2019届广东省揭阳市高三学业水平考试数学(文)试题(解析版)
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(文)试题及精品解析
C. {0,2，3}
D. {0,1，2，3}
【解析】解： ∵ ������ = { ‒ 1,0，1，2，3}，������ = { ‒ 1,1}； ∴ ∁������������ = {0,2，3}． 故选：C． 进行补集的运算即可． 考查列举法的定义，以及补集的运算．
2.
复数
������ = 1 ‒ ������ + 2 + ������
故选：B．
������与������的夹角为锐角
⃗
⃗
⇒⃗ ⋅ ⃗ ≥ 0
������ ������
，反之不成立，夹角可能为0.即可判断出结论．
本题考查了向量的夹角、数量积运算性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.
已知函数������(������) = 2
������2 ‒ ������
2
的虚部是( )
A. 3
【答案】B 【解析】解：
2
B. 2
C. 2i
D. 3i
∵ ������ = 1 ‒ ������ + 2 + ������ = (1 ‒ ������)(1 + ������) + 2 + ������ = 1 + ������ + 2 + ������ = 3 + 2������
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
【答案】B
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
⃗ ⃗ ⇒⃗ ⋅ ⃗ ≥ 0 【解析】解：������与������的夹角为锐角 ������ ������ ，反之不成立，夹角可能为 0． ⃗⋅⃗≥0 ⃗ ⃗ ∴ “������ ������ ”是“������与������的夹角为锐角”的必要不充分条件．
学度揭阳市高中毕业班期末质量测试数学试题(文科)
绝密★启用前2019学年度揭阳市高中毕业班期末质量测试数学试题(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．定义集合运算：{|,,}A B z z xy x A y B ⊗==∈∈． 设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B ⊗＝A.{0,2,4}--B. {0,2,4}-C.{0,2,4}D.{0,1,2} 2．若复数2sin cos cos z i ααα=-+是纯虚数，则tan α的值为A ．2B ．31 C ．41 D ．213．已知向量(1,2),(0,1)=a b =，设,2k +u =a +b v =a b ，若//u v ，则实数k 的值为 A .－1 B.12-C. 12D. 1 4．已知α、β表示两个不同的平面，直线m α⊂，则“//m β”是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件DC B A 5．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则为得到函数()y f x =的图象可以把函数2sin y x ω=的图象上所有的点A. 向右平移12π B. 向右平移6π C. 向左平移12π D. 向左平移6π 6．某校高三（1）班共有60人，现需从中抽取所有座位号能被3整除的同学参加某项测试，下面7．若函数ln y x =与2y x=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 A ．（1，2） B ．（2，3） C ．（e,3） D ． (),e +∞ 8．在等差数列{}n a 中，18153100a a a ++=，则9102a a -的值为A ．24B ．22C ．20D ．－89．椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为83，N MF 2∆的周长为12，则椭圆的离心率为A ．522 BCD．310．在矩形ABCD 中，AB=4,AD=6,在该矩形内任取一点P,则使2APB π∠≥的概率为A.6πB.16π-C. 112π-D. 12π二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．已知函数23,0() 1.0xx f x x x -⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩，则[(2)]f f -= .12．如果圆22222240x y ax ay a +--+-=与圆224x y +=总相交，则实数a 的取值范围OP CA睡眠时间频率/组距(单位:小时)是 ．13．飞机的航线和山顶C 在同一个铅锤平面内，已知飞机的高 度保持在海拔h （km ），飞行员先在点A 处看到山顶的俯角 为α，继续飞行a （km ）后在点B 处看到山顶的俯角为β, 试用h 、a 、α、β表示山顶的海拔高度为 （km ）． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 已知抛物线C ：222x t y t ⎧=⎨=⎩，（t 为参数）设O 为坐标原点，点M在C 上,且点M 的纵坐标为2，则点M 到抛物线焦点的距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，AC 为⊙O 的直径，弦BD AC ⊥于点P ，2PC =，8PA =，则tan ACD ∠的值为 __________.三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）已知：△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=. (1)求角C 的大小；(2)若,,a c b 成等差数列，且18CA CB ⋅=，求c 边的长. 17．（本题满分12分）某单位为了解职工的睡眠情况，从中抽取40名职工作为样本进行调查.调查的数据整理分组如下表示：（1）将以上表格补充完整，（2）在给定的坐标系内画出样本的频率分布直方图； （3）若按下面的方法在样本中从睡眠不足6小时的 职工中抽取一人：把睡眠不足6小时的8人从2到 9进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的 点数之和为被抽取人的序号.试求抽到5或8号的概率.睡眠时间（单位：小时）[4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) [9,10]频 数 26128频 率0．20D 1ABCDE如图，已知ABCD 为矩形，1D D ⊥平面ABCD ， 11AD DD ==，2AB=， 点E 是AB 的中点．(1)右图中指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图；(2)求三棱锥C －1DED 的体积； (3)求证：平面1DED ⊥平面1D EC .19．（本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点n P (,)n n S a (n N *∈)总在直线310x y --=上.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n T 为数列1{}n a 的前n 项和，若对*n N ∀∈总有12n m T ->成立，其中*m N ∈ ，求m 的最小值．20．（本题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，短轴的长为12e =. （1）求椭圆的标准方程；（2）设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线4x =上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，试探究线段ON 的长是否为定值？并说明理由.已知函数2(),()1f x bx g x ax ==+，()ln h x x =.（,a b R ∈）（1）若{|()()0}M x f x g x =+≥,1,2M M -∈∈，3z a b =-，求z 的取值范围； （2）设()()()h x F x f x =，且0b <，试判断函数()F x 的单调性； （3）试证明：对n N *∀∈，不等式11ln()e n nn n++<恒成立．如有错漏，请务必告知！引用请注明出处！谢谢！揭阳市教育局教研室 黄开明2009—2019学年度年揭阳市高中毕业班期末质量测试数学试题(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一．选择题：CDCBA CBCBD解析：1. {0,2},{1,2}A B ==,则{0,2,4}A B ⊗=, ,故选C.2．依题意，12sin cos 0,cos 0,tan 2αααα-=≠=，故选D. 3．∵(1,2),(2,5)k =+=u v 且//u v ∴211,522k k +==，选C.5．依题意知函数()y f x =的周期为π，∴2ω=，∴()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选A.7. 因0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，而()()20,30,f f <> ∴0x 所在的区间是(2,3），选B. 8.法1:18158831005100,20,a a a a a ++=∴==910810108220a a a a a a -=+-==，法2：由18153100a a a ++=得1720a d +=，9102a a -=112(8)(9)a d a d +-+=1720a d +=,故选C.9．由椭圆的定义知412,3a a ==，又2228,4,3b c b c e a a ======，故选B. 10．如图：以AB 为直径作半圆，则当点P 落在半圆的内部（包括边界）时2APB π∠≥，故24612APB ABCD S P S ππ===⨯半圆.故选D ．二．填空题：11.127；12. 0a -<<或0a <<； 13.sin sin sin()a h αββα-- （或tan tan tan tan a h αββα--）； 14. 52；15.2 .解析：12．圆22222240x y ax ay a +--+-=即22()()4x a y a -+-=，其圆心为(,)a a ，半径2r =，根据两圆相交的充要条件得2202408022a a a <⇒<<⇒<<220a -<< 13．如图在△ABC 中，由正弦定理得sin()sin a BCβαα=-， ∴sin sin()a BC αβα=-，在Rt BDC ∆中sin sin sin sin()a CD BC αβββα==-∴sin sin sin()a CE h CD h αββα=-=--（km ）. 〔或tan ()tan CD AD a BD αα==+，tan BD CD β=⇒tan tan tan tan a CD αβαβ=-∴tan tan tan tan a CE h CD h αββα=-=--.〕14. 抛物线的普通方程为22y x =，则其准线的方程为12x =-，由点M 的纵坐标为2得其横坐标2x =，由抛物线的定义得15||2()22MF =--=.15．由相交弦定理和垂径定理得: 216,4BP PC PA BP =⋅==∵ACD ABP ∠=∠ ∴8tan tan 24AP ACD ABP BP ∠=∠===. 三．解答题：16．解：(1) ∵sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=∴sin()sin 2A B C +=，------------------------------------2分 ∵,sin()sin A B C A B C π+=-∴+=∴sin sin 22sin cos C C C C ==，-----------------------------4分 ∵0C π<< ∴sin 0C > ∴1cos 2C =∴.3C π= --------------------------------6分 (2)由,,a c b 成等差数列，得.2b a c +=----------------------------7分∵18CA CB ⋅=，即.36,18cos ==ab C ab ----------------------------------------9分 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c ---------------------------12分0.050.100.20:小时)17．解：（1）见下表：-------------------------------------------3分(2) 样本的频率分布直方图如右图示-------------------------------------8分 （3）设“抽到5或8号”为事件A ，先后两次 抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x ，y ）. 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、 ……、（6，6），共36个.事件A 包含的基本事件有：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）、（2，6）、 （3，5）、（4，4）、（5，3）、（6，2）共9个91()364P A ∴==----------------------12分18．解：(1)该几何体的正视图和侧视图如右图示：(准确反映三视图的图形特征)-------4分 （2）∵1D D ⊥平面ABCD∴11311C-DED D DEC DEC V V S DD -∆==⋅⋅--- 6分 而1121122DEC ABCD S S ∆==⨯⨯=∴1111133C DED V -=⨯⨯=---------------7分(3) ∵ E 为AB 的中点，∴△DAE 与△EBC 都是 等腰直角三角形∴45AED BEC ∠=∠=∴CE DE,⊥------10分 又∵1D D ⊥平面ABCD ，EC ⊂平面ABCD ∴11CE DD ,DE DD D ⊥⋂=∴CE ⊥平面1D ED --------------------------------------------------------12分 ∵EC ⊂平面1D EC∴平面1DED ⊥平面1D EC ----------------------------14分19．解：（1）∵点n P (,)n n S a (n N *∈)总在直线310x y --=上.∴3 1.n n S a =+ ---------------------------------------------------------1分 当1n =时，1131,a a =+ ∴112a =-------------------------------------2分 当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-113232n n n n a a a a --=⇒=（2n ≥） 即数列}{n a 是首项112a =-，公比32q =的等比数列. --------------------------5分 ∴11113()22n n n a a q--==-⨯.---------------------------------------6分（2）∵113()22n n a -=-⨯，∴1122()3n n a -=-⨯，------------------------------------------------7分 ∴n n a a a T 11121+++=＝212222[1()()()]333n --++++-----------------------9分 ＝2[1()]2326[1()]2313n n --⨯=-⨯--6>--------------------------------------------11分 ∵对*n ∀∈N 总有12n m T ->成立 ∴必须并且只需162m -≤-即13m ≥.∴m 的最小值为13.------------------------------------------------------14分20．解：（1）由2b =b =12e =得2a c =------------------------------------2分 ∵222222433b a c c c c =-=-== ∴1c =，2a =-----------------------------4分∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=或22134x y +=---------------------------------6分 （2）解法1：设点(4,)M t 、以OM 为直径的圆上任一点Q 的坐标为(,)x y 则由QO QM⊥得14y y tx x -⋅=-- ()(4)0y y t x x -+-=--------------------------------------------------------------------------8分若0t =，则以OM 为直径的圆方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+=，设圆心为A,易知△ONA 为等边三角形，∴||2ON =------------------------------------------------------10分 若0t ≠ ∵FN OM ⊥ ∴14FN OMk k t=-=-∴直线FN 的方程为4(1)y x t=----------------------------------------11分 设点N 的坐标为00(,)x y则0000()(4)0y y t x x -+-=---------------------------①004(1)y x t=-------------------------------②由②得004(1)x t y -=代入①得0000004(1)[](4)x y y x x y --+-=22004xy +=∴||2ON ==即线段ON 的长为定值.--------------------------------------------------------------------------14分[解法2：设点(4,)M t ,若0t =，由相交弦定理得：2||||||ON OF OM =⋅∵||1,||4OF OM == ∴||2ON =------------------------------------7分 若0t ≠,则直线OM 的方程为4ty x =--------------------------① ∵FN OM ⊥ ∴14FN OMk k t=-=-∵(1,0)F ∴直线FN 的方程为4(1)y x t=------------------②-----------9分 解由①②联立组成的方程组得221616416x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,即直线OM 与FN 的交点P 的坐标为22164(,)1616tt t ++---------------------------------------------------11分 ∴22222221616||(16)(16)t OP t t =+++,22||16OM t =+a-b+1=0∴22222222161616(16)||||16161616t t OP OM t t t +⋅=+==+++ ----------------13分 ∴||||4OP OM ⋅=由相交弦定理得2||||||4ON OP OM =⋅= ∴||2ON =即线段ON 的长为定值.---------------------------------------------------------------------14分]21．解：（1）解法1：不等式()()0f x g x +≥即210ax bx ++≥由1,2M M -∈∈得104210a b a b -+≥⎧⎨++≥⎩----------------2分 画出不等式组所确定的可行域如右图示：作平行线族3b a z =-可见当0.5,0.5a b =-=时z 有最小值，min 2z =- ∴z 的取值范围为2z ≥-.----------------------------------------4分[解法2：令()()()h x f x g x =+由1,2M M -∈∈得(1)0,(2)0h h -≥≥由1(1)421(2)a b h a b h -+=-⎧⎨++=⎩得(2)2(1)36(2)4(1)36h h a h h b +--⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩-------------------------2分 ∴153(2)(1)233a b h h -=+-- ∵(1)0,(2)0h h -≥≥ ∴32a b -≥-，即z 的取值范围为2z ≥-.------------4分]（2）∵ln ()x F x bx =∴21ln '()x F x bx-= -----------------------------------6分 令'()0F x =得1ln 0x -=∴x e = ------------------------------------------------------------7分∵当0x e <<时21ln '()0x F x bx-=<，当x e >时'()0F x > ∴函数()F x 在(0,]e 上单调递减，在[,)e +∞上单调递增--------------------------9分 （３）证法1：由（2）知当x e =时函数有最小值min 1()()F x F e be ==∴在(0,)+∞上恒有ln 1()x F x bx be=≥，------------------------------------------------11分∵0b < ∴ln 1x x e≤当且仅当x e =时“＝”成立 ∴对任意的(0,)x ∈+∞恒有1ln x x e≤--------------------------------------------------12分 ∵10n n +>且1n e n +≠∴111ln n n n e n ++<⋅11ln()e n n n n++⇒< 即对n N *∀∈，不等式11ln()e n n n n++<恒成立．-----------------------------------------14分 〔证法2：构造函数()ln x p x x e=-，(0,)x ∈+∞----------------------------------------10分 令11'()p x x e =-0= 得x e = ∵当0x e <<时'()0p x >，当x e >时'()0p x <∴函数()p x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减----------------------12分 当x e =时函数()p x 有最大值max ()()0p x p e ==∴对任意的(0,)x ∈+∞恒有1ln 0x x e -≤，即1ln x x e≤ ∵10n n +>且1n e n +≠∴111ln n n n e n ++<⋅11ln()e n n n n++⇒< 即对n N *∀∈，不等式11ln()e n n n n ++<恒成立．-----------------------------------------14分〕。
广东揭阳18-19学度度高三学业水平考试--数学(文)
FCB AED 广东揭阳18-19学度度高三学业水平考试--数学（文）数学试题(文科)本试卷共4页，21小题，总分值150分、考试用时l20分钟、 本卷须知1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上、2、选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上、3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效、4、考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后，将试卷和答题卡一并交回、参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高、 一.选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、集合{1,0,1}A =-，那么A 、1i A +∈B 、21i A +∈C 、31i A +∈D 、41i A +∈A.2,230x R x x ∀∈++< B.2,230x R x x ∃∈++≥ C.2,230x R x x ∃∈++< D.2,230x R x x ∃∈++≤3、,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下命题中正确的选项是A 、,,αγβγαβ⊥⊥若则‖B 、,,m n m n αα⊥⊥若则‖C 、,,m n m n αα若则‖‖‖D 、,,m m αβαβ若则‖‖‖4、()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3xf x m =+〔m 为常数〕，那么函数()f x 的大致图象为5、倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，那么tan 2α的值为 A.45B.34C.43D.236、双曲线2221x y a-=的一个焦点为(2,0)，那么它的离心率为32D.2P俯视图7、如图，ABCDEF 是边长为1的正六边形，那么()BA BC AF ⋅+的值为A.1- D.08、某几何体的三视图及尺寸如图示，那么该几何体的表面积为A.3πB.4πC.6πD.10π9、向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥，假设变量x,y满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么z 的最大值为A.1B.2C.3D.410、数阵111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，假设224a =，那么所有这九个数的和为、 A.16B.32C.36D.40二.填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分、〔一〕必做题〔11－13题〕11、函数1()lg(1)f x x =-的定义域为.12、近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车保有量急剧增加，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶” 之一是空气中的pm2.5〔直径小于等于2.5微米的颗粒物〕.右图是某市某月〔按30天计〕依照对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，假设规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月有天“pm2.5”含量不达标、13、在△ABC 中，60,4,5,A b c ===那么sin B =. 〔二〕选做题〔14、15题，考生只能从中选做一题〕 14、(坐标系与参数方程选做题)直线2()1x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数被圆35cos 15sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩()θθπ∈为参数,[0,2)所截得的弦长为、 15、(几何证明选讲选做题)如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC第8题图 第7题图F和割线PBA ，PC=2PB ，BC =,那么AC 的长为____、第15题图三、解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、16、〔本小题总分值12分〕函数()sin()cos ,()f x x x x R π=--∈、 (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的最大值和最小值；(3)假设1(),(0,)42f παα=∈，求sin cos αα+的值、17.〔本小题总分值12分〕某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大说明产品的质量越好，某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准、从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3533855634 63475348538343447567该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品、 〔1〕试分别可能该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；〔2〕从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数基本上8的概率、 18.〔本小题总分值14分〕如图①边长为1的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BC 的中点，将△BEF 剪去，将△AED 、△DCF 分别沿DE 、DF 折起，使A 、C 两点重合于点P 〔1〕求证：PD EF ⊥；〔2〕求三棱锥P DEF -的体积； 〔3〕求点E 到平面PDF 的距离、19、〔本小题总分值14分〕直线:l y x m =+，m R ∈、①②〔1〕假设以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在x 轴上，求该圆的方程； 〔2〕假设直线l 关于x 轴对称的直线l '与抛物线21:C x y m=相切，求直线l 的方程和抛物线C 的方程、 20、〔本小题总分值14分〕数列{}n a 是公比1q >的等比数列，且1240a a +=，12256,a a =又2log n n b a =、 〔1〕求数列{n b }的通项公式；x 〔2〕假设1n n n T T b +-=〔*n N ∈〕，且10.T =求证：对,2n N n *∀∈≥有211334n i i T =≤<∑、21、〔本小题总分值14分〕函数32()2f x x ax x =--+.(a R ∈). 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极值； 〔2〕假设对x R ∀∈，有4'()||3f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围、 揭阳市2017—2018学年度高中三年级学业水平考试数学试题(文科)参考答案及评分说明【一】本解答给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么、 【二】对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，假如后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视妨碍的程度决定给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后续部分的解答有较严峻的错误，就不再给分、【三】解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、 【四】只给整数分数、 一、选择题：BCBBCADBCC解析：1、∵{1,0,1}A =-,210i A +=∈，应选B.4、由该函数的图象过原点且关于原点对称可排除A 、C ，由()f x 在[0,)+∞为增函数，可排除D ，应选B.5、依题意知：1tan 2α=，从而22tan 4tan 21tan 3ααα==-,选C. 6、由22,13c b a ==⇒=3c e a ⇒===，选A. 7、()BA BC AF ⋅+=()BA BC CD BA BD ⋅+=⋅=0，选D.8.由三视图知，该几何体为圆锥，其底面的半径为1,r =高h =母线3l =，故24S rl r πππ=+=表，应选B.9、∵a b ⊥∴2()02x z y z z x y -++=⇒=+，点(,)x y 的可行域如图示， 当直线2z x y =+过点〔1,1〕时，Z 取得最大值，max 213z =+=，选C. 10、依题意得111a a a a a a+++++12333a aa =++,选C.二、填空题：11.{|12}x x x >≠且(或{|122}x x x <<>或；12.27；13.772、15.解析：11、由101211x x x x ->⎧⇒>≠⎨-≠⎩且.12、该市当月“pm2.5”含量不达标有801001601206020()0.0053027333333+++++⨯⨯=〔天〕; 13、====⋅⋅-+=72sin sin ,2160cos 54254022ac A bc B a 77214、把直线和圆的参数方程化为一般方程得,01=++y x 22(3)(1)25x y -++=，因此弦心距,223=d 弦长l ==15.∵,PCB PAC CPB APC ∠=∠∠=∠∴PBC ∆∽PCA ∆∴12PB BC BC AC PC AC AC =⇒=⇒= 三、解题题：16、解：〔1〕∵()sin cos ),4f x x x x x R π=-=-∈------------------------------2分∴函数()f x 的最小正周期2T π=--------------------------------------3分〔2〕函数()f x 、----------------------------------5分〔3〕由1()4f α=得1sin cos 4αα-= ∴21(sin cos )16αα-=，------------------------------------------------------6分1151sin 2,sin 21616αα-==----------------------------------------------------7分∴21531(sin cos )1sin 211616ααα+=+=+=---------------------------------------9分FEDP∵(0,)2πα∈，∴sin cos 0αα+>∴sin cos αα+、------------------------------------------------------12分 17、解：〔1〕由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分∴样本中一等品的频率为60.230=，故可能该厂生产的产品的一等品率为0.2；-------4分二等品的频率为90.330=，故可能该厂生产的产品的二等品率为0.3；---------------5分三等品的频率为150.530=，故可能该厂生产的产品的三等品的频率为0.5、-----------6分〔2〕样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，--7分记等级系数为7的3件产品分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为8的3件产品分别为1P 、2P 、3P .那么从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：121323(,),(,),(,),C C C C C C 12(,),P P 1323(,),(,)PP P P ,11121321(,),(,),(,),(,),C P C P C P C P 2223(,),(,)C P C P ,3132(,),(,),C P C P 33(,)C P .共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数基本上8”为事件A ， 那么A 包含的差不多事件有12(,),P P 1323(,),(,)P P P P 共3种，-------------------------11分 故所求的概率31()155P A ==.-------------------------------------------------12分 18、〔1〕证明：依题意知图①折前,AD AE CD CF ⊥⊥,-------------------------------1分∴,PD PE PF PD ⊥⊥,-------------------------------------------------------2分∵PEPF P =∴PD ⊥平面PEF -----------------------------------4分又∵EF ⊂平面PEF ∴PD EF ⊥----------------------------------------5分(2)解法1：依题意知图①中AE=CF=12∴PE=PF=12，PDEFM在△BEF中EF ==分 在PEF ∆中，222PE PF EF PE PF +=∴⊥∴8121212121=⋅⋅=⋅⋅=∆PF PE S PEF -------------------8分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD --∆==⋅11113824=⨯⨯=、-----10分【(2)解法2：依题意知图①中AE=CF=12∴PE=PF=12，在△BEF中2EF ==,-----------------------6分 取EF 的中点M ，连结PM那么PMEF ⊥,∴4PM =-------------7分∴11122248PEF S EF PM ∆=⋅=⨯=---------------8分 ∴13P DEF D PEF PEF V V S PD--∆==⋅11113824=⨯⨯=、------------------------------10分】(3)由〔2〕知PE PF ⊥,又PE PD ⊥∴⊥PE 平面PDF ---------------------12分 ∴线段PE 的长确实是点E 到平面PDF 的距离--------------------------------------13分 ∵12PE =,∴点E 到平面PDF 的距离为12.-------------------------------------14分19、解〔1〕解法1、依题意得点P 的坐标为(,0)m -、-------1分 ∵以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切与点P ，∴MP l ⊥、0(1)112MP l k k m --⋅=⋅=---，解得1m =-、----3分∴点P 的坐标为()1,0、 设所求圆的半径r ，那么22||112r PM ==+=,------------------------------------5分∴所求圆的方程为()222(1)2x y -++=、--------------------------------------6分【解法2、设所求圆的方程为()2222(1)x y r -++=，--------------------------------1分依题意知点P的坐标为(,0)m -、----------------------------------------------2分∵以点()2,1M -为圆心的圆与直线l 相切于点(),0P m -，∴222(2)1,.m r r ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解得1,m r =-⎧⎪⎨=⎪⎩-------------------------------------------5分 ∴所求的圆的方程为()222(1)2x y -++=、------------------------------------6分】〔2〕解法1、将直线方程y x m =+中的y 换成y -，可得直线l '的方程为y x m =--、--------------------------------------------7分由21,.x y m y x m ⎧=⎪⎨⎪=--⎩得20mx x m ++=，(0)m ≠-----------------------------------9分2Δ14m =-，--------------------------------------------------------------10分∵直线l '与抛物线21:C x y m=相切 ∴0∆=，解得12m =±、----------------------------------------------------12分当12m =时，直线l 的方程为12y x =+，抛物线C 的方程为22x y =，-------------13分当12m =-时，直线l 的方程为12y x =-，抛物线C 的方程为22x y =-、----------14分【解法2、将直线方程y x m =+中的y 换成y -，可得直线l '的方程为y x m =--、-----7分设直线l '与抛物线21:C x y m=相切的切点为()00,x y ，---------------------------8分由2y mx =得2y mx'=，那么021mx =----①-----------------------------------10分00y x m =--------②200y mx =、---------③①②③联立得1142m m m=-21142m m ⇒=⇒=±，----------------------------12分当12m =时，直线l 的方程为12y x =+，抛物线C 的方程为22x y =，-------------13分当12m =-时，直线l 的方程为12y x =-，抛物线C 的方程为22x y =-、----------14分】20、解：〔1〕解法1：∵1240a a +=，12256,a a =且1q >解得12832a a =⎧⎨=⎩---------------2分 ∴214a q a ==∴11211842n n n n a a q --+==⨯=---------------------------------4分 ∴2log n n b a ==212log 221n n +=+--------------------------------------------6分【解法2：由1240a a +=，12256,a a =且1q > 得12832a a =⎧⎨=⎩∴214aq a ==---------------------------------------------------2分 ∴112122log log loglog 42,n n n n n na b b a a a +++-=-===----------------------------3分又1212log log 83,b a ===-------------------------------------------------------4分∴{}n b 是以3为首项，2为公差的等差数列，----------------------------------------5分 ∴3(1)221n b n n =+-⨯=+；----------------------------------------------------6分】 〔2〕当2n ≥时，1121,n n n T T b n ---==- ∴()()()()11232211n n n n n T T T T T T T T T T ---=-+-+-+-+＝()()()()12132123532n n n n --+-+-+++=()()11;n n =-+---------------8分∵当2n ≥时，()()1111111211n T n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，----------------------------10分 ∴21ni i T =∑=2341111nT T T T ++++111111111111123243531211n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝111131111.221421n n n n ⎛⎫⎛⎫+--=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭--------------------------------------12分∵2n ≥，∴111151236n n +≤+=+ ∴31113151.4214263n n ⎛⎫-+≥-⋅= ⎪+⎝⎭ 又1101n n +>+ ∴311134214n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭ 即对,2n N n *∀∈≥，211334n i i T =≤<∑.----------------------------------------------14分 21、解：〔1〕当1=a 时，32()2f x x x x =--+2'()321f x x x =--=(1)(31)x x -+，------------------------------------------2分令'()0f x =，解得121,13x x =-=. 当'()0f x >时，得1x >或13x <-； 当'()0f x <时，得113x -<<. 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：-------------------------------------------------------------------------------4分∴当13x =-时，函数()f x 有极大值，15()=()2,327f x f -=极大-----------------------5分 当1x =时函数()f x 有极小值，()f x f ==极小---------------------------------6分〔2〕∵2'()321f x x ax =--，∴对x R ∀∈，4'()||3f x x ≥-成立， 即24321||3x ax x --≥-对x R ∀∈成立，--------------------------------------7分 ①当0x >时，有213(21)03x a x -++≥， 即12133a x x+≤+，对(0,)x ∀∈+∞恒成立，----------------------------------9分∵1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立， ∴212a +≤12a ⇒≤------------------------------------------------------11分 ②当0x <时，有213(12)03x a x +-+≥，即1123||3||a x x -≤+，对(,0)x ∀∈-∞恒成立，∵13||23||x x +≥=，当且仅当13x =-时等号成立，∴11222a a -≤⇒≥-----------------------------------------------------13分③当0x =时，a R ∈综上得实数a 的取值范围为11[,]22-.-------------------------------------------14分。
揭阳市2019届高三上学期期末数学文科试卷解析
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量a1 ,q、通项公式和前 n 项和.基本元的 思想是在等比数列中有 5 个基本量a1 ,q,an ,Sn ,n，利用等比数列的通项公式或前 n 项和公式，结合已知条 件列出方程组，通过解方程组即可求得数列a1 ,q，进而求得数列其它的一些量的值. 6.若点 A(2,2 2)在抛物线 C:y2 = 2px 上，记抛物线 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为( A.
21+i
1
揭阳市 2019 届高三上学期期末数学文科试卷解析
A. 充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的情况，确定正确的选项. 【详解】当a ⋅ b = 0 时，a,b的夹角为直角，故“a ⋅ b ≥ 0”不能推出“a与b的夹角为锐角”.当“a 与b的夹角为锐角”时，a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosa,b > 0，即能推出“a ⋅ b ≥ 0”.综上所述，“a ⋅ b ≥ 0” 是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.解题的方法是将两个条件相互推导，再 根据充要条件的概念得出正确选项. 4.已知函数 f(x) = 2x A. 1 B. − 8
2
)
B. {0, 1, 2}
C. {0, 2, 3}
D. {0,1, 2, 3}
)
【答案】B 【解析】 【分析】 用复数除法运算和加法运算，求得 z 的标准形式，由此求得虚部. 【详解】依题意 z = 1−i1+i + 2 + i = 1 + i + 2 + i = 3 + 2i，故虚部为 2，所以选 B. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的加法以及复数虚部的概念，属于基础题. 3.“a ⋅ b ≥ 0”是“a与b的夹角为锐角”的( )
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(文)试题及精品解析
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，1，2，，，则A. B. 1， C. 2， D. 1，2，【答案】C【解析】解：0，1，2，，；2，．故选：C．进行补集的运算即可．考查列举法的定义，以及补集的运算．2.复数的虚部是A. 3B. 2C. 2iD. 3i【答案】B【解析】解：，复数的虚部是2．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.“”是“与的夹角为锐角”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：与的夹角为锐角，反之不成立，夹角可能为0．“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．与的夹角为锐角，反之不成立，夹角可能为即可判断出结论．本题考查了向量的夹角、数量积运算性质、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知函数，，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，若，则，解可得：，则，故选：D．根据题意，由函数的解析式可得，则，解可得a的值，将代入函数的解析式分析可得答案．本题考查函数解析式的计算，关键是求出a的值，确定函数的解析式．5.记等比数列的前n项和为，已知，，且公比，则A. B. 2 C. D. 或【答案】C【解析】解：；，设等比数列的公比为q，则：；；；解得；．故选：C．根据条件可得出，设公比为q，则根据得出，根据即可解出q的值，从而求出的值．考查等比数列的通项公式，和前n项和公式，以及数列的前n项和的定义．6.若点在抛物线C：上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：把代入，得，即．抛物线方程为，抛物线焦点，．故选：C．把点A的坐标代入抛物线方程求得p，得到焦点坐标，再由斜率公式求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是基础题．7.已知，且，则A. B. C. D. 2【答案】B【解析】解：由，得，即，与联立，又，得，，．故选：B．由已知结合平方关系求得，的值，再化切为弦求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额单位：亿元的折线图则下列结论中表述不正确的是A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据时间变量t的值依次为1，2，，建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为亿元．【答案】D【解析】解：对于A，由图象可知，投资额逐年增加，故A正确；对于B，2000年至2004年的投资总额为亿元，小于2011年的129亿元，故B正确；对于C，2004年的投资额为37亿元，2012年该地区基础设施的投资额为148，等于2004年的投资额翻了两番，故C正确；对于D，在线性回归模型中，取，可得亿元，故D错误．故选：D．根据图象所给数据，对四个选项逐一进行分析得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．9.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：当时，，由此排除C，D；当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增．图象A符合．故选：A．由时，，排除C，D；再由导数研究函数的单调性即可求得答案．本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．10.若x，y满足约束条件，则的最小值为A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】解：x，y满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线，由图易得，当，时，即经过A时，目标函数的最小值为：．故选：A．先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线，当过点时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为r，母线的长为l，则，即；，当且仅当时“”成立；圆锥的侧面积为侧圆锥的侧面积最大值为．故选：C．由三视图知该几何体为圆锥，设出底面圆半径和母线长，利用基本不等式求出圆锥侧面积的最大值．本题考查了圆锥的三视图与应用问题，是基础题．12.已知函数，其中e是自然对数的底，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】由，知在R上单调递增，且，即函数为奇函数，故，解得．故选：D．求导化简即知在R上单调递增，再判断函数的奇偶性，最后利用增减性和奇偶性求得实数a的取值范围本题主要考察导数在研究函数单调性的运用的知识点，主要运用求导法思想．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量、，若，则______；【答案】【解析】解：；；；；．故答案为：．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x，进而求出的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．14.已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为，由题意可得，即为，，可得．故答案为：2．求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．15.如图，圆柱内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱的概率为______；【答案】【解析】解：由已知有：在中有：，为球的半径，则，又“点取自圆柱的概率为柱，球故答案为：．由几何概型中的体积型，可得：“点取自圆柱的概率为柱，再求体积之比即可．球本题考查了几何概型中的体积型，属简单题．16.已知数列满足，，则数列中最大项的值为______．【答案】【解析】解：由，得，数列是以为首项，以8为公差的等差数列，则，则．当时，；当时，；当时，．当时，数列为递减数列，则数列中最大项的值为．故答案为：．把已知数列递推式两边取倒数，可得数列是以为首项，以8为公差的等差数列，求其通项公式，得到数列的通项公式，利用函数的单调性求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，求A；当函数取得最大值时，试判断的形状．【答案】解：由正弦定理得，又，，即，；解法一：，从而，，，当时，函数取得最大值，这时，即是直角三角形；解法二：，，，当时，函数取得最大值，是直角三角形．【解析】利用边角互化的思想，可求出的值，再利用，可得出角A的值；解法一：利用并利用内角和定理，通过两角差的正弦公式与辅助角公式将函数转化为角B为自变量的三角函数，利用正弦函数的有界性求出的最大值，并求出角B的值，再利用内角和定理求出角C的值，从而可判断处的形状；解法二：利用，直接代入函数解析式，利用诱导公式与辅助角公式函数转化为角B为自变量的三角函数，利用正弦函数的有界性求出的最大值，并求出角B的值，再利用内角和定理求出角C的值，从而可判断处的形状．本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查对正弦定理的灵活应用以及三角函数的变形化简能力，属于中等题．18.如图，在三棱锥中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，，O是AC中点，于H．证明：平面BOH；若，求三棱锥的体积．【答案】解：，O是AC中点，，-------------------------------------------------------------------------------------------分又平面平面ABC，且平面ABC，平面平面，平面PAC，----------------------------------------------分，------------------------------------------------------分又，，平面BOH；---------------------------------------------分与面积相等，，平面PAC，，-------------------------------------------------分，，，-----------------------------------------------------------------------分，即----------------------------------------------------分【解析】推导出，从而平面PAC，进而，再由，能证明平面BOH．，由此能求出三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组记为甲组、乙组先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间精确到，并据此判断哪种培训方式效率更高？在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．【答案】解：设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则小时----------------------------------------分小时----------------------------------------分据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高---------------------------------------------分从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：，--------------------------------------------------分来自乙组的人数为：，----------------------------------------------------------------分记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种，----------------------------------------------分其中至少有1人来自甲组的有：，，，，，，，，，共9种，故这2人中至少有1人来自甲组的概率----------------------------------------------------------分【解析】分别求出甲乙两组员工受训的平均时间，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为2，来自乙组的人数为4，记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人中至少有1人来自甲组的概率．本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、为坐标原点三点的圆的圆心坐标为．求椭圆的方程；已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若，求点M的坐标．【答案】解：依题意知，，------------------------------------------------------------------分为直角三角形，过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，，即，--------------------------------分椭圆的方程为-----------------------------------------分由知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，设直线BN的方程为，则直线BM的方程为：，------------------------------------------------------------分由消去y得，----------------------------------------------分解得：，，---------------------------------------------------------------分，------------------------------------------------分【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在中，令得，即，-----------------------------------------------------------------------------------分在中，，，即，解得，，，------------------------------------------------------分点M的坐标为---------------------------------------------------------------------------分【解析】过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，即可求出a，b的值，求得椭圆方程；直线BN的方程为，直线BM的方程为：，代入椭圆方程，即可求得，求得，求得，根据三角形的性质即可，即可求得k的值，求得M点坐标本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，直角三角形的性质，考查转化思想，属于中档题．21.已知函数．求函数的单调递减区间；求实数a的值，使得是函数唯一的极值点．【答案】解：，-----------------------------------------------------------------分令，得或，-----------------------------------------------------分由得，而不等式组的解集为-----------------------------分函数的单调递减区间为；----------------------------------------------------------分依题意得，显然，---分记，，则，当时，；当时，；由题意知，为使是函数唯一的极值点，则必须在R上恒成立；----------分只须，因，当时，0'/>，即函数在R上单调递增，而，与题意不符；--------------------------------------------------------分当时，由，得，即在上单调递减，由0'/>，得，即在上单调递增，故，------------------------------------------------------------------------分若，则，符合题意；------------------------------------分若，则，不合题意；综上所述，----------------------------------------------------------------------------------分【或由，及，得，，解得-----------------------------------------------------------------分】【解析】令，解出即可得出．依题意得，显然，记，，可得，当时，；当时，；由题意知，为使是函数唯一的极值点，则必须在R上恒成立，只须，因，对a分类讨论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知曲线C的参数方程为，为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点不同于点，且的倾斜角为锐角．求曲线C和射线的极坐标方程；求的面积的最小值，并求此时的值．【答案】解：由曲线C的参数方程为，为参数，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，或--------------------------分过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点不同于点，且的倾斜角为锐角．故的极坐标方程为；----------------------------------------------------------------------分依题意设，则由可得，同理得，即，--------------------------------------------------分，，，----------------分的面积的最小值为16，此时，得，-------------------------------------------------------------------------分【解析】由曲线C的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；由过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点不同于点，且的倾斜角为锐角，能求出的极坐标方程．依题意设，则，同理，由此能法语出的面积的最小值及此时的值．本题考查曲线、射线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数．当时，求不等式的解集；当时，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：当时，，解得，-------------------------------------------------------------------------------------------分当时，，解得，--------------------------------------------------------------------------------------分当时，解得，---------------------------------------------------------------------------------------------分上知，不等式的解集为；-----------------------------------分解法1：当时，，------------分设，则，恒成立，只需，-------------------------------------------------------------------------------------分即，解得--------------------------------------------------------------------分解法2：当时，，----------------------------------------------分，即，即---------------------------------分当时，上式恒成立，；------------------------------------------分当时，得恒成立，只需，综上知，----------------------------------------------------------------分】【解析】通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；法一：设，结合一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；法二：分离参数a，得到恒成立，求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
广东揭阳市2019届高三上学期期末数学文科试卷及解析
揭阳市2019届高三上学期期末数学文科试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{1,1}B =-，则A B =ðA ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．复数221z i i=++-的虚部是 A ．3B ．2C ．2iD ．3i3．“0a b ⋅≥”是“a 与b 的夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数2()2xaf x -=，1(3)4f =，则(2)f -= A ．1B ．18-C ．12D ．185.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,6S S =-=-，且公比1q ≠，则3a =A ．-2B ．2C ．-8D ．-2或-86. 若点(2,22)A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A ．24 B ．423 C ．22 D ．2237. 已知[0,]x π∈，且3sin1sin 2x x =+，则tan 2x= A ．12- B ．12 C ．43D ．28. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础 设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5y t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为10．若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． -1B ．-2C ．1D ． 211．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π12．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底， 若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,)a x =、(1,2)b =--，若a b ⊥，则||a = _____；1 1-1-1 xy A ．1 1 -1-1xy B ． 1 1 -1-1xy C ．1 1 -1-1 xy D ．OHCBAP14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为3y x =，则该双曲线的离心率为____；15. 如图，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱O 1 O 2 的概率为 ； 16. 已知数列{}n a 满足119a =-，181n n n a a a +=+()n N *∈，则数列{}n a 中最大项的值为 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分 17.（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin cos sin 0a B A b A -=， （1）求A ；（2）当函数()sin 3sin()6f x B C π=+-取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形P AC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H .（1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若3OH OB ==，求三棱锥A-BOH 的体积． 19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.（12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为31(,)22-． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．21.（12分）已知函数()()21322x f x x e x x =--+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求实数a 的值，使得2x =是函数()()3213g x f x ax ax =+-唯一的极值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修45：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CBBDCCBDAACD解析：11. 三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=，S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 12. 由222'()4224240x x x x f x x e e x e e x --=-++≥-+⋅=≥，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数，故2(1)(2)0f a f a -+≤2(1)(2)f a f a ⇔-≤-212a a ⇔-≤-2210a a ⇔+-≤， 解得112a -≤≤. 二、填空题题序 1314 1516答案2解析：16. 由181n n n a a a +=+得181118n n n n a a a a ++==+1118n na a +⇒-=，5291617即数列1{}na 是公差为8的等差数列，故111(1)8817n n n a a =+-⨯=-，所以1817n a n =-， 当1,2n =时0n a <；当3n ≥时，0n a >，数列{}n a 递减，故最大项的值为317a =. 三、解答题17.解：（1）由正弦定理sin sin a bA B=得sin sin 0a B b A =≠，----------------------------------2分 又2sin cos sin 0a B A b A -=, ∴2cos 1A =,即1cos 2A =，------------------------------------------------------------------------4分 ∵0A π<< ∴3A π=.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：∵3A π=∴23C B π=-,从而62C B ππ-=-， ------------------------------7分 ∴()sin 3sin()2f x B B π=+-sin 3cos B B =+------------------------------------------8分132(sin cos )22B B =+2sin()3B π=+---------------------------------------------10分∵33B πππ<+<,∴当6B π=时，函数()f x 取得最大值，这时632C ππππ=--=,即ABC ∆是直角三角形. -------------------------------------------12分【解法二：∵3A π=∴23B C π=-, -----------------------------------------------------------------7分 ∴2()sin()3sin()36f x C C ππ=-+- 3131cos sin 3(sin cos )2222C C C C =++- 2sin C =--------------------------------------------------------------------------------------10分∵203C π<<,∴当2C π=时，函数()f x 取得最大值， ∴ABC ∆是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】 18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，OHCBAP∴ BO ⊥AC ， -------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，∴ BO ⊥平面P AC ，----------------------------------------------3分∴ BO ⊥PC ，------------------------------------------------------4分 又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；---------------------------------------------6分 （2）解法1：∵△HAO 与△HOC 面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==, ∵BO ⊥平面P AC , ∴13B HOC OHC V S OB -∆=⋅, -------------------------------------------------8分 ∵3OH =,∠HOC=30° ∴1HC =, ∴1322OHC S CH OH ∆=⋅=,-----------------------------------------------------------------------10分 ∴1313322B OCH V -=⨯⨯=,即12A BOH V -=.----------------------------------------------------12分【其它解法请参照给分】19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则120525*********1060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时） ----------------------------------------2分2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时）----------------------------------------4分据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分 （2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=，--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为：620430⨯=，----------------------------------------------------------------8分 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ，(,),(,),(,)c d c e c f ，(,),(,),(,)d e d f e f ，共15种，----------------------------------------------10分其中至少有1人来自甲组的有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,),b c b d b e b f共9种，故所求的概率93155P ==.----------------------------------------------------------------------12分 20.解：（1）依题意知(,0)A a ,(0,)B b -,------------------------------------------------------------------1分∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点，∴31,2222a b =-=-，即3,1a b ==，--------------------------------3分 ∴椭圆的方程为2213x y +=.-----------------------------------------4分 （2）由（1）知(0,1)B -，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0，设直线BN 的方程为1(0)y kx k =-<， 则直线BM 的方程为：11y x k=--，------------------------------------------------------------5分 由2233,1.x y y kx ⎧+=⎨=-⎩消去y 得22(13)60k x kx +-=，----------------------------------------------6分解得：2613N kx k=+，1N N y kx =-,---------------------------------------------------------------7分 ∴22||(1)N N BN x y =++22221||N N N x k x k x =+=+∴2||1||N B BN k x x =+-226||113k k k =+⋅+,------------------------------------------------8分【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在11y x k=--中，令0y =得x k =-，即(,0)M k - ∴2||1BM k =+，-----------------------------------------------------------------------------------9分 在Rt △MBN 中，∵∠BMN=60°，∴||3||BN BM =, 即2226||13113k k k k+⋅=⋅++，整理得2323||10k k -+=， 解得3||3k =，∵0k <，∴33k =-，------------------------------------------------------11分∴点M 的坐标为3(,0)3.---------------------------------------------------------------------------12分 21．解：（1）()()()21x f x x e '=--，-----------------------------------------------------------------1分令()0f x '<，得2010x x e -<⎧⎨->⎩或2010x x e ->⎧⎨-<⎩，-----------------------------------------------------2分由2010xx e -<⎧⎨->⎩得02x <<，而不等式组2010xx e ->⎧⎨-<⎩的解集为φ-----------------------------3分∴函数()f x 的单调递减区间为()0,2；----------------------------------------------------------4分 （2）依题意得()()()()()221x g x f x ax x x e ax ''=+-=-+-，显然()20g '=，---5分记()1x h x e ax =+-，x R ∈，则()00h =，当0a =时，()110h e =->；当0a ≠时，110a h e a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭；由题意知，为使2x =是函数()g x 唯一的极值点，则必须()0h x ≥在R 上恒成立；----------7分只须()min 0h x ≥，因'()x h x e a =+，①当0a ≥时，'()0x h x e a =+>，即函数()h x 在R 上单调递增， 而()1110h a e-=--<，与题意不符； --------------------------------------------------------8分 ②当0a <时，由()0h x '<，得()ln x a <-，即()h x 在()(),ln a -∞-上单调递减， 由()0h x '>，得()ln x a >-，即()h x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故()()()min ln h x h a =-， ------------------------------------------------------------------------10分 若1a =-，则()()min ()00h x h x h ≥==，符合题意；------------------------------------11分 若1a ≠-，则()()()min 00()ln h h x h a =≥=-，不合题意；综上所述，1a =-．----------------------------------------------------------------------------------12分 【或由()min 0h x ≥，及(0)0h =，得()min (0)h h x =，∴()ln 0a -=，解得1a =-． -----------------------------------------------------------------12分】 22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ=] --------------------------3分2l 的极坐标方程为2πθα=+；----------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=， 同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，--------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅ ∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥， ----------------9分 △OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=， 得22πα=，∴4πα=． -------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，解得4x <-，-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<， 解得423x -<<，--------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥，---------------------------------------------------------------------------------------------3分上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞；-----------------------------------5分 （2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，------------6分 设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩，-------------------------------------------------------------------------------------8分广东揭阳市2019届高三上学期期末数学文科试卷及解析11 即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤---------------------------------------------------------------------10分【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，----------------------------------------------6分()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤----------------------------------7分 ①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；------------------------------------------8分②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min 61(2)22a x ≤-+=-+， 综上知，12a ≤-．----------------------------------------------------------------10分】。
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(理)试题(含答案)
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数121z i i =++-的虚部是A ．52B ．2C ． 32D ．32i2．已知集合3{|0}1x A x x -=≤+，{1,1,2,3}B =-，则A B =A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,1,2,3}- 3．已知命题:p 若||a b >，则22a b >；命题:q m 、n 是直线，α为平面，若m //α,n α⊂，则m //n .下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础 设施投资额逐年增加； B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 5. 函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为P B 1C 1A 1CB A6. 若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． 1B ．2C ．-2D ．-17．若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．若点(2,2)A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则FA FB ⋅=A ．10-B 23C ．3-D ．92-9．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8， 则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π10．已知在区间[0,]π上，函数3sin2xy =与函数1sin y x =+P ，设点P 在x 轴上的射影为'P ，'P 的横坐标为0x ，则0tan x 的值为A ．12B ．43 C ．45 D ．815 11．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、，坐标原点O 关于点2F 的对称点为P ，点P 到双曲线的渐近线距离为32F 的直线与双曲线C 右支相交于M 、N 两点，若||3MN =，1F MN ∆的周长为10，则双曲线C 的离心率为A ．32B ．2C ．52D ．312. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，∠ACB=90°，11BC CC ==，AC =P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为A.B．1+C ．5D．1+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．OHCAP13．821)x 的展开式中1x的系数为_______； 14．若向量(1,)a x =、(1,2)b =--不共线，且()()a b a b +⊥-，则a b ⋅=_______；15. 已知函数3()2f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ； 16. 已知()sin[(1)]3cos[(1)]33f x x x ππ=++，则(1)(2)(2019)f f f +++= . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，123n n S a ++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11T a =，33T a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n Q ． 18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形P AC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H . （1）证明：PC ⊥平面BOH ； （2）若3OH OB ==，求二面角A-BH-O 的余弦值．19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i ）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为1ξ、2ξ，求1ξ、2ξ的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii ）按（i ）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率． 20.（12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a +=>>的上顶点为A,以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,1+、(0,1-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=,试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由. 21.（12分）已知函数1()kxkx f x ke -=（k R ∈，0k ≠）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()ln x f x k≤，求k 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修4-5：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+， （1）当a =2时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题y=1+sinx y=3sinx 2Po yxx 03211PA 1C 1BC 解析：8.依题意易得2p =，(1,0)F ，由抛物线的定义得||3FA =，联立直线AF 的方程与抛物线的方程消去y 得22520x x -+=，得121,2B B x x ==, 则13||(1)22FB =--=,故FA FB ⋅=92-. 9. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=，又S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 10. 依题意得00003sin 1sin sin cos 222x x xx =+=+ 01tan 22x ⇒=04tan 3x ⇒=.11. 依题意得点P (2,0)c ，222233b b a b==⇒=+1F MN ∆周长为4610a +=，由此得1a =，2c =，故2e =．12. 由题设知△1CC B 为等腰直角三角形，又11A C ⊥平面11BCC B ，故∠11A C B =90°，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形， 得四边形11AC CB 如图示，由此，1CP PA +要取得最小值，当且 仅当1C P A 、、三点共线，由题设知∠1135CC A =,由余弦定理得221(32)1232cos135AC =+-⨯25=15A C ⇒=.15. 因函数()f x 为增函数，且为奇函数，22(1)(2)0(2)(1)(1)f a f a f a f a f a -+≤⇔≤--=-，2210a a ⇔+-≤，解得112a -≤≤.【学生填112a -≤≤或1[1,]2-或1{|1}2a a -≤≤都给满分】 16. 依题意可得()2sin3f x x π=,其最小正周期6T =,且(1)(2)(6)0,f f f +++=故(1)(2)(2019)f f f +++=(1)(2)(3)2 3.f f f ++=三、解答题17.解：（1）当1n =时，29a =，----------------------------------------------------------------------------1分由123n n S a ++=得123n n S a -+=（2n ≥），两式相减得112()n n n n S S a a -+-=-，又1n n n S S a --=，∴13n n a a +=（2n ≥）， ------------------------------------------------------------------------------3分 又213a a =，∴13n n a a +=（*n N ∈）， --------------------------------------------------------4分z y xOHCB APOHCB AP显然0n a ≠，13n na a +=，即数列{}n a 是首项为3、公比为3的等比数列， ∴1333n nn a -=⨯=； --------------------------------------------------------------------------------6分（2）设数列{}n b 的公差为d ，则有13b =，由33T a =得13327b d +=，解得6d =，--------8分∴36(1)3(21)n b n n =+-=-， --------------------------------------------------------------------9分又111111()9(21)(21)182121n n b b n n n n +==--+-+--------------------------------------------10分 ∴111111[(1)()()]183352121n Q n n =-+-++--+ 11(1)1821n =-+9(21)n n =+．--------------------------------------------------------------------12分 18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴ BO ⊥AC ，---------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ， ∴ BO ⊥平面P AC ，-------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ，又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；------------------------------------5分 （2）易知PO ⊥AC ，又BO ⊥平面P AC ，如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系O - xyz ，由3OH =易知23PO =OC ＝2，3cos302H y OH =︒=，3sin 30H z OH =︒=，∴ (0,2,0)A -，3,0,0)B ，33(0,,22H ，)0,2,0(C ， )32,0,0(P ，(3,2,0)AB =，73(0,,2AH =， -----------------------------------7分设平面ABH 的法向量为(,,)m x y z =，则00AB m AH m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， ∴320730x y y z +=+=⎪⎩，取x =2，得(2,3,7)m =-，----------------------9分 由（1）知PC 是平面BHO 的法向量，易知(0,2,3)PC =-，------10分设二面角A-BH-O 的大小为θ，显然θ为锐角， 则cos |cos ,|m PC θ=<>||||||m PC m PC ⋅=⋅23143564=⨯2342714==， ∴ 二面角A-BH-O ．------------------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】 19.解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为1145152604515453059118C C C ⨯==⨯；--------------------------------------------3分 （2）（i ）1ξ的分布列为1ξ5 10 15 20P13 512 16 1121()510152*********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，----------------------------------------------6分21ξ4 8 12 26P215 415 13 4152241441164()481216415153151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=， ∵12()()E E ξξ<，∴公司应选培训方式一；----------------------------------------------------9分（ii ）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为1533124+=， 则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为12333(1)448C ⨯⨯-=．-------------------------12分20. 解：（1）依题意知点A 的坐标为(0,)b ，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为:222()x y b a +-=，------------------------------------------------------------------------------------1分令0x =得y b a =±，由圆A 与y 轴的交点分别为(0,13)+、(0,13)-可得1313b a b a ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，解得1,3b a ==-------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为2213x y +=.----------------------------------------------------------------4分 （2）解法1：由0AP AQ ⋅=得AP AQ ⊥，可知PA 的斜率存在且不为0，设直线:1PA l y kx =+---------------① 则1:1QA l y x k=-+-------------②----------------------6分 将①代入椭圆方程并整理得22(13)60k x kx ++=，可得2613P k x k =-+，则22113P y k=-+，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分 类似地可得2266,133Q Q k x y k k ==-++，----------------------------------------------------------9分由直线方程的两点式可得：直线l 的方程为 21142k y x k -=-，------------------------------11分 即直线l 过定点，该定点的坐标为1(0,)2-.---------------------------------------------------------12分 【解法2：若直线l 垂直于x 轴，则AP 不垂直于AQ ，不合题意，可知l 的斜率存在，又l 不过点(0,1)，设l 的方程为y kx m =+(1)m ≠， 又设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则1122(,1),(,1)AP x y AQ x y =-=-, 由0AP AQ ⋅=得121212()10x x y y y y +-++=，由2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222(31)6330k x kmx m +++-=，----------------------------6分 2212(31)k m ∆=-+，当0∆>即22310k m -+>时，122631kmx x k +=-+-------① 21223331m x x k -=+---------②-----------------------------------------7分 又22121212()y y k x x mk x x m =+++，1212()2y y k x x m +=++，--------------------------8分 于是有221212(1)()()210k x x mk k x x m m ++-++-+=，-----------③---------------------9分将①②代入③得22222336(1)()2103131m km k mk k m m k k -+--+-+=++ 整理得：12m =-,--------------------------------------------------------------------------------------11分 满足0∆>，这时直线l 的方程为12y kx =-，直线l 过定点1(0,)2-.------------------12分】（21）解：（1）21(1)'()()kx kxkx ke kx kef x k e --=⋅2kx kx e -=2()kx k x k e--=．--------------------------1分 ①若0k >，当2(,)x k ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在2(,)k-∞上单调递增； 当2(,)x k ∈+∞时，'()0f x <，()f x 在2(,)k+∞上单调递减．----------------------3分②若0k <，当2(,)x k ∈-∞时，'()0f x <，()f x 在2(,)k-∞上单调递减；当2(,)x k ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在2(,)k+∞上单调递增．∴当0k >时，()f x 在2(,)k -∞上单调递增，在2(,)k+∞上单调递减；当0k <时，()f x 在2(,)k -∞上单调递减，在2(,)k+∞上单调递增．-------------------5分 （2）1()ln xx x f x k ke -=≤（1x ≥）， 当0k <时，上不等式成立，满足题设条件；-----------------------------------------------------6分当0k >时，1()ln x x x f x k ke -=≤，等价于1ln 0xx k x e --≤， 设1()ln (1)x x g x k x x e -=-≥，则2'()x x k g x e x-=-22xxx x ke xe --=， 设2()2xh x x x ke =--（1x ≥），则'()2(1)0xh x x ke =--<，∴()h x 在[1,)+∞上单调递减，得()(1)1h x h ke ≤=-．-------------------------------------9分 ①当10ke -≤，即1k e≥时，得()0h x ≤，'()0g x ≤， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，得()(1)0g x g ≤=，满足题设条件；--------------------10分 ②当10ke ->，即10k e<<时，(1)0h >，而0)2(2<-=ke h ， ∴0(1,2)x ∃∈，0()0h x =，又()h x 单调递减， ∴当0(1,)x x ∈，()0h x >，得'()0g x >，∴()g x 在0[1,)x 上单调递增，得()(1)0g x g ≥=，不满足题设条件； 综上所述，0k <或1k e≥．--------------------------------------------------------------------------12分 22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ=] ---------------------------3分 2l 的极坐标方程为2πθα=+； --------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=， 同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，-------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥， -----------------9分△OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=， 得22πα=，∴4πα=． --------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，解得4x <-，---------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<，解得423x -<<，----------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥，----------------------------------------------------------------------------------------------3分综上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞.-----------------------------------5分（2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，---------------6分 设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩， -------------------------------------------------------------------------------------8分即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤-----------------------------------------------------------------------10分【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，------------------------------------------------6分()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤-----------------------------------7分①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；-----------------------------------------------------------8分 ②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min61(2)22a x ≤-+=-+，综上知，12a ≤-． --------------------------------------------------------------------------------10分】。
(完整word)2019年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案),
2019 年 1 月广东省高中学业水平考试数学一、选择题：本大题共15 小题，每题 4 分，满分60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.已知会合A.{0,2}A={0,2,4}, B={-2,0,2}, 则B.{-2,4}C.[0,2]A∪ B=()D.{-2,0,2,4}1.D【分析】由并集的定义，可得A∪ B={-2,0,2,4}.应选 D.2.设i 为虚数单位,则复数i(3+i)=()A.1+3iB.-1+3iC.1-3iD.-1-3i2.B【分析】 i(3+i)=3i+i2=3i-1.应选 B.3.函数y=log 3(x+2)的定义域为()A.(- 2,+∞)B.(2,+∞)C.[- 2,+∞)D.[2,+∞)3.A【分析】要使y=log 3( x+2) 存心义，则x+2>0 ，解得 x>-2 ，即定义域为(-2,+∞故).选 A.4.已知向量 a=(2,-2), b=(2,-1), 则|a+b|=()A.1B.5C.5D.254.C【分析】由a=(2,-2), b=(2,-1), 可得 a+b=(4,-3), 则 |a+b|=42+(-3) 2=5.应选 C.5.直线 3x+2y-6=0 的斜率是 ()3322A. 2B.- 2C.3D.-3335.B【分析】直线3x+2 y-6=0 ，可化为 y=-2x+3，故斜率为 -2.应选 B.6.不等式x2-9<0的解集为()A.{ x|x<-3}B.{ x|x<3}C.{ x|x<-3或 x>3}D.{ x|-3<x<3}6.D【分析】由x2-9<0，可得 x2<9，的 -3< x<3. 应选 D.a7.已知 a>0 ，则=()3a21321 A. a2 B. a2 C.a3 D. a37.D2a21【分析】3a2=a ，则= a2=a1- =a .应选 D.3333a2a38.某地域连续六天的最低气温(单位 :℃ )为 :9,8,7,6,5,7,则该六天最低气温的均匀数和方差分别为()582A.7和3 B.8 和3 C.7 和 1 D.8 和3-121222228.A【分析】均匀数x=6×(9+8+7+6+5+7)=7, 方差s =6[(9-7)+(8-7)+(7-7) +(6-7)+(5-7)+(7-257)]= 3.应选 A.9.如图 ,长方体 ABCD -A1B1C1D1中 ,AB=AD =1,BD 1=2，则 AA1=()D1C1A1B1D CA BA.1B. 2C.2D. 39.B【分析】在长方体中，BD12=AB2+AD2+AA12，则 22=12+12+AA12，解得 AA1= 2.应选 B.10.命题“?x∈R ， sinx+1≥ 0的”否认是 ()A. ?x0R sinx0+1<0B.? x R sinx+1<0C.?x0∈R ， sinx0+1≥0D.? x∈ R， sinx+1≤010.A【分析】全称命题的否认是把全称量词改为存在量词，并否认结论，则原命题的否认为“? x0∈R， sinx0+1<0 ”故.选 A.x-y+3≥0，11.设 x,y 知足拘束条件x+y-1≤0，则 z=x-2y 的最大值为 ()y≥0，A.-5B.-3C.1D.411.C【分析】作出拘束条件表示的平面地区如下图，当直线z=x-2y 过点 A(1,0)时， z 取得最大值， z max=1-2 ×0=1.应选 C.yC 3 2 1B O A3 2 1 1 x12.已知圆 C 与 y 轴相切于点 (0,5) ，半径为5，则圆 C 的标准方程是()A.( x-5) 2+(y-5)2=25B.(x+5) 2+(y-5)2=25C.(x-5) 2+(y-5) 2=5 或 (x+5) 2+(y-5) 2=5D.( x-5) 2+(y-5)2=25 或 (x+5) 2+(y-5) 2=2512.D【分析】由题意得圆 C 的圆心为 (5,5)或 (-5,5)，故圆C 的标准方程为 (x-5)2+(y-5) 2=25或( x+5) 2+(y-5)2=25.应选 D.→→→→→13.如图，△ABC 中， AB=a,AC=b， BC=4BD ，用 a,b 表示 AD ，正确的选项是 ()AB D C→ 1 3 → 5 1 A. AD =4a+4bB.AD =4a+4b→ 3 1 → 5 1C.AD =4a+4bD.AD =4a-4b→ → → →→ →→ 3 → 1 →→3 113.C 【分析】由 BC=4BD ，可得 AC-AB=4( AD -AB )，则 AD =4AB +4AC ，即 AD= 4a+4b.应选C.14.若数列 { a n } 的通项 a n =2n-6，设 b n =|a n |，则数列 { b n } 的前 7 项和为 () A.14 B.24 C.26 D.2814.C【 解 析 】 当 n ≤3时 ， a n ≤0， b n =|a n |=-a n =6-2n, 即 b 1=4,b 2=2 ， b 3=0. 当 n>3 时 ，a n >0,b n =|a n |=a n =2 n-6，即 b 4=2,b 5=4 ，b 6=6,b 7=8.因此数列 { b n } 的前 7 项和为 4+2+0+2+4+6+8=26.应选 C.x 2 y 215.已知椭圆 a 2+b 2=1( a>b>0) 的长轴为 A 1A 2， P 为椭圆的下极点，设直线 PA 1,PA 2 的斜率分别为 k 121 21，则该椭圆的离心率为()，k ，且 k ·k =-23 211A. 2B. 2C.2D.415.B 【分析】由题意得A 1(-a,0),A 2(a,0),P(0,-b)，则 k 1=-b b b21a,k 2= ，则 k 1·k 2=- 2=- ，即 a 2=2b 2，aa2c c 2 b 22=2因此 c 2=a 2-b 2=b 2，离心率 e= =a 2=2b2.应选 B.a二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，满分 16 分 .16.已知角 α的极点与坐标原点重合，终边经过点P(4,-3) ，则 cos α=______.4x 416.5 【分析】由题意得x=4,y=-3 ，r = x 2+y 2=42+(-3) 2=5,cos α= r =5.17.在等比数列 { a n } 中， a 1=1， a 2=2，则 a 4=______.a 217.8 【分析】设等比数列{ a n } 的公比为 q,由题意得 q=a 1=2，则 a 4=a 1q 3=1×23=8.18.袋中装有五个除颜色外完整同样的球，此中 2 个白球， 3 个黑球， 从中任取两球， 则拿出的两球颜色同样的概率是 ______.18.5 【分析】记 2 个白球分别为白,白 2,3 个黑球分别为黑1，黑 2，黑 3，从这 5 个球中任21取两球，全部的取法有 { 白 1，白21 1 } ， { 白 1 ，黑2 } ，{ 白1 ，黑3 } ，{ 白 2 ，黑 1} ，} ，{ 白 ，黑 { 白 2，黑 2} ， { 白 2，黑 3} ， { 黑 1 ，黑 2} ， { 黑 1 ，黑 3} ， { 黑 ，黑 } ，共 10 种 .此中拿出的 2 34 2两球颜色同样取法的有4 种，因此所求概率为 p=10=5.19.已知函数f(x)是定义在(- ∞， +∞)上的奇函数，当x ∈ [0,+∞)时，f( x)=x 2-4x ，则当 x ∈ (-∞，0)时， f(x)=______.19.-x2-4x【分析】 当x ∈ (-∞，0)时，-x ∈ (0,+∞由),奇函数可得f( x)=- f(-x)=-[(- x)2-4(- x)]=- x 2 -4x.三、解答题：本大题共2 小题，每题12 分，满分 24 分 .解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知3cosA=5， bc=5.(1) 求 △ABC 的面积；(2) 若 b+c=6,求 a 的值 .20.【分析】 (1) ∵A 是 △ABC 的内角，即 A ∈ (0, π)，cosA=3，∴ sinA= 1-cos 2A= 4.55 1 1 4 又 bc=5，∴ S △ABC =bcsinA= ×5× =2.225b 2+c 2- a 2 3(2) 由 cosA=2bc=5,bc=5 ，可得 b 2+c 2 -a 2=6.由 bc=5,b+c=6,可得 b 2+c 2=(b+c)2-2bc=26. ∴ 26-a 2=6，解得 a=2 5.21.如图，三棱锥P-ABC 中， PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,PA=PB=PC=2，E 是 AC 的中点，点 F在线段 PC 上 .(1) 求证： PB ⊥ AC;(2) 若 PA ∥平面 BEF,求四棱锥 B-APFE 的体积 .1(参照公式：锥体的体积公式V=3Sh ，此中 S 是底面积， h 是高 .)PFA E CB21.【分析】 (1)∵ PA⊥ PB,PB⊥PC ,PA? 平面 PAC ,PC? 平面 PAC,PA∩PC=P，∴ PB⊥平面 PAC.又AC? 平面 PAC，∴ PB⊥ AC.(2) ∵ PA∥平面 BEF,PA? 平面 PAC,平面 BEF∩平面 PAC=EF，∴ PA∥EF .又 E 为 AC 的中点，∴ F 为 PC 的中点 .3∴S 四边形APFE=S△PAC- S△FEC=4S△PAC .∵PC ⊥PA,PA=PC=2，∴ S△PAC =12×2×2=2.3∴S 四边形APFE=2.由(1) 得 PB ⊥平面 PAC,∴PB =2 是四棱锥B-APFE 的高 .113∴V 四棱锥B-APFE= S 四边形APFE·PB =× ×2=1.332。
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(理)试题(解析版)
广东省揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部是 z =11‒i +2+i()A. B. 2 C. D.523232i 【答案】C 【解析】解：，∵z =11‒i +2+i =1+i (1‒i)(1+i)+2+i =12+12i +2+i =52+32i复数的虚部是．∴z =11‒i +2+i 32故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合，1，2，，则 A ={x|x ‒3x +1≤0}B ={‒1,3}A ∩B =()A. B. 1， C. 2， D. 1，2，{1,2}{0,2}{1,3}{‒1,3}【答案】C【解析】解：集合，∵A ={x|x ‒3x +1≤0}={x|‒1<x ≤3}1，2，，B ={‒1,3}2，．∴A ∩B ={1,3}故选：C ．先分别求出集合A ，B ，由此能求出．A ∩B 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.已知命题p ：若，则；命题q ：m 、n 是直线，为平面，若，，则下列命题为a >|b|a 2>b 2αm//αn ⊂αm//n.真命题的是 ()A. B. C. D. p ∧qp ∧￢q ￢p ∧q ￢p ∧￢q【答案】B【解析】解：由，则，则，即命题p 为真命题，a >|b|a >|b|≥0a 2>b 2m 、n 是直线，为平面，若，，则或m 与n 异面，即命题q 是假命题，αm//αn ⊂αm//n 即为真命题，p ∧￢q故选：B ．由不等式的性质有，则，则，即命题p 为真命题，a >|b|a >|b|≥0a 2>b 2由平面中的线面，线线关系有m 、n 是直线，为平面，若，，则或m 与n 异面，即命题q 是假命αm//αn ⊂αm//n 题，故得解．本题考查了不等式的性质及平面中的线面，线线关系，属简单题．4.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额单位：亿元的折线图则下列结论中表述不正确的是 y().()A. 从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加B. 2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多C. 2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据时间变量t 的值依次为(1，2，，建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环…7)y =99+17.5t 境基础设施投资额为亿元．256.5【答案】D【解析】解：对于A ，由图象可知，投资额逐年增加，故A 正确；对于B ，2000年至2004年的投资总额为亿元，小于2011年的129亿元，故B 正确；11+19+25+35+37=127对于C ，2004年的投资额为37亿元，2012年该地区基础设施的投资额为148，等于2004年的投资额翻了两番，故C 正确；对于D ，在线性回归模型中，取，可得亿元，故D 错误．y =99+17.5t t =10y =99+17.5×10=274故选：D ．根据图象所给数据，对四个选项逐一进行分析得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5.函数的图象大致为 f(x)=ln|x|+1x()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：当时，，由此排除C ，D ；x→‒∞f(x)=ln|x|+1x →+∞当时，，，x >0f(x)=lnx +1xf'(x)=1x ‒1x2=x ‒1x 2当时，，单调递减，当时，，单调递增．x ∈(0,1)f'(x)<0f(x)x ∈(1,+∞)f'(x)>0f(x)图象A 符合．∴故选：A ．由时，，排除C ，D ；再由导数研究函数的单调性即可求得答案．x→‒∞f(x)=ln|x|+1x →+∞本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．6.若x ，y 满足约束条件，则的最小值为 {x ‒y ‒1≤02x ‒y +1≥0x ≥0z =‒x2+y ()A. B. C. 1 D. 2‒1‒2【答案】A【解析】解：x ，y 满足约束条件的平面区域如下图所示：{x ‒y ‒1≤02x ‒y +1≥0x ≥0平移直线，由图易得，当，时，即经过A 时，y =‒2x x =0y =‒1目标函数的最小值为：．z =2x +y ‒1故选：A ．先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线，当过点时，y =‒2x (0,‒1)直线在y 轴上的截距最大，从而求出所求．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.若，，，则a ，b ，c 的大小关系为 a =log 23b =log 48c =log 58()A. B. C. D. a >b >ca >c >b b >a >c c >b >a【答案】A 【解析】解：，；∵log 48=log 28log 24=12⋅log 28=log 28log 23>log 28；∴a >b 又，，且；log 48=log 88log 84=1log 84log 58=1log 85log 85>log 84>0；∴1log 84>1log 85；∴b >c ．∴a >b >c 故选：A ．换底得出，而，从而得出，再换底得出，容易得出log 48=log 28log 23>log 28a >b log 48=1log 84,log 58=1log 85，即得出，从而得出．1log 84>1log 85b >c a >b >c 考查对数式的运算，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．8.若点在抛物线C ：上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则A(2,22)y 2=2px ⃗FA ⋅⃗FB=()A. B. C. D.‒102‒3‒3‒92【答案】D【解析】解：把代入，得，即．A(2,22)y 2=2px 8=4p p =2抛物线方程为，抛物线焦点，∴y 2=4x F(1,0)过抛物线焦点F ，，．∵AB ∴x A ⋅x B =p 24=1y A ⋅y B =‒p 2=‒4，，∵x A =2x B =1x A =12则⃗FA⋅⃗FB=(x A ‒1,y A )⋅(x B ‒1,y B )=(x A ‒1)(x B ‒1)+y A ⋅y B．=x A ⋅x B +y A ⋅y B ‒(x A +x B )+1=1‒4‒(2+12)+1=‒92故选：D ．把A 点坐标代入抛物线方程求得p ，由直线过抛物线焦点，可得B 的横坐标及，，再由数量积的坐标x A ⋅x B y A ⋅y B 运算求解．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．9.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 ()A. πB. 2πC. 4πD. 16π【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为r ，母线的长为l ，则，即；2r +2l =8r +l =4圆锥的侧面积为，当且仅当时“”成立；∴S 侧=πrl ≤π(r +l 2)2=4π(r =l =)圆锥的侧面积最大值为．∴4π故选：C ．由三视图知该几何体为圆锥，设出底面圆半径和母线长，利用基本不等式求出圆锥侧面积的最大值．本题考查了圆锥的三视图与应用问题，是基础题．10.已知在区间上，函数与函数的图象交于点P ，设点P 在x 轴上的射影为，的[0,π]y =3sin x2y =1+sinx 横坐标为，则的值为 x 0tanx 0()A.B.C.D.124345815【答案】B【解析】解：过P 作轴于点，直线与的图象交于点，∵y =tanx P 0线段的长即为点点的纵坐标的值即的值，tanx 0且其中的x 满足，则，3sin x2=1+sinx2sinx +9cosx =7又，且，解得，，sin 2x +cos 2x =1x ∈[0,π]sinx =45cosx =35线段的长为，tanx 0=43故选：B ．由结合平方关系求得，的值，则答案可求．3sin x2=1+sinxsinx cosx 本题考查三角函数的图象、函数值的求法，考查计算能力，数形结合思想，是中档题．11.已知双曲线C ：的左、右焦点分别为、，坐标原点O 关于点的对称点为P ，点Px 2a2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)F 1F 2F 2到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C 右支相交于M 、N 两点，若，的周长23F 2|MN|=3△F 1MN 为10，则双曲线C 的离心率为 ()A.B. 2C.D. 33252【答案】B【解析】解：坐标原点O 关于点对称点为，F 2(c,0)P(2c,0)双曲线的一条渐近线方程为，bx ‒ay =0可得，即；2bca 2+b 2=2b =23b =3设，，|MF 2|=m |NF 2|=n 由双曲线的定义可得，，|MF 1|=2a +m |NF 1|=2a +n 即有的周长为，△F 1MN 4a +2(m +n)=4a +2|MN|=4a +6=10可得，a =1，．c =a 2+b 2=2e =ca =2故选：B ．求得P 的坐标，运用点到直线的距离公式可得b ，设，，运用双曲线的定义可得的周|MF 2|=m |NF 2|=n △F 1MN 长，计算可得a ，进而得到c ，由离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程、离心率，考查点到直线的距离公式，以及运算能力，属于基础题．12.如图，在三棱柱中，底面，，，ABC ‒A 1B 1C 1AA 1⊥A 1B 1C 1∠ACB =90∘BC =CC 1=1，P 为上的动点，则的最小值为 AC =32BC 1CP +PA 1()A. B. C. 5D. 251+321+25【答案】C【解析】解：连，沿将展开与在同一个平面内，如图所示，A 1B BC 1△CBC 1△A 1BC 1连，则的长度就是所求的最小值．A 1C A 1C ，，，通过计算可得BC 1=22A 1C 1=32A 1B =26∠A 1C 1P =90∘又∠BC 1C =45∘由余弦定理可求得∴∠A 1C 1C =135∘A 1C =A 1C 21+C 1C 2‒2A 1C 1⋅C 1C ⋅cos 135∘．=18+1‒2×32×1×(‒22)=5故选：C ．连，沿将展开与在同一个平面内，不难看出的最小值是的连线，由余弦定理A 1B BC 1△CBC 1△A 1BC 1CP +PA 1A 1C 即可求解．本题考查棱柱的结构特征，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中的系数为______；(2x +1x 2)81x 【答案】224【解析】解：的展开式中的通项公式：，(2x +1x2)8T r +1=∁r8(2x )8‒r (1x2)r=24‒r2∁r 8x4‒5r2令，解得．4‒5r 2=‒1r =2的系数．∴1x=23×∁28=224故答案为：224．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式的展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.若向量、不共线，且，则______；⃗a =(1, x)⃗b =(‒1, ‒2)(⃗a+⃗b)⊥(⃗a‒⃗b)⃗a ⋅⃗b=【答案】3【解析】解：；∵⃗a+⃗b=(0,x ‒2),⃗a‒⃗b=(2,x +2)又；(⃗a+⃗b)⊥(⃗a‒⃗b)；∴(⃗a+⃗b)⋅(⃗a‒⃗b)=x 2‒4=0，或2；∴x =‒2又不共线；⃗a ,⃗b ；∴x ≠2；∴x =‒2；∴⃗a=(1,‒2)．∴⃗a ⋅⃗b=‒1+4=3故答案为：3．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算⃗a +⃗b =(0,x ‒2),⃗a ‒⃗b =(2,x +2)(⃗a +⃗b )⊥(⃗a ‒⃗b )(⃗a +⃗b )⋅(⃗a ‒⃗b )=0即可求出，或2，而根据不共线即可舍去，取，从而求出向量的坐标，然后进行数量积的坐x =‒2⃗a ,⃗b x =2x =‒2⃗a 标运算即可．考查向量坐标的加法、减法和数量积的运算，以及向量垂直的充要条件．15.已知函数，若，则实数a 的取值范围是______；f(x)=x 3+2x f(a ‒1)+f(2a 2)≤0【答案】[‒1,12]【解析】解：由，得，f(x)=x 3+2x f'(x)=3x 2+2>0在上为增函数，∴f(x)(‒∞,+∞)由，f(‒x)=(‒x )3+2(‒x)=‒x 3‒2x =‒(x 3+2x)=‒f(x)为奇函数，∴f(x)由，得，f(a ‒1)+f(2a 2)≤0f(a ‒1)≤‒f(2a 2)=f(‒2a 2)则，即，a ‒1≤‒2a 22a 2+a ‒1≤0解得：．‒1≤a ≤12实数a 的取值范围是．∴[‒1,12]故答案为：．[‒1,12]利用导数判断函数的单调性，由定义得到函数为奇函数，把原不等式转化为关于a 的一元二次不等式求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性的判定及应用，考查化归与转化思想方法，是中档题．16.已知，则______．f(x)=sin [π3(x +1)]‒3cos [π3(x +1)]f(1)+f(2)+…+f(2019)=【答案】23【解析】解：，∵f(x)=sin [π3(x +1)]‒3cos [π3(x +1)]，=sin (πx 3+π3)‒3cos (πx 3+π3)=2sin (πx 3+π3‒π3)=2sin πx 3周期，∴f(x)T =2ππ3=6又，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0且，2009=334×6+5故．f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=23故答案为：．23求出，从而周期，再由f(x)=sin [π3(x+1)]‒3cos [π3(x+1)]=2sin πx 3f(x)T =2ππ3=6，且，能求出f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=02009=334×6+5的值．f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知数列的前n 项和为，且满足，．{a n }S n a 1=32S n +3=a n +1求数列的通项公式；(1){a n }若等差数列的前n 项和为，且，，求数列的前n 项和．(2){b n }T n T 1=a 1T 3=a 3{1bn b n +1}Q n 【答案】解：当时，，(1)n =1a 2=9由得，2S n +3=a n +12S n ‒1+3=a n (n ≥2)两式相减得，又，2(S n ‒S n ‒1)=a n +1‒a n S n ‒S n ‒1=a n ，∴a n +1=3a n (n ≥2)又，，a 2=3a 1∴a n +1=3a n (n ∈N ∗)显然，，a n ≠0a n +1a n =3即数列是首项为3、公比为3的等比数列，{a n }；∴a n =3×3n ‒1=3n 设数列的公差为d ，则有，由得，解得，(2){b n }b 1=3T 3=a 33b 1+3d =27d =6，∴b n =3+6(n ‒1)=3(2n ‒1)又，1b n b n +1=19(2n ‒1)(2n +1)=118(12n ‒1‒12n +1)．∴Q n =118[(1‒13)+(13‒15)+…+(12n ‒1‒12n +1)]=118(1‒12n +1)=n 9(2n +1)【解析】运用数列的递推式和都收不回来的定义、通项公式可得所求通项；(1)由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可得，又(2)b n =3(2n ‒1)，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．1b n b n +1=19(2n ‒1)(2n +1)=118(12n ‒1‒12n +1)本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．18.如图，在三棱锥中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互P ‒ABC 相垂直，，O 是AC 中点，于H ．AB =BC OH ⊥PC 证明：平面BOH ；(1)PC ⊥若，求二面角的余弦值．(2)OH =OB =3A ‒BH ‒O【答案】证明：，O 是AC 中点，，-----------------------------------(1)∵AB =BC ∴BO ⊥AC ----------分(1)又平面平面ABC ，PAC ⊥且平面ABC ，平面平面，BO ⊂PAC ∩ABC =AC 平面PAC ，-------------------------------------分∴BO ⊥(3)，又，，∴BO ⊥PC OH ⊥PC BO ∩OH =O 平面BOH ；------------------------------------分∴PC ⊥(5)解：由题意知，又平面PAC ，(2)PO ⊥AC BO ⊥如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，O ‒xyz 由，知，，OH =3PO =23OC =2，，y H =OHcos 30∘=32z H =OHsin 30∘=32，，，2，，，∴A(0,‒2,0)B(3, 0, 0)H(0, 32, 32)C(0,0)P(0,0,23)，，-----------------------------------分⃗AB=(3, 2, 0)⃗AH=(0, 72, 32)(7)设平面ABH 的法向量为，⃗m=(x, y, z)则，，取，得，----------------------分{⃗AB ⋅⃗m=0⃗AH ⋅⃗m=0∴{3x +2y =07y +3z =0x =2⃗m=(2, ‒3, 7)(9)由知是平面BHO 的法向量，，------分(1)⃗PC ⃗PC =(0, 2, ‒23)(10)设二面角的大小为，由图形得为锐角，A ‒BH ‒O θθ则，cosθ=|cos <⃗m , ⃗PC>|=|⃗m ⋅⃗PC||⃗m|⋅|⃗PC|=|‒23‒143|56×4=2314=427二面角的余弦值为------------------------------------------------------------分∴A ‒BH ‒O 427.(12)【解析】推导出，从而平面PAC ，进而，由，能证明平面BOH ．(1)BO ⊥AC BO ⊥BO ⊥PC OH ⊥PC PC ⊥由，平面PAC ，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法(2)PO ⊥AC BO ⊥O ‒xyz 能求出二面角的余弦值．A ‒BH ‒O 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组记为甲组、乙组先培训，甲.()组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组8162016在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；(1)每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率．(2)设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为、，求、的分布列，若选平均受训时间少的，则公司(i)ξ1ξ2ξ1ξ2应选哪种培训方式？按中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．(ii)(i)【答案】解：甲组60人中有45人优秀，任选两人，(1)恰有一人优秀的概率为--------------------------------------------分p =C 145C 115C 260=45×1530×59=45118.(3)的分布列为(2)(i)ξ1ξ15101520P1351216112，----------------------------------------------分E(ξ1)=5×13+10×512+15×16+20×112=10(6)的分布列为ξ2ξ1481226P21541513415，E(ξ2)=4×215+8×415+12×13+16×415=4×4115=16415，公司应选培训方式一----------------------------------------------------分∵E(ξ1)<E(ξ2)∴.(9)按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，(ii)p =13+512=34则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为-------------------------分p =C 12×34×(1‒34)=38.(12)【解析】甲组60人中有45人优秀，任选两人，利用古典概型、排列组合能求出恰有一人优秀的概率．(1)先分别求出的分布列、数学期望和的分布列、数学期望，由，得到公司应选培训方式一．(2)(i)ξ1ξ2E(ξ1)<E(ξ2)按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为，由此能求出从公司任选两人，恰有一人优秀(ii)p =13+512=34的概率．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆C ：的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)为、．(0,1+3)(0,1‒3)求椭圆C 的方程；(1)设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求(2)⃗AP ⋅⃗AQ =0出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】解：依题意知点A 的坐标为，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为：，(1)(0,b)x 2+(y ‒b )2=a 2令得，由圆A 与y 轴的交点分别为、x =0y =b ±a (0,1+3)(0,1‒3)可得，解得，{b +a =1+3b ‒a =1‒3b =1,a =3故所求椭圆C的方程为．x 23+y 2=1解法1：由得，可知PA 的斜率存在且不为0，(2)⃗AP ⋅⃗AQ =0⃗AP ⊥⃗AQ 设直线：---------------则-------------，l PA y =kx +1①l QA ：y =‒1k x +1②将代入椭圆方程并整理得，可得，①(1+3k 2)x 2+6kx =0x P=‒6k1+3k 2则，y P =21+3k 2‒1类似地可得，x Q =6k k 2+3,y Q =1‒6k 2+3由直线方程的两点式可得：直线l 的方程为 ，y =k 2‒14kx ‒12即直线l 过定点，该定点的坐标为，(0,‒12)解法2：若直线l 垂直于x 轴，则AP 不垂直于AQ ，不合题意，可知l 的斜率存在，又l 不过点，设l 的方程为，(0,1)y =kx +m(m ≠1)又设点、，则，P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)⃗AP =(x 1,y 1‒1),⃗AQ =(x 2,y 2‒1)由得，⃗AP⋅⃗AQ=0x 1x 2+y 1y 2‒(y 1+y 2)+1=0由，消去y 得，{y =kx +m x 2+3y 2=3(3k 2+1)x 2+6kmx +3m 2‒3=0，当即时，----------------，△=12(3k 2‒m 2+1)△>03k 2‒m 2+1>0x 1+x 2=‒6km 3k 2+1①x 1x 2=3m 2‒33k 2+1②又，，y 1y 2=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m 于是有，-----------，(k 2+1)x 1x 2+(mk ‒k)(x 1+x 2)+m 2‒2m +1=0③将代入得①②③(k 2+1)3m 2‒33k 2+1‒(mk ‒k)6km 3k 2+1+m 2‒2m +1=0整理得：，m =‒12满足，这时直线l 的方程为，直线l 过定点△>0y =kx ‒12(0,‒12)【解析】根据题意可得可得，解得，即可得到a ，b ，进而得到椭圆方程；(1){b +a =1+3b ‒a =1‒3b =1,a =3解法1：由得，可知PA 的斜率存在且不为0，设直线：，则，(2)⃗AP ⋅⃗AQ =0⃗AP ⊥⃗AQ l PA y =kx +1l QA ：y =‒1k x +1把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，求出点P ，Q 的坐标，即可求出，解法2，设l 的方程为，又设点、，把直线l 的方程与椭圆的方程联立可得根与y =kx +m(m ≠1)P(x 1,y 1)Q(x 2,y 2)系数的关系由向量的数量积的坐标表示，即可得出m 与k 的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21.已知函数．f(x)=kx ‒1ke kx(k ∈R,k ≠0)讨论函数的单调性；(1)f(x)当时，，求k 的取值范围．(2)x ≥1f(xk )≤lnx 【答案】解：．(1)f'(x)=1k⋅ke kx ‒(kx ‒1)ke kx(e kx )2=2‒kx e kx=‒k(x ‒2k )e kx若，当时， 0'/>，在上单调递增；①k >0x ∈(‒∞, 2k )f(x)(‒∞,2k )当时，，在上单调递减．x ∈(2k , +∞)f(x)(2k , +∞)若，当时，，在上单调递减；②k <0x ∈(‒∞, 2k )f(x)(‒∞,2k )当时，0'/>，在上单调递增．x ∈(2k , +∞)f(x)(2k , +∞)当时，在上单调递增，在上单调递减；∴k >0f(x)(‒∞, 2k )(2k , +∞)当时，在上单调递减，在上单调递增．k <0f(x)(‒∞, 2k )(2k , +∞)．(2)f(xk )=x ‒1ke x≤lnx(x ≥1)当时，上不等式成立，满足题设条件；k <0当时，，等价于，k >0f(x k )=x ‒1ke x≤lnxx ‒1e x‒klnx ≤0设，则，g(x)=x ‒1e x‒klnx (x ≥1)g'(x)=2‒x e x‒kx=2x ‒x 2‒ke xxe x设，则，ℎ(x)=2x ‒x 2‒ke x(x ≥1)在上单调递减，得．∴ℎ(x)[1,+∞)ℎ(x)≤ℎ(1)=1‒ke 当，即时，得，，①1‒ke ≤0k ≥1e ℎ(x)≤0在上单调递减，得，满足题设条件；∴g(x)[1,+∞)g(x)≤g(1)=0当，即时，，而，②1‒ke >00<k <1eℎ(1)>0ℎ(2)=‒ke 2<0，，又单调递减，∴∃x 0∈(1,2)ℎ(x 0)=0ℎ(x)当，，得0'/>，∴x ∈(1,x 0)ℎ(x)>0在上单调递增，得，不满足题设条件．∴g(x)[1,x 0)g(x)≥g(1)=0综上所述，或．k <0k ≥1e【解析】求出原函数的导函数，分和两类求解原函数的单调区间．(1)k >0k <0由，可得当时，不等式成立，满足题设条件；当时，等价于(2)f(x k )=x ‒1ke x≤lnx(x ≥1)k <0k >0f(x k)=x ‒1ke x≤lnx，构造函数，求其导函数，再设x ‒1e x‒klnx ≤0g(x)=x ‒1e x ‒klnx (x ≥1)g'(x)=2‒xe x ‒kx =2x ‒x 2‒ke xxe x ，利用导数求在上的最大值然后对其最大值分类分析求解．ℎ(x)=2x ‒x 2‒ke x (x ≥1)ℎ(x)[1,+∞).本题考查函数与导数、不等式等基本知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化等数学思想，考查推理论证能力及运算求解能力，属难题．22.已知曲线C 的参数方程为，为参数，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极{x =2t y =t 2(t )点的两射线、相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点不同于点，且的倾斜角为锐角．l 1l 2(O)l 1α求曲线C 和射线的极坐标方程；(1)l 2求的面积的最小值，并求此时的值．(2)△OAB α【答案】解：由曲线C 的参数方程为，为参数，得普通方程为，(1){x =2ty =t 2(t )4y =x 2由，，得，x =ρcosθy =ρsinθ4ρsinθ=ρ2cos 2θ所以曲线C 的极坐标方程为，或--------------------------分ρcos 2θ=4sinθ[ρ=4sinθcos 2θ](3)过极点的两射线、相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点不同于点，l 1l 2(O)且的倾斜角为锐角．l 1α故的极坐标方程为；----------------------------------------------------------------------分l 2θ=α+π2(5)依题意设，则由可得，(2)A(ρA ,α),B(ρB ,π2+α)(1)ρA =4sinαcos 2α同理得，即，--------------------------------------------------分ρB =4sin(α+π2)cos 2(α+π2)ρB =4cosαsin 2α(7)，，，-∴S △OAB =12|OA|⋅|OB|=12|ρA ⋅ρB |=8|sinα⋅cosα|cos 2α⋅sin 2α∵0<α<π2∴0<α<π∴S △OAB =8cosα⋅sinα=16sin2α≥16---------------分(9)的面积的最小值为16，此时，△OAB sin2α=1得，-------------------------------------------------------------------------分2α=π2∴α=π4.(10)【解析】由曲线C 的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程；由过极点的两射线、相互(1)l 1l 2垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点不同于点，且的倾斜角为锐角，能求出的极坐标方程．(O)l 1αl 2依题意设，则，同理，由此能法语出的面积的最小值及此时的(2)A(ρA ,α),B(ρB ,π2+α)ρA =4sinαcos 2αρB=4cosαsin 2α△OAB α值．本题考查曲线、射线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数．f(x)=|x ‒2|‒a|x +2|当时，求不等式的解集；(1)a =2f(x)<2当时，不等式恒成立，求a 的取值范围．(2)x ∈[‒2,2]f(x)≥x 【答案】解：当时，，(1)①x <‒2f(x)=‒x +2+2(x +2)=x +6<2解得，-------------------------------------------------------------------------------------------分x <‒4(1)当时，，②‒2≤x <2f(x)=‒x +2‒2(x +2)=‒3x ‒2<2解得，--------------------------------------------------------------------------------------分‒43<x <2(2)当时，③x ≥2f(x)=x ‒2‒2(x +2)=‒x ‒6<2解得，---------------------------------------------------------------------------------------------分x ≥2(3)上知，不等式的解集为；-----------------------------------分f(x)<2(‒∞, ‒4)∪(‒43, +∞)(5)解法1：当时，，------------分(2)x ∈[‒2,2]f(x)=2‒x ‒a(x +2)=‒(a +1)x +2(1‒a)(6)设，则，恒成立，g(x)=f(x)‒x ∀x ∈[‒2,2]g(x)=‒(a +2)x +2(1‒a)≥0只需，-------------------------------------------------------------------------------------分{g(‒2)≥0g(2)≥0(8)即，解得--------------------------------------------------------------------分{6≥0‒4a ‒2≥0a ≤‒12(10)解法2：当时，，----------------------------------------------分x ∈[‒2,2]f(x)=2‒x ‒a(x +2)(6)，即，即---------------------------------分f(x)≥x 2‒x ‒a(x +2)≥x (x +2)a ≤2(1‒x)(7)当时，上式恒成立，；------------------------------------------分①x =‒2a ∈R (8)当时，得恒成立，②x ∈(‒2,2]a ≤2(1‒x)x +2=‒2+6x +2只需，a ≤(‒2+6x +2)min =‒12综上知，----------------------------------------------------------------分】a ≤‒12.(10)【解析】通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；(1)法一：设，结合一次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可；(2)g(x)=f(x)‒x 法二：分离参数a ，得到恒成立，求出a 的范围即可．a ≤2(1‒x)x +2本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2018-2019学年广东省揭阳市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣1，1}，则∁A B＝（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{0，2，3}D．{0，1，2，3} 2．（5分）复数的虚部是（）A．3B．2C．2i D．3i3．（5分）“”是“与的夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数，，则＝（）A．1B．C．D．5．（5分）记等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1＝﹣2，S3＝﹣6，且公比q≠1，则a3＝（）A．﹣2B．2C．﹣8D．﹣2或﹣8 6．（5分）若点在抛物线C：y2＝2px上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF 的斜率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知x∈[0，π]，且，则＝（）A．B．C．D．28．（5分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是（）A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元．9．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为（）A．﹣1B．﹣2C．1D．211．（5分）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为（）A．πB．2πC．4πD．16π12．（5分）已知函数，其中e是自然对数的底，若f（a﹣1）+f （2a2）≤0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量、，若，则＝；14．（5分）已知双曲线的一条渐近线为，那么双曲线的离心率为．15．（5分）如图，圆柱O1O2内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱O1O2的概率为；16．（5分）已知数列{a n}满足，（n∈N*），则数列{a n}中最大项的值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且2a sin B cos A﹣b sin A ＝0，（1）求A；（2）当函数取得最大值时，试判断△ABC的形状．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，正三角形P AC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H．（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求三棱锥A﹣BOH的体积．19．（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．20．（12分）设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN ＝60°，求点M的坐标．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）求实数a的值，使得x＝2是函数唯一的极值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知曲线C的参数方程为，（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B 两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．（1）求曲线C和射线l2的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时α的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣a|x+2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）≥x恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{﹣1，1}；∴∁A B＝{0，2，3}．故选：C．2．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部是2．故选：B．3．【解答】解：与的夹角为锐角⇒，反之不成立，夹角可能为0．∴“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．4．【解答】解：根据题意，函数，若，则23﹣a＝，解可得：a＝5，则f（﹣）＝22﹣5＝，故选：D．5．【解答】解：∵S1＝﹣2；∴a1＝﹣2，设等比数列{a n}的公比为q，则：；∴q2+q﹣2＝0；∵q≠1；∴解得q＝﹣2；∴．故选：C．6．【解答】解：把代入y2＝2px，得8＝4p，即p＝2．∴抛物线方程为y2＝4x，抛物线焦点F（1，0），∴．故选：C．7．【解答】解：由，得，即2sin x+9cos x＝7，与sin2x+cos2x＝1联立，又x∈[0，π]，得sin x＝，cos x＝，∴＝＝．故选：B．8．【解答】解：对于A，由图象可知，投资额逐年增加，故A正确；对于B，2000年至2004年的投资总额为11+19+25+35+37＝127亿元，小于2011年的129亿元，故B正确；对于C，2004年的投资额为37亿元，2012年该地区基础设施的投资额为148，等于2004年的投资额翻了两番，故C正确；对于D，在线性回归模型中，取t＝10，可得y＝99+17.5×10＝274亿元，故D错误．故选：D．9．【解答】解：当x→﹣∞时，→+∞，由此排除C，D；当x＞0时，f（x）＝lnx+，f′（x）＝，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f （x）单调递增．∴图象A符合．故选：A．10．【解答】解：x，y满足约束条件的平面区域如下图所示：平移直线y＝﹣2x，由图易得，当x＝0，y＝﹣1时，即经过A时，目标函数z＝2x+y的最小值为：﹣1．故选：A．11．【解答】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为r，母线的长为l，则2r+2l＝8，即r+l＝4；∴圆锥的侧面积为S侧＝，（当且仅当r＝l时“＝”成立）；∴圆锥的侧面积最大值为4π．故选：C．12．【解答】由，知f（x）在R 上单调递增，且，即函数f（x）为奇函数，故f（a﹣1）+f（2a2）≤0⇔f（a﹣1）≤f（﹣2a2）⇔a﹣1≤﹣2a2⇔2a2+a﹣1≤0，解得．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵；∴；∴；∴；∴．故答案为：．14．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，由题意可得＝，即为b＝a，c＝＝2a，可得e＝＝2．故答案为：2．15．【解答】解：由已知有：在△AOO1中有：|o1o|＝，（R为球的半径），则r＝，又“点取自圆柱O1O2”的概率为＝＝，故答案为：．16．【解答】解：由（n∈N*），得（n∈N*），∴数列{}是以为首项，以8为公差的等差数列，则，则．当n＝1时，；当n＝2时，a2＝﹣1；当n＝3时，．当n≥3时，数列为递减数列，则数列{a n}中最大项的值为．故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【解答】解：（1）由正弦定理得a sin B＝b sin A≠0，又2a sin B cos A﹣b sin A＝0，∴2cos A＝1，即，∵0＜A＜π∴；（2）解法一：∵∴，从而，∴＝＝＝，∵，∴当时，函数f（x）取得最大值，这时，即△ABC是直角三角形；解法二：∵∴，∴＝＝2sin C，∵，∴当时，函数f（x）取得最大值，∴△ABC是直角三角形．18．【解答】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又平面P AC⊥平面ABC，且BO⊂平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面P AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴BO⊥PC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴PC⊥平面BOH；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵△HAO与△HOC面积相等，∴V A﹣BOH＝V B﹣HAO＝V B﹣HOC，∵BO⊥平面P AC，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵，∠HOC＝30°∴HC＝1，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．【解答】解：（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，则（小时）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（小时）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10＜10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）来自乙组的人数为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其中至少有1人来自甲组的有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共9种，故这2人中至少有1人来自甲组的概率．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．【解答】解：（1）依题意知A（a，0），B（0，﹣b），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，∴，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴椭圆的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）知B（0，﹣1），依题意知直线BN的斜率存在且小于0，设直线BN的方程为y＝kx﹣1（k＜0），则直线BM的方程为：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）由消去y得（1+3k2）x2﹣6kx＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得：，y N＝kx N﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴＝∴＝，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在中，令y＝0得x＝﹣k，即M（﹣k，0）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴，即，整理得，解得，∵k＜0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴点M的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．【解答】解：（1）f'（x）＝（x﹣2）（e x﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）令f'（x）＜0，得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由得0＜x＜2，而不等式组的解集为ϕ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴函数f（x）的单调递减区间为（0，2）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）依题意得g'（x）＝f'（x）+ax（x﹣2）＝（x﹣2）（e x+ax﹣1），显然g'（2）＝0，﹣﹣﹣（5分）记h（x）＝e x+ax﹣1，x∈R，则h（0）＝0，当a＝0时，h（1）＝e﹣1＞0；当a≠0时，；由题意知，为使x＝2是函数g（x）唯一的极值点，则必须h（x）≥0在R上恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）只须h（x）min≥0，因h'（x）＝e x+a，①当a≥0时，h'（x）＝e x+a＞0，即函数h（x）在R上单调递增，而，与题意不符；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当a＜0时，由h'（x）＜0，得x＜ln（﹣a），即h（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，由h'（x）＞0，得x＞ln（﹣a），即h（x）在（ln（﹣a），+∞）上单调递增，故h（x）min＝h（ln（﹣a）），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）若a＝﹣1，则h（x）≥h（x）min＝h（0）＝0，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）若a≠﹣1，则0＝h（0）≥h（x）min＝h（ln（﹣a）），不合题意；综上所述，a＝﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【或由h（x）min≥0，及h（0）＝0，得h（0）＝h（x）min，∴ln（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）】（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为，（t为参数），得普通方程为4y＝x2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得4ρsinθ＝ρ2cos2θ，所以曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sinθ，[或]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．故l2的极坐标方程为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴＝∵，∴0＜α＜π，∴＝≥16，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）△OAB的面积的最小值为16，此时sin2α＝1，得，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）①当x＜﹣2时，f（x）＝﹣x+2+2（x+2）＝x+6＜2，解得x＜﹣4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）②当﹣2≤x＜2时，f（x）＝﹣x+2﹣2（x+2）＝﹣3x﹣2＜2，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）③当x≥2时，f（x）＝x﹣2﹣2（x+2）＝﹣x﹣6＜2解得x≥2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）上知，不等式f（x）＜2的解集为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解法1：当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝2﹣x﹣a（x+2）＝﹣（a+1）x+2（1﹣a），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）设g（x）＝f（x）﹣x，则∀x∈[﹣2，2]，g（x）＝﹣（a+2）x+2（1﹣a）≥0恒成立，只需，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）即，解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解法2：当x∈[﹣2，2]时，f（x）＝2﹣x﹣a（x+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）f（x）≥x，即2﹣x﹣a（x+2）≥x，即（x+2）a≤2（1﹣x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）①当x＝﹣2时，上式恒成立，a∈R；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②当x∈（﹣2，2]时，得＝恒成立，只需，综上知，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）】。
揭阳市2019届高三上期末学业水平调研数学(文)试卷(含答案)
揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{1,1}B =-，则A B =ðA ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．复数221z i i=++-的虚部是 A ．3 B ．2 C ．2i D ．3i3．“0a b ⋅≥”是“a 与b 的夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2()2x a f x -=，14f =，则(f =A ．1B ．18-C ．12D ．185.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,6S S =-=-，且公比1q ≠，则3a =A ．-2B ．2C ．-8D ．-2或-86.若点A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A ．4 B ．3 C ． D ．37.已知[0,]x π∈，且3sin2x=tan 2x =A ．12-B ．12C ．43D ．28.右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.9.函数1()ln ||f x x=+的图象大致为10．若,x y 满足约束条件10210x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ．-1B ．-2C ．1D ． 211．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16πA ．B ．C ．D ．OHCBAP12．已知函数312()423x xf x x x e e =-+-，其中e 是自然对数的底， 若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,)a x =、(1,2)b =--，若a b ⊥，则||a = _____；14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y ，则该双曲线的离心率为____；15.如图，圆柱O 1 O 2内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱O 1 O 2的概率为； 16.已知数列{}n a 满足119a =-，181nn n a a a +=+()n N *∈，则数列{}n a 中最大项的值为. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分 17.（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2si n c o s s i n 0a B A b A-=，（1）求A ；（2）当函数()sin )6f x B C π=-取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H .（1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若OH OB ==，求三棱锥A-BOH 的体积．19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.（12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为1()22-． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．21.（12分）已知函数()()21322x f x x e x x =--+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求实数a 的值，使得2x =是函数()()3213g x f x ax ax =+-唯一的极值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修45：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．11.三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=，S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 12. 由222'()42240x x f x x e e x x -=-++≥-+=≥，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数， 故2(1)(2)0f a f a -+≤2(1)(2)f a f a ⇔-≤-212a a ⇔-≤-2210a a ⇔+-≤， 解得112a -≤≤. 二、填空题181n n n a a +=+18n n n n a a a +==+18n na a +⇒-=， 即数列1{}na 是公差为8的等差数列，故111(1)8817n n n a a =+-⨯=-，所以1817n a n =-，当1,2n =时0n a <；当3n ≥时，0n a >，数列{}n a 递减，故最大项的值为317a =.三、解答题17.解：（1）由正弦定理sin sin a bA B=得sin sin 0a B b A =≠，----------------------------------2分又2sin cos sin 0a B A b A -=, ∴2cos 1A =,即1cos 2A =，------------------------------------------------------------------------4分∵0A π<<∴3A π=.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：∵3A π=∴23C B π=-,从而62C Bππ-=-，------------------------------7分∴()sin sin()2f x B B π=+-sin B B =------------------------------------------8分12(sin )2B B =+2sin()3B π=+---------------------------------------------10分 ∵33B πππ<+<,∴当6B π=时，函数()f x 取得最大值，这时632C ππππ=--=,即ABC∆是直角三角形.-------------------------------------------12分 【解法二：∵3A π=∴23B C π=-,-----------------------------------------------------------------7分∴2()sin())36f x C C ππ=-+-OHC B AP11sin 3(cos )2222C C C C =+- 2sin C =--------------------------------------------------------------------------------------10分∵203C π<<,∴当2C π=时，函数()f x 取得最大值， ∴ABC∆是直角三角形.---------------------------------------------------------------------------12分】18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴BO ⊥AC ，-------------------------------------------------------------------------------------------1分又平面PAC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，∴ BO ⊥平面PAC ，----------------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ，------------------------------------------------------4分 又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；---------------------------------------------6分 （2）解法1：∵△HAO 与△HOC 面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==, ∵BO ⊥平面PAC ,∴13B HOC OHC V S OB -∆=⋅,-------------------------------------------------8分∵OH = ∴1HC =,∴12OHC S CH OH ∆=⋅=,-----------------------------------------------------------------------10分∴11322B OCH V -=⨯=,即12A BOH V -=.----------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则120525*********1060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时）----------------------------------------2分2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时）----------------------------------------4分据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=，--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为：620430⨯=，----------------------------------------------------------------8分记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ，(,),(,),(,)c d c e c f ，(,),(,),(,)d e d f e f ，共15种，----------------------------------------------10分其中至少有1人来自甲组的有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,),b c b d b e b f 共9种，故所求的概率93155P ==.----------------------------------------------------------------------12分20.解：（1）依题意知(,0)A a ,(0,)B b -,------------------------------------------------------------------1分∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点，∴1,2222a b =-=-，即1a b ==，--------------------------------3分 ∴椭圆的方程为2213x y +=.-----------------------------------------4分（2）由（1）知(0,1)B -，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0，设直线BN 的方程为1(0)y kx k =-<， 则直线BM 的方程为：11y x k=--，------------------------------------------------------------5分 由2233,1.x y y kx ⎧+=⎨=-⎩消去y 得22(13)60k x kx +-=，----------------------------------------------6分 解得：2613N k x k =+，1N N y kx =-,---------------------------------------------------------------7分∴||BN =|N x == ∴|||N B BN x x =-26||13k k=+,------------------------------------------------8分【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在11y x k=--中，令0y =得x k =-，即(,0)M k - ∴||BM =，-----------------------------------------------------------------------------------9分在Rt△MBN 中，∵∠BMN=60°，∴|||BN BM =,26||13k k=+23|10k k -+=，解得||k =，∵0k <，∴k =，------------------------------------------------------11分∴点M 的坐标为(3.---------------------------------------------------------------------------12分 21．解：（1）()()()21x f x x e '=--，-----------------------------------------------------------------1分令()0f x '<，得2010xx e -<⎧⎨->⎩或2010xx e ->⎧⎨-<⎩，-----------------------------------------------------2分由2010xx e -<⎧⎨->⎩得02x <<，而不等式组2010xx e ->⎧⎨-<⎩的解集为φ-----------------------------3分∴函数()f x 的单调递减区间为()0,2；----------------------------------------------------------4分（2）依题意得()()()()()221x g x f x ax x x e ax ''=+-=-+-，显然()20g '=，---5分记()1x h x e ax =+-，x R ∈，则()00h =，当0a =时，()110h e =->；当0a ≠时，110ah e a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭；由题意知，为使2x =是函数()g x 唯一的极值点，则必须()0h x ≥在R 上恒成立；----------7分只须()min 0h x ≥，因'()x h x e a =+，①当0a ≥时，'()0x h x e a =+>，即函数()h x 在R 上单调递增， 而()1110h a e-=--<，与题意不符；--------------------------------------------------------8分②当0a <时，由()0h x '<，得()ln x a <-，即()h x 在()(),ln a -∞-上单调递减， 由()0h x '>，得()ln x a >-，即()h x 在()()ln ,a -+∞上单调递增， 故()()()min ln h x h a =-，------------------------------------------------------------------------10分若1a =-，则()()mi n ()00h x h x h ≥==，符合题意；------------------------------------11分若1a ≠-，则()()()min 00()ln h h x h a =≥=-，不合题意； 综上所述，1a =-．----------------------------------------------------------------------------------12分【或由()min 0h x ≥，及(0)0h =，得()min (0)h h x =， ∴()ln 0a -=，解得1a =-．-----------------------------------------------------------------12分】22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2c o s 4s i n ρθθ=，[或24sin cos θρθ=]--------------------------3分2l 的极坐标方程为2πθα=+；----------------------------------------------------------------------5分 （2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=， 同理得24si n ()2cos()2B παρπα+=+，即24c o ssinB αρα=，--------------------------------------------------7分∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅ ∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OABS αα∆=⋅16sin 2α=16≥，----------------9分 △OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=， 得22πα=，∴4πα=．-------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，解得4x <-，-------------------------------------------------------------------------------------------1分②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<， 解得423x -<，--------------------------------------------------------------------------------------2分③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--< 解得2x ≥，---------------------------------------------------------------------------------------------3分 上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞；-----------------------------------5分（2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，------------6分设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需((2g g -≥⎧⎨≥⎩，-------------------------------------------------------------------------------------8分即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤---------------------------------------------------------------------10分 【解法2：当[2x ∈-时，()2f x x a x=--+，----------------------------------------------6分()f x x≥，即2(x a x x--+≥，即(2x a x+≤----------------------------------7分 ①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；------------------------------------------8分②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min61(2)22a x ≤-+=-+， 综上知，12a ≤-．----------------------------------------------------------------10分】。
揭阳市2019届高三上学期期末学业水平调研数学(文)试题含答案
绝密★启用前揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{1,1}B =-，则A B =ðA ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．复数221z i i=++-的虚部是 A ．3B ．2C ．2iD ．3i3．“0a b ⋅≥”是“a 与b 的夹角为锐角”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2()2xaf x -=，14f =，则(f = A ．1 B ．18- C ．12D ．185.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,6S S =-=-，且公比1q ≠，则3a =A ．-2B ．2C ．-8D ．-2或-86. 若点(2,A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为A B C ． D7. 已知[0,]x π∈，且3sin2x =tan 2x = A ．12- B ．12 C ．43D ．28. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数1()ln ||f x x=+的图象大致为10．若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． -1B ．-2C ．1D ． 211．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π12．已知函数312()423x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底， 若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．1[,)2+∞C ．1(1,)2-D ．1[1,]2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,)a x =、(1,2)b =--，若a b ⊥，则||a = _____；14．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为____；15. 如图，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从球O 内任取一点，此点取自圆柱O 1 O 2 的概率为 ；OHCBAP16. 已知数列{}n a 满足119a =-，181n n n a a a +=+()n N *∈，则数列{}n a 中最大项的值为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2s i n c o s s i n a B A b A -=，（1）求A ；（2）当函数()sin )6f x B C π=-取得最大值时，试判断ABC ∆的形状．18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H . （1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若OH OB ==，求三棱锥A-BOH 的体积．19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.（12分）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为1)2-． （1）求椭圆的方程；（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．21.（12分）已知函数()()21322xf x x e x x =--+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求实数a 的值，使得2x =是函数()()3213g x f x ax ax =+-唯一的极值点． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α. （1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修4-5：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．揭阳市2018-2019学年度高中毕业班学业水平考试数学（文科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．：11. 三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=， S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 12. 由222'()42240x x f x x e e x x -=-++≥-+=≥，知()f x 在R 上单调递增，且31()422()3x x f x x x e e f x --=-++-=-，即函数()f x 为奇函数， 故2(1)(2)0f a f a -+≤2(1)(2)f a f a ⇔-≤-212a a ⇔-≤-2210a a ⇔+-≤，解得112a -≤≤. 二、填空题：16. 由181n n n a a +=+得18n n n n a a a +==+18n n a a +⇒-=， 即数列1{}n a 是公差为8的等差数列，故111(1)8817n n n a a =+-⨯=-，所以1817n a n =-， 当1,2n =时0n a <；当3n ≥时，0n a >，数列{}n a 递减，故最大项的值为317a =. 三、解答题17.解：（1）由正弦定理sin sin a bA B=得sin sin 0a B b A =≠，----------------------------------2分又2sin cos sin 0a B A b A -=, ∴2cos 1A =,即1cos 2A =，------------------------------------------------------------------------4分 ∵0A π<< ∴3A π=.-----------------------------------------------------------------------------6分（2）解法一：∵3A π= ∴23C B π=-,从而62C B ππ-=-， ------------------------------7分OHCB AP∴()sin sin()2f x B B π=-sin B B =------------------------------------------8分12(sin )2B B =+2sin()3B π=+---------------------------------------------10分 ∵33B πππ<+<,∴当6B π=时，函数()f x 取得最大值，这时632C ππππ=--=,即ABC ∆是直角三角形. -------------------------------------------12分【解法二：∵3A π=∴23B C π=-, -----------------------------------------------------------------7分∴2()sin())36f x C C ππ=-+-11sin cos )22C C C C =++- 2sin C =--------------------------------------------------------------------------------------10分 ∵203C π<<,∴当2C π=时，函数()f x 取得最大值，∴ABC ∆是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴ BO ⊥AC ， -------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面PAC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ， ∴ BO ⊥平面PAC ，----------------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ，------------------------------------------------------4分 又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；---------------------------------------------6分 （2）解法1：∵△HAO 与△HOC 面积相等，∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==,∵BO ⊥平面PAC , ∴13B HOC OHC V S OB -∆=⋅, -------------------------------------------------8分∵OH =,∠HOC=30° ∴1HC =,∴122OHC S CH OH ∆=⋅=,-----------------------------------------------------------------------10分∴11322B OCHV -=⨯=,即12A BOH V -=.----------------------------------------------------12分【其它解法请参照给分】19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则120525*********1060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时） ----------------------------------------2分2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时）----------------------------------------4分据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；---------------------------------------------6分（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=，--------------------------------------------------7分 来自乙组的人数为：620430⨯=，----------------------------------------------------------------8分 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ，(,),(,),(,)c d c e c f ，(,),(,),(,)d e d f e f ，共15种，----------------------------------------------10分其中至少有1人来自甲组的有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,),b c b d b e b f共9种，故所求的概率93155P ==.----------------------------------------------------------------------12分20.解：（1）依题意知(,0)A a ,(0,)B b -,------------------------------------------------------------------1分 ∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点，∴1222a b =-=-，即1a b ==，--------------------------------3分 ∴椭圆的方程为2213x y +=.-----------------------------------------4分 （2）由（1）知(0,1)B -，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0，设直线BN 的方程为1(0)y kx k =-<，则直线BM 的方程为：11y x k=--，------------------------------------------------------------5分由2233,1.x y y kx ⎧+=⎨=-⎩消去y 得22(13)60k x kx +-=，----------------------------------------------6分解得：2613N kx k=+，1N N y kx =-,---------------------------------------------------------------7分∴||BN =|N x ==∴|||N B BN x x =-26||13k k=+,------------------------------------------------8分【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】在11y x k=--中，令0y =得x k =-，即(,0)M k -∴||BM =-----------------------------------------------------------------------------------9分在Rt △MBN 中，∵∠BMN=60°，∴|||BN BM =,26||13k k =+23|10k k -+=，解得||3k =，∵0k <，∴3k =-，------------------------------------------------------11分∴点M 的坐标为.---------------------------------------------------------------------------12分 21．解：（1）()()()21x f x x e '=--，-----------------------------------------------------------------1分令()0f x '<，得2010xx e -<⎧⎨->⎩或2010xx e ->⎧⎨-<⎩，-----------------------------------------------------2分由2010x x e -<⎧⎨->⎩得02x <<，而不等式组2010x x e ->⎧⎨-<⎩的解集为φ-----------------------------3分∴函数()f x 的单调递减区间为()0,2；----------------------------------------------------------4分 （2）依题意得()()()()()221x g x f x ax x x e ax ''=+-=-+-，显然()20g '=，---5分记()1xh x e ax =+-，x R ∈，则()00h =，当0a =时，()110h e =->；当0a ≠时，110a h e a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭；由题意知，为使2x =是函数()g x 唯一的极值点，则必须()0h x ≥在R 上恒成立；----------7分只须()min 0h x ≥，因'()xh x e a =+，①当0a ≥时，'()0xh x e a =+>，即函数()h x 在R 上单调递增，而()1110h a e-=--<，与题意不符； --------------------------------------------------------8分 ②当0a <时，由()0h x '<，得()ln x a <-，即()h x 在()(),ln a -∞-上单调递减，由()0h x '>，得()ln x a >-，即()h x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故()()()min ln h x h a =-， ------------------------------------------------------------------------10分 若1a =-，则()()m i n ()00h x h x h ≥==，符合题意；------------------------------------11分 若1a ≠-，则()()()min 00()ln h h x h a =≥=-，不合题意；综上所述，1a =-．----------------------------------------------------------------------------------12分 【或由()min 0h x ≥，及(0)0h =，得()min (0)h h x =，∴()ln 0a -=，解得1a =-． -----------------------------------------------------------------12分】 22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ=] --------------------------3分2l 的极坐标方程为2πθα=+；----------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=， 同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，--------------------------------------------------7分∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅ ∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥， ----------------9分△OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=， 得22πα=，∴4πα=． -------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，解得4x <-，-------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<， 解得423x -<<，--------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥，---------------------------------------------------------------------------------------------3分上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞；-----------------------------------5分（2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，------------6分设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩，-------------------------------------------------------------------------------------8分即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤---------------------------------------------------------------------10分【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，----------------------------------------------6分()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤----------------------------------7分①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；------------------------------------------8分 ②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min61(2)22a x ≤-+=-+，综上知，12a ≤-．----------------------------------------------------------------10分】。
广东省揭阳市2019年高考二模文科数学试题(解析版)
绝密★启用前揭阳市2019年高考二模数学(文科)本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}|11M x x =-<<，{}|21N x y x ==-，则MN =A ．1|12x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．1|12x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|01x x ≤<D ．1|12x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭答案：A考点：集合的运算。
解析：1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，MN =1|12x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭，选A 。
2．复数13ii +的共轭复数的虚部为A ．110B ．310C ．110-D ．310-答案：C考点：复数的概念，复数的运算。
解析：13i i +＝(13)31101010i i i -=+，共轭复数：311010i -，虚部为110- 3．已知双曲线221mx y +=的一条渐近线方程为20x y +=，则m 的值为A ．41- B ．1- C ．2- D ．4- 答案：D考点：双曲线的性质。
解析：双曲线为：2211x y m-=-，渐近线方程为：0mx y ±-+=， 2m -=，解得：m ＝－44.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如右的列联 表，由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.3337.87930202525K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 参照附表，得到的正确结论是A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A考点：独立性检验。
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2019届广东省揭阳市高三学业水平考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据补集的概念，求得集合在集合范围内的补集.【详解】在集合中，集合没有的元素是，故.故选C.【点睛】本小题主要考查集合补集的概念及运算，考查全集的概念，属于基础题.2．复数的虚部是( )A．3 B．2 C．D．【答案】B【解析】用复数除法运算和加法运算，求得的标准形式，由此求得虚部.【详解】依题意，故虚部为，所以选B.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的加法以及复数虚部的概念，属于基础题. 3．“”是“与的夹角为锐角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况，确定正确的选项.【详解】当时，的夹角为直角，故“”不能推出“与的夹角为锐角”.当“与的夹角为锐角”时，，即能推出“”.综上所述，“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.解题的方法是将两个条件相互推导，再根据充要条件的概念得出正确选项.4．已知函数，，则( )A．1 B．C．D．【答案】D【解析】利用求得的值，即求得函数的解析式，由此来求的值.【详解】依题意，故，解得.故，所以.故选D.【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法——待定系数法，考查函数求值，属于基础题. 5．记等比数列的前项和为，已知，且公比，则=( ) A．-2 B．2 C．-8 D．-2或-8【答案】C【解析】利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，解得，故，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等比数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值. 6．若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将点的坐标代入抛物线方程，求得的值，由此求得抛物线焦点的坐标，根据两点求斜率的公式求得直线的斜率.【详解】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C.【点睛】本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线的几何性质，考查已知两点坐标求直线斜率的公式.属于基础题.7．已知，且，则=( )A ．B ．C ．D ．2【答案】B【解析】先求得的范围，用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式化简已知条件，由此求得的值.【详解】由于，所以，故.所以，即，即，故.故选B.【点睛】本小题主要考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式，属于基础题.8．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是( )A．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.【答案】D【解析】根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.【详解】对于选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于选项，投资总额为亿元，小于年的亿元，故描述正确.年的投资额为亿，翻两翻得到，故描述正确.对于选项，令代入回归直线方程得亿元，故选项描述不正确.所以本题选D.【点睛】本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.9．函数的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】分别令，根据的函数值，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由四个选项的图像可知，令，，由此排除C选项.令，，由此排除B选项.由于，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数图像的判断，考查利用特殊点排除的方法，属于基础题.10．若满足约束条件，则的最小值为( )A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】A【解析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最小值，且最大值为.故选A .【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.11．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图得到几何体为圆锥，设出圆锥的底面半径和母线长，根据主视图的周长得到一个等量关系，然后利用基本不等式求得侧面积的最大值.【详解】由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为，则，又S侧=（当且仅当时“=”成立）.故选C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查圆锥的侧面积计算公式，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.12．已知函数，其中是自然对数的底，若，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】首先对函数求导，然后利用基本不等式证得，利用函数奇偶性的定义判断函数为奇函数，在结合奇偶性以及单调性化简，得到关于的一元二次不等式，由此求得的取值范围.【详解】由，知在R上单调递增，且，即函数为奇函数，故，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性，考查利用基本不等式求最小值，考查函数的奇偶性，属于中档题.二、填空题13．已知向量、，若，则_____；【答案】【解析】由于两个向量垂直，数量积为零，由此列方程，解方程求得的值，进而求得.【详解】由于，故，故.【点睛】本小题主要考查平面向量垂直的坐标表示，考查平面向量模的运算，属于基础题.14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____；【答案】2【解析】根据渐近线方程求得的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率.【详解】由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.15．如图，圆柱O1 O2 内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱O1 O2 的概率为_________；【答案】【解析】设出球的半径，利用勾股定理求得圆柱的底面半径，分别计算圆柱和球的体积，然后利用几何概型的概率计算公式，求得所求的概率.【详解】设球的半径为，依题意可知，圆柱底面半径，故圆柱的体积为，而球的体积为，故所求概率为.【点睛】本小题主要考查有关球的内接几何体的问题，考查体积型的集合概型概率计算，属于基础题.对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间).有关球内接几何体的问题，主要是构造直角三角形，利用勾股定理来计算长度.16．已知数列满足，，则数列中最大项的值为______.【答案】【解析】先将转化为，证得是等差数列，由此求得的通项公式，进而求得的通项公式.计算的值，利用数列的单调性求得的最大项.【详解】由得，即数列是公差为8的等差数列，故，所以，当时；当时，，数列递减，故最大项的值为.【点睛】本小题主要考查已知递推公式求数列的通项公式，考查等差数列的定义以及通项公式，考查数列的单调性以及最值，属于中档题.解题的突破口在于将题目所给的递推公式，转化为等差数列的形式，根据等差数列的通项公式间接求得的通项公式.数列的最大值一般是利用数列的单调性来求.三、解答题17．在中，内角、、所对的边分别是、、，且，（1）求；（2）当函数取得最大值时，试判断的形状．【答案】（1）（2）直角三角形【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件得到，由此求得.（2）化简，故时取得最大值，此时三角形为直角三角形.【详解】解：（1）由正弦定理得，又,∴,即，∵∴.（2）∵∴,∴∵,∴当时，函数取得最大值，∴是直角三角形.【点睛】本题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查三角恒等变换，考查三角函数最值等知识.属于中档题18．如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.（1）证明：PC⊥平面BOH；（2）若，求三棱锥A-BOH的体积．【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）先证明平面，得到，结合已知，证得平面.（2）将所求转化为，利用（1）的结论得到三棱锥的高为，由此计算得三棱锥的体积.【详解】解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面PAC，∴BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，∴PC⊥平面BOH；（2）∵△HAO与△HOC面积相等，∴,∵BO⊥平面PAC,∴,∵,∠HOC=30°∴,∴,∴,即.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，属于中档题.19．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？（2）在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.【答案】（1）方式一（2）【解析】（1）用总的受训时间除以，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组人，乙组人.再利用列举法求得“从这人中随机抽取人，求这人中至少有人来自甲组的概率”.【详解】解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为、，则（小时）（小时）据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：，来自乙组的人数为：，记来自甲组的2人为：；来自乙组的4人为：，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：，，，，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：，共9种，故所求的概率.【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题. 20．设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．【答案】（1）（2）【解析】（1）根据直径所对圆周角为直角可知为直径，根据圆心坐标求得的值进而求得椭圆的方程.（2）由（1）求得点的坐标，设出直线的方程，同时得到直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程，解出点的坐标，由此求得的表达式.通过直线的方程求得点的坐标，进而求得的表达式，利用得到，由此列方程解得的值，从而求得点的坐标.【详解】解：（1）依题意知,,∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，∴，即，∴椭圆的方程为.（2）由（1）知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，设直线BN的方程为，则直线BM的方程为：，由消去y得，解得：，,∴∴,在中，令得，即∴，在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,即，整理得，解得，∵，∴，∴点M的坐标为.【点睛】本题主要考查圆的几何性质，考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于较难的题目.圆的几何性质主要考查了直径所对的圆周角是直角.直线和椭圆的位置关系，主要是联立直线方程和椭圆方程，解出直线和椭圆交点的坐标.两条斜率存在的直线相互垂直时，斜率乘积为，这个必须熟记.21．已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）求实数的值，使得是函数唯一的极值点．【答案】（1）（2）-1【解析】（1）对函数求导并因式分解后，令导数小于零求得函数的单调递减区间.（2）先求出的表达式并因式分解得到，注意到，令通过的导数结合“是函数唯一的极值点”，对分成两类进行讨论，【详解】解：（1），令，得或，由得，而不等式组的解集为∴函数的单调递减区间为；（2）依题意得，显然，记，，则，当时，；当时，；由题意知，为使是函数唯一的极值点，则必须在上恒成立；只须，因，①当时，，即函数在上单调递增，而，与题意不符；②当时，由，得，即在上单调递减，由，得，即在上单调递增，故，若，则，符合题意；若，则，不合题意；综上所述，．【或由，及，得，∴，解得．】【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调递减区间，考查利用导数求解有关函数极值点的问题，综合性较强，属于难题.利用导数求函数的单调区间，要对函数求导然后因式分解，得到的式子往往是一次函数、二次函数，或者类似二次函数的因式，可以类比二次函数的图像得到函数的单调区间.22．已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线、相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且的倾斜角为锐角.（1）求曲线C和射线的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时的值．【答案】（1）C的极坐标方程为，[或]；的极坐标方程为；（2）16，【解析】（1）消去参数，求得曲线的普通方程，再转为极坐标方程.射线过原点，根据角度直接写出的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得的表达式，求得三角形面积的表达式，利用三角函数的的最值求得三角形面积的最小值，同时求得的值.【详解】解：（1）由曲线C的参数方程，得普通方程为，由，，得，所以曲线C的极坐标方程为，[或]的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴∵∴，∴，△OAB的面积的最小值为16，此时，得，∴．【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考查三角函数求最值，属于中档题.23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当时，对函数去绝对值后，构造一次函数，一次函数恒大于或等于零，则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】解：（1）①当时，，解得，②当时，，解得，③当时，解得，综上知，不等式的解集为.（2）当时，，设，则，恒成立，只需，即，解得【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。