第二章桁架结构的有限元

2-2
坐标转换的概念
在用有限元法计算中，第一步是将结构离散 在用有限元法计算中， 将结构离散成有限个单元， 化，将结构离散成有限个单元，一般一个杆 作为一个单元；在该单元的坐标系（ 作为一个单元；在该单元的坐标系（局部坐 标系）中建立单元刚度矩阵， 标系）中建立单元刚度矩阵，所有的单元刚 度矩阵（局部坐标系下） 度矩阵（局部坐标系下）需要整和成总体刚 度矩阵（整体坐标系下），即每个单元对整 度矩阵（整体坐标系下），即每个单元对整 ）， 体的贡献， 体的贡献，在整和过程中需要根据局部坐标 系与整体坐标系之间的关系（ 系与整体坐标系之间的关系（称为坐标转换 矩阵）进行坐标转换。 矩阵）进行坐标转换。
y
y R
x
θ O
u
v
u = u cos θ + v sin θ v = −u sin θ + v cos θ
角度θ： 轴逆时针转到 轴为正值 角度 ： x轴逆时针转到 x
v
u
x
2-4 整体坐标系下的单元刚度矩阵 整体坐标系下的单元刚度矩阵
写成矩阵的形式为： 写成矩阵的形式为：
u cos θ = v − sin θ sin θ u v cos θ
有限元基础与ANSYS入门 有限元基础与ANSYS入门 ANSYS
Finite Element Foundation and ANSYS introduction
机械工程系
第二章 桁架结构有限元
第二章 桁架结构有限元的步骤
桁架结构是指结构由许多细长杆件构成的结构系统， 桁架结构是指结构由许多细长杆件构成的结构系统，且 杆件的弯曲刚度小， 杆件的弯曲刚度小，杆件的变形主要是轴向变形
δ = Tδ , δ = T δ = T δ
e e e −1 e T
e
2-4 整体坐标系下的单元刚度矩阵 整体坐标系下的单元刚度矩阵
节点力坐标转换为： 节点力坐标转换为：
F = TF , F = T F
e e −1
e
e
根据： 根据：
F = k δ
e e e e −1
[ ]{ }
e
e
e
TF = k Tδ ; T TF = T k Tδ e ;
2-3 局部坐标系下的单元刚度矩阵 局部坐标系下的单元刚度矩阵
i Ui 设杆单元长为l 拉压刚度为EA， 设杆单元长为 ，拉压刚度为 ， 两端节点编号为i， ， 两端节点编号为 ，j，局部坐标系 规定从i指向 为力和位移正向， 指向j为力和位移正向 规定从 指向 为力和位移正向，两 节点受力分别为Ui 节点受力分别为 、 Uj，两节点位 移为u 它们之间的关系为： 移为 i、 uj，它们之间的关系为： ui uj l EA j Uj
e −1 e −1 e
F = T k Tδ e
e
k 与整体坐标系下的k e 的转换关系为： 因此， 的转换关系为： 因此，局部坐标系下的
k =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ k T
e −1
e
整体坐标系下的单元刚度矩阵
k
e
2-5 形成总体刚度矩阵 形成总体刚度矩阵 2-6 形成载荷
所有节点的力: 所有节点的力
{F
1x
F1 y
节点位移转换为： 节点位移转换为：
u i u i u i v λ 0 vi λ 0 cos θ vi i = u = T u , T = 0 λ , λ = − sin θ u j 0 λ j j v j v j v j sin θ , cos θ
2-1
刚度的概念
刚度：材料在受力时，抵抗弹性变形的能力； 刚度：材料在受力时，抵抗弹性变形的能力；即在外 刚度越大， 力作用 下，刚度越大，越不容易发生变形 在有限元法中，确定单元类型和位移模式后， 在有限元法中，确定单元类型和位移模式后，按照虚 功原理或最小势能原理建立单元各节点位移（变形） 功原理或最小势能原理建立单元各节点位移（变形） 与节点力之间的关系： 与节点力之间的关系： {F }e = ∫∫∫ [B ]T [D ][B ]dxdydz{δ }e = [k ]e {δ }e，其系数 称为单元刚度矩阵
1、桁架结构的离散化：将结构离散成有限个 、桁架结构的离散化： 单元，一般的， 单元，一般的，一个杆为一个单元 2、单元分析：建立单元刚度矩阵，即建立单 、单元分析：建立单元刚度矩阵， 元节点位移与节点力之间的关系 3、整体分析：建立整体刚度矩阵，在满足变 、整体分析：建立整体刚度矩阵， 形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集 形条件和平衡条件的前提下， 合成整体， 合成整体，即由单元刚度矩阵集成整体刚度 矩阵 4、解方程，计算结果 、解方程，
2-8 计算杆件内力
计算出单元节点位移{ 计算出单元节点位移 ui,vi,uj,vj}T，可计算出单元两端的 节点力和内力。 节点力和内力。 轴向力： 轴向力：
1 Ui 0 0 EA = l − 1 U j 0 0
e
0 − 1 0 u i 0 0 0 v i u j 0 1 0 0 0 0 v j
{F }
e
U i k ii = = U j k ji
e
k ij k jj
e
u i e = k δ u j
e
[ ]{ }
e
2-3 局部坐标系下的单元刚度矩阵 局部坐标系下的单元刚度矩阵
[k ]
e
为局部坐标系下杆件单元的刚度矩阵，令 为局部坐标系下杆件单元的刚度矩阵， ui、uj分别取 和1，求出单元刚度矩阵 分别取0和 ，
δ （-4,3） 2 ① 3 （0,5） 4 （4,3）
②
③ EA=5e6N 1 P=1000N x
采用ANSYS 分析，计算节点的位移、反作用力和桁架系 统的应力。 几何参数及载荷如图3-10所示，杆的弹性模量E 为200Gpa， 横截面面积A 为3250mm2。
图3-10桥梁桁架模型
F2 x
F2 y
... Fnx
Fny }
T
对于非节点载荷， 对于非节点载荷，需要把它们转化成等效节点载荷
2-7添加约束 求解方程 添加约束
前面已经得出整体刚度矩阵K以及节点力 与节点位 前面已经得出整体刚度矩阵 以及节点力F与节点位 以及节点力 的转换式： 整体刚度矩阵K是奇异阵 是奇异阵， 移δ的转换式： Kδ = F，整体刚度矩阵 是奇异阵， 的转换式 其逆矩阵不存在，上式的方程组是无解的不定方程组， 其逆矩阵不存在，上式的方程组是无解的不定方程组， 因此必须添加约束。处理整体刚度矩阵K。 因此必须添加约束。处理整体刚度矩阵 。 约束条件1：节点 位移为 位移为u ： 约束条件 ：节点n位移为 n=0： 在整体刚度矩阵K中 在整体刚度矩阵 中，与un相对应的行与列中主对 角线元素改为1，其他元素改为0，在右边向量F中 角线元素改为 ，其他元素改为 ，在右边向量 中，与 un相对应的行元素改为 ； 相对应的行元素改为0；
e
u cos θ = v − sin θ
sin θ u v cos θ
2-8 计算杆件内力
计算单元两端的节点力： 计算单元两端的节点力：
{F } = [k ] {δ }
e e
e
计算结果验证
2-9 用ANSYS软件计算杆系结构 软件计算杆系结构
[]
−1 EA 1 −1 k = l − 1 1
e
2-4 整体坐标系下的单元刚度矩阵 整体坐标系下的单元刚度矩阵
由于整体坐标系与局部坐标系不一致，而且在整体分析 由于整体坐标系与局部坐标系不一致， 中要求各单元整和， 中要求各单元整和，因此必须求出整体坐标系下的单元 刚度矩阵。 与整体坐标系oxy 之 刚度矩阵。下面求出局部坐标系 oxy 与整体坐标系 间的关系。 间的关系。 矢量R在局部坐标系 oxy 中的分 矢量 在局部坐标系 与在整体坐标系oxy 中 量（ u v ）与在整体坐标系 的分量（ ）之间的关系为： 的分量（u,v）之间的关系为：
1、建立如图所示的杆系结构； 、建立如图所示的杆系结构； 2、定义单元类型：LINK1 、定义单元类型： 3、定义材料弹性模量EX 、定义材料弹性模量 4、定义实常数：杆的截面积0.01 、定义实常数：杆的截面积 5、划分网格：一个杆为一个单元 、划分网格： 6、定义约束 、 7、施加载荷 、 8、进行求解 、 9、观察变形图、列出节点位移值 、观察变形图、
2-7添加约束 求解方程 添加约束
约束条件2：节点 水平位移为 水平位移为u 约束条件 ：节点n水平位移为 n=un*≠0： ： 在整体刚度矩阵K中 在整体刚度矩阵 中，与un相对应的行与列中主对角线元 乘以一个大数A，在右边向量F中 素K2n-1,2n-1乘以一个大数 ，在右边向量 中，与un相对应 的行元素改为AK2n-1,2n-1 un*，其他元素不变 ； 的行元素改为 经过这样修改后的位移法基本方程 K *δ = F * 可解出节 点位移δ 点位移