第一次数学危机
历史上的三次数学危机
历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050)在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展.在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话.第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0./悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论.今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的!第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机.第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的:(x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1)2#x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得v yv x=(x+v x)n-x nv x=n#x n-1+n(n-1)2#x n-2#v x+,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1,最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1.哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0.现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱.十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机.第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了.一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波.十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的实际问题教学不能忽视可行性王满成(湖南城步教研室422500)文[1]通过课本习题演变,进而与生产实际密切相联,这是很可贵的,这正是当前中学数学教学所积极倡导的.但是,一个生产实际问题的解答方案应考虑其可行性.[1]中说:/开挖点E应离D 点33413米,就能使A、C、E三点在同一直线上0这几乎是不可能的事!因为过D作一满足N BDE =50b,DE=33413米的线段有无穷多条,当且仅当B、C、E、D四点共面时,方案才成立:但怎样保证共面,方案也未提及!笔者曾在邵阳市大圳灌区工程指挥部当过施工员(技术员),有过打遂洞两边同时施工的实践经验,现给出一个方案,供老师参考.旨在教师在这方面的教学中更贴近生产实际.第一步:过A、C两点拉线至B1(打一桩),再过C、B1拉线至B2(打一桩,因地形变化,在B1处需一人垂铅,使CB2上一点的射影落在B1上).如此下去,直至得到点G、F.第二步:采用[1]中的方案(或[1]中其它学生的设计方案).第三步:调整.当DE=33413米,且E点恰好落在GF上,问题解决;若E点落在GF的上侧或下侧,则需进行调整.显然,这种方案虽然在理论上讲得过去,但由于地形地貌的复杂性,在实际操作中可能会遇到困难,还需根据具体情况,再设法解决.参考文献1杨海燕.一堂开放型应用题教学实录.数学通报.2001年第7期/罗素悖论0影响最大.罗素构造了一个集合:B={X|X|X},也就是说:把一切不以自身为元素的集合X作为元素,这样的集合记为B.罗素问道:B是否属于B?回答试试看!若B I B,即B是B的元素,则B应满足集合B中的元素的条件,于是有B|B;若B|B,则已符合集合B的元素的条件,于是又有B I B.真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!罗素悖论的出现,震撼了整个数学界.本应作为全部数学之基础的集合论,居然出现了内耗!怎么办?数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是:产生罗素悖论的根源很快被找到了!原来是,康托尔提出集合论时对/集合0的概念没有作必要的限制,以致于可以构成/一切集合的集体0这种过大的集合,让罗素这样的/好事者0/钻了空子0.怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论(包括罗素悖论)呢?德国数学家策梅罗(Zermelo,1871-1953)认为:适当的公理体系可以限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性.经策梅罗、费兰克尔(Frenkel)冯.诺伊曼等人的努力,形成了一个完整的集合论公理体系,称为ZFC系统.在ZFC系统中,/集合0和/属于0是两个不加定义的原始概念,另外还有十条公理.ZFC系统的建立,不仅消除了罗素悖论,而且消除了集合论中的其它悖论.第三次数学危机也随之销声匿迹了.纵观三次数学危机,每次都有一两个典型的悖论作为代表.克服了这些悖论,也就推动了数学的长足发展.经历过历史上三次数学危机的数学界,是否从此就与数学危机/绝缘0了呢?不!对此,我国当代著名数学家徐利治教授说了一段很有见地的话,他说:/由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性,在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中,本来就具有产生悖论的可能性,但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性,人类认识世界的深化没有终结,悖论的产生和排除也没有终结.0参考文献1徐南昌.漫谈数学悖论的方法意义.中学数学,1991,82张祖贵.浅谈三次数学危机.湖南数学通讯,1984,6。
数学三次危机的认识论意义
数学三次危机的认识论意义
数学三次危机是指在20世纪初期，数学界出现了三次被称为危机的事件，分别是：1902年的费马大定理的证明、1906年的卡尔·费马的无穷小问题和1908年的第一次国际数学会议。
这些事件对数学认识论的发展产生了重大影响。
费马大定理的证明：费马大定理是指所有自然数都是费马素数或者可以写成两个费马素数之积的形式。
这个定理的证明对于当时数学界来说是一个极其棘手的问题，直到20世纪初期才被证明。
费马大定理的证明对数学认识论产生了巨大影响，它揭示了数学知识的基本特征，即数学是建立在一些基本的公理和定理之上的。
卡尔·费马的无穷小问题：无穷小问题是指在数学中，一个数是否可以无限接近于0却永远不等于0。
卡尔·费马提出了无穷小问题，并建立了费马小数的概念，即一个数可以无限接近于0却永远不等于0。
这个问题对于当时数学界来说是一个棘手的问题，最终得到了解决。
无穷小问题的解决对数
学认识论产生了重大影响，它改变了人们对无限的理解，揭示了数学知识的基本特征，即数学是建立在一些基本的公理和定理之上的。
第一次国际数学会议：1908年，第一次国际数学会议在巴黎举行。
这次会议上，众多数学家聚集在一起，就数学的发展方向展开了讨论。
这次会议对数学认识论产生了重大影响，它揭示了数学知识的基本特征，即数学是一门跨越不同领域的学科，并且数学知识是由不同领域的数学家共同创造的。
总的来说，数学三次危机对数学认识论的发展产生了重大影响，它们揭示了数学知识的基本特征，即数学是建立在一些基本的公理和定理之上的，是一门跨越不同领域的学科，并且数学知识是由不同领域的数学家共同创造的。
数学三大危机简介
数学三大危机简介数学三大危机，涉及无理数、微积分和集合等数学概念。
今天小编在这给大家整理了数学三大危机资料，接下来随着小编一起来看看吧!数学三大危机第一次数学危机毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数。
而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数根号2的诞生。
小小根号2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的根号2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识，多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
第二次数学危机出现第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
数学小讲师--三次数学危机
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小
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三次数学危机
01
第一次数学危机
公元前六世纪，在古希腊学 术界占统治地位的毕达哥拉斯 学派，其思想在当时被认为是 绝对权威的真理。其主要奉献 之一就是证明了毕达哥拉斯定 理，也就是勾股定理。
当时，毕达哥拉斯倡导的是一 种称为“唯数论〞的哲学观点，他 们认为宇宙的本质就是数的和谐。 他们认为万物皆数〔数字神化〕， 而数只有两种，就是正整数和可通 约的数〔即分数，两个整数的比〕， 除此之外不再有别的数，即是说世 界上只有整数或分数。
有理数 无理数
02
第二次数学Байду номын сангаас机
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0.9
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第三次数学危机
危机：既是危险，也是机遇。数学史上的每 一次危机都极大地推动了数学的开展。每一 次开展都是人们认识这个世界的更进一步。 数学也有着自己独特的文化与韵味。
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数学史三次危机简介
数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。
这次危机通过实数理论的建立得到解决。
2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。
微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。
最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。
3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。
这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。
至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
三次数学危机及其影响ppt课件
一. 第一次数学危机
一. 第一次数学危机
1.危机的起因：
第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 长度就不能以整数之比表示。
危机的实质： 是无理 2
数，全体整数之构成的
最后，这些既属于自己而又不属于自己
的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， 引发起第三次数学危机。
危机的消除
危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了
由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 后来，还有改进的ZFC-系统。
这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过
是有理数系，有理数系
需要扩充，需要添加无
理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一
危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。
三次数学危机
三次数学危机数学是世界上最古老的学科之一，它从古代到现代，穿越历史长河，在人类文明发展的进程中发挥了重要的作用。
不仅如此，在当今世界，数学仍然在发挥着无可替代的重要作用：它为世界经济增长和进步提供了技术支持，为人类的生活方式提供了支撑。
虽然现代数学是一项充满挑战的学科，但是它也不乏危机。
在本文中，我们将讨论过去几个世纪中出现的三次数学危机。
第一次数学危机发生在17世纪，当时俄罗斯数学家约瑟夫斯特拉斯克亚诺夫（Joseph Strelski）发现，虽然三角函数在极坐标系中有一些不确定性，但在直角坐标系中却没有。
这一发现使得当时的数学家们晕头转向，他们曾经坚信的数学定律突然被抛弃，他们无法提出任何合理的解释。
第二次数学危机则发生在18世纪，当时，法国数学家埃尔斯特居里（tienne Luneau）发现，当考虑超过三个变量时，估计十分困难。
居里表示，跨越多个变量时，数学家们必须考虑多种多样的可能性，而这往往会变得复杂至极。
最后一次数学危机发生在19世纪，当时，为解决拉格朗日不定方程组，数学家们正在使用数学证明，但英国数学家查尔斯莫尔尼（Charles Morley）发现，如果不考虑空间几何关系，则不能完美解决此问题。
这一发现使得数学家们不得不重新考虑他们的证明方法，他们必须不断地进行反复尝试来获得准确的结果。
从以上可知，数学在发展史上一直充满挑战，每次都会面临新的危机。
这就是为什么数学仍然是人类文明发展的一个重要方面，它为世界提供了无可替代的技术支持。
它不仅给予我们日常生活中所需要的有用计算，而且还有助于我们解决世界上很多其他重大技术问题和金融问题。
因此，我们应该把握好机会，积极应对数学的危机，以有效地利用数学，为人类的未来发展创造良好的基础。
让我们携起手来，共同努力，谱写好未来的美丽乐章吧！。
三次数学危机的产生与解决
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解决措施
针对三次数学危机，数学家们提出了各种解决措施。在第一次数学危机中， 欧多克索斯提出了实数的概念，将数学从困境中解脱出来；在第二次数学危机中， 数学家们对集合论进行严格的公理化，提出了公理化集合论；在第三次数学危机 中，
数学家们发展出了新的数学逻辑系统——模态逻辑，为数学的发展提供了更 加坚实的基础。
三次数学危机的产生与解决
目录
01 第一次数学危机
03 第三次数学危机
02 第内容
目录
06 总结
数学作为一门基础学科，是人类文明的重要组成部分。然而，在数学发展史 上，曾先后出现过三次严重的危机。本次演示将分别探讨这三次数学危机的产生 背景、原因及后果，并提出相应的解决措施。
第一次数学危机
第一次数学危机发生在公元前580年至568年之间的古希腊时期。这场危机的 起因主要在于当时数学界对无理数认识的不足。古希腊的数学家们认为，所有的 数都可以表示为整数或分数，即有理数。然而，当时希腊数学家希帕索斯发现了 一个问题：如果将
正方形的对角线进行等分，那么所得的线段长度就无法用有理数来表示。这 个发现动摇了当时数学界的基础，引发了第一次数学危机。
第二次数学危机
第二次数学危机发生在19世纪末期。这次危机源于康托尔的集合论，由于集 合论的某些基本概念含混不清，引发了数学界的恐慌。这场危机的根本原因是， 当时数学家们并未对集合论进行严格的公理化。为了解决这次危机，数学家们对 集合论进行了深入
研究，最终由策梅洛提出了公理化集合论，平息了这次危机。
发展。而在第三次数学危机时期，人们对数学的认知发生了根本性的改变， 使数学进入了一个全新的发展阶段。
总结
三次数学危机的产生与解决，是人类文明发展的重要组成部分。这些危机不 仅推动了数学的快速发展，而且也启示人们要不断深入思考和探索数学的内涵和 基础。通过了解三次数学危机的历史背景、原因、后果及解决措施，我们可以更 好地理解数学的
数学史上的三次危机3篇
数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。
但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。
这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。
然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。
因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。
在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。
一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。
两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。
这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。
第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。
在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。
然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。
这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。
欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。
在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。
第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。
然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。
其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。
这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。
这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。
第一次数学危机
05
第一次数学危机的反思
对数学危机的认识
认识到数学需要严谨性
第一次数学危机让人们认识到数学需要严谨的证明和推理，不能仅仅依靠直观和经验。
数学证明的局限性：古希腊数学家在证明一些命 题时，往往依赖于一些未经证明的假设，这使得 人们对数学证明的可靠性产生了怀疑。
不可公度量的存在：古希腊数学家还发现了一些 无法用已知单位量度的量，如圆的周长与直径之 比π，这进一步加深了人们对数学的不信任。
第一次数学危机对数学的发展产生了深远的影响 。它促使人们重新审视数学的基础理论，推动了 数学的发展。同时，它也提醒我们在探索未知领 域时，要保持谨慎和理性的态度。
第一次数学危机促使数学家们开始关注数学与其他学科的交叉，推动了数学在其他领域 的应用和发展。
对未来数学发展的展望
继续深化对数学基础的研 究
随着数学的发展，对数学基础的研究将更加 深入，为解决更多的数学问题提供理论支持 。
加强数学与其他学科的交叉
未来数学的发展将更加注重与其他学科的交叉，推 动数学在其他领域的应用和发展。
欧几里得几何的建立
01 02
欧几里得几何的形成
欧几里得几何是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中的几何学 体系，其建立在五条公设和若干公理的基础上，通过演绎推理构建了完 整的几何学体系。
欧几里得几何的完美演绎
欧几里得几何的建立标志着演绎推理的完美运用，其公设和公理都是为 了研究几何学而设定的，其推理过程也是非常严谨和精确的。
三次数学危机之后的数学具体成就
随着人类文明的不断发展，数学作为一门基础学科，在各个领域都扮演着重要的角色。
然而，数学的发展历程并非一帆风顺，经历了许多次危机和挑战。
本文将围绕着三次数学危机之后的数学具体成就展开讨论。
一、第一次数学危机1.1. 古希腊数学的发展古希腊数学在欧洲数学史上占有重要地位，希腊人通过对几何学的研究，奠定了数学发展的基础。
著名的数学家欧几里得就是古希腊数学的代表人物之一，他在《几何原本》中总结了古希腊数学的发展成果，为后世数学家提供了宝贵的思想财富。
1.2. 数学危机的出现然而，古希腊数学在一定时期内陷入了停滞状态，主要表现在形式化证明的缺失和无理数的存在问题上。
这导致了第一次数学危机的出现，使得数学的发展陷入了困境。
二、第二次数学危机2.1. 符号代数的兴起随着历史的发展，数学进入了符号代数的时代。
代数学家们致力于寻求符号代数的发展，通过引入符号表示法，使得数学推理和计算变得更加便捷和高效。
这一时期出现了一批伟大的代数学家，如笛卡尔、费马等人。
2.2. 第二次数学危机的出现然而，符号代数的兴起也伴随着第二次数学危机的出现。
代数方程的求解成为了数学家们争相攻克的难题，许多代数方程的求解问题令人头疼。
这导致了数学的停滞和危机的出现。
三、第三次数学危机3.1. 康托尔集合论的发展康托尔是集合论的奠基人，他提出了集合论的基本观念和基本定理，为数学的发展开辟了新的天地。
集合论的发展为数学的基础理论奠定了牢固的基础，为后来的数学发展提供了重要的支撑。
3.2. 第三次数学危机的出现然而，集合论的发展也伴随着第三次数学危机的出现。
康托尔的集合论给数学领域带来了不小的冲击和挑战，数学家们纷纷展开了对康托尔集合论的讨论和批判。
这使得第三次数学危机逐渐成为了让人担忧的问题。
四、数学的具体成就4.1. 哥德巴赫猜想的解决20世纪的数学领域涌现出一批杰出的数学家，其中包括著名数学家果哥德尔。
他在数学领域做出了重要贡献，解决了哥德巴赫猜想，为数学的发展做出了重要的贡献。
数学的三次危机
数学的三次危机在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革。
数学的进展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。
它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且能够应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉与日常经验。
整数是在关于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。
日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各类量，比如长度、重量与时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。
因此，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包含所有的整数与分数，因此关于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。
在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，假如令它的定端点与右端点分别表示数0与1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。
以q为分母的分数，能够用每一单位间隔分为q等分的点表示。
因此，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
因此就务必发明新的数对应这样的点，同时由于这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，关于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识大概相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，由于与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
史上的三次数学危机
史上的三次数学危机第一次数学危机历史背景毕达哥拉斯（约公元前572年——公元前492年）是一位古希腊的数学家及哲学家，他曾有一句名言「凡物皆数」，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物。
不过要注意的是，在那个年代，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比——分数，简单而言，他们所认识的只是「有理数」。
有趣的有理数当时的人只有「有理数」的观念是绝不奇怪的。
对于整数，在数在线我们可以知道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，例如：1与2之间有1/2，1与1/2之间有1/4等，因此令人很容易以为「有理数」可以完全填满整条数线，「有理数」就是等于一切数，可惜这个想法是错的，因为……勾股定理、毕氏铁拳伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理（其实中国于公元前一千一百年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为１的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。
亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线，他们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎。
在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也是历史上的「第一次数学危机」。
新的一页原来「第一次数学危机」是「无理数」的发现，不过它还说出了「有理数」的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有「罅隙」，无疑这些都是可被证明的事实，是不能否定的。
面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把「无理数」引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终于被填满了。
第二次数学危机「飞矢不动」的吊诡古代的希腊是研究哲学的人聚集的地方，在云云的哲学学派之中，其中一派主张「存在是静止的，不变的，永恒的，变化与运动只是幻觉。
」至于这个主张的理念，不是我们的讨论范围，不过，这个学派的学者之一——芝诺，为了论证运动是幻象，提出了「飞矢不动」的「理论」：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置，即箭在每一瞬间存在，即箭在每一瞬间都是静止的，又怎可能动呢？数学——打破吊诡的武器当然我们完全明白「飞矢不动」是一个歪论，但数学是一个讲究严谨的学科，数学家们要从问题的核心「动」作为开始，要证明「飞矢必动」。
数学发展史上三次数学危机
数学发展史上三次数学危机第一次数学危机“无理数的产生”第一次危机发生在公元前580～568 年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数” ，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为 1 的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数” 产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机。
第二次数学危机“微积分工具”18 世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。
但是不管是牛顿，还是莱布尼茨所创立的微积分理论都是不严格的。
危机的起源因为牛顿和莱布尼茨的微积分理论是建立在无穷小分析之上的，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与应用是混乱的。
1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
笼统的说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。
这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。
第三次数学危机“罗素悖论”到 19 世纪末，康托尔的集合论已经得到数学家的承认，集合论也成功地应用到其他的数学分支。
集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了无懈可击的地步。
但是，正当数学家们熟练地应用集合论时，数学帝国又爆发了一次危机。
康托尔集合论的创造性成果为数学提供了广泛的理论基础，所以在 1900 年巴黎国际数学会议上，法国大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。
数学三次危机的启示和感悟
数学三次危机的启示和感悟聊起数学三次危机，感觉就像翻开了一本充满波折与智慧的探险日记。
咱们都知道，数学这东西，平时看起来挺高冷，但其实它也有热血沸腾、让人揪心的时候。
今天，咱们就来聊聊数学历史上那三次让人目瞪口呆的“大事件”，看看它们能给我们带来啥启示和感悟。
话说第一次数学危机，发生在古希腊那会儿。
那时候的人们特别爱思考，他们想啊，这世界上的一切是不是都能用数学来解释呢？于是，毕达哥拉斯学派的大佬们就提出了一个牛气冲天的观点：万物皆数。
但好景不长，有个叫希帕索斯的家伙，不小心踢到了数学的“铁板”——他居然发现了个不能表示为两个整数比的数，也就是咱们现在说的无理数。
这事儿一出，整个学派都炸了锅，毕竟他们的信仰受到了严重挑战。
这场危机告诉我们，世界远比我们想象的要复杂得多。
有时候，你以为已经掌握了真理，结果却发现只是冰山一角。
所以，咱们得保持谦逊，别轻易说“我懂了”。
生活中也一样，别总觉得自己啥都知道，多听听别人的意见，说不定会有新发现呢。
第二次数学危机，发生在17世纪。
那时候，微积分这个超级工具刚刚问世，牛顿和莱布尼茨两位大佬争得不可开交，都说是自己发明的。
但微积分这东西，虽然好用，却有点“模糊”，比如无穷小量这个概念，就让人头疼不已。
数学家们开始质疑：这玩意儿到底靠不靠谱啊？于是，数学界又陷入了一片混乱。
这场危机教会我们，创新总是伴随着风险和挑战。
微积分虽然厉害，但一开始也遇到了不少麻烦。
就像咱们创业或者尝试新事物一样，刚开始可能会遇到很多困难和质疑，但只要坚持下去，不断完善，总会找到属于自己的路。
所以，别怕困难，别怕质疑，相信自己，勇往直前就对了。
第三次数学危机，发生在20世纪初。
这次的主角是罗素和他的“理发师悖论”。
简单来说，就是有个理发师只给那些不给自己剪头发的人剪头发。
那么问题来了：理发师到底应不应该给自己剪头发呢？如果他给自己剪头发，那他就违反了只给不给自己剪头发的人剪头发的规则；如果他不给自己剪头发，那他又符合给自己剪头发的条件。
数学历史上三大危机
数学历史上三大危机数学作为一门研究数量、结构、变化和空间等概念的学科，自诞生以来就不断面临着各种挑战和危机。
其中，数学历史上最为著名的三大危机，分别是无理数的发现、无穷小量的悖论以及集合论中的罗素悖论。
这三大危机不仅推动了数学的发展，也深刻地影响了数学哲学和科学哲学的演变。
一、无理数的发现无理数的发现是数学史上的一次重大突破，也是数学历史上第一次危机。
自古以来，人们一直认为所有的数都可以表示为分数，即两个整数的比例。
然而，公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派发现了一个重要的几何事实：边长为1的正方形的对角线长度无法用两个整数的比例来表示。
这个发现不仅颠覆了毕达哥拉斯学派关于数的理论，也引发了一场关于无理数存在性的哲学争论。
无理数的发现揭示了数学中存在着一类无法用分数精确表示的数，这对当时的数学观念产生了巨大的冲击。
为了解决这个问题，古希腊数学家们发展了无理数的理论，并提出了诸如平方根、立方根等概念。
无理数的发现不仅推动了数学的发展，也促使人们重新审视数学的基础和本质。
二、无穷小量的悖论无穷小量的悖论是数学史上第二次重大危机。
在17世纪，随着微积分的诞生，无穷小量的概念逐渐被引入数学研究。
然而，无穷小量的性质和应用却引发了诸多悖论和争论。
例如，无穷小量是0还是非0？无穷小量乘以无穷大是什么？这些问题困扰着当时的数学家，也对微积分的发展产生了阻碍。
为了解决无穷小量的悖论，数学家们进行了深入的研究和探索。
19世纪，柯西、黎曼等数学家提出了极限的概念，建立了微积分的严格基础。
极限概念的引入不仅解决了无穷小量的悖论，也推动了数学分析的进一步发展。
三、集合论中的罗素悖论集合论中的罗素悖论是数学史上第三次重大危机。
19世纪末，德国数学家康托尔创立了集合论，为数学提供了一个全新的研究对象。
然而，1901年，英国哲学家罗素发现了一个关于集合论的基本悖论：一个集合如果包含所有不包含自身的集合，那么这个集合是否包含自身？罗素悖论揭示了集合论中存在的基本矛盾，对数学的基础产生了严重的挑战。
数学史上的三大数学危机
a
d
t
a mt
d nt
5
实例
① 形数（表示图形所用点的个数）
6
三边形数 四边形数 五边形数
六边形数
3
4
5
6
6
9
12
15
10
16
22
28
15
25
35
45
1 3 (2n 1) n2
1 5 (4n 3) 2n2 n
1 2 n n(n 1) 2
1 4 (3n 2) n(3n 2) 2
实数理论—极限理论—微积分。 而“历史顺序”则正好相反。
29
三、第三次数学危机
1．“数学基础”的曙光——集合论
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何 的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和 极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的 理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更 为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的 基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。 人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
34
罗素悖论是：以 M表示“是其本身成员的
所有集合的集合”（所有异常集合的集合），
而以 N表示“不是它本身成员的所有集合的集
合”（所有正常集合的集合），于是任一集合
或者属于M ，或者属于 N ，两者必居其一，且
只居其一。然后问：集合N 是否是它本身的 成员？（集合 N 是否是异常集合？）
35
如果 N 是它本身的成员，则按 M 及 N 的定 义，N 是 M 的成员，而不是 N 的成员，即N 不
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0
数学三次危机的内容
数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学三次危机，是指19世纪末20世纪初数学领域内的三次危机，分别是克里斯托弗·沃尔夫（Christopher Wolfe）在美国《数学评论》上提到的第一次危机、大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提到的第二次危机以及数学家布朗在1960年代关于数学逻辑基础的研究中提出的第三次危机。
第一次危机是指19世纪末20世纪初，数学家们对欧几里得几何学的基础进行重新审视的过程。
欧几里得几何学是古希腊数学家欧几里得创立的一种几何学体系，至今被广泛运用。
19世纪末出现了一些疑问，比如平行公设、非欧几何学等问题，这些问题对欧几里得几何学的基础提出了挑战。
数学家们面临的困境是如何从最基础的公设出发重新建立几何学的基础。
数学家们开始重新思考几何学的基础，试图通过推导出新的公设来建立一个更加完善的几何学体系。
第二次危机是在1900年，当时大卫·希尔伯特在巴黎召开的国际数学家大会上提出了23个重要的数学问题，其中有一些问题一直未能得到解决。
这些问题涉及到了数学领域的各个方面，如代数、几何、数论等。
这些问题的存在引发了数学家们对数学的基础是否牢固的疑问，希尔伯特提出的这些问题为后来20世纪的数学家们提供了方向。
第三次危机是在1960年代，数学家布朗在研究数学逻辑基础时提出了关于数学的第三次危机。
他指出，数学家们面临的一个重要问题是如何确立数学的基础，并且确定数学体系的完备性。
这些问题涉及到了尤里·奈斯特林和阿尔弗雷德·特斯克勒等数学家们提出的不完全定理。
这些定理表明，数学体系内部存在无法证明的命题，这对数学的基础产生了挑战。
数学家们为了解决这些问题，开始研究递归理论、模型论等新的理论方法，以确保数学的基础是牢固的。
数学三次危机是数学领域内的三次挑战，数学家们通过不断的努力和研究，逐渐解决了这些问题，使得数学体系更加完善和牢固。
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第一次数学危机1.1 背景第一次危机发生在公元前580—568年之间的古希腊，当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知。
数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派是一个宗教、政治、学术合一且组织严密，带有浓厚宗教色彩的学派，这个学派进行了大量的教学研究，并取得了众多的数学发现。
在当时他们一致认为“数”的中心地位随时可见，他们还提出了“万物皆数”这一论断。
后期毕达哥拉斯学派成员费洛罗斯将这一观点清晰表达为：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物。
”世界上的万物和现象都只能通过数才能加以解释，唯有通过数和形，才能把握宇宙的本性，他们还指出“万物都可以归结为整数之比”并且相信宇宙的本质就在于这种“数的和谐”。
1.2起源1.2.1“万物都可以归结为整数之比”比较两条线段a与b的长度，当b恰好是a的正整数r倍时，我们可以直接用a作为这两条线段的共同度量单位。
当b不是a的正整数倍时，我们就要去找第三条线段d，使得a可以正好分成d的正整数倍，同时b也可以分成d的正整数倍，我们可以假设a的长度是d的m倍，b的长度是d的n倍，这时，我们说d就是a与b的度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的。
这个过程相当于用比较短的线段当尺子去量长的，如果一次量尽，则度量结束；如果一次量不尽，就用余下的那段线段作为新的尺子去量那个比较短的线段，如果量尽，度量结束，且度量单位就是那段余下的线段；如果还是量不尽，就用再余下的那段线段作为新的尺子去量之前余下的那一段…如此下去，直到量尽，度量结束，且度量单位就是最后余下的那段线段。
对于任意两条线段，毕达哥拉斯学派的成员相信上面的操作过程总会在进行了有限步之后结束，他们相信，只要有耐心总能找到那个度量单位的。
所以，任何两个同类量都是可通约的，即万物都归结为整数之比1.2.2希帕索斯悖论希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。
因此，我们从勾股定理谈起。
勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。
天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。
它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。
在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。
不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。
一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。
因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。
并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
当毕达哥拉斯学派提出“任何两个量都是可公度的”时，古希腊人坦然地接受了这一似乎是无可怀疑的结论。
毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
后来毕达哥拉斯学派的希帕索斯根据勾股定理通过逻辑推理发现等腰直角三角形的直角边与斜边不可公度！即这两条线段不存在共同的度量单位，不管度量单位取得多么小，都不可能成为等腰直角三角形的直角边与斜边的共同度量单位。
即腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。
亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条线段。
这就是希帕索斯悖论：存在不可公度量！1.3 危机的解决1.3.1无理数的出现毕达哥拉斯学派提出的所谓“任何两个量都是可度量的”就是指对于任何两条线段a与b，存在一条小线段d可作为a与b的共同度量单位，使得a=md,b=nd.这实际上意味着b：a=m：n,其中m与n都是整数。
因此，当毕达哥拉斯学派相信任何两条线段a与b都可公度时，用我们现在的语言表述就是指任何两条线段的比是整数或是一个分数。
简言之，是一个有理数。
而希帕索斯不可公度量的发现就是指，等腰直角三角形的直角边与斜边的比既不是一个整数，也不是一个分数，或者简言之，不是一个有理数，而是一个当时人们完全不了解的全新的数，这类数后来被称为无理数。
最早出现的无理数也与计数、测量有关。
乘法的重复进行产生了乘方，2乘3 就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用√2表示对角线的长度，无理数的概念初步形成。
在欧几里德的《几何原本》中有关于√2不是有理数的一个证明，但据说是更早的毕达哥拉斯学派所作：设√2是既约分数p/q，即√2=p/q，则2q2=p2，这表明p2是偶数，p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数），设p=2k，得q2=2k2，于是q也是偶数，这与p/q是既约分数矛盾。
人类历史上诞生的第一个无理数就是希帕索斯发现的√2。
1.3.2悖论所引发的问题为什么在当时无理数的发现会被认为是悖论并且引发如此严重的问题呢？首先，这一发现动摇了毕达哥拉斯学派的数学与哲学根基，它将推翻毕达哥拉斯学派“万物皆数”的基本哲学信条。
其次，这一发现摧毁了建立在“任何两条线段都是可通约的”这一观点背后的数学观念。
更重要的是，这一发现摧毁了人们通过经验与直觉获得的一些常识。
简言之，这意味着，曾为人们的经验所确信的，完全符合常识的许多论断都要被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！要把这种“荒谬”的事承认下来是多么困难啊。
事实上，不可通约量的发现对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击，他对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的打击。
不可通约量的发现所造成的影响，不但体现在猛烈抨击并摧毁了许多传统观念与毕达哥拉斯学派所坚持的观念上，而且表现在它对具体数学成果的否定上。
事实上，当时毕达哥拉斯学派的许多几何定理证明都是建立在任何量都是可通约的基础上的。
1.3.3芝诺悖论与毕氏学派诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，当人们还处在刚刚从自然数概念脱胎而形成有理数概念的早期阶段，对于无理数的概念一无所知。
因此，当时人们的普遍见解是确信一切量都可以用有理数来表示。
亦就是说，在任何精确度的范围内的任何量，总能表示为有理数，迫使人们去认识和理解自然数及其比不能包括几何量，迫使毕达哥拉斯学派承认希帕索斯悖论，并提出单子概念去解决这一悖论。
单子概念是如此之小的度量单位以致本身是不可度量却又要保持为一种单位。
这或许是企图通过无限来解决问题的最早努力。
但是，毕氏学派的努力却又引起了芝诺认为“一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度，如果不是0，则由无穷多个单子组成的有限长线段应该是无限长的。
”不论何说都矛盾，这就是芝诺悖论。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。
但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。
特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。
于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。
无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
1.3.4比理论古希腊人面对的难题是如何解决不可通约量或以我们现在的方式说是如何解决无理数，对他们来说，问题来自几何，只要研究线段等几何量，就不得不面对不可通约量，这是无法绕过去的。
于是，古希腊人设想的思路是：在数的领域，仍然只承认整数或整数的比，只要在几何研究中，能解决几何量中出现的不可通约量问题就可以宣告万事大吉了。
简言之，把数和量分开，研究的关键转向线段、面积、体积等几何量。
令人称奇的是，古希腊人依照这种思路走下去竟然成功了。
帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯迈出的。
欧多克索斯建立了既适用于可通约线段，也适用于不可通约量线段的完整的比理论。
欧多克索斯本人的著作已经全部失传，不过，他的比例论成果被保存在欧几里得《几何原本》第五卷中，下面所介绍的内容来自《几何原本》第五卷，但其主要思想属于欧多克索斯。
定义3：两个同类量之间的数量关系叫做比。
定义4：如果一个量增大几倍后可以大于另一个量，则说这两个量有一个比。
这个定义实际上允许了不可通约量的存在。
比如对正方形对角线与边长这两个量来说，因为正方形的边长增加2倍后就可以超过其对角线，所以现在对两者就可以定义一个比了。
也就是说这里创造的量的比这一新的数学定义已经突破了毕达哥拉斯所认为的只有可公度量才可以比的限制。
实际上，如果承认“两个有限的同类量，任何一个加大适当的倍数都能大于另一个”（阿基米德公理）那么任何两个有限量都有比，而不必考虑是否可公度。
定义5：a:b=c:d是指：如果对于任给的正整数m,n，只要ma>nb,总有mc>nd；只要ma=nb，总有mc=nd；只要ma<nb,总有mc<nd；这个定义的贡献在于：如果在只知道有理数而不知道无理数的情况下，它指出可以用全部大于某数和全部小于某数的有理数来定义该数，从而使可公度量与不可公度量都能参加运算。
这一定义是整个比理论的基础。
欧多克索斯的比例理论为处理无理数提供了逻辑依据，用几何方法消除了希帕索斯悖论引发的数学危机，事实上，19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展．不过欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的，因而回避了把无理数作为数来处理．尽管如此，欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础．为了防止在处理这些量时出错，他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系，从而大大推进了几何学的发展．从他之后，几何学成了希腊数学的主流．1.4 第一次数学危机的影响希帕索斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，“数即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，导致了第一次数学危机，这一危机的影响是巨大的，它不仅推动了数学及其相关学科的发展，使古希腊数学的基础发生了根本性的变化，而且推动了整个科学的发展，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。
在古希腊，数学和哲学是结盟的，哲学使古希腊的数学趋于抽象和真理，正是由于古希腊的哲学背景，使其有可能建立世界上第一个数学公理系统，并最终导致了近代科学的诞生。
1.5 结论这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。
反之，数却可以由几何量表示出来。