窄带随机过程

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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.3 希尔伯特变换的性质
• 从希尔伯特变换的定义可知,希尔伯特变换相当于把信号x t 与1/(πt)进 行卷积。因此,信号的希尔伯特变换可以看作信号通过冲激响应为h t =1/(πt)的线性时不变系统的响应。通常称该线性时不变系统为希尔 伯特变换器。希尔伯特变换有以下几个重要性质。
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5.4 窄带正态随机过程的包络和相位的 分布
• 信号处理中,有用信号通常都是调制在载波的幅度和相位上的,要提取 有用信号通常需要包络检波器和鉴相器检测出信号的包络和相位,而 检测前噪声通常都是窄带正态随机过程,为了获得最佳的检测效果,需 要分析窄带正态随机过程的包络和相位的分布。本节讨论窄带正态过 程的包络、包络平方和相位的分布特性,除特别声明外,都假定窄带正 态过程的均值为零,功率谱密度相对于中心频率ω0 是对称的。
通过一个滤波器hH1（ t） 后,
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5.1 希尔伯特变换
•则
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5.1 希尔伯特变换
• (3)希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。
• 因为
于是,
• 可以将x（ t） 的希尔伯特变换看成是将x（ t） 通过一个具有冲激响
应为
的线性滤波器,即
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5.1 希尔伯特变换
5.3 窄带随机信号
• 这里Ω 和Δω 皆为正实常数,Δω≪ω0,则Ac (t) 、As (t) 这对垂直分量 有下面的性质。
• (1) Ac (t)、As (t) 均为实随机过程; • (2)Ac (t) 、As (t) 的期望均为0; • (3)Ac (t)、As(t)各自平稳,它们的自相关函数为
ω 。X(t)的自相关函数RX (τ)的傅里叶变换为X(t)的功率谱密度GX ω , 则可得RX(τ)的希尔伯特变换的傅里叶变换为
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5.2 解析过程及其性质
•及
• 上式表明,解析过程的功率谱密度只存在于正频域,即它是单边带的功 率谱密度,其强度等于原实过程功率谱密度强度的4倍。
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5.2 解析过程及其性质
• 由于X (t)与
的互相关函数是τ 的奇函数,所以在任何同一时刻当
τ=0时互相关函数为0,则X (t)与 在任何同一时刻的两个状态正交。
• (6)如果X (t)为平稳过程,根据希尔伯特变换的定义 X (t) 也必为平稳 过程,解析过程Z(t)也必为平稳过程。
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5.1 希尔伯特变换
• 代入帕塞瓦尔定理公式可得
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5.1 希尔伯特变换
• 通过上述证明可知,信号与其希尔伯特变换后的信号具有相同的能量。 • 再证后一等式。根据自相关函数的性质,当τ=0时,R 0 为信号的平均功
率。若要证明信号在希尔伯特变换前后具有相同的平均功率,只需证 明信号变换前后具有相同的自相关函数即可。
有 • 证明:
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5.2 解析过程及其性质
• 设t-τ=λ,代入上式进行变量置换,可得
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5.2 解析过程及其性质
•及
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5.2 解析过程及其性质
• (5)X（ t) 与X ^t 的互相关函数是τ的奇函数。 • 证明: 由于 • 且RX（ τ） 是偶函数,则 • 同理可证
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5.3 窄带随机信号
• 其中,ω0 为角频率,W 为角频率带宽,ω0≫W ,确定的实高频窄带信号可 表示为
• 其中,a t 、φ t 、ac(t)与as(t)为相应的低频信号,它们都是时间的函数, 相对载频ω0 而言都是慢变的。窄带随机过程的每一个样本函数都具 有上式的形式,对于所有的样本函数构成的窄带随机过程可以表示为
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5.3 窄带随机信号
• 在讨论统计特性之前,先推导出X (t) 、Ac(t) 、As(t)之间的函数关系如 下:
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5.3 窄带随机信号
• 5.3.4 窄带随机过程的性质
• 若窄带随机过程X（ t） 是零均值平稳的实过程,且功率谱密度如图 5.7所示,满足
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第5章 窄带随机过程
• 5.1 希尔伯特变换 • 5.2 解析过程及其性质 • 5.3 窄带随机信号 • 5.4 窄带正态随机过程的包络和相位的分布
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.1 信号的解析形式
• 在实际应用中,发射和接收的都是实信号,只是在信号处理的过程中,将 信号变成复信号进行处理。实信号也可以看成虚部为零的复信号,如 果再考虑信号频域的特点,解析信号就是比较理想的复数表示方式了。
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5.3 窄带随机信号
• 式中,A(t)是窄带过程的包络,Φ(t)是窄带过程的相位,它们都是随机过 程。与确定性窄带信号一样,它们相对于ω0 是慢变随机过程。窄带随 机过程可以视为幅度和相位做缓慢调制的准正弦振荡。
• 5.3.2 窄带随机信号的复指数形式
• 若将高频窄带信号的复指数形式应用到窄带随机过程中,则
• 实信号频谱的数学模型是含有正负频率的双边谱,然而在实际应用中, 其负频率(ω<0)是物理不可实现的。由于实信号的双边谱是偶对称的, 因此,采用单边谱的信号形式,既可以简化问题,又可以恢复原信号。下 面对只含正频率部分的信号———单边谱信号进行讨论。
• (1)单边谱信号在时域是复信号。 • 设单边谱信号的傅里叶变换为
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5.2 解析过程及其性质
• 由于希尔伯特变换是线性变换,线性系统输入是平稳过程,因此输出也 是平稳过程,且联合平稳。
• (2)实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同,有
• 证明: 因为 关系,得
由输入与输出的功率谱密度的
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5.2 解析过程及其性质
• 经傅里叶反变换,得 • (3)X t 与X ^t 的互相关函数等于X t 自相关函数的希尔伯特变换。即
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5.3 窄带随机信号
• 5.3.1 窄带随机信号的定义
• 若随机信号x(t)的功率谱密度集中在频率ω0 附近相对窄的频带范围 Δω 内,且Δω≪ω0,则称该信号为窄带随机信号。在实际中,大多数系 统都是窄带带通型,通过该类系统输出的信号或噪声必然是窄带信号。
• 实确定信号x（ t） ,其傅里叶频谱X （ω） ,若满足下述特性,则此信 号称为确定实高频窄带信号:
• 利用希尔伯特二次变换的性质可得
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5.2 解析过程及其性质
• 5.2.1 解析过程的定义
• 由实随机过程X(t)作为复随机过程Z(t)的实部,X (t)的希尔伯特变换 作为Z(t)的虚部,即
• 这样所构成的复随机过程Z(t)为解析随机过程。
• 5.2.2 解析过程的性质
• (1)若X (t)为实平稳随机过程,则 也是实平稳过程,且联合平稳。
• 证明;
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5.2 解析过程及其性质
• 因此,可以看出这样构成的解析过程为复平稳随机过程,解析过程的自 相关函数是复函数,它的实部为X (t)的自相关函数RX (τ)的2倍,虚部为 RX (τ)的希尔伯特变换的2倍。
• (7)解析过程的功率谱密度只存在于正频域。 • 对Z(t)的自相关函数RZ (τ)求傅里叶变换即可得到Z(t)的功率谱密度GZ
• (1)希尔伯特变换冲激响应及传输函数
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5.1 希尔伯特变换
• 证:由对称性性质:
• (2)希尔伯特逆变换。 • 定义希尔伯特逆变换为
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5.1 希尔伯特变换
• 可证明希尔伯特逆变换等于负的希尔伯特正变换,如式(5.1.13)所示。
• 证:若输入信号为 输出为x （t） ,
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5.1 希尔伯特变换
• 证明:
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5.1 希尔伯特变换
• 如图5.2所示,由于Δω/2<ω0,可得 • 所以其希尔伯特变换的频谱为
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5.1 希尔伯特变换
•取
的傅里叶反变换可得
• 利用傅里叶变换的频移性质
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5.1 希尔伯特变换
• 式中,M (t)称为X (t)的复包络,A(t)称为包络,Φ(t)称为相位,ejω0t称为复 载频,且M t =A t ejΦ(t)。
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5.3 窄带随机信号
• 如果此窄带随机过程X (t)是平稳过程,那么用复指数形式表示后,其统 计特性如下。
• (1)自相关函数:
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• 上式表明,希尔伯特变换相当于一个90°的移相器,它对所有分量的幅 度响应都是1,对所有正频率分量(包括零频率分量)移相-90°,而对所 有负频率分量移相+90°。所以说,希尔伯特变换是一种正交变换,它 相当于一个正交滤波器,如图5.1所示。
• (4)两次希尔伯特变换相当于一个倒相器。 • 证:若对信号x（ t） 进行两次希尔伯特变换,则相当于信号x（ t） 通
• 当τ=0时,有
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5.3 窄带随机信号
• 表示X (t) 、Ac(t)、As(t)三者的平均功率皆相等。
• 其中
表示一低通滤波器。
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Hale Waihona Puke Baidu
• 证: 由于
5.3 窄带随机信号
• 两边取傅里叶变换,并利用
可得
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5.3 窄带随机信号
• 上式各项对应的功率谱密度图形如图5.8所示,从图中可以直接得出 • 同理可得
5.3 窄带随机信号
• (2)功率谱密度。 • 若RM (τ)的功率谱密度函数为GM （ω） ,则有 • 因为 • 可得
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5.3 窄带随机信号
• 由上式可得
• 因此,可以得出X (t)与
及M (t)之间在频域上的关系。
• 5.3.3 窄带随机过程的垂直分解
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• 则有
过两个级联的H[·]网络。即
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5.1 希尔伯特变换
• 从而得到时域关系
• (5)信号x（ t） 与其希尔伯特变换 即
具有相同的能量和平均功率,
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5.1 希尔伯特变换
• 证明:先证前一个等式。由帕塞瓦尔定理可知 • 将希尔伯特变换器看成是信号通过1/(πt)的滤波器的响应,即
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5.3 窄带随机信号
• 说明随机过程Ac(t) 、As(t)在同一时刻的两个状态之间是相互正交的。 • 因为Ac (t) 、As(t)的均值皆为0,所以当τ=0时,有
• 说明随机过程Ac(t) 、As(t)在同一时刻的两个状态之间是不相关的。 • (6)Ac(t) 、As(t)的互谱密度为
号
与其对应。此解析信号是个复信号,其实部为原信号x t ,虚部
为原信号的希尔伯特变换
。
• 希尔伯特变换是通信和信号检测理论研究中的一个重要工具,在其他 领域也有重要应用。用希尔伯特变换可以把一个实信号表示成一个复 信号(解析信号),这不仅使理论讨论很方便,而且可以研究实信号的瞬 时包络、瞬时相位和瞬时频率。
5.3 窄带随机信号
• 将式展开可得
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5.3 窄带随机信号
• 或者有 • 可见,窄带随机过程X(t)的包络A t 、相位Φ(t)完全可由Ac (t) 、As(t)确
定,且Ac(t)和As(t)是一对在几何上正交的分量,它们包含了窄带随机过 程X (t)的所有随机因素。 • 因此,下面讨论窄带随机过程X (t)的统计特性,主要就是讨论这一对垂 直分量的统计特性及它们与过程X (t)之间的统计关系。
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5.1 希尔伯特变换
• 其中,
• 具有单边频谱
•
被称为实信号x(t)的解析信号。所以,实信号x(t)可用一个仅含
有正频率成分的解析信号的实部来表示。
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5.1 希尔伯特变换
• 5.1.2 希尔伯特变换的定义
• 通过上面的推导可以看出将信号正频域谱的2倍的傅里叶反变换取实 部,就等于原信号。
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• 由于
5.1 希尔伯特变换
• 因为f* t ≠f t ,所以单边谱信号在时域是个复信号。 • (2)从实信号中分解出单边谱信号。
• 设x(t)为具有连续频谱的实信号
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5.1 希尔伯特变换
• 式中X(ω)为信号x(t)的频谱,由傅里叶变换可以证明,当x t =x*(t)时,有 • 所以实信号的频谱X (ω)是ω 的复函数。 • 若将X (ω)傅里叶变换分解成正负两频域部分积分之和
• 如 果对解析信号 U(ω)为阶跃函数,有
的两边进行傅里叶反变换,由于
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5.1 希尔伯特变换
• 则解析信号的时域表达式为 • 不难看到,解析信号的虚部 • 式 (5.1.10)称为实信号x t 的希尔伯特变换,记作
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5.1 希尔伯特变换
• 由上式可知,对于任何一个实信号x t ,可以分解出一个单边谱的解析信