二重积分定义的函数求导

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t
t
t
（ x，t）
t
从而
（' t） = （' t）（P （ t），t）- （' t）（P （ t），t）+ （t） （P x，t）dx
（ t）
t
即我们得到
定理 2 函数 （ t）及区域 D 定义同上，我们有
（（ t），t）
（ （ t），t）
（' t） = （' t）
（f （ t），y，t）dy - （' t）
（f （ t），y，t）dy +
（（ t），t）
（ （ t），t）
（t） （ x，t）（f x，（ x，t），t）dx - （t） （ x，t）（f x，（ x，t），t）dx + （f x，y，t）dxdy
（ t）
t
（ t）
t
t
D
下面举一例来说明此公式的应用.
2-t
t-x
例 1 设 F（ t） = dx （ x - y + t）dy，求 F（ t）的极值点.
D
（ t） （ x，t）
（ t） = dx （f x，y，t）dy （ t） （ x，t）
（3）
这样，我们反复利用公式（2），便能得到 （ t）的导数. 实际上，令
（ x，t）
（P x，t） =
（f x，y，t）dy
（ x，t）
由公式（2），我们有
（P x，t） = （ x，t）（f x，（ x，t），t）- （ x，t）（f x，（ x，t），t）+ （x，t） （f x，y，t）dy
!（t）（f x，t
0
+
!t）_ !t
（f
x，t）dx
+
!（ t
+
!t）_ !t
!（ t）（f #，t +
!t）
令 !-0，我们得到
g（' t） =
!（ t） 0
$（f $t
x，t）dx
来自百度文库
+
!（' t）（f !（ t），t）
一般地，我们有
!（ t）
定理 l 设 g（ t）= （f x，t）dx，其中 "（ t），!（ t）关于 t 均可导，（f x，t）关于 x 连续，关于 t 可 "（ t）
样的呢？
此问题虽然很常见，但用一元函数定积分的知识还不能完整地给出解答. 让我们用二元函数
偏导数等知识讨论此问题.
!（ t）
先考虑特殊情形 g（0 t） = 0 （f x，t）dx
!（ t +!t）
显然 g（ t + !t） =
（f x，t + !t）dx，所以
0
!（ t +!t）
!（ t）
g（ t + !t）_ g（ t） =
0
0
解 由定理容易知道
2t -2
2-t
2-t
t-x
F（' t） = - （2 - y）dy + 2xdx + dx dy
0
0
0
0
即
F（' t） = - 1 t2 - 4t + 6 2
令 F（' t） = 0 得 t = - 4 : 2 !7. 容易知道它们均是极大值点. 我们现在给出一种特殊情形：函数 （ t）及区域 D 定义同上，但 ， 仅是 x 的一元函数，而 f 是
偏导，则 g（ t）可导，且导数为
g（' t） =
!（' t）（f !（ t），t）_ "（' t）（f "（ t），t）+
!（t） $（f x，t）dx "（t） $t
（2）
对于一个给定的区域 D，其上的二重积分
收稿日期：2005. 0l - 23
第 9 卷第 2 期
杨士林，彭良雪：二重积分定义的函数求导
二重积分定义的函数求导
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
杨士林， 彭良雪 北京工业大学应用数理学院,北京,100022
高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS 2006,9(2) 2次
参考文献(2条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 1980 2.刘玉链;傅沛仁 数学分析讲义 2001
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（f x，y，t）dxdy
D
定义了 t［ ，］的一个函数，如何求此函数的导数呢？此问题的一般形式较复杂，我们只对某些特 殊的情形加以讨论.
假定区域 D 满足 D：（ x，t） y （ x，t），（ t） x （ t）， t ，其中 t 是参数，令
首先将（3）化成累次积分
（ t） = （f x，y，t）dxdy
x，y 的二元函数，则有
（（ t））
（ （ t））
（' t） = （' t） （f （ t），y）dy - （' t） （f （ t），y）dy
（（ t））
（ （ t））
参考文献
［1］刘玉链，傅沛仁编. 数学分析讲义（ 第三版）. 高等教育出版社，2001 年. ［2］华东师范大学数学系编. 数学分析. 高等教育出版社，1980.
引证文献(2条)
1.韩广华.戴更新.孟瑶 可替代性服务备件的末次备货问题研究[期刊论文]-科学技术与工程 2008(3) 2.钮宏霞 变限积分求导公式在高维典型立体上的推广[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(20)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200602017.aspx
高等数学研究
Vol. 9，No. 2
40
STUDIES IN C0LLEGE MATHEMATICS
Mar. ，2006
二重积分定义的函数求导
杨士林 彭良雪 （北京工业大学应用数理学院 北京 l00022）
摘 要 讨论二重积分定义的函数的求导问题 关键词 二重积分；导数；偏导数 中图分类号 0l72
!（ t）
我们知道，如果 g（t）= （f x）dx，其中 "（t），!（t）关于 t 均可导，（f x）连续，那么 g（t）可导，且 "（ t）
g（' t） = （f !（ t））!（' t）_ （f "（ t））"（' t）
（l）
如果
!（ t）
g（ t） = （f x，t）dx "（ t）
其中 "（ t），!（ t）关于 t 均可导，（f x，t）关于 x 连续，关于 t 可偏导，那么 g（ t）是否可导，导数将是怎
（f x，t + !t）dx _ （f x，t）dx =
0
0
!（ t）
!（ t +!t）
［（f x，t + !t）_ （f x，t）］dx +
（f x，t + !t）dx
0
!（ t）
因此，由积分中值定理可知，存在 # 在 !（ t）和 !（ t + !t）之间，使得
g（ t
+
!t）_ !t
g（ t） =