微分定理：d/dx∫f(x)dx=f(x)本文3)积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点c∈[a,b]，使得∫f(x)dx=f(c)(b-a)4、不定积分公式本文1)幂函数积分：∫x^n dx=(n+1)/n+1 x^(n+1)/n+1+C本文2)三角函数积分：∫sinx dx=cosx+C，∫cosx dx=-sinx+C 5、定积分公式本文1)矩形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+y^2)/2本文2)梯形法：若a<=x<=b，a<=y<=b，则∫(a,b)(x^2+y^2)dx=∫(a,b)x^2 dx+∫(a,b)y^2 dx=(b-a)(x^2+[by]+[ax])/3二、线性代数6、行列式公式本文1)行列式展开式：D=a11A11+a12A12+...+an1An1，其中Aij为行列式中第i行第j列的代数余子式本文2)范德蒙行列式：V=(∏i=1n[(x-a)(i-1)]^(n-i)) / (∏i=1n[(x-a)(i-1)])，其中ai为行列式中第i行第i列的元素7、矩阵公式本文1)矩阵乘法：C=AB，其中Cij=∑AikBkj，k为矩阵乘法的维数本文2)逆矩阵：A^-1=(1/∣A∣)A，其中∣A∣为矩阵A的行列式值，A为矩阵A的伴随矩阵8、向量公式本文1)向量内积：〈a,b〉=a1b1+a2b2+...1、求导法则本文1)链式法则：若f是一个包含x和函数u=u(x)，则f' = f'[u(x)] * u'(x)。
考研数学公式大全
考研数学公式大全考研数学对于许多考生来说是一座难以逾越的大山，而熟练掌握各类公式则是攻克这座大山的重要武器。
以下为大家整理了一份较为全面的考研数学公式，希望能助大家一臂之力。
一、高等数学部分1、函数、极限与连续（1）极限的四则运算法则：若 lim f(x) ＝ A，lim g(x) ＝ B，则 limf(x) ± g(x) ＝ lim f(x) ± lim g(x) ＝ A ± B；lim f(x) · g(x) ＝ lim f(x) · limg(x) ＝ A · B；lim f(x) ／ g(x) ＝ lim f(x) ／ lim g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）。
（2）两个重要极限：lim （sin x ／ x) ＝ 1 （x → 0）；lim （1 ＋ 1 ／ x)＾x ＝ e （x → ∞）。
（3）无穷小量的性质：有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量。
（4）函数连续的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x₀的某一邻域内有定义，如果 lim （x → x₀) f(x) ＝ f(x₀)，则称函数 f(x) 在点 x₀处连续。
2、一元函数微分学（1）导数的定义：f'（x₀) ＝ lim （Δx → 0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。
（2）基本导数公式：（x^n)＇＝ nx^（n 1)；（sin x)＇＝ cos x；（cos x)＇＝ sin x；（e^x)＇＝ e^x；（ln x)＇＝ 1 ／ x。
（3）导数的四则运算法则：f(x) ± g(x)＇＝ f'（x) ± g'（x)；f(x) · g(x)＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)；f(x) ／ g(x)＇＝ f'（x)g(x)f(x)g'（x) ／ g(x)＾2 （g(x) ≠ 0）。
二重积分定义的函数求导
偏导数等知识讨论此问题)
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考研数学公式总结
考研数学公式总结考研数学是众多考生面临的一大挑战，而熟练掌握各种公式是取得好成绩的关键。
以下为大家总结了考研数学中一些重要的公式。
一、高等数学部分1、函数、极限与连续（1）极限的四则运算法则：若 lim f(x) ＝ A，lim g(x) ＝ B，则 lim f(x) ± g(x) ＝ lim f(x) ± lim g(x) ＝ A ± B；lim f(x) · g(x) ＝ lim f(x) · lim g(x) ＝ A · B；lim f(x) ／ g(x) ＝ lim f(x) ／ lim g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）（2）两个重要极限：lim （sin x ／ x) ＝ 1 （x → 0）；lim （1 ＋1/x)＾x ＝ e （x → ∞）（3）无穷小量的性质：有限个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量；无穷小量与有界量的乘积是无穷小量。
2、导数与微分（1）基本导数公式：（C)＇＝ 0 （C 为常数）；（x^n)＇＝ nx^（n 1) ；（sin x)＇＝ cos x ；（cos x)＇＝ sin x ；（e^x)＇＝ e^x ；（ln x)＇＝ 1 ／ x ；（log_a x)＇＝ 1 ／（x ln a)（2）导数的四则运算法则：u(x) ± v(x)＇＝ u'（x) ± v'（x) ；u(x) · v(x)＇＝ u'（x) · v(x) ＋ u(x) · v'（x) ；u(x) ／ v(x)＇＝ u'（x) · v(x) u(x) · v'（x) ／ v(x)＾2 （v(x) ≠ 0）（3）复合函数求导法则：设 y ＝ fg(x)，则 y' ＝ f'g(x) · g'（x)（4）隐函数求导法则：方程 F(x, y) ＝ 0 确定 y 是 x 的隐函数，两边对 x 求导，解出 y' 。
高等数学教材课后答案解析
高等数学教材课后答案解析一、导数与微分1. 函数极限与连续的基本概念在高等数学教材的第一章中，主要介绍了函数极限与连续的基本概念。
函数极限是研究函数性质的重要工具，而连续性又是函数是否光滑连续的重要标志。
2. 导数的概念与求导公式在这一章节中，我们讨论了导数的概念以及求导的公式。
通过求导，可以确定函数的变化趋势以及函数的性质。
在求导的过程中，需要熟练掌握基本的求导公式，如常函数导数为零、幂函数导数公式等。
3. 高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的进一步推广，它可以衡量函数变化的速率变化。
在这一节中，我们需要掌握求高阶导数的方法，如使用多次求导的方法。
4. 微分与微分中值定理微分是导数的重要应用，它可以近似地估计函数的变化。
微分中值定理是微分学中的重要定理，它可以帮助我们理解函数的性质。
二、二元函数与多元函数的导数学1. 二元函数的极限及连续二元函数是一种含有两个自变量的函数，它在实际问题中的应用较为广泛。
在这一章节中，我们需要学习二元函数极限的概念以及二元函数的连续性。
2. 偏导数与全微分偏导数是多元函数导数的一种推广，它可以衡量函数在某个自变量方向上的变化速率。
全微分是微分学中的重要概念，它可以帮助我们理解多元函数的性质。
3. 隐函数与参数方程求导在实际问题中，我们会遇到一些隐含的函数关系或参数方程，需要通过求导来确定函数的变化规律。
掌握隐函数与参数方程求导的方法是十分重要的。
4. 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值问题是数学分析中的经典问题，它有助于我们研究多元函数的性质。
在这一章节中，我们需要学习多元函数极值的判定条件以及求解极值的方法。
三、重积分学1. 二重积分与三重积分的概念重积分是积分学中的重要内容，它可以用于求解面积、体积等实际问题。
在这一章节中，我们需要学习二重积分与三重积分的概念以及它们的性质。
重积分的计算是数学分析中的重要内容，掌握计算技巧对于解决实际问题非常关键。
在这一节中，我们需要学习换元法、极坐标法等计算重积分的方法。
mathematica二重积分
mathematica二重积分Mathematica是一款强大的数学软件，可以用于进行各种数学计算和图形绘制。
其中，二重积分是数学中的重要概念之一，可以用于求解曲边梯形的面积、曲线与坐标轴所围成的面积等问题。
在Mathematica中，我们可以通过使用内置函数来进行二重积分的计算。
首先，我们需要理解什么是二重积分。
简单来说，二重积分就是对一个平面上的二元函数进行积分运算。
设函数为f(x,y)，则二重积分的计算可以表示为∫∫f(x,y)dS，其中dS表示微元面积。
在Mathematica中，我们可以使用Integrate函数来进行二重积分的计算。
例如，如果要计算函数f(x,y)在区域D上的二重积分，可以使用以下语句：Integrate[f[x, y], {x, ymin, ymax}, {y, xmin, xmax}]其中，f[x, y]表示被积函数，{x, ymin, ymax}和{y, xmin, xmax}表示被积区域的范围。
以下是一个具体的例子。
假设我们要计算函数f(x,y) = x^2 +y^2在区域D: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= x上的二重积分。
可以使用以下代码进行计算：f[x_, y_] := x^2 + y^2;Integrate[f[x, y], {x, 0, 1}, {y, 0, x}]运行以上代码，Mathematica会返回计算结果1/2。
除了使用Integrate函数，我们还可以使用NIntegrate函数来进行数值积分的计算。
数值积分适用于无法通过解析方法计算的积分问题。
例如，假设我们要计算函数f(x,y) = Sin[x*y]在区域D: 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1上的二重积分。
可以使用以下代码进行计算：f[x_, y_] := Sin[x*y];NIntegrate[f[x, y], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]运行以上代码，Mathematica会返回计算结果0.499821。
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t
t
t
（ x，t）
t
从而
（' t） = （' t）（P （ t），t）- （' t）（P （ t），t）+ （t） （P x，t）dx
（ t）
t
即我们得到
定理 2 函数 （ t）及区域 D 定义同上，我们有
（（ t），t）
（ （ t），t）
（' t） = （' t）
（f （ t），y，t）dy - （' t）
!（ t）
我们知道，如果 g（t）= （f x）dx，其中 "（t），!（t）关于 t 均可导，（f x）连续，那么 g（t）可导，且 "（ t）
g（' t） = （f !（ t））!（' t）_ （f "（ t））"（' t）
（l）
如果
!（ t）
g（ t） = （f x，t）dx "（ t）
其中 "（ t），!（ t）关于 t 均可导，（f x，t）关于 x 连续，关于 t 可偏导，那么 g（ t）是否可导，导数将是怎
样的呢？
此问题虽然很常见，但用一元函数定积分的知识还不能完整地给出解答. 让我们用二元函数
偏导数等知识讨论此问题.
!（ t）
先考虑特殊情形 g（0 t） = 0 （f x，t）dx
!（ t +!t）
显然 g（ t + !t） =
（f x，t + !t）dx，所以
0
!（ t +!t）
!（ t）
g（ t + !t）_ g（ t） =
引证文献(2条)
1.韩广华.戴更新.孟瑶 可替代性服务备件的末次备货问题研究[期刊论文]-科学技术与工程 2008(3) 2.钮宏霞 变限积分求导公式在高维典型立体上的推广[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(20)
本文链接：/Periodical_gdsxyj200602017.aspx
D
（ t） （ x，t）
（ t） = dx （f x，y，t）dy （ t） （ x，t）
（3）
这样，我们反复利用公式（2），便能得到 （ t）的导数. 实际上，令
（ x，t）
（P x，t） =
（f x，y，t）dy
（ x，t）
由公式（2），我们有
（P x，t） = （ x，t）（f x，（ x，t），t）- （ x，t）（f x，（ x，t），t）+ （x，t） （f x，y，t）dy
（f （ t），y，t）dy +
（（ t），t）
（ （ t），t）
（t） （ x，t）（f x，（ x，t），t）dx - （t） （ x，t）（f x，（ x，t），t）dx + （f x，y，t）dxdy
（ t）
t
（ t）
t
t
D
下面举一例来说明此公式的应用.
2-t
t-x
例 1 设 F（ t） = dx （ x - y + t）dy，求 F（ t）的极值点.
高等数学研究
Vol. 9，No. 2
40
STUDIES IN C0LLEGE MATHEMATICS
Mar. ，2006
二重积分定义的函数求导
杨士林 彭良雪 （北京工业大学应用数理学院 北京 l00022）
摘 要 讨论二重积分定义的函数的求导问题 关键词 二重积分；导数；偏导数 中图分类号 0l72
偏导，则 g（ t）可导，且导数为
g（' t） =
!（' t）（f !（ t），t）_ "（' t）（f "（ t），t）+
!（t） $（f x，t）dx "（t） $t
（2）
对于一个给定的区域 D，其上的二重积分
收稿日期：2005. 0l - 23
第 9 卷第 2 期
杨士林，彭良雪：二重积分定义的函数求导
二重积分定义的函数求导
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
杨士林， 彭良雪 北京工业大学应用数理学院,北京,100022
高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2006,9(2) 2次
参考文献(2条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 1980 2.刘玉链;傅沛仁 数学分析讲义 2001
41
（f x，y，t）dxdy
D
定义了 t［ ，］的一个函数，如何求此函数的导数呢？此问题的一般形式较复杂，我们只对某些特 殊的情形加以讨论.
假定区域 D 满足 D：（ x，t） y （ x，t），（ t） x （ t）， t ，其中 t 是参数，令
首先将（3）化成累次积分
（ t） = （f x，y，t）dxdy
!（t）（f x，t
0
+
!t）_ !t
（f
x，t）dx
+
!（ t
+
!t）_ !t!（ t）Biblioteka f #，t +!t）
令 !-0，我们得到
g（' t） =
!（ t） 0
$（f $t
x，t）dx
+
!（' t）（f !（ t），t）
一般地，我们有
!（ t）
定理 l 设 g（ t）= （f x，t）dx，其中 "（ t），!（ t）关于 t 均可导，（f x，t）关于 x 连续，关于 t 可 "（ t）
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（f x，t + !t）dx _ （f x，t）dx =
0
0
!（ t）
!（ t +!t）
［（f x，t + !t）_ （f x，t）］dx +
（f x，t + !t）dx
0
!（ t）
因此，由积分中值定理可知，存在 # 在 !（ t）和 !（ t + !t）之间，使得
g（ t
+
!t）_ !t
g（ t） =
0
0
解 由定理容易知道
2t -2
2-t
2-t
t-x
F（' t） = - （2 - y）dy + 2xdx + dx dy
0
0
0
0
即
F（' t） = - 1 t2 - 4t + 6 2
令 F（' t） = 0 得 t = - 4 : 2 !7. 容易知道它们均是极大值点. 我们现在给出一种特殊情形：函数 （ t）及区域 D 定义同上，但 ， 仅是 x 的一元函数，而 f 是
x，y 的二元函数，则有
（（ t））
（ （ t））
（' t） = （' t） （f （ t），y）dy - （' t） （f （ t），y）dy
（（ t））
（ （ t））
参考文献
［1］刘玉链，傅沛仁编. 数学分析讲义（ 第三版）. 高等教育出版社，2001 年. ［2］华东师范大学数学系编. 数学分析. 高等教育出版社，1980.