常微分方程发展简史--适定性理论阶段

第二讲 常微分方程发展简史——适定性理论阶段

高阶方程

● 1734年12月, Bernoulli Daniel 在给当时在圣彼得堡的Euler 的信中说, 他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题, 他得到了一个四阶线性常微分方程

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4,d y k y dx = 其中k 是常数, x 是横梁上距自由端的距离, y 是在x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位移. Euler 在1735年6月前的回信中说道, 他也已经发现了这个方程, 对这个方程, 除了用级数外无法积分. 他确实得到了四个级数解, 这些级数代表圆函数和指数函数, 但在当时Euler 没有了解到这一点.

1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中指出, 上述方程的解可以表示成

1[(cos cosh )(sin sinh )],x x x x y a k k b k k

=+-- 其中b 可由条件()0y l =来确定.

● 弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题. 1739年9月, Euler 在给Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程, 并说他已取得了成功. ● 在1743年至1750年间, Euler 考虑了$n$阶常系数齐次线性方程

()(1)11(),n n n n y a y a y a y f x --'++⋅⋅⋅++=

第一次引入了特解、通解的概念, 指出通解必包含n 个任意常数, 而且是由n 个特解分别乘以任意常数后相加而成的, 创立了求解$n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法--特征方程法. 讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形, 这样Euler 完整解决了常系数线性齐次方程求解问题.

● 1750年至1751年, Euler 讨论了n 阶常系数线性非齐次方程, 他又提出了一种降低方程阶的解法. Euler 还是微分方程近似解的创始人, 他提出了的``欧拉折线法"不仅解决了常微分方程解的存在性的证明, 而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一. 1750年, Euler 又给出了求解微分方程的级数解法. 1768年至1769年, Euler 还将积分因子法推广到高阶方程, 以及利用变换可以将变系数的Euler 方程化为常系数线性方程. ● 在Euler 工作的基础上, 1763年D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法, 即非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解.

● 1762年至1765年间, Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步, 并引出伴随方程 (这个名字是1873年Fuchs Lazarus 取的, Lagrange 并未给它取名), 同时发现一个定理: 非齐次线性常微分方程的伴随方程的伴随方程, 就是原来方程对应的齐次

方程. Lagrange 把Euler L 在1743年至1750年间关于常系数线性齐次微分方程的某些结果推广到了变系数线性齐次方程. Lagrange 发现, 齐次方程的通解是由一些独立的特解分别乘以任意常数后相加而成的, 而且若已知高阶方程的m 个特解就可以将方程降低m 阶.

● 1774-1775年, Lagrange 提出了“常数变易法”, 解出了一般$n$阶变系数非齐次线性常

微分方程. 这是18世纪微分方程求解的最高成就.

● Newton I 在创建微积分时就给出了求解微分方程的“级数展开法”和“待定系数法”;

1842年Cauchy A 完善了“待定系数法”.

探索常微分方程的一般积分方法大概到1775年就停止了, 此后100年没有出现新的重大的新方法, 直到19世纪末才引进了Laplace 变换法和算子法.

从总体上看, 17世纪的微分方程仍然是微积分的一部分, 并未单独形成一个分支学科. 在18世纪, 由解决一些具体物理问题而发展起来的微分方程, 已经成为有自己的目标和方法的新的数学分支. 这段时期, 数学家把注意力主要集中在求常微分方程的解上, 并且取得了一系列重大进展. 对解的理解和寻求, 在本质上逐渐起了变化. 最初, 数学家们用初等函数找解, 接着是用一个没有积出的积分来表示解. 在用初等函数及其积分来寻求解的巨大努力失败之后, 数学家们转向用无穷级数求解了. 但后来人们逐渐发现, 很多常微分方程求解是非常困难的, 甚至是不可能的.

2、常微分方程适定性理论：19世纪初期和中期

19世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期。数学分析的基础、群的概念、复变函数的开创等都在这个时期。 常微分方程深受这些新概念和新方法的影响，进入了它发展的第二个阶段。

Riccati 方程

在微分方程早期研究中出现的一类重要的非线性方程就是所谓的Riccati 方程2()()()dy p x y q x y r x dx

=++. 它最早是由研究声学的威尼斯的Riccati Jacopo Grancesco 伯爵于1723年至1724年间通过变量代换从一个二阶方程降阶得到的一个一阶方程. Riccati 的工作之所以者的重视, 不仅由于他处理了二阶微分方程, 而且由于他有把二阶方程化到一阶方程的想法, 使降阶法成为处理高阶方程的主要方法之一.

1686年, Leibniz 向数学界推出求解方程 22

y x y '=+ (Riccati 方程的特例)的通解的这一挑战性问题, 且直言自己研究多年而未果. 如此伟大的数学家, 如此简单的方程, 激发了许多数学家的研究热情. 虽然此方程形式简单, 但经过几代数学家的努力仍不得其解.

1725年, Daniel Bernoulli 用初等方法求解了一个特殊的Riccati 方程, 他证明了Riccati 方程, 2(0)m dy ay bx a dx +=≠, 当40,2,21k m k ≠--± (k 为正整数) 时能化为变量可分离