4量子角动量

O 5. 2.

7. O 4. O O 16. 18. O 8. 15. O O 19. 3. 6. 14. 1. O O 12. O O 10. 20. O O O 11. O 13. 17. O O 9. 量子角动量

由于实验观测的原因，量子力学经常需要分析角动量。

需要从一个量子质点的角动量开始学习。

有轨道角动量和自旋角动量两种。

轨道角动量来自经典物理。自旋角动量没有经典对应。

基本对易关系，可以从经典对应得到。

即将经典公式

L =r X p

中的位置和动量用相应的算符取代：

L =K I $Z$r X V ; where I =K 1

直接计算可得它的对易关系。结果是：

L X L =I $Z$L

角动量平方是：

L 2=L x 2C L y 2C L z

2有对易关系：

L 2, L =0

从这些对易关系可知，角动量的三个分量不能同时有准确的测量值。

但L 2可以与任何一个分量有共同本征值（即同时测准确）。

角动量的一个分量，例如L z ，有升降算符存在。他们是：

L C =L x C I $L y

L K =L x K I $L y =L C

†

的确，直接计算可证，它们有符合“升降”要求的对易关系：

L C ,L z =L x C I $L y ,L z =L x ,L z C I $L y ,L z

=K I $L y K L x =K L C

L K

,L z =L K 即下标+为升，-为降。

另外有关系：

L K $L C =L 2K L z 2

K L z

L C $L K =L 2K L z 2

C L z

L 2, L G =L 2, L x G I $L y =0对任何一个L 2和L z 的共同本征态：

L 2Ψ=λ角动量平方Ψ

L z Ψ=λ角动量z分量Ψ

有：

Ψ, L C Ψ=Ψ, L 2K L z 2K L z

0%L C Ψ, L C Ψ=λ角动量平方2K λ角动量z分量2K λ角动量z分量

另一个是：

0%L K Ψ, L K Ψ=λ角动量平方2K λ角动量z分量2C λ角动量z分量

也就是说，这两个本征值总是满足不等式：

22.

29. 36. O 32. 27. O O 30. 37. O

O 38. 40.

O 34. 35. 28. 39. 42. 31.

O 41. O 25. O 24. 21. O 33. O 23. O λ角动量平方2

R λ角动量z分量$λ角动量z分量G 1λ角动量平方2C 14R λ角动量z分量G 122λ角动量z分量G 12

注意，因为L , L G =0，“升降Ψ”得到的都是L 2的本征态，而且本征值不

变。

也就是说，“升降Ψ”得到的都是L 2的“简并态”。

对一个给定的λ角动量平方值，由于受到前面不等式的限制，“升降Ψ”肯定会停

止！

即存在一个不能再“升”的，和一个不能再“降”的态：

L K Ψ最高=0L C Ψ最低=0

它们的z角动量本征值，分别是是前面不等式“取等号”：

λ角动量z分量"最高"C 12λ角动量z分量"最低"K 12λ角动量z分量"最低"C

=λ角动量z分量"最高"K 12

并且λ角动量z分量的变化必须是整数。

符合这些要求，必须λ角动量z分量"最低"=K λ角动量z分量"最高" %0

0%λ角动量z分量"最高"=[; [=0,

12,1,32..."半整数变化"对应的角动量平方是：

λ角动量平方2=[[C 1

显然给定[时，简并度是：2[+1

以上是：经典角动量的对易性质0代数结果。

当然，L =r X p 的本征值问题，还需要在波函数空间解微分方程来分析。

角动量的本征方程的解，可在球坐标下得到。

这时发现，对应“半整数”的态，不是符合单值要求的波函数。

因此，轨道角动量平方的本征值是：

λ角动量平方2=[[C 1 ; [=0,1,2..."整数变化"

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但是对非轨道的、纯粹角动量，半整数是允许的0自旋

实验确认：电子、质子、中子都有自旋角动量

并且都只有一个[值：1/2 *费米子

光子自旋：1 *玻色子

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多质点系统的波函数：包利不相容原理。*费米子