分式概念及分式的性质练习

合集下载

15.1分式及分式的基本性质练习题(可编辑修改word版)

15.1 分式及分式的基本性质练习题型 1：分式概念的理解应用1．下列各式 a ， 1， 1 a 2 - b 2 x + y ，， -3x 2 ， 0 中，是分式的有；是整式的有π x + 1 5 ．a - b题型 2：分式有无意义的条件的应用2．下列分式，当 x 取何值时有意义．2x + 13 + x 2 （1）；（2）．3x + 22x - 33. 下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（） 1 x3x + 1 x 2A.B ．C ．D ．4. 当 x2x + 1 2x + 1 x 2时，分式 2x + 1无意义． 3x - 42x 2 + 1题型 3：分式值为零的条件的应用x 2 - 15. 当 x 时，分式 x 2 + x - 2的值为零．6. 当 m =时，分式(m - 1)(m - 3) 的值为零．m 2 - 3m + 2 题型 4：分式值为±1 的条件的应用7. 当 x课后训练基础能力题时，分式 4x + 3的值为 1；当 x x - 5 时，分式 4x + 3 的值为-1 ．x - 58. 分式 xx 2 - 4，当 x 时，分式有意义；当 x 时，分式的值为零．9．有理式① 2 ，② x + y，③ x 51 2 - a ，④ x - 1 中，是分式的有（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①②③④10. 分式 x + a中，当 x = -a 时，下列结论正确的是（）3x - 1A. 分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ - 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 3 3时，分式的值为零11. 当 x时，分式 1-x + 5的值为正；当 x时，分式 -4x 2 + 1的值为负．12. 下列各式中，可能取值为零的是（）m 2 + 1m 2 - 1m + 1 m 2 + 1 A.B ．C ．D ．m 2 - 1m + 1m 2 - 1m + 113. 使分式拓展创新题x| x | -1无意义，x 的取值是（） A ．0 B ．1 C ． -1 D ． ±114. 已知 y =无意义．x - 12 - 3x， x 取哪些值时：（1） y 的值是正数；（2） y 的值是负数；（3） y 的值是零；（4）分式题型 1：分式基本性质的理解应用一、填空题：1. 写出等式中未知的分子或分母： y( )7xy 71a + b①=②=③=3x3x 2 y5x 2 y( )a -b ()2. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号：- 5x ① - 2 ya = ；② -a (a -1) - a - 3b=.3. 等式 a +1 = a 2 -1成立的条件是 .二、选择1x - 1 y 4. 不改变分式的值，使分式5 10 的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）1 x + 1 y 3 9A ．10B ．9C ．45D ．905．下列等式： ① -(a - b ) = - a - b ;② -x + y = x - y ;③ -a + b = - a + b ;④ -m - n = - m - n 中,成立的是c c -x x c c m m（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2x6. 把分式中的 x 和 y 都扩大为原来的 5 倍，那么这个分式的值（）2x - 3y1 5A. 扩大为原来的 5 倍 B ．不变 C ．缩小到原来的D ．扩大为原来的倍7. 使等式 7 =x + 27xx 2 + 2x52自左到右变形成立的条件是（） A ．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0 且 x≠－22 - 3x 2 + x8. 不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）-5x 3+ 2x - 3 3x 2+ x + 2 3x 2 - x + 2 3x 2 + x - 2 3x 2 - x - 2 A. B ． C ． D ．5x 3 + 2x - 3 三、解答题:5x 3 + 2x - 3 5x 3 - 2x + 3 5x 3 - 2x + 39. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数:1 x - 1y ① 35 2x + 1 y60.8x - 0.78 y② ③ 0.5x + 0.4 y a - 0.4b 2 0.6a + 3 b 410. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号:①2x - 1 - x + 1- x 2 + 2x - 1②x - 2③- x - 1 - x 2 - 3x + 1题型 2：分式的约分一、判断正误并改正:y 6 3(-a - b )2 a 2 - b 2 ① = y （）② =－a －b （）③ =a －b （）y2(x + 2)(x - 3)a + bx + a xa - b(x + y ) + (x - y ) 1④ =－1（） ⑤ =（）⑥ = （）(2 + x )(3 - x )二、选择题y + a y 2(x + y )(x - y ) 24 y + 3x x 2 - 1 x 2 - xy + y 2 a 2 + 2ab1. 分式，，，中是最简分式的有（）4a x 4 - 1 x + y ab - 2b 2A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个2.下列约分正确的是( )2(b + c ) 2(a - b )2a +b 2 x - y 1A. = a + 3(b + c ) a + 3B. = -1 (b - a )2C. = a 2 + b 2 a + bD. = 2xy - x 2 - y 2 y - x3. 下列变形不正确的是()A. 2 - a = a - 2B. 1 =x -1 (x≠1) C. x +1 = 1 D. 6x + 3 =2x +1 - a - 2 a + 2 x +1 x 2 -1x 2 + 2x +1 2 3y - 6 y - 24. 等式 a =a +1 a (b +1)(a +1)(b +1)成立的条件是( ) A.a≠0 且 b≠0 B.a≠1 且 b≠1 C.a≠－1 且 b≠－1 D.a 、b 为任意数5. 如果把分式 x + 2 y 中的x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值( )x + y3 A.扩大 10 倍B.缩小 10 倍C.是原来的D.不变26. 不改变分式的值，使1- 2x- x 2 + 3x - 3的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为()A. 2x -1 x 2 + 3x - 3B. 2x +1 x 2 + 3x + 3C. 2x +1 x 2 - 3x + 3D. 2x -1 x 2 - 3x + 37. 下面化简正确的是（）2a + 1(a - b )26 - 2xx 2 + y 2A ．=0B. =－1C.=2D. =x+y2a + 1(b - a )2- x + 3x + yx1a + m a212 + xya 2 - 18.下列约分:①=②=③=④=1 ⑤=a －1- (x - y ) 3x 23x1b + m b2 + a 1 + a xy + 2 a + 1⑥=－其中正确的有()(x - y )2x - yA. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个三、解答题：约分：1 - 36xy2 z3 m 2 -4 x 4 - 1 x 2 + 6x + 9①②③④6 yz 2a 2 - 4a + 42m + m 28 - 2m 1 - x 2m 2 - 3m + 2 x 2 - 93x 2 - 2 y 2⑤⑥⑦⑧ 23 a 2- 4m 2- 16m 2- m3 x 2 - 2 y 2 10 15题型 3：分式的通分1．通分：x y1-1 a - 1 6（1），；（2），；（3），．6ab 2 9a 2bcx 2 - x x 2 - 2x +1a 2 + 2a + 1 a 2 - 12. 先化简,再求值:a 2 - 8a + 16a 2 + ab① ,其中 a=5;②,其中 a=3b≠0.a 2- 16a 2+ 2ab + b 23.已知 - 1 x y= 5 ，求分式- x + xy + y的值．4.已知 x= 2x + 7xy - 2 y2 y = z3 4xy + yz + zx，求x 2 + y 2 + z 2的值．y +1x +11 x 25.已知 x + y = -4, xy = -12 , 求 + 的值.6．已知 x + = 3 ，求的值．x +1 y +1x x 4 + x 2+ 1。

第1讲分式的概念及性质讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+　无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。

分式概念及分式的性质练习

1、八年级数学下------5.1.1 分式概念练习F列各有理式，哪些是整式？哪些是分式?—3x+ 2，1+ 3，3bx x+2 m 543 —2x32x 123y -12x2-(x + y),整式｛分式｛判断: 2、3、当分子等于0时，分式的值为1分式二-x +1定有意义（4、当5、要使式子6、7、使分式9、分式时，分式-―1无意义；当xx +2 —I有意义；当xx -3时，分式时,―2有意义，x的取值应为x —4分式|x| -3x 3的值为0。

詔有意义的B 、a^± 1a的取值是（C 、a M —1—3时，下列分式中有意义的是（x2 1x 5的值为负，则x 1尢意义；3x -2时，分式x+—乙—一L有意义;x—1 x + 2时，分式D 、a为任意实数(x 3)(x 2)(x-3)(x-2)x应满足（10、当x取什么值时，下列分式无意义?(1) 32x 111、当x取什么值时，分式x 2(x-3)(x 2) (x-3)(x 2) (x 3)(x-2)12、当x取什么值时，分式x +5(x -1)(x 2))A、x v —5、x v 5 C 、x v 0 D 、x < 0无意义?有意义?13、当x 取什么值时，分式匚？值为0? (x _2)(x + 3)14、 _________________________________________________________ 当x 取什么值时，分式导值为正？ _______________________________________________x315、若3表示一个整数，则整数a 可以取哪些值？a +1x — 214、若x v 0,则 ------- 的值为()X —215.对于分式3x —5(1) 当 _______________________ 时, (2) 当 _______________________ 时,(3) 当 _______________________ 时, (4) 当 _______________________ 时, (5) 当 _______________________ 时, (6) 当 _______________________ 时, (7)当 _______________________ 时,16. 已知丫二鼻1 , x 取哪些值时:2 —3x17. 代数式①2，②3，③丄，④亠中，是分式的有()x 5 2 —a 兀一1 A.①②B .③④C .①③D .①②③④18. ___________ 当x ___________________________ 时，分式的值为正；当x 时，分式的值为负. —x + 5x +119. 分式二J,当x ________ 时，分式有意义；当x时，分式的值为零.x -420.下列各式中，可能取值为零的是( )A .m 21 B2m -1 C . m 1 D . m 2 1 m 1m 2 -1m 1m 2-121. 使分式x 无意义，x 的取值是()A .B .1C . -1D . ± 1|x|-122.当x 时，分式，处卫的值为1; 当x一时分式铉卫的值为-1 . (1) y 的值是正数;(2) y 的值是负数; (3) y 的值是零； (4)分式无意义.A 、一1B 分式有意义；分式无意义；分式的值为0; 分式的值为1; 分式的值为-1 ;分式的值大于0; 分式的值小于0.x「5x-5八年级数学下--5.1.2 分式的基本性质1. ________________ 统称为整式. _____________________________________ 叫分式分式的基本性质(用字母表示为)： ______________ __________2 22. 下列各式a ，丄，^x+y ,，-3x 2，0?中，是分式的有 __________________兀 x+1 5 a-b整式的有一_ ；3. 下列分式，当x 取何值时有意义.4. 当x —时，分式x2x2；〔2的值为零・1 1 x y5. 不改变分式的值，使分式5—此的各项系数化为整数，分子、分母应乘以1 . 1 x y 3 92 2 2 27.分式①叮，②汨，③，④占中是最简分式的有(A •分式的值为零；BC .若a ^- 1时，分式的值为零;3.分式无意义D .若a M -时，分式的值为零311. 若把x 克食盐溶入b 克水中，从其中取出m 克食盐溶液，其中含纯盐12. 李丽从家到学校的路程为s ，无风时她以平均a 米/?秒的速度骑车，便能按时到达，当风速为b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前 __________ 出发. 13. 永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要a 天完成，若甲组单独完成需要b 天，乙组单独完成需 _______ 天.(1)2x 1 3x 2(2)3 x 2 2x —3(3)2x2x 2 18.约分：(1) x 2 6 x 9 -9 (2)m 2 _3m + 2 =2 = m - m9.通分：(1)x 6ab 2 a -1a 2 2a 1 10.分式铝中，当x=-a 时,y =9a 2bc 6 a 2 一1 =F 列结论正确的是( 6.不改变分式2 -3x 2 x -5x 32x -3的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，结果是14•分式x -22，(x_1) 書，三的最简公分母为（A. (x-1 ).(x-1 ) 3 C • (x-1 ) • (x-1 ))(1-x )15 .x -1x 1 x -1则？处应填上，其中条件16 .当m= 时，分式（叮）（m-3）的值为零.m17.根据分式的基本性质，分式A. 18 .— B .-a「b a b下列各式中，正确的是-3m 2可变形为( a -baa —b19 .20 .21 .A. -x y=0； B_x - y x yF列各式中,若a=|，则若分式空②正数时正确的是-x yx — y=_x _ y .= x-y ；_x y 二x— yx- yx y^=0 Ca bab「1ac -1 c — 1b—1x -yx -ya"二壬1的值等于-7a 12a2-1x 2.27 .计算a2 aba2 -b2的值是正数、负数、0时，求x的取值范围. ①式亘-仁x + 2、③负数时、④0时22.已知丄-丄=3,求5x 3xy~5y的值.x y x _2xy _ y 23 、已知a2-4a+9b2+6b+5=0,求-- a -的值.b1 24.已知X2+3X+1=0,求x2+4 的值.x 251已知x+2=3,x2x~ 2"x x 1的值.。

《分式》典型练习题

分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、下列分式中，最简分式有（）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0（3）b a ba 10141534.0-+题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：考查分式的性质 1、若分式xyx +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的912、若分式xyy x 22+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（）A 、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的31D 、是原来的91题型三：化简求值题 1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.3、已知：21=-xx ，求221xx +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.5、已知与互为相反数，代数式的值。

分式题型易错题难题大汇总

分式单元复习一、分式定义及有关题型一、分式的概念：形如BAA 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0的式子,叫做分式; 概念分析：①必须形如“BA”的式子；②A 可以为单项式或多项式,没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式,但必须含有字母．．;．例：下列各式中,是分式的是 ①1+x1②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πx练习：1、下列有理式中是分式的有A 、m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、572、下列各式中,是分式的是 ①x1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πy+51、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有个;A 、2B 、3C 、4D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式;即：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧分式多项式单项式整式有理式例：把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上①21x②)(51y x + ③x -3 ④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦y x +2 整式：；分式 ;①分式有意义：分母不为00B ≠ ②分式无意义：分母为00B = ③分式值为0：分子为0且分母不为0⎩⎨⎧≠=0B A④分式值为正或大于0：分子分母同号⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ⑥分式值为1：分子分母值相等A=B⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数A+B=0 ⑧分式的值为整数：分母为分子的约数例:当x 时,分式22+-x x 有意义；当x 时,22-x 有意义; 练习：1、当x 时,分式6532+--x x x 无意义;8．使分式||1xx -无意义,x 的取值是A ．0B ．1C ．1-D ．1±2、分式55+x x,当______x 时有意义; 3、当a 时,分式321+-a a 有意义．4、当x 时,分式22+-x x 有意义; 5、当x 时,22-x 有意义;分式x--1111有意义的条件是 ;4、当x 时,分式435x x +-的值为1； 2．辨析题下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +7当x 为任意实数时,下列分式一定有意义的是 A.23x + B.212x - C.1x D. 211x +四、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零例1：若分式242+-x x 的值为0,那么x ;例2 . 要使分式9632+--x x x 的值为0,只须 .A 3±=xB 3=xC 3-=xD 以上答案都不对练习：1、当x 时,分式6)2)(2(2---+x x x x 的值为零; 2、要使分式242+-x x 的值是0,则x 的值是；3、若分式6522+--x xx 的值为0,则x 的值为4、若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是5、若分式242+-x x 的值为0,那么x ;6、若分式33x x --的值为零,则x = 7、如果分式2||55x x x-+的值为0,那么x 的值是 A ．0 B. 5 C ．－5 D ．±5分式12122++-a a a 有意义的条件是 ,分式的值等于零的条件是 ;9已知当2x =-时,分式ax bx -- 无意义,4x =时,此分式的值为0,则a b +的值等于 A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．2使分式x312--的值为正的条件是若分式9322-+a a 的值为正数,求a 的取值范围2、当x 时,分式xx--23的值为负数． 3当x 为何值时,分式32+-x x 为非负数.3、若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是☆典型题：分式的值为整数：分母为分子的约数练习1、若分式23+x 的值为正整数,则x= 2、若分式15-x 的值为整数,则x= 8、若x 取整数,则使分式1236-+x x 的值为整数的x 值有 A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个二分式的基本性质及有关题型分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变;1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 例1： ①aca b=② y zx xy = 测试：1.填空：aby a xy= ； z y z y z y x +=++2)(3)(6; ()222y x y x +-=()yx -．23xx +=()23x x+；例2：若A 、B 表示不等于0的整式,则下列各式成立的是 D .AM B M A B A ⋅⋅=M 为整式 B MB MA B A ++=M 为整式 C 22B A B A = D )1()1(22++=x B x A B A 5、下列各式中,正确的是 A ．a m ab m b +=+ B ．a b a b ++=0 C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+题型一：化分数系数、小数系数为整数系数例1不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. 1y x y x 41313221+- 2ba ba +-04.003.02.0练习：1．不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数. 1yx y x 5.008.02.003.0+-2b a ba 10141534.0-+ 1．辨析题不改变分式的值,使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘以•A ．10B ．9C ．45D ．90 4．不改变分式0.50.20.31x y ++的值,使分式的分子分母各项系数都化为整数,结果是1、不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,0.20.10.5x x -=-- 2、不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是题型二：分式的符号变化：例2不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.1yx y x --+-2ba a ---3ba---1、不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数;①13232-+---a a a a = ②32211x x x x ++--= ③1123+---a a a = 2．探究题下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m---=-中,成立的是 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．探究题不改变分式2323523x xx x -+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,正确的是•A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+题型三：分式的倍数变化：1、如果把分式y x x232-中的x,y 都扩大3倍,那么分式的值2、.如果把分式63xx y-中的x,y 都扩大10倍,那么分式的值 3、把分式22x yx y+-中的x,y 都扩大2倍,则分式的值 A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍 4、把分式2aba +中的a 、b 都扩大2倍,则分式的值 C . A 扩大2倍 B 扩大4倍 C 缩小2倍 D 不变. 7、若把分式xyyx 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值 A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍2、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是A 、y x 23B 、223y xC 、y x 232D 、2323yx三分式的运算4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一,在分式方程,求代数式的值,函数等方面有重要应用;学习时应注意以下几个问题：1注意运算顺序及解题步骤,把好符号关；2整式与分式的运算,根据题目特点,可将整式化为分母为“1”的分式； 3运算中及时约分、化简； 4注意运算律的正确使用； 5结果应为最简分式或整式;一、分式的约分：先将分子、分母分解因式,再找出分子分母的公因式,最后把公因式约去注意：这里找公因式的方法和提公因式中找公因式的方法相同最简分式：分子、分母中不含公因式;分式运算的结果必须化为最简分式1、把下列各式分解因式1ab+b 2 22a 2-2ab 3-x 2+9 42a 3-8a 2+8a3.2009年浙江杭州在实数范围内因式分解44-x = _____________． 2、约分16分1 2912xxy2 a b b a --223 96922+--x x x4 ab a b a +-222例2．计算：)3(3234422+•+-÷++-a a a a a a 例5．计算：2222223223y x yx y x y x y x y x --+-+--+． 3 、约分122699x x x ++-= ；2882422+++x x x = ； 4、化简2293mmm --的结果是 A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m m-3 4．辨析题分式434y x a+,2411x x --,22x xy y x y -++,2222a abab b +-中是最简分式的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、分式a b 8,b a b a +-,22yx yx --,22y x y x +-中,最简分式有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个9、下列公式中是最简分式的是A ．21227ba B ．22()ab b a -- C ．22x y x y ++ D ．22x y x y --5．技能题约分：122699x x x ++-； 22232m m m m -+-．约分：2222bab a aba +++ 例：将下列各式约分,化为最简分式①=z xy yx 2264 ②=+++4422x x x ③ =+--+44622x x x x 14、计算：22696x x x x -+--÷229310x x x ---·3210x x +-．1. 已知：,则的值等于 A.B.C.D.15、已知x+1x＝3,求2421x x x ++的值．九、最简公分母1．确定最简公分母的方法：①如果分母是多项式,要先将各个分母分解因式,分解因式后的括号看做一个整体； ②最简公分母的系数：取各分母系数的最小公倍数；③最简公分母的字母因式：取各分母中所有字母因式的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.例：⑴分式231x和xy 125的最简公分母是 ⑵分式x x +21和xx -23的最简公分母是题型一：通分例1将下列各式分别通分. 1c b a c a b ab c 225,3,2--； 2a b b b a a 22,--；322,21,1222--+--x x x x xx x ； 4aa -+21,21．在解分式方程：412--x x ＋2＝xx 212+的过程中,去分母时,需方程两边都乘以最简公分母是___________________.2、分式,21x xyy 51,212-的最简公分母为 ;例7．计算：1123----x x x x ．正解：原式=111111)1)(1(1111332323-=----=-++---=++--x x x x x x x x x x x x x x x 十、分式通分的方法：①先找出要通分的几个分式的最简公分母；②运用分式的基本性质把它们变形成同分母的分式; 例：⑴ax 1,bx 1的最简公分母是 ,通分后=ax 1 ,bx1= ;⑵51+zx ,25422-x 的最简公分母是 ,通分后51+zx = ,25422-x = ; 十一、分式的乘法：分子相乘,积作分子；分母相乘,积作分母；如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简;题型二：约分例2约分： 1322016xy y x -；3nm m n --22；36222---+x x x x .5、计算222a aba b+-＝． 6、已知a+b ＝3,ab ＝1,则a b +ba的值等于．例：⑴nxmymx ny ⋅= ⑵2221x x x x x +⋅-= 十二、分式的除法：把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘;例：⑴2256103x y x y ÷= ⑵xx x x x x +-÷-+-2221112= 九、零指数幂与负整指数幂★n m n m a a +=⋅a ★()mn nm a a =★()n n n b b a a = ★n m n m a a -=÷a 0≠a★n n b a b a =⎪⎭⎫⎝⎛n★n a 1=-n a 0≠a★10=a 0≠a 任何不等于零的数的零次幂都等于1其中m,n 均为整数;十、科学记数法a ×10-n ,其中n 是正整数,1≤∣a ∣＜10.如=-7101.25⨯10、负指数幂与科学记数法 1．直接写出计算结果：1-3-2 ； 232-= ；333()2-= ； 40(13)-= ． 2、用科学记数法表示 501= ．3、一种细菌半径是×10-5米,用小数表示为米;24、|1|2004125.02)21(032-++⨯---十三、分式的乘方：分子、分母分别乘方;例：⑴ 22⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y = ⑵ 322⎪⎭⎫⎝⎛-c a =十四、同分母的分式相加减：分母不变,只把分子相加减,再把结果化成最简分式;例：⑴ab ab 610- = ⑵ba bb a a +++= 十五、异分母的分式相加减：先通分成同分母的分式,在进行加减;例：⑴a b b b a a -+-= ⑵1111++-x x = 十六、分式的计算：1、xy y y x x 222-+- 2、112---a a a 例3计算：142232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；222233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+； 7个03m n m n m n m n n m ---+-+22； 4112---a a a ； 5874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； 6)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ； 7)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x ÷．28．2012 遵义化简分式﹣÷ ,并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．36、222222y x y xy y xy x y x -+-+--,其中0|3|)2(2=-+-y x 1．计算1)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ； 2a b ab b b a a ----222；3b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232； 4ba b b a ++-22； 5)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-； 62121111x x x ++++- 3、b a a b a +--2 4、)1(111112-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-x x x 5、111122----÷-a a a a a a 6、⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷--225262x x x x1. 11分先化简,再求值：2111x x x x ---+,其中x =2． 2.本题6分先化简,再求值：111222---++x x x x x ,其中x =12- 3、8分先化简,再求值：11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ,其中：x=－2; 十七、分式的化简：1、计算ba b b a ++-22等于 ; 2、化简分式ac ab c c ab 35123522÷•的结果是3、计算yx y x y y x y x x ----+-22的结果是 4、计算11--+a a a 的结果是 5、计算yx x x y x y x +•+÷+222)(的结果是 6、化简a b a b a b--+等于 7、分式:①223a a ++,②22a b a b --,③412()a ab -,④12x -中,最简分式有 . 8、计算4222x x x x x x ⎛⎫-÷⎪-+-⎝⎭的结果是 9、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1x 111x 112的结果是十八、化简分式求代数式的值：1、若32=b a ,则bb a +2的值是 ; 2．先化简后求值 11112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a . 2已知3:2:=y x ,求2322])()[()(y x x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3、1110,()()()a b c b c c a a b a b c++=+++++已知求的值A 、-2B 、-3C 、-4D 、-5题型五：求待定字母的值例5若111312-++=--x N x M x x ,试求N M ,的值. 2.已知：222222yx y xy y x y x y x M --=+---,则M =______ ___． 1.若已知132112-+=-++x x x B x A 其中A 、B 为常数,则A=__________,B=__________；题型三：化简求值题例4已知：21=-x x ,求221x x +的值.例5若0)32(|1|2=-++-x y x ,求y x 241-的值.10、已知411=-b a ,求分式bab a b ab a ---+222的值; 9．2005．杭州市当m =________时,分式2(1)(3)32mm m m ---+的值为零． 10．妙法巧解题已知13x y 1-=,求5352x xy y x xy y+---的值．4、已知a 2－3a+1=0,11、已知bb a a N b a M ab +++=+++==11,1111,1,则M 与N 的关系为 >N =N <N D.不能确定.题型四：化简求值题例4先化简后求值1已知：1-=x ,求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值； 2已知：432z y x ==,求22232z y x xz yz xy++-+的值； 3已知：0132=+-a a ,试求)1)(1(22a a a a --的值. 13、若4x=5y,则222y y x -的值等于 A41 B 51- C 169 D 259- 16、已知n m n m -=+111,则=-n m m n ; 例3已知：311=+yx ,求y xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入,①xy y x 3=+,②转化出y x 11+.2．已知：31=+x x ,求1242++x x x 的值. 3．已知：311=-ba ,求a ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ,求b a b a 532+-的值. 5．如果21<<x ,试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---. 2、当1<x<2时,化简分式x x x x -----1122= ;3、当x 时,122-=+-x x ;4、若3x=2y,则2294x y 的值等于5、若x 等于本身的倒数,则633622-++÷---x x x x x x 的值是 6、当=x 时,121+-x x 的值是1； 7、若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是 8、若2222,2b a b ab a b a ++-=则= 9、如果b a b a +=+111,则=+ba ab . 10、已知23=-+y x y x ,那么xy y x 22+= . 11、已知3a m =,则23a -= ,213a -=＝ ,27a -= 12、若36,92m n ==,则2413m n -+的值为四、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算例1计算：13132)()(---⋅bc a22322123)5()3(z xy z y x ---⋅ 324253])()()()([b a b a b a b a +--+--46223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x 题型二：化简求值题例2已知51=+-x x ,求122-+x x 的值；2求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算例3计算：1223)102.8()103(--⨯⨯⨯；23223)102()104(--⨯÷⨯.练习：的22﹣20120+﹣6÷3； 1．计算：120082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- 2322231)()3(-----⋅n m n m323232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab 421222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ,求11-+x x ,222-+x x 的值.7．已知x+1x=3,则x 2+21x= ________ ． 10、已知0543≠==c b a ,求分式c b a c b a ++-+323的值; 第二讲分式方程知识要点1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题主要方法1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 分式方程化分式为整式解方程验根4写出解1、学完分式运算后,老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的 7. 已知xB x A x x x +-=--1322,其中A 、B 为常数,那么A ＋B 的值为A 、－2B 、2C 、－4D 、48. 甲、乙两地相距S 千米,某人从甲地出发,以v 千米/小时的速度步行,走了a 小时后改乘汽车,又过b 小时到达乙地,则汽车的速度 A. S a b + B. S av b - C. S av a b -+ D. 2S a b + 一分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程例1解下列分式方程1x x 311=-；20132=--x x ；3114112=---+x x x ；4x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程例2解下列方程14441=+++x x x x ； 2569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：1换元法,设y x x =+1；2裂项法,61167++=++x x x . 例3解下列方程组题型三：求待定字母的值例4若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根,求m 的值. 例5若分式方程122-=-+x a x 的解是正数,求a 的取值范围. 提示：032>-=a x 且2≠x ,2<∴a 且4-≠a . 29、已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数,则m 的取值范围为 . 24．指出下列解题过程是否存在错误,若存在,请加以改正并求出正确的答案．题目：当x 为何值,分式有意义解：= ,由x ﹣2≠0,得x≠2．所以当x≠2时,分式有意义．题型四：解含有字母系数的方程例6解关于x 的方程提示：1d c b a ,,,是已知数；20≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程： 1021211=-++-x x x x ； 23423-=--x x x ； 322322=--+x x x ； 4171372222--+=--+x x x x x x 52123524245--+=--x x x x 641215111+++=+++x x x x 76811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程： 1bx a 211+=)2(a b ≠；2)(11b a x b b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根,求k 的值.4．当k 为何值时,关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解,试求a 的值. 二分式方程的特殊解法解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x 三分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程x m x x -=--221无解,求m 的值; 例2．若关于x 的方程11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根,求k 的值; 例3．若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根,求k 的值; 例4．若关于x 的方程1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ,求k 的值;9.若m 等于它的倒数,求分式22444222-+÷-++m m m m m m 的值； 2. 已知x 2+4y 2-4x+4y+5=0,求22442y xy x y x -+-·22y xy y x --÷y y x 22+2的值. 奥赛初探1. 若432z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值. 19．已知且y≠0,则= _________ ．十九、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程;例：下列方程中式分式方程的有①1025=+x ②104=-πx ③1012=-+y y ④102=+x x x 二十、“可化为一元一次方程的分式方程”的解法：①去分母：先看方程中有几个分母,找出它们的最简公分母,在方程的左右两边都乘以它们的最简公分母,约去分母,将分式方程化成一元一次方程;②解方程：解去分母得到的这个一元一次方程;③验根：将解一元一次方程得到的解带入最简公分母中计算：如果最简公分母的值为0,则这个解是方程的增根,原分式方程无解；如果最简公分母的值不为0,则这个解就是原分式方程的解;例：解下列分式方程步骤参照教材上的例题⑴114=-x ⑵3513+=+x x 5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根,则m 的值是A.B. C. D. 分析：分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值;由题意得增根是：化简原方程为：把代入解得,故选择D;例2. m 为何值时,关于x 的方程会产生增根解：方程两边都乘以,得整理,得说明：分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根11、分式方程1．若1044m x x x--=--无解,则m 的值是 A. —2 B. 2 C. 3 D. —32．解方程：1325+x ＝13-x 2416222--+-x x x ＝1 321321-=---x x x ; 15．在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时v 1千米,下坡时的速度为每小时v 2千米,则他在这段路上、下 A ．千米 B ．千米C ．千米 D ．无法确定10．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地,去时每小时行mkm,•返回时每小时行nkm,则往返一次所用的时间是_____________．13、分式方程应用题19、8分甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同,已知甲、乙两人每小时共打5400个字,问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字20、10分一名同学计划步行30千米参观博物馆,因情况变化改骑自行车,且骑车的速度是步行速度的倍,才能按要求提前2小时到达,求这位同学骑自行车的速度;22．列方程解应用题本题7分从甲地到乙地的路程是15千米,A 骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B 乘车从甲地出发,结果同时到达;已知B 乘车速度是A 骑车速度的3倍,求两车的速度;8．小张和小王同时从学校出发去距离15千米的一书店买书,小张比小王每小时多走1千米,结果比小王早到半小时,设小王每小时走x 千米,则可列出的的方程是A 、2115115=-+x xB 、2111515=+-x x C 、2115115=--x x D 、2111515=--x x 7、赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完,当他读了一半时,发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页如果设读前一半时,平均每天读x 页,则下列方程中,正确的是 A 、1421140140=-+x x B 、1421280280=++x x B 、1211010=++x x D 、1421140140=++x x 二十一、增根：使分式方程的最简公分母的值为0的未知数的值;注意：“可化为一元一次方程的分式方程”有增根,那么原方程无解,但这个增根是去分母后得到的一元一次方程的解,能使这个一元一次方程左右两边的值相等;例：已知关于x 的分式方程112=-+x a 有增根,则a=练习：1、若方程87178=----xx x 有增根,则增根是 ; 2、m 取时,方程323-=--x mx x 会产生增根； 3、若关于x 的方程x a cb x d-=- 有解,则必须满足条件 A. a ≠b ,c ≠d B. a ≠b ,c ≠-d ≠-b , c ≠d ≠-b , c ≠-d4、若分式方程xa xa x +-=+-321有增根,则a 的值是 5、当m=______时,方程233x mx x =---会产生增根.6、若方程42123=----xx x 有增根,则增根是 . 7、关于x 的分式方程442212-=++-x x k x 有增根x=-2,则k= . 2、.关于x 的方程322133x mxx x-++=---无解,m 的值为_______________;例4．2006年常德市先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．二十二、零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1;例：()01.0-= 020031⎪⎭⎫⎝⎛=二十三、负指数幂：任何不等于零的数的-nn为正整数次幂,等于这个数的n 次幂的倒数;例：221-⎪⎭⎫⎝⎛= 22--=22221--⎪⎭⎫ ⎝⎛b a = 23)2(---x = 知识点二：整数指数幂的运算1．基本技能题若x-3-2有意义,则x_______；若x-3-2无意义,则x_______． 2．基本技能题5-2的正确结果是 A ．-125 B ．125 C ．110 D ．-1103．已知a ≠0,下列各式不正确的是A.-5a 0=1B.a 2+10=1C.│a │-10=1D.1a=16．计算：32-1+320--13-1 2m 2n -3-3·-mn -22·m 2n 0． -2 003÷-18-2 004．二十四、科学记数法：把一个数表示成na 10⨯或者n a -⨯10的形式,其中n 为正整数,101<≤a例：用科学记数法表示下列各数⑴ = ⑵= ⑶201300= 练习：1、将下列用科学记数法表示数还原：⑴41025.1-⨯= ⑵ =⨯--410075.2 ⑶6105104.2⨯= 2、用科学记数法表示下列各数 ⑴ = ⑵=3、人体中成熟的红细胞的平均直径为0.0000077米,用科学记数法表示为二十五、列分式填空：1、某农场原计划用m 天完成A 公顷的播种任务,如果要提前a 天结束,那么平均每天比原计划要多播种公顷.2、某厂储存了t 天用的煤m 吨,要使储存的煤比预定的多用d 天,那么每天应节约煤的吨数为3、每千克单价为a 元的糖果m 千克与每千克单价为b 元的糖果n 千克混合,则混合后糖果的单价为4、全路全长m 千米,骑自行车b 小时到达,为了提前1小时到达,自行车每小时应多走千米.10、A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆流返回A 地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时,则可列方程 A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C .9448=+x D.9496496=-++x x 二十六、列分式方程填空：1、某煤厂原计划x 天生产120吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3吨,因此提前2天完成任务,列出方程为2、工地调来72人参加挖土和运土,已知3人挖出的土1人恰好能全部运走,怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走,解决此问题,可设派x 人挖土,其它的人运土,列方程①3172=-xx ②72-x=3x③x+3x=72 ④372=-xx上述所列方程,正确的有个二十七、列分式方程解应用题：1、某校师生到距学校20千米的公路旁植树,甲班师生骑自行车先走45分钟后,乙班的师生乘汽车出发,结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的倍,求两种车的速度各是多少2、•怀化市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召,在本乡建起了农民文化活动室,现要将其装修．若甲、•乙两个装修公司合做需8天完成,需工钱8000元；若甲公司单独做6天后,剩下的由乙公司来做,还需12天完成,共需工钱7500元．若只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑,该乡是选甲公司还是选乙公司请你说明理由．3、华溪学校科技夏令营的学生在3名老师的带领下,准备赴北京大学参观,体验大学生活．现有两个旅行社前来承包,报价均为每人2000元,他们都表示优惠；希望社表示带队老师免费,学生按8折收费；青春社表示师生一律按7折收费．经核算,参加两家旅行社费用正好相等． 1该校参加科技夏令营的学生共有多少人2如果又增加了部分学生,学校应选择哪家旅行社7．若关于x 的方程122-=-+x a x 的解为正数,则a 的取值范围是．4、在社会主义新农村建设中,某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天,•那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．1求乙工程队单独完成这项工程所需的天数； 2求两队合做完成这项工程所需的天数．分式1.若a 使分式241312a a a-++没有意义,那么a 的值是A 、0B 、13-或0C 、±2或0D 、15-或02.分式111a a--有意义,那么a 的取值范围是3.分式265632x x x --+的值为0,则x 的值为A 、3223-或B 、3223-或C 、23-D 、324.已知111x x x---的值是14-,那么x 的值是5.化简分式()()()()()()b c aa b b c b c c a c a a b ++------的结果是 . 6.化简44xy xy x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+⋅+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的结果是 A 、22y x - B 、22x y - C 、224x y - D 、224x y -7.当222223768112256a a a a a a a ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=-÷⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，代数式的值是 6、小明通常上学时走上坡路,通常的速度为m 千米/时,放学回家时,沿原路返回,通常的速度为n 千米/时,则小明上学和放学路上的平均速度为千米/时 A 、2n m + B 、 n m mn + C 、 n m mn +2 D 、mnnm + 8.甲、乙两人相距k 公里,他们同时乘摩托车出发;若同向而行,则r 小时后并行;若相向而行,则t 小时后相遇,则较快者的速度与较慢者速度之比是A 、r t r t+- B 、r r t- C 、r k r k +- D 、r k r k-+9.已知2220202a b ab a ab b a b-≠+-=+，，那么的值为10.已知2222323423y x y zx z xy yz xz-+==++，则的值是11.已知222225032x y z x zy xy yz zx-+==≠++，那么的值为12.已知1143404323a ab b a a b a ab b ++≠+==-+-且，那么13.已知232132xy x xy y x y x y xy+-=----，则的值为 A 、53 B 、53- C 、35D 、35-14.若1124272a ab ba b a ab b---=+-，则的值是15.一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达,如果要提前2小时到达,那么车速应比原来车速提高 %;16.甲、乙两人从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同向而行,则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的A . a b b+倍 B . b a b+ C . b a b a+-倍 D . b a b a-+倍17.已知a 、b 均为正数,且1a＋1b= －1a b+.求22()()b a ab+的值.18.计算: 1(1)a a +＋1(1)(2)a a ++＋1(2)(3)a a ++＋…＋1(2005)(2006)a a ++; 19.已知y x =34,求x x y +＋y x y -－x x y+的值. 20.若x ＋y =4,xy =3,求y x +xy的值. 21.若b + 1c=1,c + 1a=1,求1ab b+;22.观察下面一列有规律的数: 13,28,315,424,535,648…根据其规律可知第n 个数应是_______________ n 为整数23,关于x 的分式方程x ＋1x=c ＋1c的解是x 1=c ,x 2= 1c；x －1x = c －1c,即x ＋1x-=c +1c-的解是x 1=c ,x 2=－1c；x ＋2x=c ＋2c的解是x 1=c ,x 2=2c； x ＋3x=c ＋3c的解是x 1=c ,x 2=3c.1请观察上述方程与解的特征,比较关于x 的方程x ＋m x=c ＋m cm ≠0与它的关系,猜想它的解是什么,并利用方程解的概念进行验证.2如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边形式与左边的完全相同,只是把其中未知数换成某个常数.那请你利用这个结论解关于x 的方程:x ＋21x -=a +21a -24、设0a b >>,2260a b ab +-=,则a bb a+-的值等于． 25、若实数x y 、满足0xy ≠，则yx m x y=+的最大值是． 26、一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab ab a b a b a b ,其中第7个式子是第n 个式子是27.若2222,2b a b ab a b a ++-=则=28、已知b ab a b ab a b a ---+=-2232,311求的值 29、若0<x<1,且xx x x 1,61-=+求的值行程应用题1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路,另一条是全长480Km 的告诉公路;某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间;2、从甲地到乙地的路程是15千米,A 骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B 骑自行车从甲地出发,结果同时到达;已知B 的速度是A 的速度的3倍,求两车的速度;3、某中学到离学校15千米的某地旅游,先遣队和大队同时出发,行进速度是大队的倍,以便提前半小时到达目的地做准备工作;求先遣队和大队的速度各是多少4、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务,由于情况发生了变化,急行军速度必需是原计划的倍,才能按要求提前2小时到达,求急行军的速度; 工程问题应用题：1：某工程需在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成；若由乙队去做,要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天,剩下的工程由乙独做,恰好在规定日期完成,问规定日期是多少天2、某车间加工1200个零件后,采用新工艺,工效是原来的1;5倍,这样加工同样多的零件就少用10小时,采用新工艺前后每时分别加工多少个零件3、现要装配30台机器,在装配好6台后,采用了新的技术,每天的工作效率提高了一倍,结果共用了3天完成任务;求原来每天装配的机器数.4、某车间需加工1500个螺丝,改进操作方法后工作效率是原计划的212倍,所以加工完比原计划少用9小时,求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝水流问题：1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等,已知水流速度每小时3千米,求轮船在静水中的速度.2、一船自甲地顺流航行至乙地,用5.2小时,再由乙地返航至距甲地尚差2千米处,已用了3小时,若水流速度每小时2千米,求船在静水中的速度3、小芳在一条水流速度是s 的河中游泳,她在静水中游泳的速度是s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间;四、解下列分式方程：1、23561245x x x x x x x x -----=----- 2、2232511877x x x x x x x ---+=+--+- 3、821261949819965--+--=--+--x x x x x x x x 附加题：满分5分,将得分加入总分,但全卷总分不超过100分; 解分式方程16143132121+=-++++x x x x 13、的最小值是分式221012622++++x x x x例2：已知,求的值;分析：若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了;解：原式例4：已知a、b、c为实数,且,那么的值是多少分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组,不容易求解,可取倒数,进行简化;解：由已知条件得：所以即又因为所以例2、已知：,则_________;解：说明：分式加减运算后,等式左右两边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M; 例2. 解方程分析：直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值;解：原方程变形为：方程两边通分,得经检验：原方程的根是例3. 解方程：分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和;。

分式基本性质练习题

分式基本性质练习题分式是数学中重要的概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将为大家提供一些分式基本性质的练习题，帮助读者巩固和深入理解分式的概念和运算规则。

练习题一：分式的乘法和除法1. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$2. 简化：$\frac{16}{24}$3. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$4. 简化：$\frac{12}{36}$练习题二：分式的加法和减法1. 计算：$\frac{1}{4} + \frac{3}{8}$2. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{2}{3}$3. 计算：$\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$4. 计算：$\frac{3}{4} - \frac{1}{6}$练习题三：分式的化简和换算1. 化简：$\frac{4x^2}{8x}$2. 化简：$\frac{10ab^2}{5a^2b}$3. 将小数$\frac{0.6}{1.2}$化成分数的形式。

4. 将百分数$75\%$化成分数的形式。

练习题四：分式的比较和大小关系1. 比较大小：$\frac{3}{4}$和$\frac{5}{8}$2. 比较大小：$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$3. 将分数$\frac{2}{9}$改写成百分数。

4. 将百分数$25\%$改写成分数。

练习题五：分式的应用1. 假设小明每小时工作5小时，小红每小时工作4小时，他们一起工作的效率是多少？2. 某项工程由甲、乙两人合作完成，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天，他们一起工作多少天可以完成该项目？3. 假设一块土地上有甲、乙两家农场，甲家的土地面积是乙家的2倍，甲家每年产量为1000千克，乙家每年产量为800千克，问两家农场每年的平均产量是多少千克？以上是分式基本性质的练习题，希望读者朋友们通过这些练习能够提高对分式的理解和运用能力。

分式的概念和性质练习题-基础

分式的概念和性质练习题-基础一.选择题1．（2015春•东台市月考）下列式子是分式的是（）A. B. C. +y D.+1 2．（2016•连云港）若分式12x x -+的值为0，则的值是（） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．1或-23.下列判断错误．．的是（） A ．当时，分式有意义 B ．当时，分式有意义 C ．当时，分式值为0 D ．当时，分式有意义 4．为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ )A ．B ．C ．D ． 5．如果把分式中的和都扩大10倍，那么分式的值（） A ．扩大10倍B ．缩小10倍C ．是原来的D ．不变 6．下列各式中，正确的是（）A ．B ． x 23x ≠231-+x x a b ≠22ab a b -21-=x 214x x+x y ≠22x y y x--x 21x x +211x x --11x x -+211x x -+yx y x ++2x y 32a m a b m b +=+0a b a b+=+C ．D ．二.填空题7．（2016•北京）如果分式21x -有意义，那么x 的取值范围是______． 8.若分式的值为正数，则满足______． 9．（1）（2） 10．（1）（2） 11.分式与的最简公分母是_________. 12. （2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n 个式子是（用含的n 式子表示，n 为正整数）．三.解答题13. （2014春•丹阳市校级期中）当x 取什么值时，分式．（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零？1111ab b ac c +-=--221x y x y x y-=-+67x--x 112()x x x --=-.y x xy x 22353)(=22)(1y x y x -=+⋅-=--24)(21yy x 2214a b 36x ab c14．已知分式当＝－3时无意义，当＝2时分式的值为0，求当＝－7时分式的值．15．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．（1）（2）（3）（4）,y a y b-+y y y 22x x y--2b a a --2211x x x x---+2231m m m ---一.选择题1. 【答案】B ；【解析】解：A 、分母中不含有字母是整式，故A 错误；B 、分母中含有字母是分式，故B 正确；C 、分母中不含有字母是整式，故C 错误；D 、分母中不含有字母是整式，故D 错误；故选：B ．2. 【答案】C ；【解析】x -1=0且x +2≠03. 【答案】B ；【解析】，有意义. 4. 【答案】D ；【解析】无论为何值，都大于零.5. 【答案】D ；【解析】. 6. 【答案】D ；【解析】利用分式的基本性质来判断.二.填空题7. 【答案】x ≠1；【解析】由题意，x -1≠0a b ≠±22ab a b -x 21x +102010(2)2101010()x y x y x y x y x y x y+++==+++【解析】由题意.9. 【答案】（1）；（2）；10.【答案】（1）；（2）；【解析】. 11.【答案】；【解析】最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积.12.【答案】，．【解析】解：∵=（﹣1）2•，=（﹣1）3•，=（﹣1）4•，…∴第7个式子是，第n 个式子为：．故答案是：，．三.解答题13.【解析】解：（1）∵分式没意义，∴x ﹣1=0，解得x=1；70,7x x -<>∴2x -5y x y -22xy x y +--221(1)(2)22244x x y xy x y y y y --++--==---2312a b c（2）∵分式有意义，∴x ﹣1≠0，即x≠1；（3）∵分式的值为0， ∴，解得x=﹣2． 14.【解析】解：由题意：，解得，解得所以分式为，当＝－7时，. 15.【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）. 30b -+=3b =2023a -=+2a =23y y -+y 2729937344y y ----===+-+-2222x x x y x y -=---22b b a a a a =---+222222111111x x x x x x x x x x x x ----++-==-+-++--22223311m m m m m m ---=---。

分式整章知识点及练习题

2、下列各式：a-b x+35+y3()a+b1,,,x2-1有意义。

（2）当x=时，分式x-3A.2x+3 B.1x2-2 C.x(4)、（2013黔西南州）分式x2-1x-a无意义，x=4时，此分式的值为0，则a+b的值等于（1．如果把2y(x+y)2=()．3．不改变分式0.5x+0.2b+m=bB．ac-1=b-1a+b=0C．c-1D．2x+4x2-6x+92x2+8x+8；分式整章知识点及练习题1、分式概念a-b x+35+x a+b11．在，2+中，是分式的有（）2xπa-b aA、1个B、2个C、3个D、4个，，，x2+1，，(x-y)中，是分式的共有（）2xπ4a-b mA、1个B、2个C、3个D、4个2、分式有意义（1）当x___时，分式4x-3无意义．（3）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）11D.x2+1x+1的值为零，则x的值为（）A、-1B、0C、±1D、1（5）已知当x=-2时，分式x-bA．－6B．－2C．6D．24、分式的基本性质）2x-3y中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（A扩大5倍B不变C缩小5倍D扩大4倍）2.填空：x2-y2x-y2x()x+3=x2+3x；0.3y+1的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是4、下列各式中，正确的是（）A．a+m a a+b ab-1x-y1x2-y2=x+y5、约分m2-3m+2 m2-m x2-9m2-3m9-m2=1 ．在解分式方程：x - 1, 1 ,- 1 的最简公分母为 + 的结果是（） m - 3 m + 3 2、计算的正确结果是（）⎪ ÷1.化简代数式： m 2 - 2m + 1 m - 1 ÷ (m - 1 - ） 3、计算：-x-1 m + 14、先化简，再求值： 1 +5、若 x+ =2，则 x 2+ =．已知 x 2+3x+1=0，求 x 2+6、已知 a+b=3，ab=1，则 + 的值等于_______。

15.1.2分式基本性质考点与练习

15.1.1 分式的基本性质考点闯关考点1：分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 用式子表示为：,(0),A AC A A C C B BC B B C÷==≠÷其中,,A B C 是整式。

1．下列各式从左至右的变形不正确的是（）A ．2233y y -=-B ．66y y x x -=-C ．22xy y x y x =D ．a a c b b c+=+ 2．若把分式5y x y+中的x 、y 都扩大5倍，那么分式的值（） A ．扩大5倍 B ．不变 C ．缩小5倍 D ．缩小52倍 3．不改变分式的值，把1312x y x y -+的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为______． 4.已知113x y-=，求5352x xy y x xy y +---的值考点2：分式的约分（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分；找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时，将能因式分解的先因式分解。

（2）最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.5．下列分式中，是最简分式的是（）．A ．2xy xB ．222x y -C ．22x y x y +-D ．22x x + 6．约分：322369a b c a b = ；24424x x x ++=+ . 7．将下列各式约分；22318(1)24a b a b c； 25(3)(2)2(3)a a ----； 2222(3)21a a a --+.8.先化简，再求值：222(1),4x y x y +- 其中35,;2x y ==2223(2),96x xy x xy y --+ 其中32,.43x y ==-题型3：最简公分母与分式的通分通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母通分的关键是准确找出各分式的最简公分母最简公分母的确定方法⑴当各分母的系数都是整数时，取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；⑵所有分式的分母中凡出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；⑶相同字母（或式子）的幂的因式取指数最高的；⑷当分母是多项式时，一般应将能分解因式的多项式分解因式。

分式知识点及例题

分式知识点及例题一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

例如：1/x，（x ＋ 1)／（x 2) 等都是分式。

需要注意的是，分母不能为 0，否则分式无意义。

二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

即：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如：若分式 2x/（3x 1) 的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6x 2)，其值不变。

三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

例如：对分式 6x/9 进行约分，分子分母的公因式为 3，约分后得到2x/3。

四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

最简公分母的确定方法：1、取各分母系数的最小公倍数；2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；3、同底数幂取次数最高的。

例如：1/2x 和 1/3y 的最简公分母为 6xy。

五、分式的运算1、分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

例如：（2x/y) ×（3y/4x) ＝ 3/2 ；（2x/y) ÷（3y/4x) ＝（2x/y) ×（4x/3y) ＝ 8x²/3y²2、分式的加减法同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

例如：1/x ＋ 2/x ＝ 3/x ； 1/2x 1/3y ＝（3y 2x) ／ 6xy六、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式的概念经典练习题

祖π数学新人教八年级上册之高分速成 1【基础知识】从分数到分式（1）分式的概念：形如，A 、B 是，B 中含有且B 不等于的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.（2）分式有意义的条件： .（3）分式值为0的条件： .（4）分式值为正(大于0)的条件： .（5）分式值为负（小于0）的条件： .【题型1】分式的判断下列各式中，是分式的有；是整式的有 .2x ，a 2＋1，x 5，3－x π，1x －2，2a a ＋b ，2xy 2xy ，532x -,)74(31y x -,)74(31y x x-,2a -2b. 【变式训练】1.下列式子是分式的是( )A.x 5B.x x ＋1C.x 6＋yD.3xy π2.下列式子：－3x ，2a ，x 2－y 2xy ，－a 2π，x －1y 2，a －2b ，其中分式有 .3.下列式子：－3x ，31y +，5y x -，y x ，x 81-， 22732xy y x -,其中是分式有个. 4.在式子xx y x y x x c b a xy a 232109,87,65,43,2,1，+++π中，分式有 . 5.列式表示下列各量.（1）赵明骑自行车用了m 小时到达距离家n 千米的学校，则他的平均速度是千米/小时；若乘公共汽车则可少用0.2小时，则公共汽车的平均速度是千米/小时.（2）465班在一次考试中，有m 人得90分，有n 人得80分，那么这两部分人合在一起的平均分是分.（3）我市对一段全长1 500米的道路进行改造，原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了天.。

分式的概念和性质练习题

1．填空题：（1）当x= 时，分式135-+x x 无意义。

（2）当x= 时，分式123-+x x 的值为零；当分式23+-x x =0时，x= 。

（3）()()333++x x x =x 3成立的条件是。

（7）当x 时，分式121+-x x 有意义。

2．选择题：（1）下列说法正确的是（）A ．形如BA 的式子叫分式B ．分母不等于零，分式有意义C ．分式的值等于零，分式无意义D ．分式等于零，分式的值就等于零（2）已知有理式：x 4、4a 、y x -1、43x 、21x 2、a 1＋4，其中分式有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个（3）使分式ax 45-有意义的x 的值是（）A ．4aB ．－4aC ．±4aD ．非±4a 的一切实数（4）使分式mx m x 41622--的值为零的x 的值是（） A ．4m B ．－4m C ．±4m D ．非±4m 的一切实数3．解答下列各题：（1）当x 取什么数时，分式1132-+x x 有意义？（2）当x 为何值时，分式x x x 32212-++无意义？（3）若分式1642-+x x 无意义，求x 的值。

4．已知分式()()()()22253435232-----+x x x x （1）当x 为何值时，分式无意义？（2）当x 为何值时，分式的值为零？（3）当x 为何值时，分式的值为－1？5．当x 为何值时，下列分式的值为正？（1）432+-x x （2）232-+x x 6．（1）填充分子，使等式成立；()222(2)a a a -=++ （2）．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- （3）化简：233812a b c a bc =_______。

6．（1）()2a b ab a b += （2）()21a aa c++=（a ≠0）（3）()22233x x x -=-+-（4）()2232565a a a a a ++=+++7．（1））333()3ax by ax by ax by ax by---=-=---，对吗？为什么？（2）22112x y x y x y x y++==---对吗？为什么？ 8．把分式x x y+（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值（） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变9．下列等式正确的是（）A ．22b b a a = B ．1a b a b-+=-- C ．0a b a b +=+ D ．0.10.330.22a b a b a b a b--=++ 10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。

分式知识点总结及例题

分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。

分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。

二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。

2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。

3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。

三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。

四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。

五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。

分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。

六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。

七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。

2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。

3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。

4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。

专题5.1分式的概念与基本性质(专项训练)(原卷版)

专题5.1 分式的概念与基本性质（专项训练）1.（2022春•眉山期末）下列代数式中，属于分式的是（）A．﹣3B．C．+y D．﹣4x3y2.（2022春•辉县市期末）在代数式中，分式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（2022春•莲池区期末）若式子有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠1C．x≠﹣1或x≠1D．x≠﹣1且x≠1 4.（2022春•子洲县期末）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠2B．x≠﹣2C．x≠3D．x≠﹣35.（2022春•舞钢市期末）若分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x≠3B．x≠﹣3C．x≠3且x≠﹣3D．x≠0 6．（2022春•江阴市校级月考）若分式有意义，则x满足．7．（2022春•泰州期末）当x＝时，分式的值等于0．8．（2022春•泰和县期末）若分式的值为0，则x＝．9.（2021秋•德江县期末）若分式的值为零，则x的值为．10.（2022春•锡山区期末）当x＝时，分式无意义，当x＝时，分式的值为0．11．（2021秋•定陶区期末）若分式的值为0，则x的值为．12．（2022春•西安期末）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．13.（2022春•岑溪市期末）下列各式中最简分式是（）A．B．C．D．14.（2022春•灌云县期末）把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍15．（2022春•广陵区期末）下列分式从左到右变形错误的是（）A．B．C．D．16.（2022春•南安市月考）把分式中的a和b分别扩大为原来的3倍，则分式的值（）A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．扩大为原来的9倍D．不变17.（2022•德江县二模）下列变形正确的是（）A．B．C．D．18．（2021秋•汉寿县期末）若分式的值为4，则把x，y的值均扩大为原来的2倍后，这个分式的值为．19.（2021春•秦都区月考）分式中的x、y的值分别扩大为原来的5倍，则此分式的值扩大为原来的倍．20．（2013秋•浦东新区期末）（1）＝；（2）＝．．21．（2014春•北湖区校级月考）在括号里填入适当的整式为：22．（2013秋•云浮期末）利用分式的基本性质填空：（1），（a≠0）；（2）；（）中为（1），（2）．23．（2017春•东台市月考）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得．24．（2012春•将乐县校级期中）根据分式的基本性质填空：．．25．（2022•丰顺县校级开学）约分：＝．26．（2021秋•河西区期末）约分的结果为．27．（2021秋•安仁县校级期末），，的最简公分母是．28．（2014秋•白云区期末）对分式和进行通分，则它们的最简公分母为．29．（2022春•泗阳县期中）（1）约分：（2）通分：与30．（2019秋•玉州区期末）（1）通分：和；（2）约分：．31．（2020春•句容市期中）（1）约分：；（2）通分：、．32．（2017秋•丹江口市期中）通分，，．33．（2017春•东海县校级期中）按要求答题：（1）约分（2）通分，．34.（春•沭阳县期中）（1）通分：；（2）通分：，．35.（秋•邢台期末）通分：（1），（2），．。

中考体系-17.分式的概念与性质(最全,含答案)

【答案】（答案不唯一）
41.
请写出一个含有字母的分式（要求：不论取何值，该分式都有意义）__________．
【答案】答案不唯一，如等
不论取何值，该分式都有意义，所以所写分式的分母最重要，联想到非负数的形式，，所以只要在的基础上加上一个正数即可作为分母，分子随意写一个数即可．
三、
42.
【答案】A
88.
A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变
【答案】D
89.
A．扩大5倍B．不变C．缩小5倍D．扩大4倍
【答案】A
90.
A．9倍B．3倍C．一半D．不变
【答案】B
91.
【答案】
92.
A. B.
C. D.
【答案】D
93.
B． C． D．
【答案】D
94.
（1）（2）（3）
【答案】（1）相等（2）相等（3）相等
23.
A．当时，分式有意义
B．当时，分式有意义
C．当时，分式值为
D．当时，分式有意义
【答案】B
24.
A． B． C． D．
【答案】D
25.
【答案】
26.
⑴ ；⑵ ；⑶
【答案】⑴分式有意义的条件是即且；
⑵分式有意义的条件是，即且；
⑶分式有意义的条件是，即 .
题型二：分母恒大于
95.
A. B. C. D.
【答案】B
96.
A. B. C. D.
【答案】A
97.
A． B．
C． D．
【答案】B
98.
A． B．
C． D．
【答案】B
99.

初二数学分式练习题及概念

初二数学分式练习题及概念分式作为初中数学的一项重要内容，是初二学生需要掌握和熟练运用的知识点之一。

本文将为初二学生提供一些分式的练习题，并介绍相关概念，以帮助学生更好地理解和掌握分式的概念和运算。

一、练习题1. 计算下列各分式的值：a) $\frac{3}{4} + \frac{2}{3}$b) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$c) $\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}$d) $\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}$2. 将下列各分式化简为最简形式：a) $\frac{12}{16}$b) $\frac{18}{24}$c) $\frac{20}{25}$d) $\frac{15}{35}$3. 计算下列各分式的和的倒数：a) $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$b) $\frac{3}{5} - \frac{2}{3}$c) $\frac{4}{7} \times \frac{2}{3}$d) $\frac{5}{6} \div \frac{6}{7}$4. 求下列适当分数的整数部分和小数部分：a) $\frac{7}{2}$b) $\frac{11}{3}$c) $\frac{23}{5}$d) $\frac{37}{10}$二、概念解析1. 分式的定义分式是指一个整体被分成几个相等的部分中的一部分或几部分。

通常由分子和分母两部分组成，分子表示整体中的一部分，分母表示整体被分成的部分数。

2. 分式的化简化简分式是将分式写成最简形式的过程。

可以通过约分、分子分母的公因式提取来实现。

最简形式的分式是分子和分母没有公因数的分式。

3. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

具体运算的规则如下：a) 加法和减法：两个分式相加或相减，要求分母相等，然后将分子相加或相减后保留分母即可。

b) 乘法：两个分式相乘，将两个分式的分子相乘，分母相乘后得到新分式的分子和分母。

专题5.23 分式与分式方程(全章基本概念与性质专题)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题5.23分式与分式方程（全章基本概念与性质专题）（专项练习）一、单选题【性质】分式基本性质1．如果将分式xx y2+中的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（）A ．扩大为原来的5倍B ．扩大为原来的10倍C ．缩小为原来的15D ．不改变2．如果把分式22x x y-中的x ，y 的值都扩大2倍，那么此分式的值（）A ．扩大2倍B ．扩大4倍C ．扩大6倍D ．不变【概念一】分式3．下列代数式中，属于分式的是（）A ．23-x B ．xπC ．23x +D ．124．在式子1a ，2xy π，2334a b c，56x +，109x y +，78x y +中，分式的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【概念二】最简分式5．下列分式中是最简分式的是（）A ．221x x +B ．42xC ．211x x --D ．11x x --6．下列各分式中是最简分式的是（）A ．()()1215x y x y -+B ．2222x y x y xy ++C ．()222x y x y -+D ．22x y x y-+【概念三】约分7．化简222a b a ab--的结果为（）A ．2a b a-B ．a b a-C ．a b a+D ．a b a b-+8．将分236x xy-约分的结果是（）A ．12y-B ．2x y-C ．2xy-D ．x y-【概念四】最简公分母9．分式1x y +、1x y-、221x y -的最简公分母是（）A ．()()x y x y +-B ．()()()22x y x y x y +--C ．()()22x y x y +-D ．()()22x y x y --10．212a b与2a b ab c +的最简公分母为（）A ．222a b cB ．abC ．222a b D ．2abc【概念五】通分11．把12x -，1(2)(3)x x -+，22(3)x +通分的过程中，不正确的是（）A ．最简公分母是2(2)(3)x x -+B ．221(3)2(2)(3)x x x x +=--+C ．213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+D ．22222(3)(2)(3)x x x x -=+-+12．把2121a a a -++与211a -通分后，2121a a a -++的分母为()()211a a -+，则211a -的分子变为（）A ．1a -B ．1a ＋C ．1a --D ．1a-+【概念六】分式方程的增根13．若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-14．关于x 的方程31111x mx x --=++有增根，则方程的增根是（）A ．1-B ．4C ．4-D ．2【概念七】分式方程的无解15．关于x 的方程6122=---ax x x无解，则a 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3-D ．1或316．已知关于x 的分式方程2322x mm x x+=--无解，则m 的值是（）A ．1或13B ．1或3C ．13D ．1二、填空题【性质】分式基本性质17．已知32m n =，则m n n+的值为__________．18．不改变分式10.4210.35-+a ba b 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为______．【概念一】分式19．下列各式：2a b -，3x x -，5y π+，a ba b+-，1()m x y -中，是分式的共有____个．20．将分式121x x ++写成除法的形式：____________________．【概念二】最简分式21．将分式2244x x +-化为最简分式，所得结果是_______．22．下列分式：①233a a ++；②22x y x y --；③22m m n；④21m +，最简分式有______（填序号）．【概念三】约分23．约分：222315a ba b =________．24．约分：22abc b c=____________．【概念四】最简公分母25．分式22a b ，1ab ，3abc的最简公分母是______________；26．分式212a b 与31ab 的最简公分母是________．【概念五】通分27．2121a a a -++与251a -通分的结果是_______．28．把分式22111221(1)x x x ⋅⋅+--通分，最简公分母是_________________．【概念六】分式方程的增根29．若关于x 的分式方程5233x mx x +=---有增根，则常数m 的值是_________．30．若关于x 的分式方程1222x mx x-=---有增根，则m 的值是_______．【概念七】分式方程的无解31．已知关于x 的分式方程11235a xx x --=+-无解，则a 的值为_____．32．若关于x 的方程301ax x+=-无解，则a 的值为______．参考答案1．D 【分析】将xx y2+的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍，与原式比较即可．【详解】解：xx y2+的字母x 与y 的值分别扩大为原来的5倍得：()25522555x x xx y x y x y⨯⨯==+++所以，分式的值不变．故选D【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键．2．A【分析】根据分式的基本性质进行计算即可得出结果．【详解】解：由题意得：()()2222822==2222x x x x y x yx y ⨯---，∴把x ，y 的值都扩大2倍，分式的值扩大了2倍，故选：A ．【点拨】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．3．C【分析】根据分式的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．23-x 分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；B ．xπ分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；C ．23x +分母中含字母，是分式，故本选项符合题意；D ．12分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子AB（A 、B 是整式）中，分母B 中含有字母，则AB叫分式．4．B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】式子2xyπ，2334a b c，78x y +中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1a ，56x+，109x y +中分母中含有字母，因此是分式．故选B ．【点拨】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以2xyπ不是分式，是整式，掌握分母里含有字母是分式区别于整式的标志是解题的关键．5．A【分析】直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案．【详解】解：A ．221xx +的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，故此选项符合题意；B ．422x x=，故此选项不符合题意；C ．()()21111111x x x x x x +---==-+，故此选项不符合题意；D ．()11111x x x x ---==---，故此选项不符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．6．B【分析】最简分式是分子，分母中不含有公因式，不能再约分的分式．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：A 、()()()()124155x y x y x y x y --=++，不是最简分式，不符合题意；B 、2222x y x y xy ++是最简分式，符合题意；C 、()()()()2222x y x y x y x yx y x y x y +---==+++，不是最简分式，不符合题意；D 、()()22x y x y x y x y x y x y+--==-++，不是最简分式，不符合题意；故选B ．【点拨】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．7．C【分析】分子、分母分别因式分解，约分即可得到结论．【详解】解：()()()222a b a b a b a ba ab a a b a+--+==--，故选：C ．【点拨】本题考查了分式的化简，解决问题的关键是熟练应用平方差公式．8．C【分析】依据分式的性质约分即可．【详解】解：2362x xxy y-=-故选：C ．【点拨】本题考查了分式的约分；熟练掌握分式的性质是解题的关键．9．A【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．【详解】解：221x y-的分母为：()()22x y x y x y -=+-，∴最简公分母为：()()x y x y +-，故选：A ．【点拨】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．10．A【分析】根据最简公分母的确定方法：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，进行判断即可．【详解】解：212a b与2a b ab c +的最简公分母为222a b c ；故选A ．【点拨】本题考查最简公分母．熟练掌握最简公分母的确定方法，是解题的关键．11．D【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案．【详解】A 、最简公分母为2(2)(3)x x -+，正确，该选项不符合题意；B 、221(3)2(2)(3)x x x x +=--+，通分正确，该选项不符合题意；C 、213(2)(3)(2)(3)x x x x x +=-+-+，通分正确，该选项不符合题意；D 、通分不正确，分子应为()222224(3)(2)(3)x x x x x --=+-+，该选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．12．B【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．【详解】解∶221111(1)(1)(1)(1)aa a a a a +==--+-+，故211a -的分子为1a +．故选∶B ．【点拨】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．13．D【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m 的方程即可得解．【详解】解：311x mx x -=--，去分母，得3x m -=，由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =，把1x =代入3x m -=，并解得2m =-．故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．C【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．【详解】由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x m x x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．15．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案．【详解】解：分式方程去分母得：26ax x =-+，整理得：()14a x -=，当a −1＝0，即a ＝1时，此时整式方程无解，分式方程无解；当a −1≠0，即a ≠1时，由()14a x -=得x ＝41a -，若此时分式方程无解，则分式方程有增根，即20x -=，增根为x ＝2，∴421a =-，解得：a ＝3，∴关于x 的方程6122=---ax x x无解时，则a 的值为1或3，故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键．16．A【分析】根据分式方程无解，需要对化简之后的整式进行讨论，可能是整式方程无解，也可能是整式方程的解是原分式方程的增根，即可求解．【详解】解：去分母得，23(2)x m m x -=-，去括号得，236x m mx m -=-，移项得，326x mx m m -=-，合并同类项得，(13)4m x m -=-，∵分式方程2322x m m x x+=--无解，∴1-3m =0或x =2，∴13m =，将x =2代入(13)4m x m -=-，得2(13)4m m -=-，解得m =1，综上，m 的值是1或13．故选A ．【点拨】本题主要考查的是利用分式方程无解求参数的值，理解分式方程无解的解题方法是解题关键．17．52【分析】设3,2m k n k ==，代入m nn+约分化简．【详解】∵32m n =，∴设3,2m k n k ==，∴32522m n k k n k ++==．故答案为：52．【点拨】本题考查了分式的约分，设3,2m k n k ==是解答本题的关键．18．4523a b a b-+【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案．【详解】解：分式2110.45221130.35510a b a ba b a b --=++，分子、分母同时乘以10，则有原式4523a b a b -=+．故答案为：4523a ba b-+．【点拨】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键．19．3【详解】解析：判断式子是否是分式就是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．由此可知3x x -，a ba b+-，1()m x y -是分式，共3个．答案：3易错：4错因：误认为π是字母，错误判断5yπ+是分式．满分备考：区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式．注意π是一个数，而不是字母．20．()()121x x +÷+【分析】根据分式的意义将分式写成除法形式即可．【详解】解：将分式121x x ++写成除法的形式为()()121x x +÷+．故答案为：()()121x x +÷+【点拨】本题考查了分式的意义，AB表示A B ÷，其中分数线表示相除的意思．21．22x -【分析】先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．【详解】解：2244x x +-()()()2222x x x +=+-22x =-．故答案为：22x -．【点拨】本题考查的是最简分式，掌握分式的约分法则是解题的关键．22．①④##④①【分析】根据最简分式的定义逐式分析即可．【详解】①233a a ++是最简分式；②22x y x y --=1x y +，不是最简分式；③22m m n =12mn，不是最简分式；④21m +是最简分式．故答案为：①④．【点拨】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．23．15b【分析】根据分式的基本性质解答即可．【详解】解：22231155a b a b b=；故答案为：15b．【点拨】本题考查了分式的约分，属于基础题型，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．24．acb【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以相同因式时分式的值不变即可解题解答．【详解】解：22abc ac bc ac b c b bc b== 故答案为：acb【点拨】本题考查了分式的约分，熟悉分式的性质是解题关键，约分的方法是：若分子分母都是单项式，则直接求取分子分母的公因式再化简；若分子或分母是多项式，需要将分子分母因式分解后求取分子分母的公因式再化简25．2a bc【分析】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解．【详解】解：22a b ，1ab ，3abc的最简公分母是2a bc ，故答案为：2a bc ．【点拨】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母．26．232a b 【分析】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可．【详解】解：2、1的最小公倍数为2，a 的最高次幂为2，b 的最高次幂为3，所以最简公分母为232a b ．故答案为：232a b ．【点拨】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是关键．27．222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可；【详解】221121(1)a a a a a --=+++ ，225511a a -==--5(1)(1)a a -+-，∴最简公分母为()()211a a +-，∴通分后分别为222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-．故答案为：222(1)5(1),(1)(1)(1)(1)a a a a a a --++-+-．【点拨】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键．28．22(1)(1)x x +-【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【详解】解：∵()2221x x +=+()()2111x x x -=-+，故22x +，21x -，()21x -的最简公分母为：22(1)(1)x x +-．故答案为22(1)(1)x x +-．【点拨】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．29．8【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】解：去分母，得：() 523x x m+=-+由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得： 8m =．故答案为：8．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．30．1【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把2x =代入计算，即可求出m 的值．【详解】解：∵1222x m x x-=---，去分母，得：12(2)x m x -=---；∵分式方程有增根，∴2x =，把2x =代入12(2)x m x -=---，则122(22)m -=---，解得：1m =；故答案为：1．【点拨】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．31．5或112【分析】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数a 的值．【详解】解：11235a x x x --=+-，去分母得()()()()()523235x x a x x x --+-=+-，∴()112310a x a -=-，关于x 的分式方程11235a x x x --=+-无解，∴①当1120a -=时，即112a =，此时()112310a x a -=-无解；②当1120a -≠时，即112a ≠，解()112310a x a -=-得310112a x a -=-，此时分式方程无解，必须有32x =-或5x =，则31031122a x a -==--或3105112a x a-==-，i 当31031122a x a -==--时，方程无解；ii 当3105112a x a-==-时，解得5a =；综上所述，a 的值为5或112，故答案为：5或11 2．【点拨】本题考查解分式方程及由分式方程无解求参数问题，熟练掌握分式方程的解法步骤以及无解情况的分类讨论是解决问题的关键．32．0或-3【分析】先去分母化为整式方程，根据分式方程无解得到x=0或x=1或3+a=0，将解代入整式方程求出a即可．【详解】解：去分母，得3x+a（x-1）=0，∴（3+a）x-a=0，∵原分式方程无解，∴x=0或x=1或3+a=0，当x=0时，a=0；当x=1时，3+0=0，无解；∴a=0，当3+a=0时，解得a=-3，故答案为：0或-3．【点拨】此题考查了根据分式方程解的情况求参数，正确掌握解分式方程的解法是解题的关键．。

分式的定义和基本性质

学乐教育每一步关注成长每一天咨询电话：020---28059555、85588126 广州学乐教育分式的定义及性质学生姓名______________授课年级______________授课日期______________教研院审核_____________学乐教育每一步关注成长每一天咨询电话：020---28059555、85588126分式的定义及性质【知识要点一】一、分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式.分式BA中，A 叫做分子，B 叫做分母. 二、分式有意义的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式BA才有意义. 【经典例题】例1. 下列各式①a π，②11x +，③15x+y ，④22a b a b --，⑤-3x 2，⑥5352x xy y x xy y +---，⑦5x y +•中，是分式的有_________________；是整式的有____ ______________；(填序号)分式与整式的区别是_ _________ _________ _________ _________ ________.例2. 下列分式，当x 取何值时有意义．（分式有意义的条件：分母不为0）（1）2132x x ++；（2）2323x x +-；（3）1222-+a a a ；（4）2221x x +.例3.当x 取何值时，分式2134x x +-无意义．（分式无意义的条件：分母为0）【课堂练习】1.下列各式：中整式有__________________________，分式有_________________________3ma π，2123x y -，1x -，21x x +， 2x x y - ， 2x x y - ，1mnx -学乐教育每一步关注成长每一天咨询电话：020---28059555、855881262.分式24xx -，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式无意义3．有理式①2x ，②5x y +，③12a -，④1x π-中，是分式的有（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④4.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x + 5．当X=1-时，分式211x x +- （）A 、等于零B 、等于1C 、等于-1D 、没有意义 6．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（）A ．0B ．1C ．-1D ．±1【知识要点二】分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 用式子表示为：C B C A B A ⨯⨯=， CB ÷÷=CA B A ()0≠C ，期中A ，B ，C 是整式.）约分：利用分式的基本性质，约去分子与分母的最大公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.（与分数的约分类似）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.（与分数类似）通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把两个或两个以上的分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.（与分数类似）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母.【经典例题】例1．（1）根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为（） A ．a ab -- B ．a a b + C ．-a a b - D ．aa b+ （2）．下列各式中，正确的是（）A ．x y x y x y x y -+-=--+;B ．x y x y x y x y -+--=--;C ．x y x y x y x y -++=---;D ．x y x yx y x y -+-=-+ （3）．下列各式中，正确的是（）学乐教育每一步关注成长每一天咨询电话：020---28059555、85588126A ．a m ab m b +=+ B ．0a b a b +=+ C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+例2．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.（分子和分母无公因式）（1）分式5b a ，22a b a b +-，22x yx y-+，m n m n -+中，最简分式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）分式a x y 434+，1142--x x ，y x y xy x ++-22，2222bab abx -+中，最简分式有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例3、约分（方法：借助因式分解，约去分子与分母的最大公因式） 1、找分子和分母系数的最大公因数。

分式的基本性质练习题

分式的基本性质练习题分式的基本性质练习题分式是数学中常见的一种表示形式，它可以帮助我们更好地理解和解决问题。

在学习分式的过程中，我们需要掌握一些基本的性质和运算规则。

下面，我将通过一些练习题来帮助大家巩固对分式的理解。

练习题一：简化分式1. 将分式$\frac{12}{18}$化简为最简形式。

解答：首先，我们可以将分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。

所以，$\frac{12}{18}$可以化简为$\frac{2}{3}$。

2. 将分式$\frac{24}{48}$化简为最简形式。

解答：同样地，我们可以将分子和分母同时除以它们的最大公约数，即24和48的最大公约数为24。

所以，$\frac{24}{48}$可以化简为$\frac{1}{2}$。

练习题二：分式的乘法和除法1. 计算$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$。

解答：分式的乘法可以通过将分子相乘，分母相乘来完成。

所以，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$。

2. 计算$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$。

解答：分式的除法可以通过将除数取倒数，然后与被除数进行乘法来完成。

所以，$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$。

练习题三：分式的加法和减法1. 计算$\frac{1}{3} + \frac{2}{5}$。

解答：分式的加法需要找到它们的公共分母，然后将分子相加。

所以，$\frac{1}{3} + \frac{2}{5} = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15}$。

2. 计算$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$。

分式概念及分式的性质练习

15.1分式及分式的基本性质练习题(可编辑修改word版)

第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册

分式概念及分式的性质练习

《分式》典型练习题

分式题型易错题难题大汇总

分式基本性质练习题

分式的概念和性质练习题-基础

分式整章知识点及练习题

15.1.2分式基本性质考点与练习

分式知识点及例题

分式的概念经典练习题

分式的概念和性质练习题

分式知识点总结及例题

专题5.1分式的概念与基本性质(专项训练)(原卷版)

中考体系-17.分式的概念与性质(最全,含答案)

初二数学分式练习题及概念

专题5.23 分式与分式方程(全章基本概念与性质专题)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

分式的定义和基本性质

分式的基本性质练习题

第1讲分式的概念及性质讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册